2. Wysokości w trójkącie

R1LvoWAxFc0lR

W szkolnej matematyce jest coraz mniej miejsca na „klasyczną” geometrię, w szczególności na zagadnienia związane chociażby z tzw. punktami szczególnymi trójkąta, np. punktami przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta, symetralnych jego boków, czy środkowych. Narzędziem, które jest niezwykle przydatne do badania istnienia takich punktów jest twierdzenie Cevy, które głosi, że jeżeli punkty $D$ , $E$ , $F$ należą odpowiednio do boków $A B$ , $B C$ , $A C$ trójkąta $A B C$ , jak na rysunku, to proste $A E$ , $B F$ , $C D$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

\frac{|A D|}{|D B|} \cdot \frac{|B E|}{|E C|} \cdot \frac{|C F|}{|F A|} = 1

RioMmYEh6wkJU

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C oraz jego trzy wysokości. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek A E padający na odcinek B C, z wierzchołka B poprowadzono odcinek B F padający na odcinek A C, natomiast z wierzchołka C poprowadzono odcinek C D padający na odcinek A B. Wszystkie trzy wewnętrze odcinki przecinają się w jednym punkcie. — Twierdzenie Cevy

I choć istnienie ortocentrum wykażemy w inny sposób, to rozwiązując ćwiczenia, zaproponowane w poniższej lekcji, będziemy korzystać z tego użytecznego twierdzenia.

Twoje cele

Usystematyzujesz wiadomości o wysokościach w trójkącie.
Skonstruujesz trójkąt o danych wysokościach.
Zbadasz zależności między bokami i wysokościami w trójkącie.
Udowodnisz twierdzenie, wysokości przecinają się w jednym punkcie.
Poznasz pojęcie trójkąta ortycznego i zbadasz jego własności.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Jeśli nie będzie to zasygnalizowane inaczej, to punkty $D$ , $E$ , $F$ będą spodkami wysokości poprowadzonych odpowiednio na bok $A B$ , $B C$ oraz $A C$ .

Wysokość trójkąta

Definicja: Wysokość trójkąta

Niech $A$ będzie wierzchołkiem trójkąta $A B C$ . Najkrótszy z odcinków łączących wierzchołek $A$ trójkąta z prostą $B C$ zawierającą przeciwległy bok nazywamy wysokością trójkąta poprowadzoną z tego wierzchołka.

RNMTVRNytfKSD

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny ABC. Z wierzchołka A opuszczono wysokość trójkąta do podstawy BC. — Wysokość trójkąta

Spodek wysokości

Definicja: Spodek wysokości

Niech $D$ będzie punktem wspólnym wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ i prostej $B C$ . Wówczas punkt $D$ będziemy nazywać spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ .

RVH8xZEmNUPVZ

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny ABC. Z wierzchołka A opuszczono wysokość trójkąta do podstawy BC, której spodek leży w punkcie D. — Spodek wysokości trójkąta

Przyjmijmy następującą definicję.

Ortocentrum

Definicja: Ortocentrum

Punkt przecięcia się trzech prostych zawierających odpowiednio wysokości trójkąta $A B C$ będziemy nazywać ortocentrum tego trójkąta.

RPdj47h0lhVNY

R6BMDCXyFJJd2

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C oraz jego trzy wysokości. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek A E padający na bok C B. Z wierzchołka B poprowadzono odcinek B C padający na przedłużenie odcinka C A. Z wierzchołka C poprowadzono odcinek C D padający na przedłużenie odcinka A B. Przedłużenia odcinków C D, A E oraz B F przecinają się w punkcie H. — Ortocentrum $H$ w trójkącie rozwartokątnym

RbZm1naHubnPC

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C z kątem prostym przy wierzchołku C. Z wierzchołka C upuszczono wysokość C D na bok A B. Wierzchołek C jest równocześnie równy H, czyli ortocentrum. — Ortocentrum $H$ w trójkącie prostokątnym

Zauważmy, że w trójkącie ostrokątnym czy prostokątnym ortocentrum jest punktem przecięcia się wysokości (odcinków), a w trójkącie rozwartokątnym jest punktem przecięcia się przedłużeń tych wysokości. Przyjęcie w definicji warunku przecinania się prostych jest ogólniejsze, co nie zmienia faktu, iż często o ortocentrum, także w przypadku trójkąta rozwartokątnego, mówi się, jako o punkcie przecinania się wysokości, a nie odpowiednich prostych i nie jest to traktowane jako błąd.

W definicji ortocentrum pojawia się warunek istnienia jednego punktu, w którym przetną się wszystkie trzy wysokości. Poniższe twierdzenie i jego dowód pokazują, że warunek ten jest spełniony dla dowolnego trójkąta.

O istnieniu ortocentrum

Twierdzenie: O istnieniu ortocentrum

Proste zawierające wysokości trójkątawysokość trójkątawysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Dowód

Rozważmy dowolny trójkąt $A B C$ i poprowadźmy przez każdy z jego wierzchołków prostą równoległą do przeciwległego boku, aż do przecięcia odpowiednio w punktach $A'$ , $B'$ , $C'$ , jak na rysunku.

RzCwuSz78XbUE

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Przez każdy z jego wierzchołków poprowadzono proste równoległe do przeciwległego boku, aż do przecięcia się tych prostych w punktach A prim, B prim oraz C prim. Wewnątrz trójkąta A B C upuszczono trzy wysokości, A E, B F oraz C D. — Dowód twierdzenia o istnieniu ortocentrum

Zauważmy, że czworokąt $A B A' C$ jest równoległobokiem, a odcinek $B C$ jest jego przekątną, stąd w szczególności trójkąty $A B C$ oraz $A' B C$ są przystające.

Podobnie, korzystając z własności równoległoboków $A B C B'$ oraz $A C' B C$ stwierdzamy, że trójkąty $A B C$ oraz $A C B'$ i $A B C$ oraz $A C' B$ są także przystające.

Stąd wynika, że punkty $A$ , $B$ , $C$ są środkami odpowiednich boków trójkąta $A' B' C'$ , a proste $A H$ , $B H$ oraz $C H$ są symetralnymi odpowiednich boków trójkąta $A' B' C'$ .

Korzystając ze znanej własności, że symetralne przecinają się w jednym punkcie otrzymujemy tezę twierdzenia.

Rzadziej przywoływaną własnością ortocentrum jest ta, o której mówi poniższe twierdzenie.

O wzajemności ortocentrum

Twierdzenie: O wzajemności ortocentrum

Niech punkt $H$ , różny od każdego z wierzchołków trójkąta $A B C$ , będzie jego ortocentrum. Wtedy każdy z wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ jest ortocentrum w trójkącie, którego wierzchołkami są punkt $H$ i pozostałe wierzchołki tego trójkąta.

Dowód

Zauważmy, że punkt $H$ będzie różny od każdego z wierzchołków trójkąta $A B C$ , tylko wtedy, gdy trójkąt ten nie będzie prostokątny.

Rozważmy trójkąt $B C H$ , jak na rysunku.

RaM2ZiFQPMAg5

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość A E, z wierzchołka B wysokość B F, natomiast z wierzchołka C wysokość C D. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H. — Dowód twierdzenia o wzajemności ortocentrum

Zauważmy wówczas, że prosta $A E$ zawiera wysokość $H E$ , prosta $A C$ zawiera wysokość $C F$ , a prosta $A B$ zawiera wysokość $B D$ trójkąta $B C H$ . Co oznacza, że punkt $A$ jest ortocentrum trójkąta $B C H$ .

Trójkąt ortyczny

Definicja: Trójkąt ortyczny

Dany jest trójkąt $A B C$ , który nie jest prostokątny. Trójkąt $D E F$ , którego wierzchołkami są spodki wysokości danego trójkąta $A B C$ nazywamy trójkątem ortycznym albo spodkowym.

RPy6b0nL4JB69

R1d7CtToLtVNb

Problemem Fagnana nazywa się problem optymalizacyjny związany z wyznaczeniem trójkąta o najmniejszym obwodzie, którego każdy z wierzchołków leży na innym z trzech boków danego trójkąta ostrokątnego. Problem ten został postawiony przez włoskiego matematyka i duchownego Giovanniego Fagnana w $1775$ roku. Okazuje się, że jego rozwiązaniem jest trójkąt ortycznytrójkąt ortycznytrójkąt ortyczny.

Przykład 1

Rozważmy trójkąt równoramienny $A B C$ o podstawie $A B$ długości $30$ i ramieniu $25$ . Wyznaczymy obwód trójkąta ortycznego oraz odległość ortocentrum trójkąta $A B C$ od jego podstawy.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RznQk2KvFSMSx

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A B C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość A E, z wierzchołka B wysokość B F, natomiast z wierzchołka C wysokość C D. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H. Wewnątrz trójkąta A B C powstał trójkąt równoramienny D E F.

Wtedy $|A B| = 30$ , $|A C| = |B C| = 25$ oraz $\cos (∢ D A C) = \frac{|A D|}{|A C|} = \frac{15}{25} = \frac{|A F|}{|A B|}$ .

Stąd $|A F| = \frac{15}{25} \cdot |A B| = 18$ .

Ponieważ $\frac{|A B|}{|A C|} = \frac{|E F|}{|F C|}$ , więc $|E F| = \frac{|A B|}{|A C|} \cdot |F C| = \frac{30}{25} \cdot (25 - 18) = \frac{42}{5}$ .

Ponadto $|C D| = \sqrt{25^{2} - 15^{2}} = 20$ oraz $\frac{|A C|}{|C D|} = \frac{|C F|}{|C G|}$ .

Stąd $|C G| = \frac{|C D|}{|A C|} \cdot |C F| = \frac{20}{25} \cdot (25 - 18) = \frac{28}{5}$ oraz $|D G| = 20 - \frac{28}{5} = \frac{72}{5}$ .

Zatem $|D F| = \sqrt{{(\frac{72}{5})}^{2} + {(\frac{21}{5})}^{2}} = 15$ .

Szukany obwód jest więc równy $30 + \frac{42}{5}$ .

Ponieważ trójkąty $A H B$ i $E H F$ są podobne w skali $\frac{30}{\frac{42}{5}} = \frac{25}{7}$ oraz $|H D| + |H G| = \frac{72}{5}$ , więc $\frac{7}{25} \cdot |H D| + |H D| = \frac{72}{5}$ .

Stąd $|H D| = \frac{45}{4}$ .

Warto wspomnieć o ciekawej własności ortocentrum – jej dowód pominiemy, ale dociekliwy uczeń może podjąć samodzielną próbę uzasadnienia.

O ortocentrum i okręgu opisanym

Twierdzenie: O ortocentrum i okręgu opisanym

Obraz ortocentrum trójkąta w symetrii względem dowolnej prostej zawierającej bok tego trójkąta leży na okręgu opisanym na tym trójkącie.

REhVQhPFEdPRi

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C oraz okrąg opisany na tym trójkącie. Z każdego wierzchołka upuszczono wysokość trójkąta. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H. Odcinek A H został przedłużony, a miejsce przecięcia się przedłużenia tego odcinka z okręgiem zaznaczono jako H indeks dolny B C koniec indeksu prim. — Twierdzenie o ortocentrum i okręgu opisanym

Polecenie 1

Uruchom symulację interaktywną. Ustal położenie wierzchołków trójkąta, a następie wybierz polecenie „Ortocentrum”. Obserwuj położenie punktu wspólnego wysokości danego trójkąta w zależności od miar kątów wewnętrznych trójkąta. Następnie wybierz polecenie „Trójkąt ortyczny”. Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta $P Q R$ i obserwuj jak zmienia się jego obwód. Kliknij przycisk „Koniec”, by porównać obwód trójkąta $P Q R$ i trójkąta ortycznego.

ReD4EVv6QKnqk

Polecenie 2

Ustal położenie wierzchołków, aby trójkąt $A B C$ był rozwartokątny. Następnie znajdź takie położenie punktów $P$ , $Q$ , $R$ , przy którym – twoim zdaniem – obwód jest najmniejszy. Oblicz błąd względny otrzymanego obwodu w stosunku do obwodu trójkąta ortycznego. Rozstrzygnij, czy w zagadnieniu Fagnana założenie o tym, że trójkąt jest ostrokątny jest konieczne.

Polecenie 3

Ustal położenie wierzchołków, aby trójkąt $A B C$ był ostrokątny. Następnie znajdź takie położenie punktów $P$ , $Q$ , $R$ , przy którym – twoim zdaniem – obwód jest najmniejszy. Oblicz błąd względny otrzymanego obwodu w stosunku do obwodu trójkąta ortycznego.

Konstrukcja trójkąta o danych wysokościach

Przypuśćmy, że mamy dane trzy odcinki o długościach $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ takie, że $h_{a} \leq h_{b} \leq h_{c}$ .

Naszym zadaniem jest opis konstrukcji trójkąta, którego wysokości są równe danym odcinkom. Z wcześniejszych rozważań wynika, że warunkiem istnienia takiego trójkąta jest spełnienie warunku $\frac{1}{h_{b}} + \frac{1}{h_{c}} > \frac{1}{h_{a}}$ .

Niech $a$ , $b$ , $c$ oznaczają długości odpowiednich boków trójkąta. Wtedy mamy w szczególności, że $\frac{1}{2} a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} b \cdot h_{b}$ .

Stąd $\frac{a}{b} = \frac{h_{b}}{h_{a}}$ . Analogicznie $\frac{a}{c} = \frac{h_{c}}{h_{a}}$ oraz $\frac{c}{b} = \frac{h_{b}}{h_{c}}$ .

Opis konstrukcji:

Weźmy dowolny niezerowy odcinek o długości $x$ .
Konstruujemy odcinek $a'$ taki, że $\frac{a'}{x} = \frac{x}{h_{a}}$ , jak na rysunku.
R1cBqnN95sxDG
Na ilustracji przedstawiono trójkąt , którego podstawę zaznaczono niebieskim kolorem o długości $h_{a}$ , lewe ramię zaznaczono kolorem różowym o długości x, a prawe ramię zawiera się na prostej k. Narysowano prostą równoległą l do prostej k oddaloną od niej o długość a prim . Podstawę trójkąta przedłużono przerywaną liną tak, że odległość między przecięciami prostych k i l z tym przedłużeniem jest równe x.
Konstrukcja boku trójkąta o danych wysokościach
Analogicznie konstruujemy odcinki $b'$ , $c'$ takie, że $\frac{b'}{x} = \frac{x}{h_{b}}$ oraz $\frac{c'}{x} = \frac{x}{h_{c}}$ .
Konstruujemy trójkąt o bokach długości $a'$ , $b'$ , $c'$ . Ponieważ $a' = \frac{x^{2}}{h_{a}}$ , $b' = \frac{x^{2}}{h_{b}}$ oraz $c' = \frac{x^{2}}{h_{c}}$ , więc $\frac{a'}{b'} = \frac{\frac{x^{2}}{h_{a}}}{\frac{x^{2}}{h_{b}}} = \frac{h_{b}}{h_{a}}$ , $\frac{a'}{c'} = \frac{\frac{x^{2}}{h_{a}}}{\frac{x^{2}}{h_{c}}} = \frac{h_{c}}{h_{a}}$ oraz $\frac{c'}{b'} = \frac{\frac{x^{2}}{h_{c}}}{\frac{x^{2}}{h_{b}}} = \frac{h_{b}}{h_{c}}$ . Oznacza to, że trójkąt o bokach długości $a'$ , $b'$ , $c'$ jest podobny do szukanego trójkąta.
Pozostaje na półprostej zawierającej jedną z wysokości trójkąta $a'$ , $b'$ , $c'$ odłożyć odpowiednią wysokość szukanego trójkąta. Bez zmniejszenia ogólności możne to być wysokość poprowadzona na bok $a'$ – wówczas na półprostej odkładamy odcinek $h_{a}$ w taki sposób, że jeden z jej końców pokrywa się z wierzchołkiem trójkąta $a'$ , $b'$ , $c'$ – będzie to wierzchołek $A$ szukanego trójkąta. Przez drugi koniec tej wysokości prowadzimy prostą równoległą do $a'$ , aż do przecięcia z przedłużeniami boków $b'$ i $c'$ , a otrzymane punkty przecięcia są wierzchołkami $B$ , $C$ szukanego trójkąta.
REJuAyeBvCODm
Konstrukcja trójkąta o danych wysokościach

Polecenie 4

Uruchom aplet. Ustal położenie wierzchołków trójkąta tak, aby trójkąt był ostrokątny, prostokątny lub rozwartokątny. Zastanów się, gdzie leżą spodki wysokości trójkąta. Wybierz polecenie „wysokości” i sprawdź swoje przypuszczenia. Następnie określ położenie punktu wspólnego wysokości danego trójkąta w zależności od miar kątów wewnętrznych trójkąta. Wybierz polecenie „ortocentrum” i sprawdź swoje przypuszczenia.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu dotyczącym wysokości w trójkącie.

RUPY2Qv3CnURt

Polecenie 5

Znajdź takie położenie wierzchołków trójkąta, dla których wysokości mają długości odpowiednio równe $h_{a} = h_{b} = 2$ , $h_{c} = 5$ .

RfRWSC27y2dZf

Polecenie 6

Znajdź możliwie najdokładniejsze oszacowanie długości, jaką może osiągać trzecia wysokość trójkąta, jeżeli dwie pozostałe są odpowiednio równe: $h_{a} = 2$ , $h_{c} = 5$ .

Wyznacz możliwie najdokładniejsze oszacowanie długości, jaką może osiągać trzecia wysokość trójkąta, jeżeli dwie pozostałe są odpowiednio równe: $h_{a} = 2$ , $h_{c} = 5$ .

Z nierówności trójkąta dla wysokości mamy: $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} > \frac{1}{h_{b}}$ , stąd $\frac{7}{10} > \frac{1}{h_{b}}$ , czyli $h_{b} > 1 \frac{3}{7}$ . Ponadto $\frac{1}{5} + \frac{1}{h_{b}} > \frac{1}{2}$ , stąd $\frac{5 + h_{b}}{5 h_{b}} > \frac{1}{2}$ , czyli $h_{b} < 3 \frac{1}{3}$ .

Ćwiczenie 1

Punkty $D$ , $E$ , $F$ są spodkami wysokości w trójkącie $A B C$ , jak na rysunku.

RPpG5RqFXiaAA

Punkty $D$ i $E$ dzielą boki trójkąta w taki sposób, że $\frac{|A D|}{|B D|} = \frac{2}{5}$ oraz $\frac{|B E|}{|C E|} = \frac{1}{3}$ . Wyznacz stosunek długości odcinków, na jakie punkt $F$ dzieli bok $A C$ .

Z twierdzenia Cevy mamy, że $\frac{|A D|}{|D B|} \cdot \frac{|B E|}{|E C|} \cdot \frac{|C F|}{|F A|} = 1$ .

Zatem $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{|C F|}{|F A|} = 1$ .

Stąd $\frac{|C F|}{|F A|} = \frac{15}{2}$ .

Ćwiczenie 2

Rozważmy trójkąt równoramienny $A B C$ o podstawie $A B$ długości $17$ . Wysokości poprowadzone do ramion trójkąta mają długości $15$ . Wyznaczymy obwód trójkąta ortycznego.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1BEoHcIje3f0

Wtedy $|A B| = 17$ , $|A E| = |B F| = 15$ oraz $|A F| = |B E| = \sqrt{17^{2} - 15^{2}} = 8$ .

$\cos (∢ C A D) = \frac{|A F|}{|A B|} = \frac{8}{17} = \frac{|A D|}{|A C|}$ . Stąd $|A C| = \frac{17}{8} \cdot |A D| = \frac{289}{16}$ .

Ponieważ $\frac{|A B|}{|A C|} = \frac{|E F|}{|F C|}$ , więc $|E F| = \frac{|A B|}{|A C|} \cdot |F C| = \frac{17}{\frac{289}{16}} \cdot (\frac{289}{16} - 8) = \frac{161}{17}$ .

Ponadto $|C D| = \sqrt{{(\frac{289}{16})}^{2} - {(\frac{17}{2})}^{2}} = \frac{255}{16}$ oraz $\frac{|A C|}{|C D|} = \frac{|C F|}{|C G|}$ .

Stąd $|C G| = \frac{|C D|}{|A C|} \cdot |C F| = \frac{\frac{255}{16}}{\frac{289}{16}} \cdot (\frac{289}{16} - 8) = \frac{2415}{272}$ oraz $|D G| = \frac{255}{16} - \frac{2415}{272} = \frac{120}{17}$ .

Zatem $|D F| = \sqrt{{(\frac{161}{34})}^{2} + {(\frac{120}{17})}^{2}} = \frac{17}{2}$ .

Szukany obwód jest więc równy $17 + \frac{161}{17}$ .

RZxJvwPjFBnFY2

Ćwiczenie 3

R13afC8l1rkgB2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

RwgFQZSry50sh

ReLZA0biC5XKN

R1KwlW3A4gQOY2

Ćwiczenie 6

W trójkącie ostrokątnym A B C, o wysokościach odpowiednio h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, odległości jego ortocentrum H od boków B C, A C, A B trójkąta są odpowiednio równe d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego. Wykaż, że początek ułamka, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, jeden.
Ułóż w kolejności etapy dowodu.

Dowód: Elementy do uszeregowania: 1. Ponieważ P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, razy, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, razy, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, razy, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, więc długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka oraz długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka., 2. Analogicznie P indeks dolny, C H A, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego oraz P indeks dolny, A H B, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego., 3. Odcinek d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego jest wysokością w trójkącie B H C, dlatego pole tego trójkąta można wyrazić, jako P indeks dolny, B H C, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego., 4. Stąd P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego., 5. Możemy zatem zapisać równość P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego., 6. Skracając ułamki i dzieląc stronami otrzymaną równość przez P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego otrzymujemy jeden, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego. Co było do udowodnienia., 7. Zauważmy, że odcinki A H, B H, C H dzielą trójkąt A B C na trzy trójkąty: A H B, B H C, C H A., 8. Zatem P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, P indeks dolny, A H B, koniec indeksu dolnego, plus, P indeks dolny, B H C, koniec indeksu dolnego, plus, P indeks dolny, C H A, koniec indeksu dolnego.

Ćwiczenie 7

Wyznacz konstrukcyjnie ortocentrum mając dane: podstawę $A B = c$ oraz wysokości $A E = h_{a}$ oraz $B F = h_{b}$ .

Opis konstrukcji:

Kreślimy dowolną prostą $k$ i na tej prostej odkładamy odcinek $A B = c$ .
Prowadzimy symetralną odcinka $A B$ i wyznaczony środek odcinka oznaczamy jako $Q$ .
Kreślimy okrąg $o_{1}$ o środku $Q$ i średnicy $A B$ .
Kreślimy okrąg $o_{2}$ o środku $A$ i promieniu $h_{a}$ .
Kreślimy okrąg $o_{3}$ o środku $B$ i promieniu $h_{b}$ .
Punkty wspólne par okręgów $o_{1}$ , $o_{2}$ oraz $o_{1}$ , $o_{3}$ oznaczamy odpowiednio jako $P$ i $R$ .
Prowadzimy proste $A R$ i $B P$ , aż do przecięcia w punkcie $C$ .
Kreślimy trójkąt $A B C$ .
R13ws4tTxxNLq
Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Odcinek A B jest średnicą okręgu ze środkiem w punkcie Q, który znajduje się na środku odcinka A B. Wierzchołek A jest środkiem łuku o promieniu h indeks dolny a koniec indeksu przecinającego okrąg o środku Q w punkcie P. Punkt P znajduje się na odcinku C B. Wierzchołek B jest środkiem łuku o promieniu h indeks dolny b koniec indeksu przecinającego okrąg o środku Q w punkcie R. Punkt R znajduje się na odcinku A C.

Pozostaje zauważyć, że proste $A R$ i $B P$ są stycznymi do odpowiednich okręgów.

RlA05CJmSDxIn3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

W trójkącie prostokątnym, w którym $h_{a} > h_{b} > h_{c}$ mamy dane: $h_{b} = 5$ , $h_{a} = 12$ . Wyznacz długość wysokości $h_{c}$ tego trójkąta.

Zauważmy, że najkrótsza z wysokości trójkąta prostokątnego jest poprowadzona na przeciwprostokątną, a dwie pozostałe wysokości są przyprostokątnymi tego trójkąta.

Oznaczmy przez $c$ przeciwprostokątną trójkąta.

Wtedy $h_{b}^{2} + h_{a}^{2} = c^{2}$ .

Stąd $c = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ .

Ponieważ $\frac{1}{2} c \cdot h_{c} = \frac{1}{2} h_{a} \cdot h_{b}$ , więc $h_{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$ .

Ćwiczenie 10

W trójkącie prostokątnym, wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość $2$ , a jedna z pozostałych wysokości ma długość $3$ . Oblicz długość trzeciej wysokości tego trójkąta.

Oznaczmy przez $h$ szukaną wysokość (przyprostokątną) trójkąta.

Wtedy przeciwprostokątna $c$ jest równa $3^{2} + h^{2} = c^{2}$ .

Ponieważ $\frac{1}{2} c \cdot 2 = \frac{1}{2} h \cdot 3$ , więc $\frac{1}{2} \sqrt{3^{2} + h^{2}} \cdot 2 = \frac{1}{2} h \cdot 3$ .

Stąd otrzymujemy, że $4 \cdot (3^{2} + h^{2}) = 9 h^{2}$ .

Stąd $5 h^{2} = 36$ , czyli $h = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ .

RVz5jHeF1wfiu2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

R7yPs1tVvNz8Q

R18TURyQUXYzU

Na rysunkach opisano miary dwóch wybranych kątów, jakie wysokości trójkąta A B C tworzą z odpowiednimi bokami. Korzystając z przedstawionych na rysunku zależności, wyznacz miarę kąta alfa.
Dopasuj miarę kąta do odpowiedniego rysunku. alfa, równa się, piętnaście stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, trzydzieści cztery stopnie Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, szesnaście stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C.

Ćwiczenie 13

W trójkącie ostrokątnym o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ i wysokościach odpowiednio $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ mamy dane $h_{a} = 3$ , $h_{b} = 4$ , $c = 6$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RK6S1wQvGmR9z

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny ABC. Z wierzchołka A opuszczono wysokość do boku AB, o długości trzy. Spodek tej wysokości leży w punkcie D. Z wierzchołka B opuszczono wysokość do boku AC, o długości cztery. Spodek tej wysokości leży w punkcie E. Z wierzchołka C opuszczono wysokość do boku AB, której spodek leży w punkcie F. Długość odcinka AF oznaczono x, natomiast długość odcinka FB oznaczono y.

Wtedy $|A E| = \sqrt{6^{2} - 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ oraz $|B D| = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3 \sqrt{3}$ .

Ponadto $tg (∢ A B C) = \frac{3}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h_{c}}{y}$ oraz $tg (∢ B A C) = \frac{4}{2 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} = \frac{h_{c}}{x}$ .

Stąd $y = \frac{2 \sqrt{15} \cdot x}{5}$ .

Ale $x + y = 6$ , czyli $x + \frac{2 \sqrt{15} \cdot x}{5} = 6$ .

Stąd $x = \frac{30}{2 \sqrt{15} + 5}$ .

Wtedy $h_{c} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{30}{2 \sqrt{15} + 5} = \frac{12 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7}$ .

Zatem pole trójkąta jest równe $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{12 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7} = \frac{36 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7}$ .

Uwaga:

Zadanie można także rozwiązać korzystając ze wzoru Herona dla wysokości.

Łatwo zauważyć, że $h_{c} = \frac{2 P}{c} = \frac{P}{3}$ .

Wtedy wzór Herona można zapisać w postaci równania z jedną niewiadomą: $\frac{1}{P} = \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{P}) (\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{P}) (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{3}{P}) (- \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{P})}$ .

Jego przekształcenie prowadzi do równania czwartego stopnia, w którym niewiadoma występuje tylko w czwartej i drugiej potędze.

Ćwiczenie 14

Przeprowadź konstrukcję trójkąta mając dane: podstawę $A B = c$ , wysokość $C P = h_{c}$ i kąt $α$ , jaki środkowa $C Q$ tworzy z bokiem $A C$ .

Opis konstrukcji:

Kreślimy dowolną prostą $k$ i na tej prostej odkładamy odcinek $A B = c$ .
Prowadzimy symetralną odcinka $A B = c$ i wyznaczony środek odcinka oznaczamy jako $Q$ .
Kreślimy miejsce geometryczne punktów, z których odcinek $A Q$ widać pod kątem $α$ : odkładamy kąt $α$ w taki sposób, że wierzchołkiem kąta będzie punkt $A$ , a jedno ramię kąta zawiera dany odcinek – drugie ramię wyznacza prostą $l$ ; kreślimy prostą prostopadłą do $l$ , przechodzącą przez punkt $A$ – otrzymujemy prostą $m$ ; kreślimy symetralną odcinka $A Q$ – punkt wspólny tej symetralnej i prostej $m$ wyznacza punkt $O$ ; z punktu $O$ kreślimy łuk o końcach w punktach $A$ i $Q$ . Środek odcinka $A Q$ oznaczamy przez $S$ .
RPVLA27G9fF7z
Na ilustracji przedstawiono okrąg wraz z poprowadzoną cięciwę k przechodząca przez punkt A i Q w prawym górnym rogu. Środek tego odcinka oznaczono literą S. Przez punkt S i Q poprowadzono przerywaną linią proste prostopadłe do tej cięciwy. Na prostej k zaznaczono również punkt B taki, że długość odcinka A Q równa się długości odcinka Q B. Poprowadzono styczną l do tego okręgu w punkcie A taką, że miara kąta między prostymi k i l wynosi alfa. Przerywaną linią zaznaczono prostą m prostopadłą do prostej l, przechodzącą przez punkt A i środek okręgu O.
Na symetralnej $S O$ odkładamy odcinek $h_{c}$ , tak, że jednym z końców odcinka jest punkt $S$ – drugi koniec oznaczamy przez $R$ .
Przez punkt $R$ prowadzimy prostą równoległą do $k$ , aż do przecięcia z łukiem o końcach $A$ i $Q$ – otrzymujemy wierzchołki $C_{1}$ i $C_{2}$ trójkąta.
RGfWjRKgIGhGn
Na ilustracji przedstawiono okrąg wraz z poprowadzoną cięciwę k przechodząca przez punkt A i Q w prawym górnym rogu. Środek tego odcinka oznaczono literą S. Przez punkt S i Q poprowadzono przerywaną linią proste prostopadłe do tej cięciwy. Na prostej k zaznaczono również punkt B taki, że długość odcinka A Q równa się długości odcinka Q B. Poprowadzono styczną l do tego okręgu w punkcie A taką, że miara kąta między prostymi k i l wynosi alfa. Przerywaną linią zaznaczono prostą m prostopadłą do prostej l, przechodzącą przez punkt A i środek okręgu O. Na dolnym lewym rogu okręgu zaznaczono również punkty $C_{1}$ oraz $C_{2}$ , które połączono z punktami A i B. Środek odcinka $C_{1} C_{2}$ oznaczono przez punkt R, tak że leży on na prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt S i środek okręgu O. Powstały w ten sposób trójkąt $A C_{2} B$ zaznaczono kolorem fioletowym, a $A C_{1} B$ kolorem niebieskim.

Pozostaje zauważyć, że konstrukcja nie zawsze będzie możliwa do wykonania. W szczególności, gdyby odcinek $h_{c}$ byłby istotnie dłuższy, to wówczas prosta przechodząca przez punkt $R$ i równoległa do $k$ nie miałaby punktów wspólnych z łukiem $A Q$ .

R19SSMxx5JU273

Ćwiczenie 15

Słownik

wysokość trójkąta

wysokością trójkąta jest najkrótszy z odcinków łączących wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok

trójkąt ortyczny

trójkąt, którego wierzchołkami są spodki wysokości danego trójkąta nazywamy jego trójkątem ortycznym

1.Środkowe w trójkącie

3. Okrąg dziewięciu punktów