1.Środkowe w trójkącie - M_R_W06_M4 Ortocentrum i środek ciężkości w trójkącie

R1VPI6yZCdJtC

1. Środkowe w trójkącie

Materiał ten powiązany jest z szerszym tematem szczególnych odcinków w trójkącie oraz szczególnych punktów w trójkącie. Na przykład znany jest fakt, że wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum. Również dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt, a punkt przecięcia symetralnych boków jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

Pokażemy, że również środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dodatkowo jest środkiem ciężkości tego trójkąta.

Twoje cele

Poznasz i sformułujesz pojęcie środkowej w trójkącie.
Poznasz własności środkowych w trójkącie i w jakiej proporcji dzieli je punkt przecięcia oraz gdzie leży i jakie ma własności środek ciężkości trójkąta.
Poznasz własności pól trójkątów wyznaczonych przez środkowe w trójkącie.
Wyznaczysz współrzędne środka ciężkości trójkąta, w którym podane są współrzędne wierzchołków.
Zastosujesz własności środkowych trójkąta w problemach praktycznych i zagadnieniach matematycznych.

środkowej trójkąta

Definicja: środkowej trójkąta

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Oczywiście w każdym trójkącie są trzy środkowe, zaznaczone na rysunku kolorami.

RG7Ws7Lp3qcFo

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Z wierzchołka A, poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku CB. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku AC. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku AB.

o środkowej

Twierdzenie: o środkowej

Dowolna środkowa trójkątaśrodkowa trójkątaśrodkowa trójkąta dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Dowód

Weźmy dowolną środkową trójkąta $A B C$ , na przykład $C E$ . Wtedy trójkąty $A C E$ i $B C E$ mają wspólną wysokość i podstawy równej długości, więc mają równe pola.

Przykład 1

Na rysunku na przedłużeniu boku $A B$ zaznaczono punkt $A^{'}$ taki, że $|A B| = |A^{'} B|$ .

RD9X3BdmHtcJz

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, z kątem rozwartym przy wierzchołku B. Linią przerywaną przedłużono dwukrotnie podstawę AB trójkąta i zaznaczono punkt A z indeksem prim. Wierzchołek C połączono z wierzchołkiem A. Powstał trójkąt AA'C.

Pokażemy, że pole trójkąta $A A^{'} C$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Rzeczywiście, z równości $|A B| = |A^{'} B|$ wynika $C B$ jest środkową trójkąta $A A^{'} C$ , więc $P_{A B C} = P_{A^{'} B C}$ . Stąd $P_{A A^{'} C} = P_{A B C} + P_{A^{'} B C} = 2 P_{A B C}$ .

Przykład 2

Pokażemy, że jeśli punkt $P$ leży na środkowej $C D$ trójkąta $A B C$ to pola trójkątów $A P D$ i $B P D$ są równe.

Rgdb0eVixy1fs

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku AB. Z wierzchołka A poprowadzono środkową boku CB do punktu P, leżącego na środkowej CD. Z wierzchołka B poprowadzono środkową boku AC, do punku P.

Rozwiązanie

Ponieważ odcinek $C D$ jest środkową trójkąta $A B C$ , a punkt $P$ leży na tej środkowej, to punkt $D$ jest środkiem boku $A B$ trójkąta $A B P$ . Stąd odcinek $P D$ jest środkową trójkąta $A B P$ . Stąd dzieli on ten trójkąta na dwa trójkąty $A P D$ i $B P D$ o równych polach.

Zanim przejdziemy do głównego twierdzenia w tym materiale, przypomnimy własności linii środkowej w trójkącie, czyli odcinka, który łączy środki dwóch boków w trójkącie.

o linii środkowej w trójkącie

Twierdzenie: o linii środkowej w trójkącie

Linia środkowa w trójkącie jest równoległa do podstawy i długość linii środkowej jest równa połowie długości podstawy.

o punkcie przecięcia środkowych w trójkącie

Twierdzenie: o punkcie przecięcia środkowych w trójkącie

Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i punkt ten dzieli środkowe w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołków trójkąta.

Dowód

Niech $D$ będzie punktem przecięcia środkowych $A A_{1}$ , $B B_{1}$ i $C C_{1}$
w trójkącie $A B C$ .

Rvok7Utrk9IsU

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu A1, leżącego na boku BC. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu B1, leżącego na boku AC. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu C1, leżącego na boku AB. Zaznaczono punkt D w miejscu przecięcia wszystkich środkowych tego trójkąta.

Wyznaczamy na boku $A B$ punkt $E$ taki, że $A_{1} E ∥ C C_{1}$ .

RpeoGT2IIHmrd

Z twierdzenia Talesa wynika, że $\frac{|B E|}{|B C_{1}|} = \frac{|B A_{1}|}{|B C|} = \frac{1}{2}$ , co oznacza, że $|B E| = |E C_{1}|$ . Stąd: $|E C_{1}| = \frac{1}{4} |A B|$ .

Stostując twierdzenie Talesa do trójkąta $A E A_{1}$ i wykorzystując powyższą równość otrzymujemy:

$\frac{|A D|}{|D A_{1}|} = \frac{|A C_{1}|}{|C_{1} E|} = \frac{\frac{1}{2} |A B|}{\frac{1}{4} |A B|} = 2$ .

Zatem: $|A D| = 2 |D A_{1}|$ .

Wnioskujemy stąd, że punkt przecięcia środkowych dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ (od strony wierzchołka). To należało udowodnić.

Przykład 3

W trójkącie $A B C$ środkowe $A E$ i $B F$ przecinają się w punkcie $S$ . Pokażemy, że trójkąt $E S F$ jest podobny do trójkąta $A S B$ w skali $1 : 2$ , a stąd stosunek pól tych trójkątów wynosi $1 : 4$ .

Rozwiązanie

RQe3vhwG92Wh8

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku BC. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku AC. W miejscu przecięcia środkowych zaznaczono punkt S. Zielonym kolorem połączono punkt E i F.

Ponieważ punkt $S$ jest punktem przecięcia środkowych w trójkącie $A B C$ , to: $|A S| = 2 \cdot |S E|$ i $|B S| = 2 \cdot |S F|$ .

Odcinek $E F$ łączy środki boków $B C$ i $A C$ , zatem $|A B| = 2 \cdot |E F|$ .

Stąd trójkąty $E S F$ i $A S B$ są podobne w skali $1 : 2$ . A z własności skali podobieństwa: stosunek pól tych trójkątów wynosi $1 : 4$ .

Przykład 4

Środkowe $B E$ i $C D$ trójkąta $A B C$ są prostopadłe, $|B E| = 12$ , $|C D| = 8$ . Wyznaczymy długości boków trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Popatrzmy na rysunek.

R165rdyXIqLy1

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku AC. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku AB. Środkowe przecinają się pod kątem prostym w punkcie S.

Ponieważ $S$ dzieli środkowe w stosunku $2 : 1$ , to:

$|C S| = \frac{2}{3} \cdot |C D| = \frac{16}{3}$

$|S D| = \frac{1}{3} \cdot |C D| = \frac{8}{3}$

$|B S| = \frac{2}{3} \cdot |B E| = 8$

$|E S| = \frac{1}{3} \cdot |B E| = 4$

Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości odpowiednich odcinków:

${|C E|}^{2} = {(\frac{16}{3})}^{2} + 4^{2} = \frac{400}{9}$ , więc $|C E| = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}$ i stąd $|A C| = 2 |C E| = \frac{40}{3}$

${|B C|}^{2} = {(\frac{16}{3})}^{2} + 8^{2} = \frac{832}{9}$ , więc $|B C| = \sqrt{\frac{832}{9}} = \frac{8 \sqrt{13}}{3}$

$| B D |^{2} = (\frac{8}{3})^{2} + 8^{2} = \frac{640}{9}$ , więc $| B D | = \sqrt{\frac{640}{9}} = \frac{8 \sqrt{10}}{3}$ i stąd $| A B | = 2 \cdot | B D | = \frac{16 \sqrt{10}}{3}$

Przykład 5

Pokażemy, że środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie

Wykorzystujemy fakt, że kąt oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym. Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego łączy punkt na okręgu ze środkiem średnicy, czyli ze środkiem okręgu. Stąd mamy, że długość środkowej jest równa długości promienia okręgu, czyli połowie średnicy.

Punkt przecięcia środkowych trójkąta, ze względu na analogie fizyczne, nazywany jest środkiem ciężkości (barycentrum) tego trójkąta.

Aby zobaczyć te analogie wykonaj sam lub w parze następujące doświadczenie.

Narysuj na kartonie dowolny trójkąt.
Wyznacz punkt przecięcia dwóch środkowych tego trójkąta. Uwaga! Dla większej dokładności skonstruuj środki dwóch boków.
Wytnij starannie narysowany trójkąt.
Spróbuj ustawić ten trójkąt na czubku ołówka lub długopisu, tak aby czubek podpierał trójkąt w punkcie przecięcia środkowych.
Jeśli wykonałeś dokładnie to zadanie, trójkąt powinien utrzymać się w poziomie.

Kolejne twierdzenie możemy zastosować w sytuacji, gdy znane są współrzędne wierzchołków trójkąta.

o współrzędnych punktu ciężkości trójkąta

Twierdzenie: o współrzędnych punktu ciężkości trójkąta

Jeżeli wierzchołki trójkąta mają współrzędne $A = (a_{1}, a_{2})$ , $B = (b_{1}, b_{2})$ , $C = (c_{1}, c_{2})$ to środek ciężkości $S$ tego trójkąta ma współrzędne $S = (\frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3}, \frac{a_{2} + b_{2} + c_{2}}{3})$ .

Przykład 6

Współrzędne wierzchołków trójkąta $A B C$ wynoszą $A = (1, 1)$ , $B = (3, 4)$ , $C = (5, - 2)$ . Wyznaczymy odległość punktu ciężkościśrodek ciężkości trójkątapunktu ciężkości $S$ tego trójkąta od wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ .

Rozwiązanie

Z powyższego twierdzenia $S = (\frac{9}{3}, \frac{3}{3}) = (3, 1)$ .

Odległości od wierzchołków trójkąta są długościami odcinków:

$|A S| = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = 2$

$|B S| = \sqrt{{(3 - 3)}^{2} + {(1 - 4)}^{2}} = 3$

$|C S| = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + (1 - (- 2))^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Polecenie 1

W symulacji interaktywnej widać trójkąt $A B C$ w układzie współrzędnych. Środkowe tego trójkąta są wyróżnione kolorem różowym. Widać również współrzędne punktów $A$ , $B$ , $C$ . Poruszaj punktami $A$ , $B$ , $C$ .

Obserwuj gdzie jest środek ciężkości.
Oblicz współrzędne środka ciężkości i porównaj z jego położeniem w układzie współrzędnych.
Ustaw punkty $A$ , $B$ , $C$ tak, by punkt $S$ oraz $A$ leżały na jednej z osi i oblicz stosunek długości odcinków $A S$ i $S F$ .
Ustaw punkty $A$ , $B$ , $C$ tak, by powstał trójkąt prostokątny i porównaj długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka przy kącie prostym z długością przeciwprostokątnej.

RAJfF32QUomht

Polecenie 2

RP7E1lZRcez7d

RWKGv4w1nOUTQ1

Ćwiczenie 1

R1RtACpnx31KG1

Ćwiczenie 2

R1blKXyyTVpMk1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $A B C$ oraz jego środkowe $A F$ i $C E$ . Punkt $S$ jest punktem przecięcia środkowych, a punkty $D$ i $G$ leżą na odpowiednich środkowych.

Rb5ziWCC5wTB9

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku BC. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku AB. Środkowe przecinają się w punkcie S. Z wierzchołka A, oraz B, poprowadzono proste do punktu G, leżącego na odcinku SE. Z punktu B poprowadzono prostą do punktu S. Z punktu C, oraz B, poprowadzono proste do punktu D, leżącego na odcinku SF.

RzkIeokJhOkQh

Ćwiczenie 5

Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta ostrego równoramiennego trójkąta prostokątnego ma długość $5$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Niech $a$ oznacza przyprostokątną tego trójkąta. Na rysunku przedstawione są informacje z zadania oraz fakt, że środkowa dzieli bok na połowy.

RKHchZf5JC34o

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, z kątem prostym przy wierzchołku C. Bok AC ma długość równą a. Z wierzchołka A poprowadzono środkową o długości pięć do punktu F, leżącego na boku BC.

Pole trójkąta $P = \frac{a^{2}}{2}$ . Wyznaczymy wartość $a^{2}$ z twierdzenia Pitagorasa tzn. $5^{2} = a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}$ . Stąd $a^{2} = \frac{4 \cdot 25}{5} = 20$ .

Zatem $P = \frac{20}{2} = 10$ .

Ćwiczenie 6

Oblicz odległość środka ciężkości w trójkącie prostokątnym od wierzchołka najmniejszego kąta trójkąta, jeśli przyprostokątne mają długości $16$ i $20$ .

Najmniejszy z kątów trójkąta leży naprzeciw najkrótszego boku, czyli środkowa dzieli bok o długości 16. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość środkowej $c^{2} = 8^{2} + 20^{2} = 464$ , więc $c = 4 \sqrt{29}$ . Wtedy odległość środka ciężkości od wierzchołka kąta wynosi $\frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{29} = \frac{8 \sqrt{29}}{3}$ .

Ćwiczenie 7

Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość $a$ . Wyznacz długość wysokości poprowadzonej do podstawy.

W trójkącie równoramiennym środkowa poprowadzona do podstawy pokrywa się z wysokością poprowadzoną do podstawy, więc punkt przecięcia środkowych dzieli tę wysokość w stosunku $2 : 1$ . Popatrzmy na rysunek, gdzie zapisane są długości odpowiednich odcinków.

R1HZaINhxQBpl

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny ABC. Zaznaczono środkowe boków AC, oraz BC, które przecinają się w punkcie S. Z wierzchołka C poprowadzono linią przerywaną, wysokość trójkąta, przechodzącą przez punkt S. Spodek wysokości leży w punkcie D. Odcinek SD jest równy h3, natomiast SB wynosi 2a3.

Z twierdzenia Pitagorasa ${(\frac{h}{3})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = {(\frac{2 a}{3})}^{2}$ , więc $\frac{h^{2}}{9} = \frac{4 a^{2}}{9} - \frac{a^{2}}{4}$ . Stąd $h = \frac{a \sqrt{7}}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Na rysunku $|B M| = |A L|$ . Pokaż, że $C D$ jest środkową trójkąta $A B C$ .

RpsSfCg1VvwQK

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Na boku AB zaznaczono punkt D. Zaznaczono także punkt M, taki że prosta CM przechodząca przez punkt D, jest prostopadła do odcinka MB, zaznaczonego linią przerywaną. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek prostopadły do prostej CM, w punkcie L.

Ponieważ $A L$ i $B M$ są prostopadłe do odcinka $C M$ , to są równoległe do siebie. Z założenia, że $|B M| = |A L|$ i z uogólnienia twierdzenia Talesa wynika, że:

$|A D| : |D B| = |A L| : |B M| = 1$ . Stąd $|A D| = |D B|$ .

Słownik

środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

linia środkowa w trójkącie

odcinek, który łączy środki dwóch boków w trójkącie

środek ciężkości trójkąta

punkt przecięcia środkowych trójkąta

2. Wysokości w trójkącie

M_R_W06_M4 Ortocentrum i środek ciężkości w trójkącie

1. Środkowe w trójkącie

Słownik