3. Okrąg dziewięciu punktów

R143iqy8v5u7V

Przez trzy punkty, które nie są współliniowe można narysować dokładnie jeden okrąg.

R17qzu0mzMhfi

Ilustracja przedstawia trójkąt oraz koło. Punkty przecięcia się boków trójkąta z krawędzią okręgu to: D E F G H I, przy czym punkty E, D oraz F zaznaczono kolorem niebieskim, punkty G, H oraz I zaznaczono kolorem zielonym. Na okręgu pomiędzy punktami H i G zaznaczono na zielono punkt K. Na okręgu pomiędzy punktami F i E zaznaczono na zielono punkt L. Na okręgu pomiędzy punktami E i D zaznaczono na zielono punkt J.

W $1822$ roku Karl Wilhelm Feuerbach dokonał fascynującego odkrycia, że środki boków trójkąta oraz spodki wysokości trójkąta leżą na wspólnym okręgu. Niedługo po tym odkryciu matematycy zauważyli, że oprócz tych sześciu punków jeszcze inne trzy charakterystyczne punkty leżą na tym okręgu. Są nimi środki odcinków łączących wierzchołki trójkąta z ortocentrum, czyli z punktem przecięcia wysokości.

Okrąg ten nosi nazwę okręgu dziewięciu punktów lub okręgu Feuerbacha. Ten materiał poświęcimy badaniu własności okręgu dziewięciu punktów. Treści przedstawione w tym materiale wykraczają poza podstawę programową, jednak w dowodach korzystamy tylko z własności zawartych w podstawie programowej. Okrąg dziewięciu punktów jest ciekawym tematem i wykorzystywany jest w dowodach w zadaniach konkursowych i olimpijskich.

Twoje cele

Poznasz okrąg, na którym leży dziewięć punktów charakterystycznych dla trójkąta.
Poznasz i udowodnisz własności okręgu dziewięciu punktów.
Zastosujesz własności okręgu dziewięciu punktów w zagadnieniach matematycznych.

Przypomnijmy kilka faktów związanych z okręgami.

Przez dane trzy niewspółliniowe punkty można poprowadzić dokładnie jeden okrąg lub równoważnie, na dowolnym trójkącie można opisać dokładnie jeden okrąg.

Tematem tego materiału jest okrąg dziewięciu punktówokrąg dziewięciu punktówokrąg dziewięciu punktów, więc mamy natychmiastowy wniosek, że jeżeli wybierzemy dowolne trzy niewspółliniowe punkty z dziewięciu, to wyznaczymy ten sam okrąg tak jak każda inna trójka.

Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest prosty.

Jeśli kąt wpisany jest prosty, to jest kątem opartym na średnicy okręgu.

Jeśli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu, to wierzchołki tego trójkąta leżą na tym okręgu.

Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Prosta Eulera dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez:

ortocentrumortocentrumortocentrum tego trójkąta (punkt przecięcia prostych zawierających jego wysokości),
środek okręgu opisanego (punkt przecięcia symetralnych jego boków),
środek ciężkości trójkątaśrodek ciężkości trójkątaśrodek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowychśrodkowa trójkątaśrodkowych).

Odcinek Eulera, jest to odcinek $R O$ , gdzie $R$ jest środkiem okręgu opisanego a $O$ jest ortocentrum tego trójkąta. Jeśli trójkąt jest równoboczny to odcinek Eulera jest jednym punktem.

R34DF3ay7b1KG

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Z każdego wierzchołka liniami przerywanymi poprowadzono wysokość trójkąta, punkt przecięcia się tych wysokości punktem O. W trójkącie zaznaczono również symetralne jego boków, punkt ich przecięcia zaznaczono punktem S. Liniami przerywanymi zaznaczono w trójkącie również jego środkowe punkt och przecięcia to punkt R. W trójkącie zaznaczono odcinek RO, który przechodzi przez punkt S.

Środek ciężkości trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym dzieli odcinek Euleraodcinek Euleraodcinek Eulera w stosunku $1 : 2$ i leży w odległości jednej trzeciej od $R$ , a jeśli trójkąt jest równoboczny to pokrywa się z odcinkiem Eulera zredukowanym do jednego punktu.

Środek okręgu wpisanego w trójkąt nie leży na prostej Eulera, a w przypadku, gdy trójkąt jest równoboczny to pokrywa się z odcinkiem Eulera zredukowanym do jednego punktu.

Okrąg dziewięciu punktów

Definicja: Okrąg dziewięciu punktów

Okręgiem dziewięciu punktów w trójkącie $A B C$ nazywamy okrąg przechodzący przez środki boków tego trójkąta $A'$ , $B'$ , $C'$ , spodki wysokości $H_{A}$ , $H_{B}$ , $H_{C}$ oraz środki $S_{A}$ , $S_{B}$ , $S_{C}$ odcinków łączących punkt przecięcia $O$ wysokości trójkąta (ortocentrum) z wierzchołkami trójkąta.

Na rysunku wprowadzone są oznaczenia interesujących punktów.

R17qJ7wnQPRJz

Ilustracja przedstawia trójkąt. Na każdym z boku trójkąta zaznaczono po jednym punkcie oznaczonym primem, są to punkty A prim, B prim, C prim. Z wierzchołka leżącego pomiędzy bokami z punktami B prim i C prim linią przerywaną opuszczono wysokość na bok A prim, spodek tej wysokości podpisano H indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, na tej wysokości leży punkt podpisany S indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego. Z wierzchołka leżącego pomiędzy bokami z punktami A prim i C prim linią przerywaną opuszczono wysokość na bok B prim, spodek tej wysokości podpisano H indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, na tej wysokości leży punkt podpisany S indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, wysokość ta została wyróżniona kolorem. Z wierzchołka leżącego pomiędzy bokami z punktami A prim i B prim linią przerywaną opuszczono wysokość na bok C prim, spodek tej wysokości podpisano H indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego, na tej wysokości leży punkt podpisany S indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego. Punkt przecięcia się wysokości podpisano literą O. Punkty podpisane literą S leżą pomiędzy punktem O a wierzchołkiem, z którego opuszczone zostały wysokości.

Punkty niebieskie są środkami boków.
$A'$ oznacza środek boku $B C$ , czyli środek boku leżący naprzeciwko punktu $A$ . Analogicznie $B'$ i $C'$ .
Punkty różowe są spodkami wysokości.
$H_{A}$ oznacza spodek wysokości opuszczonej z punktu $A$ na bok $B C$ . Analogicznie $H_{B}$ i $H_{C}$ .
Punkt żółty $O$ jest punktem przecięcia wysokości. Dla uproszczenia będziemy stosowali nazwę ortocentrum.
Punkty zielone są środkami odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum.
$S_{A}$ oznacza środek odcinka $A O$ . Analogicznie $S_{B}$ , $S_{C}$ .

R1FADmtXk5jgR

Ilustracja trzy trójkąty o wierzchołkach A B C oraz okręgi, które mają punkty wspólne z trójkątami. Każda ze ścian pierwszego trójkąta ma punkt wspólny c okręgiem, Na boku BC jest to punkt A prim, na boku AC jest to punkt B prim a na boku AB jest to punkt C prim. Punkty A prim, B prim, C prim są środkami boków i wyznaczają trójkąt. Środek okręgu znajduje się wewnątrz obu trójkątów. W drugim trójkącie zaznaczono ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości oraz środki odcinków łączących wierzchołek z ortocentrum, przy czym punkt S indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego leży pomiędzy ortocentrum a wierzchołkiem A, punkt S indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego leży pomiędzy ortocentrum a wierzchołkiem B oraz punkt S indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego leży pomiędzy ortocentrum a wierzchołkiem C. Punkty S indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego oraz S indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego są wierzchołkami trójkąta. Przez te punkty przechodzi również okrąg. Środek tego okręgu znajduje się wewnątrz obu trójkątów. W trzecim trójkącie zaznaczono spodki wysokości, przy czym spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka A to H indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka B to H indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego oraz spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C to H indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego. Przez wszystkie te punkty przechodzi okrąg. Środek tego okręgu znajduje się wewnątrz trójkąta A B C ale poza trójkątem H indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego H indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego H indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego.

Na rysunkach przedstawiony jest ten sam trójkąt i okręgi opisane odpowiednio, na środkach boków trójkąta, środkach odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum, spodkach wysokości.

Na rysunku poniżej zaznaczone są omawiane punkty w trójkącie rozwartokątnym $A B C$ . Ortocentrum leży wtedy poza trójkątem $A B C$ .

R8zfN4H99Ewxj

Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny ABC . Z wierzchołka A poprowadzono wysokość na bok B C i spodek wysokości oznaczono jako punkt H indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego. Z wierzchołka B poprowadzono wysokość na przedłużenie boku A C i spodek wysokości oznaczono jako punkt H indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego. Z wierzchołka C poprowadzono wysokość na przedłużenie boku A B i spodek wysokości oznaczono jako punkt H indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego. Zaznaczano środki boków A B BC i C A odpowiednio B prim, A prim i C prim. Liniami przerywanymi zaznaczono przedłużenia każdej wysokości tak, że przecinają się w punkcie O leżącym poza trójkątem A B C. Odległość punktu O od wierzchołka A oznaczono jako S indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, odległość punktu O od wierzchołka B oznaczono jako S indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego oraz odległość punktu O od wierzchołka C oznaczono jako S indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego.

Na poniższym rysunku zaznaczone są omawiane punkty w trójkącie prostokątnym $A B C$ .

R1BPFDrQ3d7In

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny A B C taki, że kąt prosty znajduje się przy wierzchołku B. Poprowadzono z niego wysokość na przeciwprostokątną A C i spodek wysokości oznaczono jako punkt H indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego. Spodki wysokości przyprostokątnych pokrywały się z wierzchołkiem B, zatem w wierzchołku O znajduje się również ortocentrum. Środek boku A B C prim pokrywa się z środkiem odcinka O A, czyli S indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego oraz środek boku C B A prim pokrywa się z środkiem odcinka C B, czyli S indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego. Na boku A C zaznaczono jego środek jako B prim. Punkt S indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego pokrywa się z wierzchołkiem B.

Kąt prosty jest przy wierzchołku $B$ . Wtedy punkty $O$ , $H_{A}$ , $H_{C}$ , $S_{B}$ pokrywają się z wierzchołkiem $B$ . Własność ta wynika z faktu, że przyprostokątne są wysokościami trójkąta, więc wierzchołek $B$ jest ich punktem przecięcia. Ponadto, odcinek $B O$ jest punktem, więc $S_{B}$ pokrywa się z $O$ i z $B$ .

Zauważmy też, że $C'$ pokrywa się z $S_{A}$ , bo odcinki $A B$ i $A O$ są tym samym odcinkiem.

Podobnie $A' = S_{C}$ .

Przykład 1

Pokażemy, że okrąg dziewięciu punktów dla trójkąta równobocznego jest okręgiem wpisanym w ten trójkąt. Stąd środki odcinków łączących ortocentrum z wierzchołkami trójkąta leżą na okręgu wpisanym w ten trójkąt.

Rozwiązanie

Rozważmy okrąg wpisany w ten trójkąt. Jego środek leży w ortocentrum trójkąta. Stąd spodki wysokości są punktami styczności okręgu wpisanego i boków trójkąta i pokrywają się z odpowiednimi środkami boków. Zatem okrąg wpisany w trójkąt równoboczny jest okręgiem, na którym leżą spodki wysokości i środki boków, więc jest to okrąg dziewięciu punktów. Ponieważ promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi jedną trzecią wysokości, a odległość środka tego okręgu od dowolnego wierzchołka trójkąta ma długość dwóch trzecich wysokości, to środki odcinków łączących ortocentrum z wierzchołkami trójkąta leżą na okręgu wpisanym w ten trójkąt.

Własności linii łączącej środki boków trójkąta

Własność: Własności linii łączącej środki boków trójkąta

Linia środkowa w trójkącie jest to odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta.

Trójkąt, którego boki są liniami środkowymi będziemy nazywali trójkątem środkowym.

RbmD0T6Ur4cMk

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach ABC, na środku boku BC znajduje się punkt A prim, na środku boku AC znajduje się punkt B prim, a na śroku boku AB znajduje się punkt C prim. W trójkącie narysowano mniejszy trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków. Zaznaczono, że bok AC jest równoległy do A primC prim, bok BC jest równoległy do B primC prim a bok AB jest równoległy do A primB prim.

Twierdzenie o linii środkowej w trójkącie

Twierdzenie: Twierdzenie o linii środkowej w trójkącie

Linia środkowa w trójkącie jest równoległa do podstawy i długość linii środkowej jest równa połowie długości podstawy. Jeżeli odcinek łączący dwa boki trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości trzeciego boku, to odcinek ten jest linią środkową w trójkącie.

Trójkąt środkowy w trójkącie $A B C$ jest podobny do trójkąta $A B C$ w skali $1 : 2$ .

Trójkąty wyznaczone przez linie środkowe są przystające do trójkąta środkowego.

Przykład 2

Przy oznaczeniach przyjętych w tym materiale, wskażemy linie środkowe w trójkącie $A B C$ i wyznaczymy ich długości na podstawie długości boków trójkąta. Wskażemy też pary boków odpowiednich.

Rozwiązanie

Ponieważ odcinek $A' C'$ łączy środki boków $A B$ i $B C$ , to $A' C'$ jest równoległy do boku $A C$ i $|A' C'| = \frac{|A C|}{2}$ . Ponadto, bok $A' C'$ trójkąta środkowego $A' B' C'$ odpowiada bokowi $A C$ trójkąta $A B C$ .

Analogicznie dla pozostałych boków trójkąta środkowego.

Przykład 3

Pokażemy trójkąty przystające wyznaczone przez linie środkowe oraz boki odpowiadające.

Rozwiązanie

Trójkąt $A' B' C'$ jest trójkątem środkowym. Trójkąty $A B' C'$ , $A' B C'$ , $A' B' C$ są przystające do trójkąta środkowego. Bokom trójkąta środkowego odpowiadają boki pozostałych trójkątów oznaczone tym samym kolorem.

Własność środków boków trójkąta środkowego

Własność: Własność środków boków trójkąta środkowego

Środek dowolnego boku trójkąta środkowego jest środkiem odcinka łączącego spodek wysokości trójkąta środkowego opuszczonej na ten bok i spodek wysokości trójkąta przystającego opuszczonej na ten wspólny bok obu trójkątów.

Dowód

Przy oznaczeniach jak na rysunku należy pokazać, że środek $S$ odcinka $A' B'$ jest środkiem odcinka $D E$ .

R12qFYDQw6Hol

Punkty $A'$ , $E$ , $S$ , $D$ , $B'$ leżą na jednym odcinku w położeniu jak na rysunku. Ponieważ trójkąty $A' B' C'$ i $A' B' C$ są przystające, to $|A' E| = |B' D|$ . Stąd $S$ jest środkiem odcinka $D E$ .

Analogicznie dla pozostałych boków trójkąta środkowego.

Twierdzenie o trójkątach, których jednym wierzchołkiem jest ortocentrum

Twierdzenie: Twierdzenie o trójkątach, których jednym wierzchołkiem jest ortocentrum

W trójkącie $A O B$ odcinek $C' S_{A}$ jest równoległy do boku $O B$ i $|C' S_{A}| = |O S_{B}| = |B S_{B}|$ .

Odcinek $C' S_{A}$ jest równoległy do wysokości $B H_{B}$ .

Analogiczna własność zachodzi dla trójkątów $A O C$ i $C O B$ .

Dowód

Na rysunku zaznaczony jest trójkąt $A O B$ .

R1cjtPcXJAeGw

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, na środku boku BC znajduje się punkt A prim, na środku boku AC znajduje się punkt B prim, a na śroku boku AB znajduje się punkt C prim. Z wierzchołka A opuszczono wysokość na bok BC, jej spodek podpisano H indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego. Z wierzchołka B na bok AC opuszczono wysokość, którą podpisao H indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego. Z wierzchołka C opuszczono wysokość na bok AB, jej spodek podpisano H indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego. Punkt przecięcia się wysokości podpisano literą O. Na środku odcinka AO znajduje się punkt S indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, na środku odcinka BO znajduje się punkt S indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego. Na środku odcinka Co znajduje się punkt S indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego. Punkt S indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego połączono z punktem C prim.

Z definicji punkt $C'$ jest środkiem boku $A B$ , a punkt $S_{A}$ jest środkiem odcinka $A O$ .
Stąd $C' S_{A}$ jest linią środkową w trójkącie $A O B$ . Stąd mamy, że $C' S_{A} ∥ O B$ oraz $|C' S_{A}| = \frac{1}{2} |O B| = |O S_{B}| = |B S_{B}|$ . Przy czym ostatnie dwie równości wynikają z definicji $S_{B}$ jako środka odcinka $O B$ .

Ponieważ odcinek $C' S_{A}$ jest równoległy do boku $O B$ , a bok $O B$ leży na wysokości $B H_{B}$ , to z przechodniości relacji równoległości odcinek $C' S_{A}$ jest równoległy do wysokości $B H_{B}$ .

Przedstawione własności zachodzą również dla trójkątów $A O C$ i $C O B$ .

Twierdzenie o okręgu dziewięciu punktów

Twierdzenie: Twierdzenie o okręgu dziewięciu punktów

W trójkącie $A B C$ , środki $A'$ , $B'$ , $C'$ jego boków, spodki wysokości $H_{A}$ , $H_{B}$ , $H_{C}$ oraz środki $S_{A}$ , $S_{B}$ , $S_{C}$ odcinków łączących ortocentrum $O$ z wierzchołkami trójkąta leżą na jednym okręgu.

Dowód

Popatrzmy na rysunek.

R1QGD3mIxdOEY

Jeśli trójkąt $A B C$ jest równoboczny, to okrąg dziewięciu punktów jest okręgiem wpisanym w ten trójkąt. Środki boków pokrywają się z odpowiednimi spodkami wysokości, więc dziewięć charakterystycznych punktów redukuje się do sześciu i wszystkie leżą na okręgu wpisanym w ten trójkąt.

Jeśli trójkąt $A B C$ nie jest równoboczny, to możemy wybrać trzy niewspółliniowe punkty, na przykład $C'$ , $H_{C}$ , $S_{C}$ .

Prowadzimy okrąg przez punkty $C'$ , $H_{C}$ , $S_{C}$ . Trójkąt $C' H_{C} S_{C}$ zaznaczony jest na zielono.

Punkt $S_{C}$ leży na wysokości $C H_{C}$ poprowadzonej na bok $A B$ , a punkt $C'$ leży na boku $A B$ . Stąd kąt $C' H_{C} S_{C}$ jest kątem prostym. Z własności okręgu wynika, że jest kątem opartym na średnicy okręgu, więc odcinek $C' S_{C}$ jest średnicą tego okręgu.

Teraz rozważmy trójkąt $C' S_{C} A'$ .

$C' A'$ jest równoległy do $A C$ jako linia środkowa w trójkącielinia środkowa w trójkącielinia środkowa w trójkącie. Ponadto, na mocy twierdzenia o trójkątach, których jednym wierzchołkiem jest ortocentrum $A' S_{C}$ jest równoległy do $B H_{B}$ . Zatem $C' A'$ jest prostopadły do $A' S_{C}$ , a to oznacza, że kąt $∢ C' A' S_{C}$ jest kątem prostym w trójkącie o przeciwprostokątnej równej średnicy okręgu. Z własności okręgu wynika, że punkt $A'$ leży na okręgu.

Pokazaliśmy więc, punkt $A'$ leży na okręgu wyznaczonym przez punkty $C'$ , $H_{C}$ , $S_{C}$ .

Analogiczne rozważanie prowadzimy dla trójkąta $C' S_{C} B'$ .

Wynika z nich, że również punkt $B'$ leży na tym okręgu.

Stąd $5$ punktów $C'$ , $H_{C}$ , $S_{C}$ , $A'$ , $B'$ leży na jednym okręgu.

Teraz powtarzamy całe rozumowanie dla okręgu poprowadzonego przez punkty $A'$ , $H_{A}$ , $S_{A}$ oraz dla okręgu poprowadzonego przez punkty $B'$ , $H_{B}$ , $S_{B}$ .

Ostatecznie dostajemy, że

$5$ punktów $H_{C}$ , $S_{C}$ , $A'$ , $B'$ , $C'$ leży na jednym okręgu.

$5$ punktów $H_{A}$ , $S_{A}$ , $A'$ , $B'$ , $C'$ leży na jednym okręgu.

$5$ punktów $H_{B}$ , $S_{B}$ , $A'$ , $B'$ , $C'$ leży na jednym okręgu.

Ponieważ na każdym z okręgów leżą te same $3$ punkty $A'$ , $B'$ , $C'$ i ponieważ dokładnie jeden okrąg można poprowadzić przez $3$ niewspółliniowe punkty, to wszystkie $9$ punktów leży na tym samym okręgu. To kończy dowód.

Przykład 4

Pokażemy, że jeśli punkt $P$ jest równoodległy od wybranych dwóch spodków wysokości trójkąta i jednocześnie jest równoodległy od środków wybranych dwóch boków trójkąta takich, że przynajmniej jeden z nich jest różny od wybranych spodków wysokości, to $P$ jest środkiem okręgu dziewięciu punktów.

Rozwiązanie

Okrąg dziewięciu punktów jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie środkowym trójkąta i okręgiem opisanym na trójkącie o wierzchołkach w spodkach wysokości tego trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia symetralnych boków.

Jeśli punkt $P$ jest równoodległy od wybranych dwóch spodków wysokości trójkąta to leży na symetralnej trójkąta o wierzchołkach w spodkach wysokości.

Jeśli punkt $P$ jest równoodległy od wybranych dwóch środków boków trójkąta to leży na symetralnej trójkąta środkowego. Jeśli przynajmniej jeden z tych środków jest różny od wybranych spodków wysokości, to symetralne przecinają się w jednym punkcie, którym jest środek okręgu dziewięciu punktów. Stąd od razu wynika, że odległość punktu $P$ od dowolnego spodka wysokości jest równa odległości tego punktu od środka dowolnego boku trójkąta.

Średnica okręgu dziewięciu punktów

Własność: Średnica okręgu dziewięciu punktów

Średnicą okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta $A B C$ jest każdy z odcinków $A' S_{A}$ , $B' S_{B}$ , $C' S_{C}$ .

Dowód

W dowodzie twierdzenia o okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta $A B C$ wykazaliśmy, że $C' S_{C}$ jest średnicą okręgu poprowadzonego przez punkty $C'$ , $H_{C}$ , $S_{C}$ , a stąd też jest średnicą okręgu dziewięciu punktów. Przez analogię pozostałe odcinki $A' S_{A}$ , $B' S_{B}$ są też średnicami okręgu dziewięciu punktów.

Przykład 5

Odcinek łączący środek boku $B C$ trójkąta $A B C$ ze środkiem odcinka $O A$ , gdzie $O$ jest ortocentrum trójkąta $A B C$ ma długość $12$ . Wyznaczymy promień okręgu dziewięciu punktów dla tego trójkąta.

Rozwiązanie

Opisany odcinek to $A' S_{A}$ , więc $|A' S_{A}| = 12$ . Z własności średnicy okręgu dziewięciu punktów $A' S_{A}$ jest średnicą okręgu dziewięciu punktów, więc długość promienia tego okręgu wynosi $\frac{12}{2} = 6$ .

Zależność między promieniem okręgu dziewięciu punktów i promieniem okręgu opisanego

Własność: Zależność między promieniem okręgu dziewięciu punktów i promieniem okręgu opisanego

Promień $R'$ okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta $A B C$ jest równy połowie promienia $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dowód

Na okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta $A B C$ leżą środki boków tego trójkąta, więc okrąg ten jest opisany na trójkącie środkowym o którym wiemy, że jest podobny do trójkąta $A B C$ w skali $1 : 2$ .

Stąd $\frac{R'}{R} = \frac{1}{2}$ .

Przykład 6

Średnica okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta $A B C$ ma długość $a$ . Pokażemy, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie też ma długość $a$ .

Rozwiązanie

Rzeczywiście, średnica okręgu dziewięciu punktów ma długość dwa razy większą od jego promienia. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie też ma długość dwa razy większą od promienia okręgu dziewięciu punktów, więc ma długość równą długości średnicy okręgu dziewięciu punktów.

Poszukajmy związku okręgu dziewięciu punktów wyznaczonych dla danego trójkąta z symetralnymi boków trójkąta i środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie

Rozważania tej części oprzemy na rysunku, w którym linie niebieskie zawierają wysokości, linie zielone są symetralnymi boków, a linie pomarańczowe są symetralnymi linii środkowych w trójkącie.

R8GQPLR2HUx47

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, na którym opisano okrąg. W trójkącie przerywanymi liniami niebieskimi zaznaczono jego wysokości, punkt ich przecięcia podpisano literą O. W trójkącie przerywanymi liniami zielonymi zaznaczono symetralne jego boków, punkt ich przecięcia podpisano literą R. W trójkącie przerywanymi liniami pomarańczowymi zaznaczono symetralne jego linii środkowych, punkt ich przecięcia podpisano literą S. Punkty O S oraz R połączono linią. Punkt S jest środkiem okręgu, który ma punkty wspólne z trójkątem w miejscach spodków wysokości oraz w miejscach gdzie przechodzą symetralne jego boków.

Własność symetralnych trójkąta środkowego

Własność: Własność symetralnych trójkąta środkowego

Symetralna $s$ boku trójkąta środkowego w trójkącie $A B C$

jest równoległa do symetralnej $v$ odpowiadającego boku trójkąta $A B C$ oraz do prostej $d$ zawierającej wysokość trójkąta $A B C$ opuszczoną na ten odpowiadający bok,

leży między prostymi $v$ i $d$ ,

jest równoodległa od tych prostych.

R9vzmqYNaYnDr

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C . Na bokach A B, B C i A C oznaczono odpowiednio ich środki punktami C prim, A prim oraz B prim. Na trójkącie zaznaczono okrąg dziewięciu punktów, tak że został w niego wpisany trójkąt A prim B prim i C prim. Na odcinku B prim A prim zaznaczono jego środek i oznaczono punktem D, analogicznie wyznaczono środek odcinka B prim D oraz D A prim i oznaczono je punktami E i F. Przez wierzchołek C i punkt E poprowadzono prostą v, przez wierzchołek D poprowadzono równoległą prostą s i przez wierzchołek F poprowadzono trzecią prostą równoległa d.

Dowód

Z własności środków boków trójkąta środkowego, środek $D$ odcinka $A' B'$ jest środkiem odcinka $E F$ , więc $|D E| = |D F|$ .

Prosta $v$ jest prostopadła do boku $A B$ , bo jest symetralną tego boku, prosta $d$ też jest prostopadła do boku $A B$ , bo zawiera wysokość opuszczoną na ten bok. Ostatecznie prosta $s$ jest prostopadła do boku $A B$ , bo jest prostopadła do odcinka $A' B'$ , który jest równoległy do $A B$ .

To dowodzi, że proste $s$ , $v$ , $d$ są równoległe oraz odległość prostej $s$ od każdej z prostych $v$ i $d$ , jest równa i wynosi $|D E|$ . Stąd też prosta $s$ leży między prostymi $v$ i $d$ .

Analogicznie dla pozostałych boków trójkąta środkowegotrójkąt środkowytrójkąta środkowego.

Położenie środka okręgu dziewięciu punktów

Własność: Położenie środka okręgu dziewięciu punktów

Środek $S$ okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta $A B C$ jest środkiem odcinka Eulera $R O$ , gdzie $O$ jest ortocentrum tego trójkąta, a $R$ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dowód

Ortocentrum jest punktem przecięcia prostych zawierających wysokości trójkąta. Środek okręgu opisanego jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta. Stąd i z równoległości odpowiednich prostych wynika, że zaznaczony na poniższym rysunku czworokąt jest równoległobokiem. Z własności symetralnych boków trójkąta środkowego wynika, że środek $S$ okręgu dziewięciu punktów jako punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta środkowego, jest środkiem odcinka Eulera $R O$ .

RUPWq84ZpcHEW

Na ilustracji przedstawiano jest trójkąt A B C. Poprowadzono wysokości za pomocą niebieskich przerywanych prostych z wierzchołka A i C i ich spodki wysokości zaznaczono różowymi punktami odpowiednio na boku B C i A B. Miejsce przecięcia wysokości oznaczono jako punkt O, który znajduje się wewnątrz trójkąta A B C. Poprowadzono również symetralne boków A B i B C za pomocą zielonych przerywanych prostych. Miejsce ich przecięcia wyznacza środek okręgu opisanego na tym trójkącie i oznaczono go jako punkt R. W trójkącie A B C poprowadzono symetralne boków trójkąta środkowego. Miejsce ich przecięcia oznaczono jako S i jest to środek okręgu dziewięciu punktów. Dodatkowo punkt S stanowi miejsce przecięcia przekątnych równoległoboku powstałego wewnątrz okręgu dziewięciu punktów. Punkty O i R stanowią dwa przeciwległe wierzchołki równoległoboku. Boki pionowe zawierają się na symetralnej boku AB oraz wysokości poprowadzonej z wierzchołka C, boki poziome zawierają się w wysokości poprowadzonej z wierzchołka A i symetralnej boku B C.

Polecenie 1

Poruszaj punktami $A$ , $B$ , $C$ , tak by uzyskać trójkąt: równoboczny, równoramienny, prostokątny, ostrokątny, rozwartokątny.

Dla każdego rodzaju trójkąta:

obserwuj zachowanie odcinka Eulera i wzajemne położenie punktów $O$ , $R$ , $S$ ,
obserwuj zachowanie okręgu dziewięciu punktów i okręgu opisanego na trójkącie,
obserwuj, położenie dziewięciu punktów i sytuacje, gdy niektóre z nich się pokrywają.

Poruszano punktami $A$ , $B$ , $C$ , tak by uzyskać trójkąt: równoboczny, równoramienny, prostokątny, ostrokątny, rozwartokątny.

Dla każdego rodzaju trójkąta:

obserwowano zachowanie odcinka Eulera i wzajemne położenie punktów $O$ , $R$ , $S$ ,
obserwowano zachowanie okręgu dziewięciu punktów i okręgu opisanego na trójkącie,
obserwowano, położenie dziewięciu punktów i sytuacje, gdy niektóre z nich się pokrywają.

Zapoznaj się z opisem apletu dla trzech różnych rodzajów trójkątów, a następnie wykonaj ćwiczenia sprawdzające.

RulFnNkFxCzva

Polecenie 2

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

R1HioIqx9Jt3a

R1J7Qj45ktelh

R1MfwHo7eTnLi

R6sByLj5DBN8p

RO6GzyXhYliXN

RBguzguqh1tBH1

Ćwiczenie 1

R1RyV3r6kdGr31

Ćwiczenie 2

R1c5pstoNISPQ1

Ćwiczenie 3

R1dBQuHxqfRCB1

Ćwiczenie 4

R1OD4qjjPlnBw2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca.

RsQGoO3gzzuoP

RZoz0b9CYwF98

R1PZEflOL8WZj

Ćwiczenie 7

Dany jest trójkąt o bokach $5$ , $5$ , $8$ . Wyznacz długość promienia okręgu dziewięciu punktów.

Skorzystamy z własności, że promień okręgu dziewięciu punktów jest połową promienia $R$ okręgu opisanego na trójkącie. Korzystamy ze wzoru $R = \frac{a b c}{4 P}$ , oraz ze wzoru Herona $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p$ jest połową obwodu trójkąta.

Wtedy $p = \frac{5 + 5 + 8}{2} = 9$ , $P = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1} = 12$ .

Stąd $R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 12} = \frac{25}{6}$ .

Ostatecznie, promień okręgu dziewięciu punktów ma długość $\frac{R}{2} = \frac{25}{12}$ .

Promień okręgu dziewięciu punktów ma długość $\frac{25}{12}$ .

Ćwiczenie 8

Ortocentrum trójkąta $A B C$ leży w odległości $4$ od wierzchołka $C$ i w odległości $13$ od spodka wysokości opuszczonej na bok $A B$ . Odległość spodka wysokości opuszczonej na bok $A B$ od środka tego boku wynosi $4$ . Wyznacz długość promienia okręgu dziewięciu punktów.

Wyznaczymy długość średnicy okręgu dziewięciu punktów i skorzystamy z własności, że średnicą okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta $A B C$ jest każdy z odcinków $A' S_{A}$ , $B' S_{B}$ , $C' S_{C}$ . Z danych podanych w zadaniu, będziemy mogli wyznaczyć długość odcinka $C' S_{C}$ .

R1QGD3mIxdOEY

Niech $O$ oznacza ortocentrum tego trójkąta.

Z treści zadania wynika, że mamy trójkąt prostokątny $C' H_{C} S_{C}$ o długościach przyprostokątnych $|C' H_{C}| = 4$ , $|H_{C} S_{C}| = |H_{C} O| + \frac{|O C|}{2} = 13 + 2 = 15$ . Wierzchołki tego trójkąta leżą na okręgu dziewięciu punktów, a ponieważ trójkąt jest prostokątny, to jego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu dziewięciu punktów.

Wyznaczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa ${|C' S_{C}|}^{2} = 4^{2} + 15^{2} = 241$ .

Stąd długość promienia okręgu dziewięciu punktów wynosi $\frac{\sqrt{241}}{2}$ .

Długość promienia okręgu dziewięciu punktów wynosi $\frac{\sqrt{241}}{2}$ .

Ćwiczenie 9

W trójkącie $A B C$ środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest odległy od środka ciężkości tego trójkąta o $1$ . Jaka jest odległość środka okręgu dziewięciu punktów od ortocentrum tego trójkąta?

Środek ciężkości trójkąta dzieli odcinek Eulera w stosunku $1 : 2$ i leży bliżej środka okręgu opisanego niż ortocentrum. Stąd odcinek Eulera ma długość $3$ .

Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie odcinka Eulera, więc jest odległy od ortocentrum o $\frac{3}{2}$ .

Odległość ta wynosi $\frac{3}{2}$ .

Słownik

ortocentrum

punkt przecięcia prostych zawierających wysokości trójkąta

odcinek Eulera

odcinek $R O$ , gdzie $R$ jest środkiem okręgu opisanego a $O$ jest ortocentrum tego trójkąta; jeśli trójkąt jest równoboczny to odcinek Eulera jest jednym punktem

okrąg dziewięciu punktów

okrąg przechodzący przez środki boków trójkąta, spodki jego wysokości oraz środki odcinków łączących ortocentrum z wierzchołkami trójkąta

linia środkowa w trójkącie

odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta

trójkąt środkowy

trójkąt, którego boki są liniami środkowymi w trójkącie

środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

środek ciężkości trójkąta

punkt przecięcia jego środkowych

2. Wysokości w trójkącie

M_R_W06_M4 Ortocentrum i środek ciężkości w trójkącie

3. Okrąg dziewięciu punktów

Słownik