5. Metoda wyznacznikowa rozwiązywani układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi - M_R_W05_M3 Zastosowanie układów równań liniowych

R10Cqul9wIaK9

2. Metoda wyznacznikowa rozwiązywani układów równań liniowych z dwiema niewiadomy

R1V1xqSrFGier1

Ilustracja przedstawia portret mężczyzny w średnim wieku. Posiada on długie, siwe, kręcone włosy. Ubrany jest w białą elegancką koszulę. Z lewej strony twarz mężczyzny jest mocniej oświetlona jasnym żółtym światłem, a sam mężczyzna lekko się uśmiecha. — Portret Gabriela Cramera autorstwa Roberta Gardelle'a
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

RekXN6Tcenwkq1

Ilustracja przedstawia czarną białą okładkę historycznej francuskiej książki do algebry o tytule Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques. — Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, 1750
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Autorem prac z teorii wyznaczników jest ur. $31$ lipca $1704$ roku w Genewie Gabriel Cramer. Ten szwajcarski matematyk i fizyk, profesor Uniwersytetu w Genewie, zajmował się także analizą matematyczną, teorią krzywych algebraicznych oraz historią matematyki. Dzięki podanym przez niego w $1750$ roku wzorom, możemy znaleźć rozwiązanie układu równań za pomocą wyznaczników.

Taka metodę rozwiązywania układów równań nazywamy metodą wyznacznikową.

Twoje cele

Przekształcisz układ równań tak, aby otrzymać układ równoważny.
Obliczysz wartości wyznaczników.
Rozwiążesz układ równań liniowych metodą wyznacznikową.
Korzystając z algorytmu rozwiązywania układu równań metodą wyznacznikową określisz, czy jest to układ oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny.

Przypomnijmy najpierw definicję układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

układ równań z dwiema niewiadomymi

Definicja: układ równań z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie $a_{1}$ i $b_{1}$ oraz $a_{2}$ i $b_{2}$ nie są równocześnie równe zero. W powyższym układzie $x$ oraz $y$ oznaczają niewiadome, $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ - współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , natomiast $c_{1}$ i $c_{2}$ nazywamy wyrazami wolnymi.

Aby zastosować metodę wyznacznikową, musimy jeszcze określić liczbę nazywaną wyznacznikiem. Przyjmujemy poniższą definicję.

wyznacznik

Definicja: wyznacznik

Wyznacznikiem $|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}|$ nazywiemy liczbę $a d - b c$ .

Przykład 1

Obliczmy wyznaczniki:

$|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}|$ ,
$|\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & 3 \end{matrix}|$ .

Rozwiązanie

Korzystając z podanego wyżej wzoru, możemy obliczyć wartość wyznacznikawyznacznikwyznacznika.
Możemy też zapamiętać metodę, która pozwala nam obliczać takie wyznaczniki.
$|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}|$
W tym układzie liczb możemy zauważyć, że są one położone na dwóch przekątnych, zaznaczonych tu kolorami pomarańczowym i niebieskim. Aby obliczyć wyznacznik mnożymy liczby znajdujące się na przekątnej zaznaczonej kolorem pomarańczowym i odejmujemy iloczyn liczb zaznaczonych kolorem niebieskim.
A zatem:
$|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}| = - 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = - 4 - 4 = - 8$
Od iloczynu liczb znajdujących się na przekątnej zaznaczonej kolorem pomarańczowym, odejmujemy iloczyn liczb położonych na przekątnej zaznaczonej kolorem niebieskim.
$|\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & 3 \end{matrix}| = 2 \cdot 3 - (- 1) \cdot 4 = 6 + 4 = 10$

Ważne!

Aby rozwiązać układ równańukład równań:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

metodą wyznacznikową, musimy obliczyć trzy liczby:

wyznacznik główny $W$ – utworzony ze współczynników liczbowych znajdujących się przy niewiadomych $x$ i $y$ .
$W = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}| = a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}$
wyznacznik niewidomej $x$ oznaczany $W_{x}$ – utworzony poprzez zastąpienie w wyznaczniku głównym kolumny współczynników przy niewiadomej $x$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{x} = |\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}| = c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1}$
wyznacznik niewidomej $y$ oznaczany $W_{y}$ – utworzony poprzez zastąpienie w wyznaczniku głównym kolumny współczynników przy niewiadomej $y$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{y} = |\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}| = a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1}$

Jeśli wyznacznik główny $W \neq 0$ , to taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony), które możemy wyznaczyć za pomocą wzorów Cramera:

x = \frac{W_{x}}{W}

y = \frac{W_{y}}{W}

Jeśli wyznacznik główny $W = 0$ i $W_{x} = 0$ i $W_{y} = 0$ , to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony).

Jeśli wyznacznik główny $W = 0$ i ( $W_{x} \neq 0$ lub $W_{y} \neq 0$ ), to układ równań nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} 4 x + y = 8 \\ 2 x - \frac{1}{2} y = 8 \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Rozwiązanie

Zapisujemy i obliczamy wyznacznik główny.
Wypisujemy w odpowiednich kolumnach współczynniki znajdujące się przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .
$W = |\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{matrix}|$
Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.
$W = |\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{matrix}| = 4 \cdot (- \frac{1}{2}) - 2 \cdot 1 = - 2 - 2 = - 4$
Zapisujemy i obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .
W pierwszej kolumnie wyznacznika głównego zastępujemy współczynniki znajdujące się przy niewiadomej $x$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{x} = |\begin{matrix} 8 & 1 \\ 8 & - \frac{1}{2} \end{matrix}|$
Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.
$W_{x} = |\begin{matrix} 8 & 1 \\ 8 & - \frac{1}{2} \end{matrix}| = 8 \cdot (- \frac{1}{2}) - 8 \cdot 1 = - 4 - 8 = - 12$
Zapisujemy i obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .
W drugiej kolumnie wyznacznika głównego zastępujemy współczynniki znajdujące się przy niewiadomej $y$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{y} = |\begin{matrix} 4 & 8 \\ 2 & 8 \end{matrix}|$
Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.
$W_{y} = |\begin{matrix} 4 & 8 \\ 2 & 8 \end{matrix}| = 4 \cdot 8 - 2 \cdot 8 = 32 - 16 = 16$
Ponieważ wyznacznik główny jest różny od zera, więc możemy wykorzystać wzory Cramera do wyznaczenia rozwiązania tego układu.
$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- 12}{- 4} = 3$
$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{16}{- 4} = - 4$
A zatem rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 4 \end{cases}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} \frac{4 x + y}{3} + 2 = y - 2 \\ 4 (x + y) - 1 = 3 y - 4 x \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać bardziej skomplikowany układ dwóch równań liniowych, musimy każde z równań układu doprowadzić do najprostszej postaci. Możemy dodawać do obu stron równania to samo wyrażenie oraz mnożyć obie strony równania przez to samo niezerowe wyrażenie.
Układ musimy uporządkować i doprowadzić do postaci

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ .

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $3$ , a w drugim równaniu opuszczamy nawias.

$\{\begin{cases} \frac{4 x + y}{3} + 2 = y - 2 \cdot 3 \\ 4 (x + y) - 1 = 3 y - 4 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x + y + 6 = 3 y - 6 \\ 4 x + 4 y - 1 = 3 y - 4 x \end{cases}$

Przenosimy niewiadome $x$ oraz $y$ na lewa stronę równań, a wyrazy wolne na prawą stronę równań i redukujemy wyrazy podobne w każdym z nich.

$\{\begin{cases} 4 x - 2 y = - 12 \\ 8 x + y = 1 \end{cases}$

Możemy jeszcze w pierwszym równaniu podzielić obie strony przez $2$ .

$\{\begin{cases} 2 x - y = - 6 \\ 8 x + y = 1 \end{cases}$

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 8 & 1 \end{matrix}| = 2 + 8 = 10$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} - 6 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}| = - 6 + 1 = - 5$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 2 & - 6 \\ 8 & 1 \end{matrix}| = 2 + 48 = 50$

Ponieważ $W \neq 0$ , więc układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wyznaczamy wartości niewiadomych $x$ i $y$ , korzystając ze wzorów.

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- 5}{10} = - \frac{1}{2}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{50}{10} = 5$

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = 5 \end{cases}$ .

Przykład 4

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} - \sqrt{3} x - \sqrt{2} y = 8 \\ 2 \sqrt{2} x + \sqrt{3} y = 2 \sqrt{2} \end{cases}$ .
Skorzystamy z metody wyznacznikowej.

Rozwiązanie

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} - \sqrt{3} & - \sqrt{2} \\ 2 \sqrt{2} & \sqrt{3} \end{matrix}| = - 3 + 4 = 1$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 8 & - \sqrt{2} \\ 2 \sqrt{2} & \sqrt{3} \end{matrix}| = 8 \sqrt{3} + 4$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} - \sqrt{3} & 8 \\ 2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2} \end{matrix}| = - 2 \sqrt{6} - 16 \sqrt{2}$

Ponieważ $W \neq 0$ , więc układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wyznaczamy wartości niewiadomych $x$ i $y$ , korzystając ze wzorów.

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{8 \sqrt{3} + 4}{1}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{- 2 \sqrt{6} - 16 \sqrt{2}}{1}$

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 8 \sqrt{3} + 4 \\ y = - 2 \sqrt{6} - 16 \sqrt{2} \end{cases}$ .

Możemy zauważyć, że metoda ta pozwala łatwo wyznaczyć rozwiązanie równania nawet wtedy, gdy są nim liczby niewymierne.

Przykład 5

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} 5 x - 4 y = 10 \\ - 10 x + 8 y = - 20 \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Rozwiązanie

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 5 & - 4 \\ - 10 & 8 \end{matrix}| = 40 - 40 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 10 & - 4 \\ - 20 & 8 \end{matrix}| = 80 - 80 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 5 & 10 \\ - 10 & - 20 \end{matrix}| = - 100 + 100 = 0$

$W = 0$ i $W_{x} = 0$ i $W_{y} = 0$

Oznacza to, że układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Jest to układ równań nieoznaczony.

Przykład 6

Rozwiążemy układ równań metodą wyznacznikową.

$\{\begin{cases} 5 x - 4 y = 10 \\ - 10 x + 8 y = 20 \end{cases}$

Rozwiązanie

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 5 & - 4 \\ - 10 & 8 \end{matrix}| = 40 - 40 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 10 & - 4 \\ 20 & 8 \end{matrix}| = 80 + 80 = 160$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 5 & 10 \\ - 10 & 20 \end{matrix}| = 100 + 100 = 200$

$W = 0$ i ( $W_{x} \neq 0$ oraz $W_{y} \neq 0$ )

A zatem ten układ równań jest sprzeczny i nie posiada rozwiązania.

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami zastosowania metody wyznacznikowej do rozwiązywania układów równań, przedstawionymi w animacji. Następnie wykonaj samodzielnie polecenie 2.

RTvXyXYqsxD3p

Polecenie 2

Rozwiąż układ równań $\{\begin{cases} 5 x - 10 y = 7 \\ - 3 x - 2 y = 4 \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

$W = |\begin{matrix} 5 & - 10 \\ - 3 & - 2 \end{matrix}| = - 10 - 30 = - 40$

$W_{x} = |\begin{matrix} 7 & - 10 \\ 4 & - 2 \end{matrix}| = - 14 + 40 = 26$

$W_{y} = |\begin{matrix} 5 & 7 \\ - 3 & 4 \end{matrix}| = 20 + 21 = 41$

$x = - \frac{26}{40}$

$y = - \frac{41}{40}$

$\{\begin{cases} x = - \frac{26}{40} \\ y = - \frac{41}{40} \end{cases}$

Przykład 7

Określimy, dla jakiego parametru $m$ , układ równań ${\begin{cases} m x + 4 y = m + 1 \\ x + m y = m + 2 \end{cases}$ jest układem oznaczonym.

Obliczamy wyznacznik główny

$W = |\begin{matrix} m & 4 \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - 4$

Aby układ był oznaczony, jego wyznacznik główny musi być liczbą różną od zera.

Wyznaczmy więc takie wartości parametru $m$ , dla których zachodzi taki warunek.

$W \neq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 2 \land m \neq 2$

Możemy wyznaczyć postać liczb będących jego rozwiązaniem.

Obliczmy wyznaczniki niewiadomych $x$ oraz $y$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} m + 1 & 4 \\ m + 2 & m \end{matrix}| = m^{2} + m - 4 m - 8 = m^{2} - 3 m - 8$

$W_{y} = |\begin{matrix} m & m + 1 \\ 1 & m + 2 \end{matrix}| = m^{2} + 2 m - m - 1 = m^{2} + m - 1$

A następnie podajemy postać niewiadomych $x$ i $y$ .

$\{\begin{cases} x = \frac{W_{x}}{W} \\ y = \frac{W_{y}}{W} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{m^{2} - 3 m - 8}{m^{2} - 4} \\ y = \frac{m^{2} + m - 1}{m^{2} - 4} \end{cases}$

A zatem ten układ równań jest oznaczony dla $m \in ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ i posiada wtedy rozwiązania postaci

$\{\begin{cases} x = \frac{m^{2} - 3 m - 8}{m^{2} - 4} \\ y = \frac{m^{2} + m - 1}{m^{2} - 4} \end{cases}$ .

Przykład 8

Określimy liczbę rozwiązań układu równań liniowych

$\{\begin{cases} - 2 x + p y = p \\ 2 p x - y = - p \end{cases}$

w zależności od parametru $p$ .

Wyznaczymy wyznacznik główny oraz wyznaczniki niewiadomych $W_{x}$ i $W_{y}$ .

$W = |\begin{matrix} - 2 & p \\ 2 p & - 1 \end{matrix}| = 2 - 2 p^{2}$

$W_{x} = |\begin{matrix} p & p \\ - p & - 1 \end{matrix}| = - p + p^{2}$

$W_{y} = |\begin{matrix} - 2 & p \\ 2 p & - p \end{matrix}| = 2 p - 2 p^{2}$

Obliczamy, dla jakich wartości parametru $p$ , wyznacznik główny jest równy zero.

$W = 0 \Leftrightarrow 2 - 2 p^{2} = 0 \Leftrightarrow 2 (1 + p) (1 - p) = 0 \Leftrightarrow p = - 1 \lor p = 1$

Obliczamy wartości wyznaczników $W_{x}$ i $W_{y}$ dla parametrów $p \in \{- 1, 1\}$ .

Dla $p = - 1$ otrzymujemy:

$W_{x} = - p + p^{2} = 1 + 1 = 2$

$W_{y} = 2 p - 2 p^{2} = - 2 - 2 = - 4$

A zatem dla $p = - 1$ układ jest sprzecznyukład równań sprzecznysprzeczny.

Dla $p = 1$ otrzymujemy:

$W_{x} = - p + p^{2} = - 1 + 1 = 0$

$W_{y} = 2 p - 2 p^{2} = 2 - 2 = 0$

Więc dla $p = 1$ układ jest nieoznaczony.

Dla $p \neq - 1$ i $p \neq 1$ układ jest oznaczonyukład równań oznaczonyoznaczony. Wyznaczmy niewiadome $x$ i $y$ .

Korzystamy z poznanych wzorów i doprowadzamy wyrażenia do najprostszej postaci.

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- p + p^{2}}{2 - 2 p^{2}} = \frac{- p (1 - p)}{2 (1 - p) (1 + p)} = \frac{- p}{2 (1 + p)} = - \frac{p}{2 + 2 p}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{2 p - 2 p^{2}}{2 - 2 p^{2}} = \frac{2 p (1 - p)}{2 (1 - p) (1 + p)} = \frac{p}{1 + p}$

Podsumujmy nasze rozważania.

Układ równań $\{\begin{cases} - 2 x + p y = p \\ 2 p y - y = - p \end{cases}$ :

dla $p \in ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ jest oznaczony i posiada wtedy dokładnie jedno rozwiązanie postaci:
$\{\begin{cases} x = - \frac{p}{2 + 2 p} \\ y = \frac{p}{1 + p} \end{cases}$ ,
dla $p = - 1$ jest sprzeczny,
dla $p = 1$ jest nieoznaczony.

Przykład 9

Wyznacz, dla jakich parametrów $k \in ℝ$ , rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} (k - 1) x + 3 y = 3 \\ (k + 3) x - 5 y = 8 \end{cases}$ jest para liczb rzeczywistych, których suma jest niedodatnia.

Obliczamy wyznacznik główny $W$ .

$W = |\begin{matrix} k - 1 & 3 \\ k + 3 & - 5 \end{matrix}| = - 5 k + 5 - 3 k - 9 = - 8 k - 4$

Aby układ posiadał jedno rozwiązanie, wyznacznikwyznacznikwyznacznik musi być różny od zera.

Ten układ jest oznaczony dla $- 8 k - 4 \neq 0$ , czyli $k \neq - \frac{1}{2}$ .

Obliczmy wyznaczniki niewiadomych $x$ oraz $y$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 3 & 3 \\ 8 & - 5 \end{matrix}| = - 15 - 24 = - 39$

$W_{y} = |\begin{matrix} k - 1 & 3 \\ k + 3 & 8 \end{matrix}| = 8 k - 8 - 3 k - 9 = 5 k - 17$

Wtedy

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- 39}{- 8 k - 4}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{5 k - 17}{- 8 k - 4}$

Wyznaczmy sumę liczb $x$ i $y$ .

$x + y = \frac{- 39}{- 8 k - 4} + \frac{5 k - 17}{- 8 k - 4} = \frac{- 39 + 5 k - 17}{- 8 k - 4} = \frac{5 k - 56}{- 8 k - 4} = \frac{56 - 5 k}{8 k + 4}$

Otrzymane wyrażenie będzie przyjmować wartości niedodatnie dla $k$ spełniającego warunki:

$\{\begin{cases} 56 - 5 k \geq 0 \\ 8 k + 4 < 0 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} 56 - 5 k \leq 0 \\ 8 k + 4 > 0 \end{cases}$ .

Wyznaczamy rozwiązanie pierwszego układu nierówności.

$\{\begin{cases} 56 - 5 k \geq 0 \\ 8 k + 4 < 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 5 k \geq - 56 | : (- 5) \\ 8 k < - 4 | : 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} k \leq 11, 2 \\ k < - 0, 5 \end{cases}$

Rozwiązaniem układu nierówności są liczby z przedziału $k \in (- \infty; - 0, 5)$ .

Wyznaczamy rozwiązanie drugiego układu nierówności.

$\{\begin{cases} 56 - 5 k \leq 0 \\ 8 k + 4 > 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 5 k \leq - 56 | : (- 5) \\ 8 k > - 4 | : 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} k \geq 11, 2 \\ k > - 0, 5 \end{cases}$

Rozwiązaniem układuzbiór rozwiązań układu równańRozwiązaniem układu są liczby z przedziału $k \in ⟨11, 2; \infty)$ .

A zatem suma liczb będących rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} (k - 1) x + 3 y = 3 \\ (k + 3) x - 5 y = 8 \end{cases}$ jest niedodatnia dla $k \in (- \infty; - 0, 5) \cup ⟨11, 2; \infty)$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się ze schematem interaktywnym przedstawiającym zasadę określania liczby rozwiązań układu równań z wykorzystaniem metody wyznacznikowej.

Aby zobaczyć rozwiązanie, przesuń poniższy schemat myszką lub skorzystaj z przycisków „ $-$ ” i „ $+$ ”.

R9lTxs5B12Lnp1

Polecenie 4

Zbadaj liczbę rozwiązań układów równań. Jeśli rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb, wyznacz ją.

a) $\{\begin{cases} 5 x + 10 y = 15 \\ - 2 x - 4 y = 6 \end{cases}$ ,

b) $\{\begin{cases} 5 x + 15 y = 10 \\ 2 x - 4 y = 6 \end{cases}$ ,

c) $\{\begin{cases} 15 x - 10 y = 5 \\ 6 x - 4 y = 2 \end{cases}$ .

a) brak rozwiązań,

b) dokładnie jedno rozwiązanie $\{\begin{cases} x = 2, 6 \\ y = - 0, 2 \end{cases}$ ,

c) nieskończenie wiele rozwiązań.

Polecenie 5

W poniższym schemacie przygotuj algorytm przedstawiający zasadę określania liczby rozwiązań układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ z wykorzystaniem metody wyznacznikowej.

R8tuzGx88t0uh

W poniższym schemacie przygotuj algorytm w języku Python przedstawiający zasadę określania liczby rozwiązań układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ z wykorzystaniem metody wyznacznikowej.

RAjxfRtWKF4hR

R1SO5t4V9BV9e1

Ćwiczenie 1

RPMADVlRhHkwH1

Ćwiczenie 2

R1HbT2tpGEfWT1

Ćwiczenie 3

RaJXSbuMyQcc22

Ćwiczenie 4

Dany jest układ równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, dwa x, plus, cztery, równa się, trzy y, koniec równania, drugie równanie, dwa, minus, cztery y, równa się, minus, trzy x, koniec równania, koniec układu równań.
Wybierz spośród zapisanych wyznaczników i przyciągnij prawidłowo zapisany wyznacznik do każdego opisu. Wyznacznik główny, W, równa się 1. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 3 koniec wyznacznika, 2. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi 3, wyraz o numerze 1 2 wynosi 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 3. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 4. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 4, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 5. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 2 koniec wyznacznika, 6. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika.

Wyznacznik niewiadomej x, W indeks dolny, x, koniec indeksu dolnego, równa się 1. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 3 koniec wyznacznika, 2. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi 3, wyraz o numerze 1 2 wynosi 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 3. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 4. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 4, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 5. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 2 koniec wyznacznika, 6. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika.

Wyznacznik niewiadomej y, W indeks dolny, y, koniec indeksu dolnego, równa się 1. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 3 koniec wyznacznika, 2. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi 3, wyraz o numerze 1 2 wynosi 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 3. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 4. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 4, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika, 5. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 4, wyraz o numerze 2 1 wynosi 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 2 koniec wyznacznika, 6. początek wyznacznika 2 na 2 wyraz o numerze 1 1 wynosi minus 2, wyraz o numerze 1 2 wynosi minus 3, wyraz o numerze 2 1 wynosi 3, wyraz o numerze 2 2 wynosi minus 4 koniec wyznacznika.

Ćwiczenie 5

R3c8TdRQRdZNw

Rozwiązaniem oznaczonego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 7 \\ y = - 10 \end{cases}$ .

Ćwiczenie 6

Doprowadź układ równań $\{\begin{cases} \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{2} = 1 \\ 2 (x + y) + 3 (x - y) = 2 \end{cases}$ do najprostszej postaci i rozwiąż metodą wyznacznikową. Zapisz rozwiązanie w najprostszej postaci.

$\{\begin{cases} - x + 5 y = 6 \\ 5 x - y = 2 \end{cases}$

$W = |\begin{matrix} - 1 & 5 \\ 5 & - 1 \end{matrix}| = - 24$

$W_{x} = |\begin{matrix} 6 & 5 \\ 2 & - 1 \end{matrix}| = - 16$

$W_{y} = |\begin{matrix} - 1 & 6 \\ 5 & 2 \end{matrix}| = - 32$

$\{\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{4}{3} \end{cases}$

Ćwiczenie 7

RwWuKKj43Tijj

R1cg2LDTV2eOW

$\{\begin{cases} - 2 (x + y) + 1 = 6 - 5 y \\ 5 (1 + x) - y = 3 x + 2 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 x + 3 y = 5 \\ 2 x - 3 y = - 5 \end{cases}$

$W = |\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 2 & - 3 \end{matrix}| = 0$

$W_{x} = |\begin{matrix} 5 & 3 \\ - 5 & - 3 \end{matrix}| = 0$

$W_{y} = |\begin{matrix} - 2 & 5 \\ 2 & - 5 \end{matrix}| = 0$

Jest to układ nieoznaczony. Ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci $\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{2}{3} x + \frac{5}{3} \end{cases}$ .

Ćwiczenie 8

Rozwiąż układ równań $\{\begin{cases} \sqrt{7} x + (\sqrt{7} + 2) y = 4 \\ (\sqrt{7} - 2) x - \sqrt{7} y = 6 \end{cases}$ .

$W = |\begin{matrix} \sqrt{7} & \sqrt{7} + 2 \\ \sqrt{7} - 2 & - \sqrt{7} \end{matrix}| = - 10$

$W_{x} = |\begin{matrix} 4 & \sqrt{7} + 2 \\ 6 & - \sqrt{7} \end{matrix}| = - 10 \sqrt{7} - 12$

$W_{y} = |\begin{matrix} \sqrt{7} & 4 \\ \sqrt{7} - 2 & 6 \end{matrix}| = 2 \sqrt{7} + 8$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 10 \sqrt{7} - 12}{- 10} \\ y = \frac{2 \sqrt{7} + 8}{- 10} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{5 \sqrt{7} + 6}{5} \\ y = - \frac{\sqrt{7} + 4}{5} \end{cases}$

Pokaż ćwiczenia:

R15H4PQ4GFLf71

Ćwiczenie 9

R1RnvcYxD7gME1

Ćwiczenie 10

R14ebr8icw5Nw1

Ćwiczenie 11

R1LDmUNOJ3Crj2

Ćwiczenie 12

Oblicz wyznaczniki podanych układów równań. Następnie przeciągnij układ do właściwego obszaru. Układy oznaczone Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec równania, drugie równanie, pierwiastek kwadratowy z sześć x, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć x, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec równania, drugie równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć x, plus, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, y, równa się, pięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z pięć, zamknięcie nawiasu, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z pięć, plus, dwa, koniec ułamka y, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z pięć, plus, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, pierwiastek kwadratowy z sześć x, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, pierwiastek kwadratowy z siedem, koniec równania, drugie równanie, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa x, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy y, równa się, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec równania, drugie równanie, minus, x, plus, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, y, równa się, jeden, koniec równania, koniec układu równań Układy nieoznaczone Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec równania, drugie równanie, pierwiastek kwadratowy z sześć x, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć x, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec równania, drugie równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć x, plus, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, y, równa się, pięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z pięć, zamknięcie nawiasu, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z pięć, plus, dwa, koniec ułamka y, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z pięć, plus, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, pierwiastek kwadratowy z sześć x, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, pierwiastek kwadratowy z siedem, koniec równania, drugie równanie, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa x, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy y, równa się, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec równania, drugie równanie, minus, x, plus, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, y, równa się, jeden, koniec równania, koniec układu równań Układy sprzeczne Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec równania, drugie równanie, pierwiastek kwadratowy z sześć x, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć x, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec równania, drugie równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, minus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć x, plus, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, y, równa się, pięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z pięć, zamknięcie nawiasu, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z pięć, plus, dwa, koniec ułamka y, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z pięć, plus, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, pierwiastek kwadratowy z sześć x, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa y, równa się, pierwiastek kwadratowy z siedem, koniec równania, drugie równanie, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa x, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy y, równa się, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, y, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec równania, drugie równanie, minus, x, plus, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, y, równa się, jeden, koniec równania, koniec układu równań

R1NB5aERgue2t2

Ćwiczenie 13

Rp3bNFLdDtsIi2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Rozwiąż układ równań metodą wyznacznikową i określ liczbę jego rozwiązań w zależności od parametru $a$ .

$\{\begin{cases} a^{3} x + a y = 3 a^{2} \\ 4 x + y = 6 \end{cases}$ .

$W = |\begin{matrix} a^{3} & a \\ 4 & 1 \end{matrix}| = a^{3} - 4 a = a (a - 2) (a + 2)$

$W_{x} = |\begin{matrix} 3 a^{2} & a \\ 6 & 1 \end{matrix}| = 3 a^{2} - 6 a = 3 a (a - 2)$

$W_{y} = |\begin{matrix} a^{3} & 3 a^{2} \\ 4 & 6 \end{matrix}| = 6 a^{3} - 12 a^{2} = 6 a^{2} (a - 2)$

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{3 a (a - 2)}{a (a - 2) (a + 2)} = \frac{3}{a + 2}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{6 a^{2} (a - 2)}{a (a - 2) (a + 2)} = \frac{6 a}{a + 2}$

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{a + 2} \\ y = \frac{6 a}{a + 2} \end{cases}$

Dla $a \in ℝ ∖ \{- 2, 0, 2\}$ układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie postaci $\{\begin{cases} x = \frac{3}{a + 2} \\ y = \frac{6 a}{a + 2} \end{cases}$ .

Dla $a \in \{0, 2\}$ układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla $a = - 2$ układ nie posiada rozwiązań.

Ćwiczenie 16

Rozwiąż układ równań metodą wyznacznikową i określ liczbę jego rozwiązań w zależności od parametrów $p$ i $q$ .

$\{\begin{cases} (p - 1) x + 2 q y = 10 \\ 3 p x + 6 (q + 2) y = 30 \end{cases}$

$W = |\begin{matrix} p - 1 & 2 q \\ 3 p & 6 q + 12 \end{matrix}| = 6 p q + 12 p - 6 q - 12 - 6 p q = 12 p - 6 q - 12$

$W_{x} = |\begin{matrix} 10 & 2 q \\ 30 & 6 q + 12 \end{matrix}| = 60 q + 120 - 60 q = 120$

$W_{y} = |\begin{matrix} p - 1 & 10 \\ 3 p & 30 \end{matrix}| = 30 p - 30 - 30 p = - 30$

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{120}{12 p - 6 q - 12} = \frac{20}{2 p - q - 2}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{- 30}{12 p - 6 q - 12} = \frac{- 5}{2 p - q - 2}$

$\{\begin{cases} x = \frac{20}{2 p - q - 2} \\ y = \frac{- 5}{2 p - q - 2} \end{cases}$

Dla $q \neq 2 p - 2$ układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie postaci $\{\begin{cases} x = \frac{20}{2 p - q - 2} \\ y = \frac{- 5}{2 p - q - 2} \end{cases}$ .

Dla $q = 2 p - 2$ układ nie posiada rozwiązań.

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$

zbiór rozwiązań układu równań

zbiór wszystkich par liczb spełniających dany układ równań

układ równań oznaczony

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb

układ równań nieoznaczony

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb

układ równań sprzeczny

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie posiada rozwiązań

wyznacznik

liczba postaci $|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}| = a d - b c$

4. Układy równań liniowych - prędkość, droga, czas

6. Układ trzech równań stopnia pierwszego z trzema niewiadomymi

2. Metoda wyznacznikowa rozwiązywani układów równań liniowych z dwiema niewiadomy

Słownik