4. Wielokąty foremne

RN0n0qtkPLzs2

Każdy zajmujący się matematyką czy jej historią, zna postać francuskiego matematyka Pierre de Fermata. Ale niewielu zdaje sobie sprawę, że jedno z podstawowych twierdzeń teorii liczb, tzw. małe twierdzenie Fermata, zostało sformułowane wcześniej przez wybitnego polskiego matematyka, żyjącego w latach 1585 – 1652, profesora Akademii Krakowskiej, a w latach 1632 – 1652 proboszcza parafii w Staszowie - Jana Brożka. To słynne twierdzenie sformułował on na 42 lata przed Fermatem i podobnie jak Fermat, zajmował się wielokątami foremnymi gwiaździstymi.

Dla danego $n$ -kąta foremnego możemy rozważyć łamaną zamkniętą o $n$ wierzchołkach, utworzoną z tych przekątnych tego wielokąta, które mają równą długość - otrzymujemy wówczas wielokąt foremny gwiaździsty.

Najbardziej znanym wielokątem foremnym gwiaździstym jest pentagram (patrz rysunek).

Rb22UJpAGMgDF1

Ilustracja przedstawia pięciokąt gwiaździsty, który jak wskazuje jego nazwa, jest w kształcie pięcioramiennej gwiazdy. Figura ta jest pięciokątem foremnym, którego boki stanowią podstawy trójkątów równoramiennych. Na każdym z boków pięciokąta oparto identyczny trójkąt, uzyskując figurę w kształcie foremnej gwiazdy. — pięciokąt gwiaździsty

To właśnie Jan Brożek nazwał kąty przy wierzchołkach wielokąta gwiaździstego kątami sterczącymi. Brożek podał sposób kreślenia różnych wielokątów gwiaździstych dla danej liczby wierzchołków $n$ . Temu celowi służy odpowiedni rozkład liczby $n$ na składniki. Liczba możliwych do zbudowania różnych pięciokątów jest równa $2$ , ponieważ liczbę $5$ możemy rozłożyć, z dokładnością do kolejności, na następujące dwie sumy: $5 = 1 + 4 = 2 + 3$ . Oznacza to, że po podzieleniu okręgu na $5$ równych części otrzymamy: pięciokąt foremny, gdy połączymy kolejne punkty podziału oraz pięciokąt gwiaździsty, gdy połączymy co drugi z takich punktów (co drugi wierzchołek pięciokąta foremnego).

Twoje cele

Odkryjesz algorytm konstrukcji $n$ –kąta foremnego dla $n = 2^{m}$ .
Poznasz i uzasadnisz poprawność konstrukcji sześciokąta foremnego.
Poznasz konstrukcję pięciokąta foremnego.
Usystematyzujesz wiadomości na temat wielokątów foremnych.
Zbadasz liczbę wielokątów foremnych gwiaździstych dla danego wielokąta foremnego i wykreślisz przykładowe wielokąty gwiaździste.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Wielokąt foremny

Definicja: Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary).

Zauważ, że mówiąc o trójkącie foremnym (równobocznym) wystarczy zażądać równości samych długości boków lub tylko równości miar kątów. Ale już w przypadku czworokątów foremnych musimy wymagać przystawania zarówno boków, jak i kątów. Romb niebędący kwadratem jest przykładem wielokąta, którego wszystkie boki są równe, ale który nie jest foremny. Z kolei prostokąt, który nie jest kwadratem to przykład czworokąta, którego wszystkie kąty są równe, a który nie jest foremny.

Okazuje się, że na dowolnym $n$ –kącie foremnym można opisać okrąg oraz w dowolny $n$ –kąt foremny można wpisać okrąg. Zależność między długością boku danego wielokąta i długościami promieni obu okręgów opisuje poniższe twierdzenie.

o wielokącie foremnym i dwóch okręgach: wpisanym i opisanym

Twierdzenie: o wielokącie foremnym i dwóch okręgach: wpisanym i opisanym

Niech dany będzie wielokąt foremny o boku długości $a$ . Niech $R$ będzie długością promienia okręgu opisanego na tym wielokącie, a $r$ niech będzie długością promienia okręgu wpisanego w ten wielokąt. Wtedy $a = 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ .

Prosty dowód zapisanej zależności wynika bezpośrednio z zastosowania twierdzenia Pitagorasa w trójkącie, którego dwoma bokami są odpowiednie promienie, a trzecim jest połowa boku danego wielokąta (patrz: rysunek).

R1Sy2Ojz6UWWE

Na ilustracji przedstawiono fragment wielokąta, który wpisano w okrąg i który opisano na okręgu. Dwa sąsiednie wierzchołki wielokąta oznaczono A oraz B. Ze środka okręgu oznaczonego S, poprowadzono promień r, okręgu wpisanego. Promień okręgu wpisanego, łączy środek okręgu S, ze środkiem boku AB. Poprowadzono także promień R okręgu opisanego na wielokącie, do wierzchołka A. Powstał trójkąt ASP. — Okrąg wpisany i opisany na wielokącie
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przejdziemy teraz do klasycznej geometrii z zastosowaniem cyrkla i linijki. Naszym zadaniem będzie konstrukcja wybranych $n$ –kątów foremnych spełniających zadane warunki. W opisywanych przykładach, w aplecie oraz ćwiczeniach skupimy się przede wszystkim na konstrukcjach $n$ –kąta, gdy zadana jest długość jego boku lub długość promienia okręgu opisanego na tym $n$ –kącie.

Przykład 1

Zauważmy, że mając dany $n$ –kąt foremny wpisany w okrąg możemy, wykorzystując konstrukcję symetralnej odcinka, skonstruować wielokąt foremnywielokąt foremnywielokąt foremny o podwojonej liczbie boków.

Rozważmy kwadrat wpisany w okrąg taki jak na rysunku i dwie proste, które są symetralnymi równoległych boków (symetralna boku $A B$ jest jednocześnie symetralną boku $C D$ i podobnie dla boków $C B$ i $A D$ ).

R7JeZcs47Egq8

Na Ilustracji przedstawiono kwadrat wpisany w okrąg. Wierzchołki kwadratu ABCD leżą na okręgu. Zacieniowano pole kwadratu. Zaznaczono symetralne boków kwadratu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Proste te przecinają dany okrąg w czterech punktach. Spróbuj określić, czym są te punkty.

Oczywiście otrzymane punkty, wraz z punktami $A$ , $B$ , $C$ i $D$ , są wierzchołkami ośmiokąta. Jest to ośmiokąt foremny wpisany w dany okrąg (patrz: rysunek poniżej).

R1bcWMT4J0CaV

Na ilustracji przedstawiono ośmiokąt foremny wpisany w okrąg. Literami A, B, C, D oznaczono co drugi wierzchołek ośmiokąta, które po połączeniu utworzą kwadrat. Miejsca przecięcia symetralnych odcinków stanowiących bok kwadratu z okręgiem, stanowią co drugi wierzchołek ośmiokąta. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Jeśli teraz poprowadzimy symetralne wszystkich boków otrzymanego ośmiokąta, to punkty wspólne tych symetralnych i okręgu wyznaczą kolejne wierzchołki szesnastokąta foremnego (patrz: rysunek).

R13OkO9pNRcf4

Na ilustracji przedstawiono okrąg, w który wpisano ośmiokąt oraz szesnastokąt foremny. Literami A, B, C, D oznaczono co drugi wierzchołek ośmiokąta, które po połączeniu utworzą kwadrat. Co drugi wierzchołek ośmiokąta i szesnastokąta pokrywają się. Miejsca przecięcia symetralnych ośmiokąta z okręgiem, stanowią co drugi wierzchołek szesnastokąta. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważ, że taką operację można prowadzić dowolną ilość razy, otrzymując wielokąt foremny wpisany w dany okrąg, który ma $2^{m}$ boków (dla $m > 2$ ) – jedynym ograniczeniem jest dokładność naszych rysunków (zapewne już kolejny wielokąt o 32 bokach byłby niemal nieodróżnialny od szesnastokąta, czy od danego okręgu).

Analogicznie moglibyśmy skonstruować sześciokąt foremny wpisany w dany okrąg, mając wcześniej trójkąt równoboczny, który w ten okrąg jest wpisany.

Teraz jednak zajmiemy się konstrukcją wybranych wielokątów, gdy dane są długości ich boków. Pominiemy znaną doskonale konstrukcję trójkąta równobocznego o danym boku. Także konstrukcja kwadratu o boku zadanej długości czy wpisanego w okrąg o danym promieniu, gdy znany jest sposób konstrukcji symetralnej (patrz: lekcja 745), nie powinna nastręczać trudności. Pora więc na konstrukcję pięciokąta i sześciokąta foremnego.

Opis konstrukcji sześciokąta foremnego.

Odłóż na płaszczyźnie odcinek o długości $a$ równej długości boku sześciokąta.
Wykreśl okrąg o dowolnym środku i promieniu równym $a$ .
Na otrzymanym okręgu zaznacz dowolny punkt i nazwij go, np.: $A$ .
Z punktu $A$ zakreśl łuk promieniem równym $a$ , aż do przecięcia z okręgiem (odkładamy cięciwę $A B$ ). Następnie z punktu $B$ odłóż cięciwę $B C$ równą promieniowi okręgu, następnie z punktu $C$ odłóż cięciwę $C D$ itd. W ten sposób podzielisz okrąg na 6 równych części.
Połącz kolejne końce cięciw, a otrzymasz szukany sześciokąt.

Zauważ, że przedstawiona konstrukcja jest konstrukcją sześciokąta foremnego o danym boku i jednocześnie konstrukcją sześciokąta wpisanego w okrąg o danym promieniu.

W Przykładzie pierwszym, wychodząc od wielokąta o danej liczbie boków, konstruowaliśmy wielokąt, którego liczba boków była dwukrotnie większa. Okazuje się, że czasami warto postąpić odwrotnie. Jeśli bowiem wykreślimy sześciokąt foremny i połączymy kolejno odcinkami co drugi jego wierzchołek, to otrzymamy trójkąt równoboczny. Tym samym, otrzymaliśmy metodę konstrukcji trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o zadanym promieniu. Podobną operację można przeprowadzić w przypadku dziesięciokąta i pięciokąta foremnego.

Opis konstrukcji pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o zadanym promieniu.

Odłóż na płaszczyźnie odcinek o długości $a$ równej długości promienia okręgu opisanego na pięciokącie.
Wykreśl symetralną danego odcinka, w celu wyznaczenia odcinka o długości równej $\frac{1}{2} a$ .
Wykreśl okrąg o dowolnym środku i promieniu równym a i poprowadź dowolną średnicę – środek okręgu oznacz przez $O$ , końce średnicy przez $A$ , $B$ .
Poprowadź symetralną odcinka $A B$ – punkty wspólne otrzymanej prostej z okręgiem, które wyznaczają średnicę prostopadłą do $A B$ , oznacz przez $C$ i $D$ .
Na średnicy $C D$ odłóż (po dowolnej stronie prostej $A B$ ) odcinek $O E$ o długości równej $\frac{1}{2} a$ .
Poprowadź odcinek $E C$ , na którym odłóż odcinek $E F$ o długości równej $\frac{1}{2} a$ – pozostała część odcinka $E C$ , czyli odcinek $C F$ , jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.
Z dowolnego punktu okręgu, np. z punktu $C$ zakreśl łuk promieniem równym długości odcinka $C F$ , aż do przecięcia z okręgiem (zaznaczysz w ten sposób końce cięciwy). Z końca zaznaczonego łuku zakreśl ponownie łuk o takim samym promieniu, by przeciął się z okręgiem, itd. W ten sposób podzielisz okrąg na 10 równych części.
Połącz kolejne końce cięciw, a otrzymasz dziesięciokąt foremny.
Połącz co drugi z wierzchołków otrzymanego dziesięciokąta, a otrzymasz pięciokąt foremny.

RjVFxBuODoktQ

Na ilustracji narysowane są wcześniej wymienione kroki prowadzące do narysowania dziesięciokąta. Grafika przedstawia okrąg o środku O, w który wpisany jest dziesięciokąt. Przez wszystkie wspólne wierzchołki figur zarysowane są linią przerywaną fragmenty okręgów. Linią przerywaną poprowadzona jest pionowa oś przekroju dużego wyjściowego okręgu. Zaznaczone są także punkty wspólne osi oraz okręgu: na dole punkt D oraz na górze punkt C. Wewnątrz okręgu narysowana jest również pozioma średnica AB. Poziomy odcinek AO podzielony jest na pół za pomocą pionowej osi narysowanej linią przerywaną. Środek tego odcinka oznaczono jako punkt E. Punkt ten stanowi środek mniejszego okręgu, o promieniu dwukrotnie mniejszym od dużego wyjściowego okręgu, a jego średnica to odcinek AO. Okręgi te są styczne wewnętrznie, a ich punktem wspólnym jest punkt A. Z punktu E poprowadzono ukośny odcinek do punktu C leżącego na przecięciu dużego okręgu i jego pionowej osi przekroju. Tak powstaje trójkąt prostokątny EOC. Dodajmy jeszcze, że punkt wspólny przekątnej trójkąta oraz małego okręgu oznaczono jako F. Na rysunku zarysowany jest linią przerywaną także fragment większego okręgu przechodzący prze punkty F oraz przez punkt wspólny okręgu i dziesięciokąta leżący po prawej stronie punktu C. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Dowód poprawności konstrukcji dziesięciokąta (pięciokąta) foremnego wpisanego w okrąg o danym promieniu wykracza poza wymagania matematyki szkolnej, ale z pewnością sama konstrukcja (mimo rozbudowanego opisu) nie jest skomplikowana. Inaczej rzecz się ma z konstrukcją pięciokąta o boku zadanej długości. Przygotuj cyrkiel i linijkę, a następnie odtwórz na kartce opisaną niżej konstrukcję.

Przykład 2

Opis konstrukcji pięciokąta foremnego o boku zadanej długości.

Na płaszczyźnie narysuj prostą $k$ i odłóż na tej prostej odcinek o długości $a$ równej długości boku pięciokąta – otrzymany odcinek oznacz $A B$ .
Wykreśl okrąg $O$ o środku w punkcie $B$ i promieniu $A B$ .
Przez punkt $B$ poprowadź prostą $l$ prostopadłą do prostej $k$ – punkty wspólne prostej $l$ i okręgu oznacz odpowiednio przez $P_{1}$ , $P_{2}$ .
Poprowadź symetralną $m$ odcinka $A B$ – otrzymany środek odcinka $A B$ oznacz przez $Q$ .
Z punktu $Q$ wykreśl okrąg o promieniu $Q P_{1}$ – otrzymasz dwa punkty wspólne z prostą $k$ . Oznacz przez $R$ ten z otrzymanych punktów, który leży po przeciwnej stronie prostej $l$ względem punktu $A$ .
Z punktu $A$ wykreśl okrąg o promieniu $A R$ – otrzymasz dwa punkty wspólne z okręgiem $O$ i dwa punkty wspólne z prostą $m$ . Rozważmy te z nich, które leżą po tej samej stronie prostej $k$ , co punkt $P_{1}$ i oznaczmy przez $C$ punkt wspólny z okręgiem $O$ , a przez $D$ punkt wspólny z prostą $m$ .
Wykreśl okręgi o środkach w punktach $A$ i $D$ – otrzymasz dwa punkty wspólne. Ten z nich, który leży po tej samej stronie prostej $m$ , co punkt $A$ , oznacz przez $E$ .
Połącz kolejno punkty $A B C D E$ , a otrzymasz pięciokąt foremny o zadanym boku.

Polecenie 1

Uruchom aplet. Wybierz sześciokąt, a następnie kolejno zaznacz opisy etapów (ETAP 1, później ETAP 2, itd., aż do ETAP 7). Obserwuj operacje, jakie wykonuje program. W notatniku opisz działanie i jego wynik. Po wciśnięciu znacznika ETAP 7 i opisaniu zaobserwowanego działania i jego wyniku spróbuj odtworzyć konstrukcję tylko na podstawie swoich notatek. Obserwuj, jaka jest relacja między długością promienia okręgu i długością boku wielokąta. W razie potrzeby jeszcze raz uruchom aplet.

Zapoznaj się z poniższym apletem, aby na jego podstawie rozwiązać kolejne polecenia związane z konstrukcją pięciokąta i sześciokąta foremnego.

RoJlifmyuJfqh

Na aplecie przedstawiono kolejne etapy konstruowania sześciokąta. Zaczynamy od wyznaczamy odcinek długości a. Etap 1. Kreślimy okrąg o promieniu a. Otrzymujemy pierwszy wierzchołek A. Etap 2. Z wierzchołka A, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek B. Etap 3. Z wierzchołka B, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek C. Etap 4. Z wierzchołka C, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek D. Etap 5. Z wierzchołka D, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek E. Etap 6. Z wierzchołka E, kreślimy łuk w odległości a. Miejsce przecięcia łuku z okręgiem stanowi wierzchołek F. Etap 7. Łączymy kolejno wykreślone wierzchołki. Można wyświetlić także trójkąt, łączący wierzchołek A, B i E. Na aplecie przedstawiono także kolejne etapy kreślenia dziesięciokąta.Zaczynamy jak poprzednio od wyznaczamy odcinek długości a. Etap 1. Konstruujemy symetralną odcinka. Etap 2. Po wykreśleniu symetralnej odcinka, opisujemy długość początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a. Etap 3. Kreślimy okrąg o promieniu długości a. Zaznaczamy środek O, okręgu, oraz średnicę łączącą punkty A,B na okręgu. Od środka O, wykreślamy długość początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a. Etap 4. Konstrukcyjnie wyznaczamy średnicę DC okręgu, prostopadłą do średnicy AB. Etap 5. Ze środka okręgu wykreślamy łuk długości początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a, który przecina promień DO w punkcie E. Etap 6. Punkt E łączymy z punktem B. Z punktu E, tą samą rozwartością cyrkla kreślimy łuk, przecinający odcinek E B w punkcie F. Otrzymujemy odcinek FB. Etap 7. Z punktu B kreślimy łuk w odległości długości odcinka F B, a jego przecięcie z okręgiem stanowi kolejny punkt. Z otrzymanego punktu, znowu kreślimy łuk i tak do pokrycia się łuku z punktem B. Etap 8. Miejsca przecięć łuków z okręgiem, zaznaczamy punktami. Łączymy kolejno wykreślone wierzchołki otrzymując dziesięciokąt foremny. Można wyświetlić także pięciokąt foremny, który powstaje z połączenia co drugiego punktu na okręgu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D81B282A7

Polecenie 2

Po zrealizowaniu ETAPU 7 i wykreśleniu sześciokąta wpisanego w dany okrąg zaproponuj konstrukcję trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg. Po wykonaniu konstrukcji trójkąta (albo, gdy nie masz pomysłu jak ją wykonać) wciśnij znacznik TRÓJKĄT i obserwuj zaproponowany sposób konstrukcji.

Po zapoznaniu się z apletem, a następnie zastanów się, jakie inne wierzchołki sześciokąta można połączyć ze sobą, aby otrzymać trójkąt równoboczny?

Po wykreślenia sześciokąta wpisanego w dany okrąg można skonstruować również trójkąt równoboczny łącząc co drugi wierzchołek sześciokąta.

$B$ , $F$ , $D$

Polecenie 3

Uruchom ponownie aplet. Wybierz pięciokąt, a następnie kolejno zaznacz opisy etapów (ETAP 1, później ETAP 2, itd., aż do ETAP 8). Obserwuj operacje, jakie wykonuje program. W notatniku opisz działanie wykonywane w kolejnych etapach i ich wynik. Po wciśnięciu znacznika ETAP 8 i jego opisaniu spróbuj odtworzyć konstrukcję tylko na podstawie swoich notatek. W razie potrzeby jeszcze raz uruchom aplet.

Zaczynamy jak poprzednio od wyznaczamy odcinek długości $a$ .

Etap $1$ . Konstruujemy symetralną odcinka.
Etap $2$ . Po wykreśleniu symetralnej odcinka, odmierzamy cyrklem długość $\frac{1}{2} a$ .
Etap $3$ . Kreślimy okrąg o promieniu długości $a$ . Zaznaczamy środek $O$ , okręgu, oraz średnicę łączącą punkty $A$ , $B$ na okręgu. Od środka $O$ , wykreślamy długość $\frac{1}{2} a$ .
Etap $4$ . Konstrukcyjnie wyznaczamy średnicę $D C$ okręgu, prostopadłą do średnicy $A B$ .
Etap $5$ . Ze środka okręgu wykreślamy łuk długości $\frac{1}{2} a$ , który przecina promień $D O$ w punkcie $E$ .
Etap $6$ . Punkt $E$ łączymy z punktem $B$ . Z punktu $E$ , kreślimy łuk, przecinający odcinek $E B$ w punkcie $F$ . Otrzymujemy odcinek $F B$ .
Etap $7$ . Z punktu $B$ kreślimy łuk w odległości długości odcinka $F B$ , a jego przecięcie z okręgiem stanowi kolejny punkt. Z otrzymanego punktu, znowu kreślimy łuk i tak do pokrycia się łuku z punktem $B$ .
Etap $8$ . Miejsca przecięć łuków z okręgiem, zaznaczamy punktami.

Polecenie 3

RYeP3tspna5vQ

Polecenie 4

Po zrealizowaniu ETAPU 8 i wykreśleniu dziesięciokąta wpisanego w dany okrąg zaproponuj konstrukcję pięciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Wciśnij znacznik PIĘCIOKĄT i porównaj swoje propozycje i konstrukcję zaproponowaną w aplecie.

W ETAPIE 8 dostajemy dziesięciokąt foremny. Zastanów się, ile różnych pięciokątów foremnych można otrzymać łącząc ze sobą, co drugi wierzchołek tego dziesięciokąta?

Wielokąty gwiaździste

Wiadomo, że wszystkie wielokąty foremne o takiej samej liczbie boków są podobne. Ale już wielokąty foremne gwiaździstewielokąt foremny gwiaździstywielokąty foremne gwiaździste o takiej samej liczbie boków nie muszą być figurami geometrycznymi podobnymi. Okazuje się, że istnieje tyle różnych (tzn. niepodobnych) $n$ -kątów foremnych gwiaździstych, ile jest liczb naturalnych względnie pierwszych z $n$ , z przedziału $(1, \frac{n}{2})$ . Dla $n = 7$ istnieją dwie takie liczby, które są względnie pierwsze z liczbą $7$ i które należą do zbioru $(1, \frac{7}{2})$ - są to liczby $2$ i $3$ . Oczekujemy zatem, że dla danego siedmiokąta foremnego, będą dwa różne siedmiokąty foremne gwiaździste. Poniższe rysunki pokazują, że rzeczywiście tak jest.

RPVdNlupuF4ju

Ilustracja przedstawia dwie figury ustawione obok siebie. Z lewej mamy siedmiokąt gwiaździsty, czyli siedmiokąt foremny, którego boki są jednocześnie podstawami identycznych trójkątów równoramiennych. Wierzchołki łączące ramiona tych trójkątów połączono odcinkami i utworzono drugi, większy siedmiokąt foremny. Analogiczna jest konstrukcja po prawej, przy czym kąt przy wierzchołku łączącym ramiona trójkątów w lewej figurze jest większy, niż w kąt z figurze po prawej, zatem siedmiokąt po lewej ma bardziej szpiczaste kąty sterczące. — siedmiokąt gwiaździsty $\{7 / 2\}$ oraz siedmiokąt gwiaździsty $\{7 / 3\}$

Sposób konstrukcji takich dwóch siedmiokątów wynika z metody Brożka. Mamy, że $7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4$ . Pierwszy rozkład na składniki „definiuje” siedmiokąt foremny, kolejny wskazuje na możliwość łączenia co drugiego z wierzchołków siedmiokąta, a ostatni pozwala skonstruować wielokąt gwiaździstywielokąt foremny gwiaździstywielokąt gwiaździsty, poprzez łączenie co trzeciego z wierzchołków siedmiokąta foremnego.

Przykład 3

Naszym celem będzie teraz skonstruowanie wielokątów foremnych gwiaździstych utworzonych z przekątnych danego ośmiokąta foremnego.

Wyznaczymy najpierw liczbę takich figur. W przedziale $(1, \frac{8}{2})$ , są dwie liczby naturalne: $2$ i $3$ . Liczba $2$ nie jest względnie pierwsza z liczbą $8$ , ale liczba $3$ jest względnie pierwsza z liczbą $8$ . Wiemy więc, że jest jeden ośmiokąt foremny gwiaździsty.

Korzystając z metody Brożka możemy zapisać, że $8 = 1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4$ . Pierwszy z rozkładów na składniki opisuje ośmiokąt foremny. Rozkład $8 = 2 + 6$ , wyznaczony przez liczbę $2$ , która nie jest względnie pierwsza z liczbą $8$ , prowadzi do „zamknięcia” łamanej zanim dotrze ona do każdego z wierzchołków.

RvNXeufyanLGQ

Ilustracja przedstawia łamaną zamkniętą rozpiętą na czterech wierzchołkach ośmiokąta tak, że wierzchołki łamanej pokrywają się z co drugim wierzchołkiem ośmiokąta. Łamana przyjmuje postać kwadratu. — łamana zamknięta w ośmiokącie

Okaże się, że rozkład $8 = 3 + 5$ , wyznaczony przez liczbę $3$ , która jest względnie pierwsza z liczbą $8$ , prowadzi do skonstruowania ośmiokąta gwiaździstego.

Rx0kDdEo4fsQa

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny, w który wpisany jest ośmiokąt foremny gwiaździsty. — ośmiokąt foremny gwiaździsty

Pozostaje dodać, że rozkład $8 = 4 + 4$ prowadzi w oczywisty sposób do konstrukcji odcinka.

O konstrukcjach wielokątów foremnych *

Jak zauważyliśmy w poprzednim akapicie, liczba wielokątów foremnych gwiaździstychwielokąt foremny gwiaździstywielokątów foremnych gwiaździstych jest ściśle związana z występowaniem liczb, które są względnie pierwszeliczby względnie pierwszewzględnie pierwsze z liczbą opisującą ilość boków danego wielokąta. Pamiętamy także o kryterium Gaussa, które orzeka o możliwości skonstruowania wielokąta foremnego za pomocą klasycznych metod, tj. tylko za pomocą cyrkla i linijki. Gauss stwierdził, że $n$ -kąt foremny można skonstruować tylko wtedy, gdy $n = 2^{m} \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot . . . \cdot p_{k}$ , gdzie $m$ jest liczbą naturalną (wraz z zerem), a $p_{i}$ są różnymi pierwszymi liczbami Fermata lub gdy $n = 2^{m}$ , gdzie $m$ jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 2. Przypomnijmy jeszcze, że liczbą Fermata jest liczba postaci $F_{k} = 2^{2^{k}} + 1$ , gdzie $k$ jest nieujemną liczbą całkowitą. Każdy z nas potrafi skonstruować trójkąt równoboczny, czyli trójkąt foremny. Niemal każdy wie, że da się skonstruować pięciokąt foremny, a opis tej konstrukcji łatwo znaleźć. Okazuje się, że to nam wystarcza, by stwierdzić, że możliwe jest skonstruowanie $15$ -kąta foremnego. Mówi o tym poniższe twierdzenie.

o konstrukcji wielokąta foremnego i liczbach względnie pierwszych

Twierdzenie: o konstrukcji wielokąta foremnego i liczbach względnie pierwszych

Jeśli liczby $m$ i $n$ są względnie pierwsze oraz $m$ -kąt foremny i $n$ -kąt foremny można skonstruować metodami klasycznymi, to można też skonstruować wielokąt foremny, którego liczba boków jest iloczynem $m \cdot n$ .

Dowód

Skorzystamy z kryterium Gaussa.

Przypuśćmy, że jedna z liczb, np. liczba $m$ , jest postaci $2^{p}$ , gdzie $p$ jest liczbą naturalną nie mniejszą niż $2$ . Wtedy, z faktu, że liczby $m$ , $n$ są względnie pierwszeliczby względnie pierwszewzględnie pierwsze wynika, że liczba $n$ nie może dzielić się przez $2$ – jest zatem postaci $2^{l} \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots \cdot p_{k}$ , gdzie musi być $l = 0$ . Zauważmy jednak, że wówczas $m \cdot n = 2^{p} \cdot 2^{0} \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots \cdot p_{k} = 2^{p} \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots \cdot p_{k}$ . Jest to zatem postać, która wskazuje, na mocy kryterium Gaussa, że da się skonstruować wielokąt foremny o takiej liczbie boków.

Przypuśćmy teraz, że $m = 2^{0} \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots \cdot p_{k}$ oraz $n = 2^{0} \cdot q_{1} \cdot q_{2} \cdot \dots \cdot q_{k}$ . Wtedy z faktu, że liczby $m$ , $n$ są względnie pierwsze wynika, że żadna z liczb $p_{i}$ nie może być równa jakiejkolwiek z liczb $q_{j}$ . Ale wówczas iloczyn $m \cdot n$ jest równy $p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots \cdot p_{k} \cdot q_{1} \cdot q_{2} \cdot \dots \cdot q_{l}$ , czyli jest postaci $2^{0} \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots \cdot p_{k} \cdot q_{1} \cdot q_{2} \cdot \dots \cdot q_{l}$ . Jest to zatem postać, która wskazuje, na mocy kryterium Gaussa, że da się skonstruować wielokąt foremny o takiej liczbie boków. Co należało wykazać.

Wracając do $15$ -kąta foremnego możemy stwierdzić, że z faktu, że liczby $3$ i $5$ są względnie pierwszeliczby względnie pierwszewzględnie pierwsze i $15 = 3 \cdot 5$ wynika (po skorzystaniu z powyższego twierdzenia), że $15$ -kąt foremny da się skonstruować za mocą metod klasycznych. Wcześniej musielibyśmy zapisać, że $15 = (2^{2^{0}} + 1) \cdot (2^{2^{1}} + 1)$ , czyli zapisać liczbę $15$ w postaci iloczynu liczb pierwszych Fermata.

Ciekawostka

promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny nazywamy apotemą wielokąta foremnego

Polecenie 5

Zagraj w grę edukacyjną, a następnie rozwiąż polecenia.

Wykonaj następujące ćwiczenia.

RZbE6JA5RzXGT

R4vEYe8xFaTZM

RaWgYH2AI2hM6

R1Im4SFl0ISuL

R1L1pyFoDcTPz

R1P4Q2gWkGLay

R12eDQqIcQayR

RLCzy2eGA5NsS1

Polecenie 6

Wyznacz apotemę ośmiokąta o boku długości $8$ .

Zauważmy, że kąt środkowy wyznaczony przez dwa sąsiednie wierzchołki ośmiokąta foremnego ma miarę $45 °$ oraz punkt styczności dzieli boki ośmiokąta na dwie równe części.

R1a5cNnM625NJ

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny o boku 8, w który wpisano okrąg. Ze środka okręgu poprowadzono dwa promienie biegnące do środków dwóch sąsiadujących ze sobą boku ośmiokąta. Między promieniami zaznaczono kąt o mierze 45 stopni, a odległość między środkami tych dwóch boków oznaczono x - odległość ta domyka trójkąt równoramienny o bokach r, r oraz x.

Kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego ma miarę $135 °$ . Obliczymy $x$ z twierdzenia cosinusów:

$x^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 135 ° = 16 (2 + \sqrt{2})$ .

Następnie znów skorzystamy z twierdzenia cosinusów

$x^{2} = r^{2} + r^{2} - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 45 °$ , więc

$16 (2 + \sqrt{2}) = r^{2} (2 - \sqrt{2})$ .

Stąd $r^{2} = \frac{16 (2 + \sqrt{2})}{2 - \sqrt{2}} = \frac{16 {(2 + \sqrt{2})}^{2}}{4 - 2} = 8 {(2 + \sqrt{2})}^{2}$ i ostatecznie $r = \sqrt{8 {(2 + \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{8} (2 + \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} + 4 = 4 (1 + \sqrt{2})$

Polecenie 7

Uzasadnij, że nie istnieje sześciokąt foremny gwiaździsty.

Zauważmy, że do przedziału $(1, \frac{6}{2})$ należy tylko liczba $2$ , ale nie jest ona względnie pierwsza z liczbą wierzchołków sześciokąta.

R1VSv1gZLWKGg1

Ćwiczenie 1

Dopasuj stwierdzenie do danej liczby. Jest liczbą pierwszą i jest liczbą Fermata (ale nie najmniejszą). Możliwe odpowiedzi: 1. trzy, 2.

sześćdziesiąt siedem, 3. dwieście pięćdziesiąt osiem, 4. pięć, 5. dwa Jest liczbą pierwszą (ale nie najmniejszą) i nie jest liczbą Fermata. Możliwe odpowiedzi: 1. trzy, 2.

sześćdziesiąt siedem, 3. dwieście pięćdziesiąt osiem, 4. pięć, 5. dwa Nie jest liczbą pierwszą i nie jest liczbą Fermata. Możliwe odpowiedzi: 1. trzy, 2.

sześćdziesiąt siedem, 3. dwieście pięćdziesiąt osiem, 4. pięć, 5. dwa Jest liczbą pierwszą i jest najmniejszą liczbą Fermata. Możliwe odpowiedzi: 1. trzy, 2.

sześćdziesiąt siedem, 3. dwieście pięćdziesiąt osiem, 4. pięć, 5. dwa Jest najmniejszą liczbą pierwszą i nie jest liczbą Fermata. Możliwe odpowiedzi: 1. trzy, 2.

sześćdziesiąt siedem, 3. dwieście pięćdziesiąt osiem, 4. pięć, 5. dwa

RdEvY7iaoiEcW1

Ćwiczenie 2

RhE5WwWCJKYPU2

Ćwiczenie 3

R1VZtgA9RoZX92

Ćwiczenie 4

R1SziJ1mXKJxc2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Przeprowadź konstrukcję dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $a$ .

Ćwiczenie 7

Przeprowadź konstrukcję kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu $a$ .

Opis konstrukcji.

Wykreśl okrąg o danym promieniu, a następnie poprowadź jego dowolną średnicę – końce tej średnicy oznacz odpowiednio $A$ i $B$ .
Poprowadź symetralną odcinka $A B$ – punkty wspólne symetralnej i odcinka oznacz jako odpowiednio $C$ i $D$ .
Połącz odcinkami kolejne punkty, a otrzymasz kwadrat wpisany w zadany okrąg.

Ćwiczenie 8

Przeprowadź konstrukcję kwadratu opisanego na okręgu o promieniu $a$ .

Opis konstrukcji.

Wykreśl okrąg o danym promieniu, a następnie poprowadź jego dowolną średnicę – końce tej średnicy oznacz odpowiednio $A$ i $B$ .
Przez punkty $A$ i $B$ poprowadź dwie proste prostopadłe do otrzymanej średnicy – w tym celu możesz nakreślić prostą zawierającą tę średnicę, a następnie odłożyć na ten prostej punkty pomocnicze $C$ i $D$ odległe od końców średnicy o $a$ .
Na otrzymanej prostej prostopadłej przechodzącej przez $A$ odkładamy odcinki $A P$ i $A Q$ kreśląc cyrklem łuki o promieniu równym $a$ . Analogiczną operację prowadzimy z punktu $B$ – odkładamy odcinki $B R$ i $B S$ .
Łączymy kolejne punkty otrzymując szukany kwadrat.

Ćwiczenie 9

Oblicz różnicę pól sześciokąta foremnego i trójkąta równobocznego wpisanych w okrąg o promieniu $1$ .

Zauważ, że kreśląc wszystkie przekątne sześciokąta, dzielimy ten sześciokąt na przystające trójkąty równoboczne o boku równym długości promienia danego okręgu.
Zatem pole sześciokąta jest równe $6 \cdot \frac{1^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .
Z kolei na bok trójkąta równobocznego, który konstrukcyjnie otrzymaliśmy łącząc co drugi wierzchołek sześciokąta, składają się dwie wysokości trójkątów równobocznych, o których mówiliśmy wcześniej. Ponieważ wysokość trójkątów powstałych w wyniku triangulacji opisanej wyżej ma długość $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , zatem „nasz” trójkąt ma bok długości $\sqrt{3}$ . Jego pole jest więc równe $\frac{{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .
Różnica pól obu figur jest więc równa $\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

Uwaga. Gdybyśmy uważnie przyjrzeli się odcinkom i figurom, które powstają w trakcie dzielenia sześciokąta przekątnymi oraz bokom trójkąta równobocznego z wcześniejszych konstrukcji, to mielibyśmy szansę dostrzec, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w dowolny okrąg jest równe połowie pola sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

Ćwiczenie 10

Dany jest dziewięciokat foremny, taki jak na rysunku.

R12eH2zzYm06C

Ilustracja przedstawia dziewięciokąt foremny.

Wyznacz liczbę różnych dziewięciokątów foremnych gwiaździstych i skonstruuj te wielokąty, korzystając z dołączonego rysunku.

Liczbami całkowitymi z przedziału $(1, \frac{9}{2})$ , są liczby: $2$ , $3$ , $4$ . Liczba $3$ nie jest względnie pierwsza z liczbą $9$ . Liczby $2$ i $4$ są względnie pierwsze, dlatego mamy dwa wielokąty gwiaździste, które powstaną poprzez łączenia odpowiednio co drugiego i co czwartego z wierzchołków.

RbczlDh1ZVuAT1

Ćwiczenie 11

RkmMCRi21W7YO2

Ćwiczenie 12

RR4w54M9Un4RY2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Wyznacz miarę kąta sterczącego (kąta przy wierzchołku wielokąta gwiaździstego) w ośmiokącie foremnym gwiaździstym.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R9i7DdUJd7PlH

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny wpisany w okrąg. Kilka jego wierzchołków nazwano: górny lewy to wierzchołek R, dolny lewy P, sąsiadujący z nim dolny prawy S i sąsiadujący z nim prawy Q. W ośmiokącie poprowadzono ośmiokąt gwiaździsty. Czworokąt utworzony w wymienionych punktów jest deltoidem.

Zauważmy, że w szczególności czworokąt $P S Q R$ jest wpisany w okrąg. Kąt wewnętrzny ośmiokąta, w szczególności kąt $P S Q$ , ma miarę $180 ° - \frac{360 °}{8} = 135 °$ . Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg wynika, że miara kąta sterczącego w ośmiokącie jest równa $180 ° - 135 ° = 45 °$ .

Ćwiczenie 15

Uzasadnij, że da się skonstruować wielokąt foremny o trzydziestu wierzchołkach.

Bez dowodu przyjmujemy, że da się skonstruować pięciokąt foremny i sześciokąt foremny. Zauważmy, że $30 = 5 \cdot 6$ oraz liczby $5$ i $6$ są względnie pierwsze.

Zatem teza postawiona w zadaniu wynika w szczególności z twierdzenia o konstrukcji wielokąta foremnego i liczbach względnie pierwszych.

Ćwiczenie 16

Oblicz różnicę miar kąta wewnętrznego dziesięciokąta foremnego i kąta sterczącego dziesięciokąta foremnego gwiaździstego.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R19dk90dRqyir

Ilustracja przedstawia dziewięciokąt foremny, w którego wnętrzu narysowano dziesięciokąt gwiaździsty. Wybrano trzy wierzchołki, które nazwano kolejno: R, Q, P. Jeśli wierzchołek R oznaczymy jako pierwszy, to Q będzie wierzchołkiem czwartym, a P ósmym. Wierzchołki Q i P połączono odcinkiem narysowanym linią przerywaną.

Zauważmy, że kąt $P R Q$ jest kątem wpisanym w okrąg opisany na dziesięciokącie. Zauważmy, że cięciwa $P Q$ dzieli okrąg opisany w stosunku $4 : 6$ . Tym samym kąt $P R Q$ ma miarę $\frac{1}{2} \cdot (360 ° \cdot \frac{4}{10}) = 72 °$ . Z kolei kąt wewnętrzny dziesięciokąta ma miarę $180 ° - \frac{360 °}{10} = 144 °$ . Różnica tych miar jest równa: $72 °$ .

Ćwiczenie 17

Małe twierdzenie Fermata (MTF) orzeka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ i dowolnej liczby pierwszej $p$ liczba $n^{p} - n$ dzieli się przez $p$ . Udowodnij, korzystając z MTF, że liczba $5^{10} - 1$ dzieli się przez $11$ .

Z MTF wynika w szczególności, że liczba $5^{11} - 5$ jest podzielna przez $11$ , czyli istnieje taka liczba naturalna $k$ , że $5^{11} - 5 = 11 k$ . Ale $5^{11} - 5 = 5 (5^{10} - 1)$ , stąd $5 (5^{10} - 1) = 11 k$ . Liczby $5$ i $11$ są względnie pierwsze, zatem liczba $11$ musi dzielić liczbę $5^{10} - 1$ .

Słownik

wielokąt foremny

wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary)

wielokąt foremny gwiaździsty

$n$ -kątem foremnym gwiaździstym nazywamy łamaną zamkniętą o $n$ wierzchołkach, utworzoną z tych przekątnych $n$ -kąta foremnego, które mają równą długość

liczby względnie pierwsze

powiemy, że dwie liczby całkowite są względnie pierwsze, jeśli ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba $1$

3. Przekątne i kąty w wielokącie

5. Cechy przystawania trójkątów