3. Przekątne i kąty w wielokącie

R1H5efNv79ktF

Triangulacja jako metoda precyzyjnego pomiaru odległości w terenie zapoczątkowana została w 1615 roku przez siedemnastowiecznego holenderskiego astronoma i matematyka W. Snella van Royena. Polega ona na pokryciu siecią trójkątów obszaru, który poddawany jest pomiarom. Wierzchołki trójkątów utrwalane są w terenie za pomocą specjalnych słupków (dzisiaj w większości betonowych), które wkopuje się w ziemię. Aż do drugiej połowy XX wieku betonowym słupkom często towarzyszyły drewniane wieże ułatwiające obserwacje w terenie i montaż przyrządów geodezyjnych.

Twoje cele

Sformułujesz i udowodnisz twierdzenie o liczbie przekątnych wielokąta.
Poznasz pojęcie triangulacji, czyli podziału danej figury/powierzchni na trójkąty.
Wykorzystasz twierdzenie o sumie miar kątów trójkąta do sformułowania i dowodu twierdzenia o sumie miar kątów wielokąta.
Zastosujesz poznane zależności do rozwiązywania problemów geometrycznych.

Przekątne w wielokącie

Przekątna wielokąta

Definicja: Przekątna wielokąta

Odcinki łączące wierzchołki wielokątawielokąt ( $n$ -kąt, $n$ -bok)wielokąta i niebędące jego bokami nazywamy przekątnymi wielokąta.

Wiadomo, że trójkąt nie posiada przekątnych, bo każdy z odcinków łączących dowolne dwa jego wierzchołki jest jego bokiem. Wiadomo także, że w dowolnym czworokącie można poprowadzić dwie przekątne.

Przykład 1

Rozważmy figurę złożoną z obszaru ograniczonego łamanąłamanałamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z $5$ odcinków (wraz z tą łamaną), taką jak na rysunku. To pięciokąt, który nie jest figurą wypukłą.

RROBpzBcB2rl1

Ilustracja przedstawia pięciokąt A B C D E wklęsły skonstruowany w taki sposób, że wierzchołki A B D E tworzą czworokąt, a boki B C oraz C D znajdują się w polu tego czworokąta. Wszystkie wierzchołki są połączone ze sobą przerywanymi przekątnymi. Przekątna B D leży poza obszarem pięciokąta. Pozostałe przekątne znajdują się w obrębie figury.

Zauważmy, że wówczas z każdego wierzchołka można poprowadzić dwie przekątne, a łączna liczba przekątnych jest równa pięć.

Jeśli rozważymy teraz pięciokąt wypukły, np. taki jak na rysunku poniższym, to liczby przekątnych poprowadzonych z każdego z wierzchołków oraz ich łączna liczba nie ulegają zmianie.

R1cXtmURHbwDf

Ilustracja przedstawia pięciokąt wypukły A B C D E, w którym linią przerywaną poprowadzono przekątne. Wszystkie przekątne leżą w obszarze figury.

Zależność między liczbą wierzchołków wielokątawielokąt ( $n$ -kąt, $n$ -bok)wielokąta a liczbą jego przekątnych opisuje poniższe twierdzenie.

o liczbie przekątnych wielokąta

Twierdzenie: o liczbie przekątnych wielokąta

Liczba przekątnych wielokąta jest równa $\frac{n (n - 3)}{2}$ , gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta $(n \in ℕ, n > 2)$ .

Dowód

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RINlV1Epwstll

Ilustracja przedstawia wielokąt wypukły, w którym podpisano cztery wybrane boki: A 1, A 2, A 3, A n. Pozostałe boki nie zostały podpisane. W figurze poprowadzono różnokolorowe przekątne, przy czym każda z nich leży w obszarze figury.

Zauważmy, że z dowolnego wierzchołka możemy poprowadzić $(n - 3)$ przekątne (na rysunku przekątne z wierzchołka $A_{1}$ są zaznaczone kolorem czerwonym, z wierzchołka $A_{2}$ kolorem niebieskim, z wierzchołka $A_{3}$ kolorem fioletowym). Wszystkich wierzchołków jest $n$ , więc jeśli z każdego z wierzchołków poprowadzimy $(n - 3)$ przekątne i zaznaczymy je innym kolorem, to łącznie poprowadzimy $n \cdot (n - 3)$ odcinków. Każdy z narysowanych odcinków jest zaznaczony dwoma różnymi kolorami (na rysunku odcinek $A_{1} A_{3}$ ), czyli w iloczynie $n \cdot (n - 3)$ jest liczony dwukrotnie.

Zatem liczbę wszystkich różnych przekątnych $n$ -kąta opisuje wzór $\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$ , co kończy dowód.

Skorzystamy z ostatniego wyniku do rozwiązania klasycznego problemu liczby meczów, jakie muszą być rozegrane w fazie grupowej turnieju piłkarskiego.

Przykład 2

W fazie grupowej turnieju uczestniczy siedem drużyn i każda drużyna rozgrywa z każdą inną dokładnie jeden mecz. Ile meczów zostanie rozegranych?

Rozwiązanie

Każdej drużynie możemy przyporządkować kolejno symbole $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots, A_{7}$ , które z kolei możemy utożsamić z różnymi wierzchołkami pewnego siedmiokąta. Wówczas skojarzenie dwóch drużyn, które będą grały mecz, można utożsamić z połączeniem odcinkiem dwóch dowolnych wierzchołków tej figury. Zauważmy jednak, że w ten sposób otrzymamy nie tylko wszystkie przekątne, ale także wszystkie boki tego siedmiokąta.
Stąd, korzystając ze wzoru na liczbę przekątnych wielokątawielokąt ( $n$ -kąt, $n$ -bok)wielokąta, otrzymujemy wyrażenie:

\frac{7 \cdot (7 - 3)}{2} + 7 = 14 + 7 = 21

Ostatni wynik można uogólnić na turniej, w którym gra $n$ drużyn:

\frac{n \cdot (n - 3)}{2} + n = n \cdot (\frac{n - 3}{2} + 1) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

Rezultat ten ma także proste interpretacje geometryczne, np. opisuje liczbę odcinków, którymi można połączyć dwa spośród $n$ punktów płaszczyzny, z których żadne trzy nie są współliniowe.

Polecenie 1

Uruchom aplet. Wybierz sześciokąt, a następnie w polu wyboru wierzchołka zaznacz jeden z wierzchołków. Obserwuj, jaka jest liczba rysowanych przekątnych. Dokonując wyboru kolejnych wierzchołków obserwuj, jaka jest liczba przekątnych prowadzonych z różnych wierzchołków. Czy widzisz związek między liczbą wierzchołków a liczbą przekątnych prowadzonych z danego wierzchołka? Jednocześnie obserwuj, jaka jest łączna liczba poprowadzonych przekątnych. Te same obserwacje przeprowadź dla ośmiokąta, ale zanim wybierzesz ośmiokąt próbuj odpowiedzieć na pytanie: ile przekątnych można poprowadzić z wierzchołka ośmiokąta? Zapisz swoje spostrzeżenia w postaci stwierdzeń dotyczących relacji między liczbą wierzchołków a liczbą przekątnych prowadzanych z dowolnego wierzchołka każdego z wielokątów oraz łączną liczbą poprowadzonych przekątnych.

Zapisz swoje spostrzeżenia w postaci twierdzeń dotyczących dowolnego $n$ - kąta.

R1ZMBWTAk0PrW

R1FF0OderLYFX1

Polecenie 2

Odpowiedz na pytania:

1) Ile przekątnych ma dwudziestokąt?

2) Jaki wielokąt ma $405$ przekątnych?

1) Dwudziestokąt ma $170$ przekątnych.

2) Aby obliczyć liczbę boków wielokąta o $405$ przekątnych, korzystamy z zależności: $\frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 405$ , gdzie $n$ - liczba boków wielokąta. Zatem $n = 30$

Kąty w wielokącie

R58jni5fjMGzj

Ilustracja przedstawia kolorowe wielokąty poprzecinane przekątnymi. Kąty wewnętrzne i zewnętrzne niektórych wielokątów zostały zaznaczone łukami. — Źródło: Englishsquare.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Kąt wielokąta

Definicja: Kąt wielokąta

Kątem wewnętrznym wielokątawielokąt (wielobok, n‑kąt, n‑bok)wielokąta (kątem wielokąta) nazywamy kątkątkąt, którego ramiona zawierają dwa sąsiednie boki wielokąta i dla którego istnieje otoczenie wierzchołka takie, że wszystkie punkty kąta zawarte w tym otoczeniu są punktami wielokąta.

Jeśli wszystkie kąty wielokąta są wypukłe, to wielokąt nazywamy wypukłym.

Przykład 3

Rozważmy pięciokąt wypukły $A B C D E$ , taki jak na rysunku.

R1CFuLejnDVzB

Ilustracja przedstawia wielokąt o pięciu wierzchołkach oznaczonych: A, B, C, D i E. Każdy z katów wewnętrznych wielokąta jest oznaczony wewnętrznym łukiem. Żaden z kątów wewnętrznych nie jest większy niż 180 stopni. — Wielokąt wypukły.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważmy, że w każdym z kątów wielokąta $A B C D E$ zawiera się cały ten wielokąt. Własność zawierania się danego wielokąta w każdym z jego kątów wewnętrznych jest charakterystyczna dla wielokątów wypukłych. Rozważmy teraz pięciokąt $A B C D E$ , który nie jest figurą wypukłą, taki jak na rysunku.

RRCjUjSRUz5x4

Ilustracja przedstawia wielokąt o pięciu bokach i wierzchołkach. Wierzchołki oznaczone są jako A, B, C D, i E. Kąty wewnętrzne: Cztery z kątów wewnętrznych wielokąta, to kąty niewiększe niż 180 stopni. Jeden z kątów wewnętrznych wielokąta, oznaczony literą C, jest kątem większym niż 180 stopni, co powoduje, że wielokąt jest wielokątem wklęsłym — Wielokąt wklęsły
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważmy, że np. w kącie wewnętrznym $E A B$ zawiera się cały ten wielokąt, ale już kąt wewnętrzny $A B C$ zawiera tylko część danego wielokąta.

Kąta zewnętrznego wielokąta

Definicja: Kąta zewnętrznego wielokąta

Kątem zewnętrznym wielokąta wypukłego nazywamy każdy kąt przyległy do jego kąta wewnętrznego.

Zależność między liczbą wierzchołków wielokątawielokąt (wielobok, n‑kąt, n‑bok)wielokąta a sumą miar jego kątów wewnętrznych opisuje poniższe twierdzenie.

o sumie miar kątów wielokąta

Twierdzenie: o sumie miar kątów wielokąta

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta jest równa $180 ° \cdot (n - 2)$ , gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta $(n \in N, n > 2)$ .

Dowód:

Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku.

RH4J9TM0CMJgJ

Ilustracja przedstawia siedmiokąt o pierwszych trzech kątach oznaczonych jako A1, A2 i A3. Kolejne trzy nie są oznaczone, a ostatni z nich oznaczony jest jako An. Od kąta A1 do wszystkich kątów poza A2 i An biegną przekątne przecinające wielokąt na trójkąty, ze wspólnym wierzchołkiem w punkcie A1. Każdy kąt wewnętrzny trójkątów powstałych w ramach podzielenia wielokąta jest zaznaczony łukiem. — Rysunek do dowodu.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważmy, że z dowolnego wierzchołka możemy poprowadzić $(n - 3)$ przekątne (na rysunku poprowadzono przekątne z wierzchołka $A_{1}$ ), w wyniku czego dokonujemy triangulacji danego wielokąta. Przekątne te dzielą wielokąt na $(n - 2)$ trójkąty. Suma miar kątów wszystkich tych trójkątów jest równa sumie miar kątów wielokąta. Ponieważ w każdym z trójkątów suma miar jest równa $180^{°}$ , więc suma miar kątów wewnętrznych wielokąta jest równa $180^{°} (n - 2)$ .

Wykorzystamy teraz tezę twierdzenia o sumie miar kątów wielokąta do wyznaczenia miary kąta wewnętrznego $n$ - kątakątkąta foremnego.

Wielokąt foremny

Definicja: Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary).

Ponieważ suma miar wszystkich kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta jest równa $180^{°} (n - 2)$ , gdzie $n$ jest liczbą jego boków (wierzchołków), a kąty wielokąta foremnego są równe, zatem miara jednego kąta $n$ - kąta foremnego jest równa:

\frac{1}{n}

180^{°} (n - 2)

Uzyskany wynik zapiszemy w postaci twierdzenia:

o mierze kąta wielokąta foremnego

Twierdzenie: o mierze kąta wielokąta foremnego

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest równa $180^{°} - \frac{360^{°}}{n}$ , gdzie $n$ jest liczbą jego boków (wierzchołków).

Przykład 4

Rozwiążemy zadanie, w którym do zbudowania modelu prowadzącego do wyznaczenia szukanej liczby boków, wykorzystamy powyższe twierdzenie.

Zadanie

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest o $4 °$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n + 3)$ - kąta foremnego. Oblicz $n$ .

Rozwiązanie.

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest równa $180^{°} - \frac{360 °}{n}$ , zatem miara kąta wewnętrznego $(n + 3)$ - kąta foremnego jest równa $180^{°} - \frac{360 °}{n + 3}$ . Stąd i z treści zadania otrzymujemy równanie:

180 ° - \frac{360}{n + 3} = (180 ° - \frac{360}{n}) + 4 °

Przekształcając dane równanie w sposób równoważny otrzymujemy kolejno

- \frac{360 °}{n + 3} = - \frac{360 °}{n} + 4 °

- \frac{90}{n + 3} = - \frac{90}{n} + 1

90 (\frac{n + 3}{n (n + 3)} - \frac{n}{n (n + 3)}) = 1

n^{2} + 3 n - 270 = 0

Pierwiastkami otrzymanego równania są liczby $n_{1} = 15$ , $n_{2} = - 18$ . Ale rozwiązanie musi być liczbą naturalną, więc $n = 15$ .

Polecenie 3

Uruchom aplet. Wybierz pięciokąt, a następnie kliknij w dowolny wierzchołek. Dokonując wyboru wierzchołków obserwuj, jak zmienia się triangulacja (podział danego wielokąta na trójkąty). Jednocześnie obserwuj, jaka jest liczba otrzymanych trójkątów, przy takiej metodzie triangulacji. Te same obserwacje przeprowadź dla ośmiokąta. Zapisz swoje spostrzeżenia w postaci stwierdzeń dotyczących liczby boków i liczby trójkątów w otrzymanej triangulacji.

Wyobraź sobie pięciokąt, a następnie spróbuj podzielić go na trójkąty, których wierzchołki są wierzchołkami pięciokąta. Ile trójkątów otrzymasz? Powtórz ten eksperyment dla ośmiokątów.

R16BTOY7JaXJm

R1V174Kzl3FHy

Polecenie 4

Uruchom aplet. Wybierz jeden z wielokątów, a następnie zaznacz wskaźnikiem myszy dowolny z wierzchołków. Zmieniając położenie wierzchołka obserwuj, jak zmieniają się miary poszczególnych kątów wewnętrznych oraz suma tych miar. Powtórz obserwacje dla drugiego z wielokątów. Zapisz swoje spostrzeżenia w postaci twierdzeń. Czy istnieje zależność między liczbą trójkątów w zaproponowanej triangulacji, a sumą miar kątów danego wielokąta?

Zastanów się, czy istnieje zależność między liczbą trójkątów zaproponowanych w triangulacji a sumą miar kątów danego wielokąta.

R16FzlBiSGSOs1

Ćwiczenie 1

R7lJGeHT71RIJ1

Ćwiczenie 2

R2s2JvYWjQJ3k2

Ćwiczenie 3

RmVFqS6H85hX82

Ćwiczenie 4

RxTdKU5iUmawv2

Ćwiczenie 5

RNtTVU22jNYHb2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że w dowolnym wielokącie wypukłym suma miar wszystkich kątów zewnętrznych jest wielkością stałą i jest równa $720 °$ .

Zauważ, że dla każdego kąta wewnętrznego $α_{k}$ istnieją dwa kąty zewnętrzne i każdy z nich, jako kąt przyległy, ma miarę $180 ° - α_{k}$ . Zatem suma miar kątów zewnętrznych leżacych przy kącie wewnętrznym $α_{k}$ ma miarę $2 \cdot (180 ° - α_{k})$ . Analogicznie możesz policzyć sumy kątów zewnętrznych dla każdego z kątów wewnętrznych danego wielokąta wypukłego. Stąd suma miar wszystkich kątów zewnętrznych jest równa: $2 \cdot (180 ° - α_{1}) + 2 \cdot (180 ° - α_{2}) + \dots + 2 \cdot (180 ° - α_{n}) =$ $= n \cdot (2 \cdot 180 °) - 2 \cdot (α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n}) =$ $= n \cdot 360 ° - 2 \cdot (180 ° \cdot (n - 2)) =$ $= n \cdot 360 ° - n \cdot 360 ° + 2 \cdot 180 ° \cdot 2 = 720 °$

Co było do wykazania.

Ćwiczenie 8

Wyznacz wszystkie takie $n$ - kąty foremne, w których kąt wewnętrzny ma miarę $α$ i takie, że kąt wewnętrzny $2 n$ - kąta foremnego ma miarę $2 α$ .

Z warunków zadania wynika, że $α = 180 ° - \frac{360 °}{n}$ oraz $2 α = 180 ° - \frac{360 °}{2 n}$ . Można więc zapisać równanie zmiennej $n$ : $2 \cdot (180 ° - \frac{360 °}{n}) = 180 ° - \frac{360 °}{2 n}$ . Przekształcając dane równanie w sposób równoważny otrzymujemy kolejno: $2 \cdot (1 - \frac{2}{n}) = 1 - \frac{2}{2 n}$ , $2 - 1 = \frac{4}{n} - \frac{1}{n}$ , $1 = \frac{3}{n}$ . Zatem jedynym wielokątem o tej własności jest trójkąt (oczywiście równoboczny).

R1QlcSHlIdFe51

Ćwiczenie 9

R1N7at0JkciD91

Ćwiczenie 10

R1JbIKIrUflCi2

Ćwiczenie 11

RFHJCKIFOZV6h2

Ćwiczenie 12

RVJOdvosU4bFE2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Liczba przekątnych $n$ - kąta jest o $27$ mniejsza od liczby przekątnych $(n + 3)$ - kąta. Wyznacz $n$ .

Liczba przekątnych $n$ – kąta jest równa $\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$ , z kolei liczba przekątnych $(n + 3)$ - kąta jest równa $\frac{(n + 3) \cdot [(n + 3) - 3]}{2} = \frac{n \cdot (n + 3)}{2}$ . Korzystając z zapisanych wyrażeń i warunków zadania, możesz zapisać równanie $\frac{n \cdot (n + 3)}{2} - \frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 27$ . Przekształcając je równoważnie otrzymujemy kolejno: $\frac{n^{2} + 3 n}{2} - \frac{n^{2} - 3 n}{2} = 27$ , $\frac{n^{2} + 3 n - (n^{2} - 3 n)}{2} = 27$ , $3 n = 27$ . Stąd $n = 9$ .

$n = 9$ .

Ćwiczenie 15

Dwie przekątne podzieliły dany wielokąt na cztery pięciokąty. Wyznacz liczbę przekątnych tego wielokąta.

Zauważmy przede wszystkim, że przekątne nie mogą wychodzić z jednego wierzchołka, bowiem wówczas podzieliłyby wielokąt na trzy figury. Nie mogą być także odcinkami rozłącznymi, bowiem wówczas podzieliłyby wielokąt na trzy części. Pozostaje zatem rozważyć przypadek, gdy przekątne przecinają się w punkcie wewnętrznym wielokąta. Wówczas dwa odcinki, których jednym z końców jest punkt wspólny przekątnych, staną się odpowiednio dwoma bokami pięciokątów, o których mowa w zadaniu – pozostałe boki tych pięciokątów, to boki danego wielokąta. Naszym wielokątem jest więc dwunastokąt. Zatem liczbę jego przekątnych opisuje ułamek: $\frac{12 (12 - 3)}{2} = 6 \cdot 9 = 54 .$

$54$

Ćwiczenie 16

W turnieju piłkarskim, w fazie grupowej, rozgrywano każdego kolejnego dnia dokładnie jeden mecz. Gdyby w grupie zmniejszyć liczbę drużyn o $1$ , to ta faza rozgrywek trwałby o tydzień krócej. Oblicz ile drużyn grało w fazie grupowej.

Gdyby w turnieju uczestniczyło n drużyn, to turniej trwałby $\frac{n (n - 1)}{2}$ dni. Z kolei gdyby liczba drużyn zmniejszyła się o jeden, to liczbę meczów do rozegrania, a tym samym także długość trwania turnieju, opisałoby wyrażenie $\frac{(n - 1) \cdot ((n - 1) - 1)}{2}$ . Korzystając z zapisanych wyrażeń i warunków zadania, możesz zapisać równanie $\frac{n (n - 1)}{2} - \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{2} = 7$ .

Przekształcając je równoważnie otrzymujemy kolejno: $\frac{n^{2} - n}{2} - \frac{n^{2} - 3 n + 2}{2} = 7$ , $\frac{2 n - 2}{2} = 7$ . Stąd $n = 8$ .

$8$

Ćwiczenie 17

Wykaż, że liczby przekątnych $(n + 1)$ - kąta i $n$ - kąta różnią się o $(n - 1)$ .

Liczba przekątnych $(n + 1)$ - kąta jest równa $\frac{(n + 1) ((n + 1) - 3)}{2} = \frac{(n + 1) (n - 2)}{2}$ , z kolei liczba przekątnych $n$ - kąta jest równa $\frac{n (n - 3)}{2}$ . Obliczymy różnicę wyrażeń opisujących liczbę przekątnych obu figur. $\frac{(n + 1) (n - 2)}{2} - \frac{n (n - 3)}{2} = \frac{n^{2} + n - 2 n - 2 - (n^{2} - 3 n)}{2} = \frac{n^{2} - n - 2 - n^{2} + 3 n}{2} = \frac{2 n - 2}{2} = \frac{2 (n - 1)}{2} = n - 1$ . Co należało wykazać.

Słownik

wielokąt (

n

-kąt,

n

-bok)

wielokąt (

n

-kąt,

n

-bok)

płaska figura geometryczna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną

łamana

figura geometryczna, którą można przedstawić jako sumę skończonej liczby takich odcinków, że dowolne dwa odcinki mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny i koniec każdego z odcinków (ew. z wyjątkiem ostatniego) jest początkiem następnego; łamana, której kolejne dwa odcinki nie leżą na jednej prostej oraz żaden z jej punktów nie należy do więcej niż dwóch odcinków, nazywa się zwyczajną; łamana nazywa się zamkniętą, gdy koniec jej ostatniego odcinka jest początkiem pierwszego odcinka; odcinki tworzące łamaną nazywamy jej bokami, a końce boków to wierzchołki łamanej

kąt

część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku; proste te nazywamy ramionami kąta, a ich początek nosi nazwę wierzchołka

wielokąt (wielobok, n‑kąt, n‑bok)

płaska figura geometryczna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą, wraz z tą łamaną

2. Wielokąty

4. Wielokąty foremne