2. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

R1VMaQdFuXsWd

Twoje cele

Sformułujesz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.
Poznasz własność odcinka łączącego środki ramion w trójkącie.
Zastosujesz poznane fakty i twierdzenia do rozwiązywania problemów geometrycznych.

Talesa wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego

Twierdzenie: Talesa wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego

Różne proste $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $P$ , przy czym spełniony jest jeden z warunków:

punkt $A$ leży wewnątrz odcinka $P C$ oraz punkt $B$ leży wewnątrz odcinka $P D$

lub

punkt $A$ leży na zewnątrz odcinka $P C$ oraz punkt $B$ leży na zewnątrz odcinka $P D$ .

Wówczas proste $A B$ i $C D$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

\frac{|P A|}{|A C|} = \frac{|P B|}{|B D|}

R16SdIqEfckR2

Ilustracja przedstawia dwie różne proste AC (leżąca w górnej części rysunku) i BD (leżąca w dolnej części rysunku) przecinające się w punkcie P. Miejsce przecięcia znajduje się w lewej części rysunku. W prawej części natomiast wykreślono kolejne dwie, tym razem równoległe proste przecinające proste wyjściowe. Lewa równoległa prosta przecina pierwszą, wyżej położoną prostą w punkcie A, a drugą prostą w punkcie B. Druga równoległa prosta przecina wyżej położoną prostą w punkcie C, a niżej położoną prostą w punkcie D. W wyniku przecięć powstały następujące odcinki: Na górnej wyjściowej prostej P A oraz AC, na dolnej wyjściowej prostej P B oraz B D.

RJilevsKlKQnZ

Ilustracja przedstawia proste wyjściowe krzyżujące się w punkcie P leżącym pośrodku rysunku. Przez proste wyjściowe poprowadzono dwie równoległe proste: jedną z lewej strony punktu P, która przecina pierwszą prostą wyjściową w punkcie C i drugą w punkcie D. Druga równoległa prosta znajduje się się po prawej stronie punktu P i przecina drugą wyjściową prostą w puckie B i pierwszą w punkcie A. W wyniku przecięć powstały następujące odcinki: na pierwszej wyjściowej prostej C P oraz P A, na drugiej wyjściowej prostej D P oraz P B.

Ostatnią równość można zapisać równoważnie:

\frac{|P A|}{|P B|} = \frac{|A C|}{|B D|} = \frac{|P C|}{|P D|}

Uwaga!
Powołując się na twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa należy uwzględnić konfiguracje punktów na prostych (lub na ramionach kątakątkąta). Łatwo bowiem możemy uzyskać twierdzenie, które przy braku dodatkowych założeń jest nieprawdziwe, co obrazuje następujący przykład.

Przykład 1

Niech ramiona kątakątkąta o wierzchołku $P$ przecięte są dwiema prostymi $A B$ i $C D$ , przy czym punkty $A$ , $C$ należą do jednego ramienia kątakątkąta, punkty $B$ , $D$ do drugiego.
Jeśli zachodzi: $\frac{|P A|}{|A C|} = \frac{|P D|}{|B D|}$ , to proste $A B$ i $C D$ nie muszą być równoległe.

Sporządzimy rysunek obrazujący, że przy poprawnych założeniach proste $A B$ i $C D$ nie są równoległe.

Rozwiązanie

R1Xp4ykGj0K2i

Ilustracja przedstawia dwie niebieskie ukośne proste przecinające się w punkcie P. Dodatkowo po prawej stronie punktu P narysowano kolorem różowym dwie kolejne ukośne proste przecinające proste niebieskie, przy czym punkt przecięcia różowych prostych znajduje się między prostymi niebieskimi. Górna niebieska prosta jest przecięta przez lewą różową prostą w punkcie B i przez prawą różową prostą w punkcie D. Dolna niebieska prosta jest przecięta kolejno od punktu P w puncie C i w A. Na górnej niebieskiej prostej mamy więc odcinki P B oraz B D, na dolnej P C oraz C A. Poprowadzono linią przerywaną dwie równoległe proste biegnące przez punkty przecięcia: prostą B C oraz prostą A D.

Uwaga!
Aby uniknąć podobnych problemów, należy uzupełnić o informacje o uporządkowaniu punktów.

Na przykład punkt $A$ leży między punktami $P$ , $C$ ; natomiast punkt $B$ leży między punktami $P$ , $D$ . W przypadku, gdy powołujemy się na proporcję odcinków powstałych na ramionach kąta można uniknąć tych założeń, gdy podaje się proporcję odcinków o jednym z końców w wierzchołku tego kątakątkąta.

Przykład 2

Punkty $K$ i $L$ są odpowiednio środkami boków $A C$ i $B C$ trójkąta $A B C$ . Udowodnimy, że proste $K L$ i $A B$ są równoległe.

Rozwiązanie

R1bn7pbOga3KU

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Na ramieniu AC umieszczono punkt K, a na ramieniu BC umieszczono punkt L. Odcinek KL jest równoległy do podstawy AB.

Zauważmy, że $\frac{|C K|}{|C A|} = \frac{|C L|}{|C B|} = \frac{1}{2}$ więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa proste $K L$ i $A B$ są równoległe.

Powyższy fakt nazywany jest również twierdzeniem o odcinku łączącym środki ramion w trójkącie, a odcinek $K L$ linią środkową w trójkącielinia środkowa w trójkącielinią środkową w trójkącie.

Ponadto długość odcinka $K L$ jest równa połowie długości podstawy $A B$ .

Przykład 3

Wykażemy, że w trapezie niebędącym równoległobokiem odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do jego podstaw.

Rozwiązanie

Niech $A B$ i $C D$ to podstawy trapezu. Środki ramion $A D$ , $B C$ oraz przekątnej $A C$ oznaczmy odpowiednio $K$ , $L$ , $M$ , tak jak na rysunku.

RAj0ibe82gLvy

Ilustracja przedstawia trapez ABCD. Na ramionach trapezu umieszczono kolejno punkty K oraz L. odcinek KL jest równoległy do podstaw trapezu. Przekątna AC tworzy z odcinkiem KL na przecięciu punkt M.

Powołując się na twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa lub na twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion w trójkącie, otrzymujemy, że prosta $K M$ jest równoległa do prostej $D C$ i prosta $M L$ jest równoległa do prostej $A B$ . Z faktu, że proste $A B$ i $C D$ są równoległe wynika, że proste $K M$ oraz $M L$ też są równoległe. Ponieważ mają one punkt wspólny – $M$ , to punkty $K$ , $M$ , $L$ leżą na jednej prostej, równoległej do podstaw trapezu. Odcinek $K L$ nazywany jest linią środkową w trapezielinia środkowa w trapezielinią środkową w trapezie.

Przykład 4

Wykażemy, że środki boków dowolnego czworokąta $A B C D$ są wierzchołkami równoległoboku.

Rozwiązanie

R1dISagOm7N1K

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD, zaznaczono środki boków czworokąta tworząc kolejno punkty K L M N. Punkty połączono prostymi tworząc równoległobok. Liniami przerywanymi zaznaczono przekątne AC oraz BD czworokąta.

Ten piękny fakt wynika bezpośrednio z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa lub z twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion w trójkącie. Nazwijmy środki boków $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ odpowiednio $K$ , $L$ , $M$ , $N$ . Na podstawie powyższych obserwacji stwierdzamy, że prosta $K L$ oraz prosta $M N$ są równoległe do przekątnej $A C$ . Analogicznie prosta $K N$ oraz prosta $L M$ są równoległe do przekątnej $B D$ . Równoległości te potwierdzają tezę powyższego twierdzenia.

Warto dodać, że powyższy fakt jest prawdziwy również gdy czworokąt $A B C D$ nie jest wypukły. Jeżeli w założeniach zadaniach dodamy wypukłość, to okazuje się, że pole powstałego równoległoboku jest równe połowie pola wyjściowego czworokąta.

Przykład 5

Sprawdzimy, czy wśród prostych $k$ , $l$ , $m$ , $n$ są proste równoległe.

RcQQeqeLNI3r9

Ilustracja przedstawia dwie niebieski półproste o wspólnym początku. Przez te półproste przechodzą ukośnie proste, wycinając w niebieskich półprostych wyjściowych odcinki o podanych długościach. Od wspólnego początku biorąc, mamy: prosta k przecina górną półprostą, odcinając odcinek o długości 2 i dolną, odcinając odcinek o długości 1,5; następnie prosta l oddziela odcinek o długości 1,5 (licząc od punktu przecięcia k z półprostą i tak też będziemy podawać dalsze długości), a z dolnej półprostej oddziela odcinek o długości 1; następnie prosta m oddziela odcinek o długości 1 w górnej półprostej i odcinek o długości pięć siódmych w dolnej; następnie prosta n oddziela odcinek o długości sześć siódmych w górnej półprostej i 45 pięćdziesiątych szóstych w dolnej.

Rozwiązanie

Sprawdzimy, czy $k$ i $l$ są równoległe, tj. czy zachodzi równość $\frac{2}{1, 5} \overset{?}{=} \frac{1, 5}{1}$ . Oczywiście nie, więc proste $k$ i $l$ nie są równoległe.

Sprawdzimy, czy $k$ i $m$ są równoległe, tj. czy zachodzi równość $\frac{2}{1, 5} \overset{?}{=} \frac{2, 5}{\frac{12}{7}}$ . Oczywiście nie, więc proste $k$ i $m$ nie są równoległe.

Sprawdzimy, czy $k$ i $n$ są równoległe, tj. czy zachodzi równość $\frac{2}{1, 5} \overset{?}{=} \frac{2, 5 + \frac{6}{7}}{1 + \frac{5}{7} + \frac{45}{56}}$ . Uprośćmy prawą stronę: $P = \frac{2, 5 + \frac{6}{7}}{1 + \frac{5}{7} + \frac{45}{56}} = \frac{\frac{47}{14}}{\frac{141}{56}} = \frac{4}{3}$ , więc proste $k$ i $n$ są równoległe.

Sprawdzimy, czy proste $l$ i $m$ są równoległe, tj. czy zachodzi równość $\frac{3, 5}{2, 5} \overset{?}{=} \frac{1}{\frac{5}{7}}$ . Oczywiście tak, więc proste $l$ i $m$ są równoległe.

Przykład 6

Pokażemy, że jeżeli w czworokącie wypukłym przekątneprzekątna czworokąta wypukłegoczworokącie wypukłym przekątne przecinają się w połowie, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

R1VonQnmjliGP

Ilustracja przedstawia równoległobok A B C D, w którym poprowadzono przekątne przecinające się w punkcie S.

$\frac{|S A|}{|S C|} = \frac{|S D|}{|S B|} = 1$ , więc na mocy twierdzenia odwrotnego do uogólnionego twierdzenia Talesa bok $C B$ jest równoległy do $A D$ .

Analogicznie, $\frac{|S A|}{|S C|} = \frac{|S B|}{|S D|} = 1$ , więc bok $C D$ jest równoległy do $A B$ .

Popatrzmy na rysunek przedstawiający schematycznie działanie projektora.

RzOahRXx8nvKH

Ilustracja przedstawia schemat projektora. Z lewej strony mamy pionową strzałkę h z grotem skierowanym w dół. Górny punkt strzałki to punkt C, a dolny to punkt A. Z punktów tych poprowadzono dwa odcinki: A B oraz C D przecinające się w punkcie S. Między punktami B oraz D również poprowadzono pionową strzałkę, jednak z grotem skierowanym w górę. Strzałkę tę opisano jako h prim. Od środka strzałki h do środka strzałki h prim poprowadzono linią przerywaną odcinek przechodzący przez punk przecięcia S. Odcinek między strzałką h a punktem S opisano jako d 1, a odcinek między punktem S a strzałką h prim opisano jako d 2

$S$ jest punktem na soczewce, $h$ i $h^{'}$ oznaczają, odpowiednio wysokość obrazu oryginalnego i obrazu na ekranie. Odległość obrazu oryginalnego od soczewki oznaczona jest symbolem $d_{1}$ , a odległość ekranu od soczewki symbolem $d_{2}$ .

Obraz na ekranie jest odwrócony w stosunku do obrazu oryginalnego.

Przykład 7

Przy powyższych oznaczeniach załóżmy, że znamy $d_{1}$ . Obliczymy, w jakiej odległości $d_{2}$ od ekranu ustawić projektor, by obraz na ekranie był $100$ razy większy niż obraz oryginalny.

Z uogólnionego twierdzenia Talesa, gdzie prostymi przecinającymi się są prosta przechodząca przez punkty $A$ , $B$ oraz prosta przedstawiona na rysunku linią przerywaną wynika, że $\frac{\frac{h^{'}}{2}}{\frac{h}{2}} = \frac{d_{2}}{d_{1}}$ , ale wiemy, że $h^{'} = 100 h$ , więc $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 100$ , czyli $d_{2} = 100 d_{1}$ .

Polecenie 1

Zapoznając się z galerią zdjęć interaktywnych, spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązywać zamieszczone tam zadania, a dopiero następnie porównaj rozwiązania.

RHBGHTRdjuRJ5

RpFqusD5nw2ST

R6HNkZmE2zItE

R1VZsLefSyITh

RWomdBC13357h

RjdHYBQsZWriJ

RmI5WEw0aBQIc

RG9nXRW2Ixg0h

Polecenie 2

Przekątne czworokąta $A B C D$ przecinają się pod kątem prostym. Ich długości to odpowiednio $|A C| = 10$ i $|B D| = 20$ . Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są środki boków czworokąta $A B C D$ .

R1Iztil2XxpO9

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD. Przekątne czworokąta to odcinki AC oraz BD. Na środkach boków zaznaczono punkty EFGH. Połączono je tworząc czworokąt.

Oznaczmy środki boków $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D E$ odpowiednio $E$ , $F$ , $G$ , $H$ . Korzystając z twierdzenia o odcinku łączącego środki boków w trójkącie lub z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa otrzymujemy, że proste $E F$ oraz $H G$ są równoległe do przekątnej $A C$ . Podobnie proste $F G$ i $H E$ są równoległe do przekątnej $B D$ . Z założeń zadania wiemy, że przekątne są prostopadłe, zatem odpowiednie pary prostych równoległych do tych przekątnych również są prostopadłe. Wnioskujemy stąd, że czworokąt $E F G H$ jest prostokątem. Ponownie wykorzystując twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion w trójkącie otrzymujemy, że długości boków tego czworokąta mają długość równą połowie równoległej do nich przekątnej. Zatem pole czworokąta $E F G H$ jest równe $5 \cdot 10 = 50$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na bokach $B C$ i $C D$ wybrano taki punkty $M$ i $N$ , że $\frac{|B M|}{|M C|} = \frac{|A N|}{|N D|}$ .

R1Dnq0koRJbq3

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD. Na boku AD umieszczono punkt N oddzielający bok na dwa odcinki, AN o długości 4 oraz ND o długości dwa. Na boku BC umieszczono punkt M oddzielający bok na dwa odcinki, CM o długości 1 oraz MB o długości dwa. Zaznaczono odcinek MN

R1bTyzf8ieYrE

R1Mr8L4ZcSMYw1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ . Punkty $K$ i $L$ są odpowiednio środkami boków $A D$ i $B C$ (rysunek). Udowodnij, że $|K L| \leq \frac{1}{2} (|A B| + |C D|)$ .

Rm4vyhDaSGmht

Ilustracja przedstawia czworokąt wypukły ABCD. Punkty K i L są środkami boków AD i BC. Zaznaczono odcinek KL.

RT65XUg4S3SD5

Ilustracja przedstawia czworokąt wypukły ABCD. Punkty K i L są środkami boków AD i BC. Zaznaczono odcinek KL. Zaznaczono przekątną AC i połączono ją z bokiem CD. Na środku przekątnej umieszczono punkt M, który połączono z punktami K oraz L.

Oznaczmy przez $M$ środek przekątnej $A C$ . Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnioskujemy, że proste $K M$ i $D C$ są równoległe oraz $|K M| = \frac{1}{2} |C D|$ . Analogicznie udowadniamy, że proste $M L$ i $A B$ są równoległe oraz $|M L| = \frac{1}{2} |A B|$ . Wykorzystując nierówność trójkąta otrzymujemy $|K L| \leq |K M| + |M L| = \frac{1}{2} |C D| + \frac{1}{2} |A B|$ . Warto zauważyć, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $M$ leży na odcinku $K L$ , a to ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy proste $A B$ i $C D$ są równoległe.

R1C1uOIHRbq7i2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Uzasadnij, że środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i że dzieli on każdą z nich w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka.

R5JPia9MToXcE

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Na środkach boków umieszczono punkty, na podstawie AB punkt F, na boku AC punkt E, a na boku BC punkt D. Odcinek ED oraz AB są równoległe. Z wierzchołka A oraz B poprowadzono środkowe do punktów przeciwległych, tworząc odcinki AD oraz B E. Odcinki te przecinają się w punkcie S. Następne linią przerywaną zaznaczono środkowe C F oraz F D.

Niech punkt $D$ będzie środkiem boku $B C$ , punkt $E$ środkiem boku $A C$ oraz punkt $S$ punktem przecięcia środkowych $A D$ i $B E$ . Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa lub z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków w trójkącie otrzymujemy, że odcinek $E D$ jest równoległy do $A B$ oraz, że jest dwa razy krótszy od $A B$ . Następnie z podobieństwa trójkątów $ABS$ oraz $EDS$ ( $k k k$ ) dostajemy $\frac{|A B|}{|E D|} = \frac{|A S|}{|S D|} = \frac{|B S|}{|S E|} = \frac{2}{1}$ . Powtarzając rozumowanie dla pary środkowych $A D$ i $C F$ dowodzimy, że punkt przecięcia tych środkowych dzieli je w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołków. Do dowodu, że są współpękowe wystarczy zauważyć, że na odcinku $A D$ jest tylko jeden punkt, który dzieli ją w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołka $A$ , stąd wniosek, że środkowe $B E$ i $C F$ przecięły środkową $A D$ tym samym punkcie.

Ćwiczenie 6

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ , którego przekątne przecinają się w punkcie $P$ . Na przekątnej $A C$ dane są jeszcze dwa punkty $Q$ i $R$ , dzielące ją wraz z punktem $P$ na cztery równe części, tzn. $|A P| = |P Q| = |Q R| = |R C|$ . Na przekątnej $D B$ dane są jeszcze punkty $S$ i $T$ , które wraz z $P$ dzielą ją na cztery równe części, tzn. $|D P| = |P S| = |S T| = |T B|$ (rysunek). Oblicz stosunek pól czworokątów $T R Q S$ i $A B C D$ .

R1XcT3KZAQuv5

Ilustracja przedstawia nieforemny czworokąt ABCD, w którym wykreślono przekątne przecinające się w punkcie P. Na przekątnych AC oraz BD umieszczono punkty będące równoległymi odcinkami Q S oraz RT. Tworzą one trapez STRQ

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że odcinki $A D$ , $S Q$ , $T R$ i $B C$ są równoległe, więc $S T R Q$ i $A B C D$ są trapezami o stosunku wysokości $1 : 4$ . Ponadto z twierdzenia Talesa lub z podobieństwa trójkątów ( $k k k$ ) dostajemy, że $|A D| : |S Q| : |T R| : |B C| = 1 : 1 : 2 : 3$ . Zatem $\frac{P_{S T R Q}}{P_{A B C D}} = \frac{\frac{1}{2} (a + 2 a) \cdot h}{\frac{1}{2} (a + 3 a) \cdot 4 h} = \frac{3}{16}$ .

Ćwiczenie 7

W pięciokącie gwiaździstym $A B C D E$ zachodzą równości $|A Q| = |Q C|$ , $|B R| = |R D|$ , $|C R| = |R E|$ i $|D S| = |S A|$ (rysunek). Uzasadnij, że odcinki $B P$ , $P T$ , $T E$ maja równa długość.

R1UMUdClWBRnf

Ilustracja przedstawia pięciokąt gwiaździsty ABCDE. W jego środku powstał pięciokąt RSTPQ

Rirh6JwiS5gcA

Przeanalizuj i uzupełnij tekst, aby prowadził do poprawnego dowodu. Zauważmy, że odcinki B D i C E przecinają się w połowie więc czworokąt B C D E jest 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S. Ponadto odcinek 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S jest linią środkową w trójkącie A C D. Jest więc 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S do odcinka C D oraz 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S i jego długość to połowa C D jak i odcinka B E. Z tego wynika, że odcinek Q S jest też 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S w trójkącie 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S. To oznacza, że długość odcinka, B Q, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, Q R, koniec długości odcinka oraz 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S. Z podobieństwa trójkątów wynika, że początek ułamka, długość odcinka, B Q, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, Q D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, B P, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, D C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz, że 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S a zatem długość odcinka, B P, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, T E, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, P T, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, długość odcinka, B E, koniec długości odcinka co należało udowodnić.

Ćwiczenie 8

Środki boków $A B$ i $C D$ oraz $B C$ i $D E$ pięciokąta wypukłego $A B C D E$ połączono odcinkami $P R$ i $S Q$ , których środki również połączono odcinkiem $U T$ (rysunek). Udowodnij, że odcinek ten jest równoległy do boku $A E$ i równy $\frac{1}{4} |A E|$ .

R1dRtbfZat64l

Ilustracja przedstawia pięciokąt wypukły ABCDE. Środki boków AB I CD oraz BC i DE połączono odcinkami PR I SQ których środki również połączono odcinkiem UT.

Poprowadźmy jeszcze przekątną $B E$ i oznaczmy jej środek przez $W$ . Stosując kilka razy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa lub twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion otrzymujemy, że czworokąt $W Q R S$ jest równoległobokiem, którego przekątne $W R$ i $Q S$ połowią się w punkcie $U$ . Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa otrzymujemy równoległość $U T$ i $W P$ oraz równoległość odcinków $W P$ i $A E$ , co daje równoległość $U T$ i $A E$ . Ponadto wiemy, że $|U T| = \frac{1}{2} |W P| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} |A E| = \frac{1}{4} |A E|$ co jest równoważne z tezą ćwiczenia.

RdTfchZ3Jlgic

Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiony jest równoległobok $P Q R S$ . Punkty $L$ , $M$ są takie, że $|P L| = |M R|$ . Pokaż, że przekątna $S Q$ i odcinek $L M$ dzielą się w połowie.

R1U7l23YDaezu

Ilustracja przedstawia równoległobok P G R S. Podstawy połączono odcinkiem L M. Punkt M leży na górnej podstawie R S, a punkt L leży na dolnej podstawie P Q. Odcinek L M jest prostopadły do podstaw i przecina go przekątna Q S.

Odcinki $S M$ i $L Q$ są równoległe oraz mają równe długości, bo $P Q R S$ jest równoległobokiem. Niech $O$ będzie punktem przecięcia $S Q$ i $L M$ . Z uogólnionego twierdzenia Talesa wynika, że $\frac{|S M|}{|O S|} = \frac{|L Q|}{|O Q|}$ , a stąd $|O S| = |O Q|$ i analogicznie $|O L| = |O M|$ .

Ćwiczenie 10

W pewnym czworokącie przekątne przecinają się jak na rysunku. Czy czworokąt $A C B D$ jest trapezem? Odpowiedź uzasadnij.

R1INMS9qvTGHx

Ilustracja dwa odcinki A B oraz C D przecinające się w punkcie S. Długości odcinków są oznaczone następująco: A S ma długość 5, S B ma długość 7, C S ma długość 5, a S D ma długość 5

Gdyby ten czworokąt był trapezem to zgodnie z własnością

$|S A| : |S B| = |S C| : |S D|$ ,

ale tu mamy

$|S A| : |S B| = \frac{5}{7}$ , $|S C| : |S D| = \frac{5}{5} = 1$ .

Zatem czworokąt $A C B D$ nie jest trapezem.

Słownik

kąt

kąt to obszar powstały z rozcięcia płaszczyzny przez sumę dwóch różnych półprostych o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi; półproste nazywane są ramionami kąta, wspólny początek półprostych nazywany jest wierzchołkiem kąta

linia środkowa w trójkącie

linia środkowa w trójkącie to odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta

linia środkowa w trapezie

linia środkowa w trapezie to odcinek łączący środki ramion trapezu

1. Twierdzenie Talesa

3. Zastosowanie Twierdzenia Talesa

2. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Słownik