1. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

R16W1uHlHZq8J

RrKl1F8CRf6W71

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O oraz o promieniu r=1. Na okręgu rozpięta jest pionowa cięciwa, do której obu końców poprowadzono promienie. W ten sposób utworzono trójkąt. Ze środka poprowadzono linią przerywaną poziomy promień, który podzieł ten trójkąt na dwa. Przy wierzchołku O zaznaczono w obu mniejszych trójkątach kąt α - są to kąty znajdujące się między promieniami poprowadzonymi do wierzchołków cięciwy a promieniem poziomym narysowanym linią przerywaną. Promień poziomy dzieli cięciwę na pół. Jej górna część została wyróżniona kolorem i podpisana jako sinα.

Po raz pierwszy sinus został zdefiniowany przez indyjskiego matematyka Aryabhata (476–550 n.e.) w dziele „Aryabhata Siddhanta”. Jego definicja została przedstawiona jako związek między połową kąta i połową cięciwy i obowiązuje do dziś.

Niezwykle ciekawe jest pochodzenie słowa „sinus”, które po łacinie oznacza… zatokę, a po arabsku – połowę cięciwy. Skąd taka rozbieżność? Wspomniany wcześniej Aryabhata myśląc o sinusie, posługiwał się słowem anardha‑jiva, co w języku arabskim oznacza połowę cięciwy. Słowo to zostało później skrócone do „jiva” i w dalszej kolejności transliterowane do arabskiego „jiba”. Interesujące jest to, że w języku arabskim „jiba” i „jaib” (zatoka) pisze się tak samo. Pochodzący z Europy tłumacze: Robert z Chester i Gerardo z Cremony pomylili więc te dwa słowa i stąd rozbieżność w tłumaczeniu arabskiego i łacińskiego sinusa.

Aryabhata stworzył także tablice trygonometryczne, zawierające między innymi wartości funkcji sinus dla kątów od $0 °$ do $90 °$ co $3,75$ stopnia, z dokładnością do czterech miejsc znaczących. Zmodyfikowanych tablic trygonometrycznych odwołujących się do wartości kątów co $1 °$ używamy do dziś, choć coraz częściej korzystamy w obliczeniach z kalkulatorów lub programów komputerów.

Twoje cele

Poznasz definicję sinusa kąta (ostrego).
Wyznaczysz sinus kąta w trójkącie prostokątnym.
Określisz kąt na podstawie wartości sinusa.
Zastosujesz dane z tablic trygonometrycznych.
Wykorzystasz własności funkcji sinus do rozwiązywania problemów matematycznych

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $x$ , $y$ i przeciwprostokątnej $z$ .

sinus kąta

Definicja: sinus kąta

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnymSinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $α$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przeciwprostokątnej.

RMn4JpI4Mvtc0

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x, pionowej przyprostokątnej y oraz o przeciwprostokątnej z. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami x i y oraz kąt α między bokami x i z. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

\sin α = \frac{y}{z}

Przykład 1

Obliczymy wartości sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymsinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R1KC5UXYfGyaG

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna ma długość 4. Pozioma przyprostokątna ma długość 6. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między dłuższą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Oznaczmy długość przeciwprostokątnej jako $x$ .

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że $4^{2} + 6^{2} = x^{2}$ .

Z równania otrzymujemy, że $x^{2} = 52$ , zatem $x = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ lub $x = - \sqrt{52} = - 2 \sqrt{13}$ .

Ponieważ $x > 0$ , więc $x = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .

Z definicji funkcji sinus otrzymujemy, że:

$\sin α = \frac{6}{2 \sqrt{13}} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ,

$\sin β = \frac{4}{2 \sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

Ważne!

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi zależność:

0 < \sin α < 1

Wyjaśnienie tej nierówności można zapisać w dwóch krokach:

nierówność $\sin α > 0$ wynika wprost z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym,
ponieważ w dowolnym trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej jest zawsze mniejsza od długości przeciwprostokątnej, zatem:
$\sin α = \frac{a}{c} < \frac{c}{c} = 1$ .

Przykład 2

Wyznaczymy $\sin α$ w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku poniżej.

RKeKDTpoGXGtF

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości 5, pionowej przyprostokątnej o długości 3 oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami o długościach 3 i 5 oraz kąt α między podstawą a przeciwprostokątną c. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $5^{2} + 3^{2} = c^{2}$ . Zatem długość przeciwprostokątnej jest równa $c = \sqrt{34}$ .

Korzystając z definicji sinusasinusa dostajemy:

\sin α = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3 \sqrt{34}}{34} .

Wyznaczymy wartości sinusów niektórych kątów ostrych. Wykorzystamy do tego trójkąty charakterystyczne.

R1bUxNLlimHA9

Grafika przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy trójkąt jest równoramienny. Przyprostokątne mają długość a. Przeciwprostokątna ma długość a2. Kąty między przeciwprostokątnymi a przyprosotkątną wynoszą 45 stopni. Krótsza przyprostokątna drugiego trójkąta ma długość a. Dłuższa przyprostokątna ma długość a3. Przeciwprostokątna ma długość 2 a. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną a przeciwprostokątną ma 60 stopni. Kąt między dłuższą przyprostokątną a przeciwprostokątną ma 30 stopni.

Korzystając z definicji funkcji sinus, otrzymujemy, że:

\sin 30 ° = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

\sin 45 ° = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Przykład 3

Wyznaczymy wartość wyrażenia $\frac{2 \sin 30 ° - \sin 60 °}{3 \sin 45 °}$ .

Po podstawieniu mamy:

$\frac{2 \sin 30 ° - \sin 60 °}{3 \sin 45 °} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} =$

$= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3 \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{6}$ .

Przykład 4

Wiadomo, że suma sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Obliczymy iloczyn sinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RqacGKulTgdTS

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Wierzchołki prostokąta to kolejno: A, B, C. Przeciwprostokątna AB jest podpisana literą c. Pionowa przyprostokątna AC jest podpisana literą b. Pozioma przyprostokątna BC jest podpisana literą a. Kąt pomiędzy przyprostokątną b i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między przyprostokątną a i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Z rysunku mamy, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Wiadomo, że $\sin α + \sin β = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Podnosząc obie strony równania do kwadratu, mamy, że:

${(\frac{a}{c} + \frac{b}{c})}^{2} = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$ .

Po przekształceniu równanie jest postaci:

$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{c^{2}} = \frac{12}{9}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc $\frac{c^{2} + 2 a b}{c^{2}} = \frac{12}{9}$ .

Równanie możemy zapisać w postaci $1 + \frac{2 a b}{c^{2}} = \frac{12}{9}$ .

Zatem $\frac{a b}{c^{2}} = \frac{2}{3}$ , więc $\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{2}{3}$ .

Po podstawieniu, zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami, otrzymujemy, że $\sin α \cdot \sin β = \frac{2}{3}$ .

Przykład 5

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $10$ , jeżeli wiadomo, że sinus jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od sinusa drugiego kąta ostrego.

R6OZAfTMdFzeq

Z warunków zadania wynika, że $\sin α = 2 \sin β$ oraz $c = 10$ .

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Po podstawieniu do zależności $\sin α = 2 \sin β$ mamy, że:

$\frac{a}{c} = 2 \cdot \frac{b}{c}$ , czyli $a = 2 b$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że

$c^{2} = b^{2} + {(2 b)}^{2}$ , więc $c = \sqrt{5} b$ .

Otrzymujemy równanie $10 = \sqrt{5} b$ , zatem $b = 2 \sqrt{5}$ .

Zatem przyprostokątne mają długości $a = 4 \sqrt{5}$ oraz $b = 2 \sqrt{5}$ .

Przykład 6

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry oraz $\sin α = \frac{2}{3}$ , to $α > 30 °$ .

Wprowadźmy następujące oznaczenia, jak na rysunku:

R1SwF8B2hMFVJ

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna ma długość 2. Przeciwprostokątna ma długość 3. Kąt pomiędzy drugą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa.

Z rysunku możemy odczytać, że $\sin α = \frac{2}{3}$ .

Następnie przedłużmy przyprostokątną leżącą przy kącię prostym tak, aby przeciwprostokątna była długości $4$ i oznaczmy otrzymany kąt jako $β$ .

R1ExssM0gtxeJ

Grafika przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Trójkąty te mają wspólną przyprostokątną. Jest to przyprostokątna o pionowej orientacji i ma długość 2. Przeciwprostokątna mniejszego trójkąta ma długość 3. Kąt między poziomą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Drugi trójkąt ma przeciwprostokątną o długości 4. Kąt między jego drugą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Z rysunku mamy, że $\sin β = \frac{2}{4}$ , co oznacza że $β = 30 °$ .

Ponieważ $α > β$ , więc $α > 30 °$ .

Ważne!

Funkcja sinus jest funkcją rosnącą dla $α \in (0, 90 °)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenie.

RC7R9PtJGlNa9

Infografika przedstawia własności funkcji sinus. W lewym górnym rogu znajduje się rysunek trójkąta prostokątnego. Przeciwprostokątna jest podpisana literą c. Pionowa przyprostokątna jest podpisana literą b. Pozioma przyprostokątna jest podpisana literą a. Kąt pomiędzy przyprostokątną b i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między przyprostokątną a i przeciwprostokątną jest podpisany dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa. Obok trójkąta znajdują się następujące informacje: sinus alfa, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka oraz sinus nawias dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka.
Definicja: Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Na infografice wypisane zostały dwie własności:
pierwsza: zero, mniejszy niż, sinus alfa, mniejszy niż, jeden
oraz
druga: dla kąta ostrego funkcja sinus alfa jest funkcją rosnącą.
Na końcu infografiki zaproponowano następujący przykład: Wyznaczymy wartości sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 5 i 12 oraz kątach alfa i beta.
Rozwiązanie: Na początku znajduje się grafika, która przedstawia trójkąt prostokątny. Wierzchołki trójkąta to kolejno: A, B, C. Pionowa przyprostokątna A C ma długość pięć. Pozioma przyprostokątna B C ma długość dwanaście. Przeciwprostokątna A B jest podpisana literą c. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między dłuższą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta. x to długość przeciwprostokątnej
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, czyli x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto sześćdziesiąt dziewięć, stąd x, równa się, trzynaście.
sinus alfa, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, sinus BETA, równa się, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka.

Polecenie 2

Wiadomo, że iloczyn sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{1}{5}$ . Wyznacz sumę sinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RAxd9DWrdRrVn

Z rysunku mamy, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Wiadomo, że $\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{5}$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{5}$ .

Mamy wyznaczyć $\sin α + \sin β$ .

Podnosząc to wyrażenie do kwadratu, otrzymujemy, że ${(\sin α + \sin β)}^{2} = {(\frac{a}{c} + \frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{c^{2}}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc ${(\sin α + \sin β)}^{2} = \frac{c^{2} + 2 a b}{c^{2}} = 1 + 2 \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c}$ .

Zatem ${(\sin α + \sin β)}^{2} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{5}$ .

Otrzymujemy, że $\sin α + \sin β = \frac{\sqrt{35}}{5}$ lub $\sin α + \sin β = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Ponieważ w trójkącie prostokątnym $\sin α > 0$ oraz $\sin β > 0$ , zatem $\sin α + \sin β = \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Przykład 7

Na podstawie tablic trygonometrycznych odczytamy $\sin 25^{\circ}$ .

R1D6DhbSOoqbm

Tabela przedstawia wartości wybranych funkcji trygonometrycznych na kilku wartości kąta i składa się z pięciu kolumn i z sześciu wierszy, przy czym wiersz pierwszy jest wierszem nagłówkowym, w którym mamy od lewej: α, sinα, cosα, tgα, ctgα. Wiersz drugi przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta α o mierze dwudziestu trzech stopni. Wartości te to: sinα=0,3907, cosα=0,9205, tgα=0,4245, ctgα=2,3559. Wiersz trzeci przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta α o mierze dwudziestu czterech stopni. Wartości te to: sinα=0,4067, cosα=0,9135, tgα=0,4452, ctgα=2,2460. Wiersz czwarty przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta α o mierze dwudziestu pięciu stopni. Wartości te to: sinα=0,4226, cosα=0,9063, tgα=0,4663, ctgα=2,1445. Wiersz piąty przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta α o mierze dwudziestu sześciu stopni. Wartości te to: sinα=0,4384, cosα=0,8988, tgα=0,4877, ctgα=2,0503. Wiersz szósty przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta α o mierze dwudziestu siedmiu stopni. Wartości te to: sinα=0,4540, cosα=0,8910, tgα=0,5095, ctgα=1,9626.

Zatem $\sin 25^{\circ} = 0, 4226$ .

Przykład 8

Wyznaczymy przybliżoną wartość kąta $α$ w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku poniżej.

Rmmntrl1BNinp

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 6 oraz o przeciwprostokątnej o długości 8. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt α między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Na podstawie danych z rysunku otrzymujemy:

\sin α = \frac{6}{8} = 0, 75.

Z tablic matematycznych odczytujemy przybliżoną wartość kąta:

α \approx 49 ° .

Przykład 9

Na podstawie rysunku wyznacz odległość $x$ .

RxpNOkn5GH1T3

Zdjęcie przedstawia wysokie drzewo iglaste, na które naniesiono grafikę przedstawiającą trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 6 oraz o przeciwprostokątnej o długości x. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt o mierze sześćdziesięciu trzech stopni między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., Qgroom, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Korzystając z definicji sinusa dla kąta prostego, otrzymujemy

sin 63 ° = \frac{6}{x} .

Przekształcając wzór dostajemy

x = \frac{6}{sin 63 °} \approx \frac{6}{0, 89} \approx 6, 74 .

Polecenie 3

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Zobacz, jak można wyznaczyć odległość, wykorzystując funkcje trygonometryczne.

RcvMOW0saVOL6

R4eJj9tfKFNTa

R1Jd5kl0d5ZLQ

RN1YsMO5toVD5

R1TAyCh4FmFww

Polecenie 4

Zaproponuj inną metodę wyznaczenia wysokości na jakiej znajduje się nadajnik GSM.

Ćwiczenie 1

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach $a, b, c$ jak na rysunku poniżej.

ReYqKYZLveTRN

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie b, pionowej przyprostokątnej a oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b oraz kąt α między bokami b i c.

R18QAon7KY2yG

R1ALUeXsPAIsi1

Ćwiczenie 2

R1F8rLRcMirIX2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach $6$ oraz $8$ jak na rysunku poniżej.

RWUhjK3GnyKDU

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 6 i poziomej przyprostokątnej o długości osiem. Między tymi bokami oznaczono kąt prosty. Między bokiem o długości 8 a przeciwprostokątną oznaczono kąt wewnętrzny alfa.

R1Dm0dHLdiWYb

Ćwiczenie 5

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej o długości $x$ oraz o przeciwprostokątnej o długości $25$ , jak na rysunku poniżej.

ROsCW2ouDghti

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej o długości x. Między przyprostokątnymi oznaczono kąt prosty. Między bokiem o długości x a przeciwprostokątną o długości 25 oznaczono kąt wewnętrzny alfa.

RvwBqdMtxDmns

R1KnFNnv9EDVA2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Drabinę o długości $1, 85$ m oparto o ścianę. Pod jakim kątem do poziomu jest ona oparta, jeśli sięga na wysokość $152 cm$ ?
Wynik podaj z dokładnością do $1 °$ .

R4P6yGgGJaGed

Rysunek przedstawia fragment budynku i opartą o jego boczną ścianę drabinę. Odległość od ziemi do punktu oparcia drabiny na ścianie budynku wynosi h, długość drabiny wynosi h. Drabina oparta jest pod kątem α i jest to kąt wewnętrzny trójkąta prostokątnego, którego pionowa przyprostokątna to fragment ściany budynku od ziemi do punktu oparcia drabiny, sama drabina to przeciwprostokątna, a poziomą przyprostokątną jest poziomy odcinek od budynku do drugiego końca drabiny stojącego na ziemi.

Wprowadźmy oznaczenia:

$h$ – wysokość, na jaką sięga drabina; $h = 152 cm$
$d$ – długość drabiny; $d = 1, 85 m = 185 cm$

Skorzystamy z definicji sinusa kąta w trójkącie prostokątnym: $\sin α = \frac{h}{d}$ .

Zatem: $\sin α = \frac{152}{185} \approx 0, 8216$ .

Odczytamy wartość kąta z tablic trygonometrycznych: $α \approx 55 °$ .

Ćwiczenie 8

W trójkącie równoramiennym długość wysokości jest o $20 %$ większa od długości podstawy. Wyznacz sinus większego z kątów tego trójkąta.

Rc7184paKuA1t

Rysunek przedstawia trójkąt równoramienny o długości ramion c i o poziomej podstawie 2c. Z górnego wierzchołka opuszczono pionową wysokość h, która podzieliła trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. W prawym trójkącie oznaczono dwa kąty wewnętrzne. Kąt prosty między wysokością a podstawą oraz kąt α między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną c.

Wprowadźmy oznaczenia:

$2 a$ – długość podstawy trójkąta
$h$ – długość wysokości trójkąta; $h = 120 % \cdot 2 a = 2, 4 a$
$c$ – długość przeciwprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długość przeciwprostokątnej:

$a^{2} + {(2,4 a)}^{2} = c^{2}$
$a^{2} + 5, 76 a^{2} = c^{2}$
$6,76 a^{2} = c^{2}$
$c = 2,6 a$ .

Większy kąt ostry tego trójkąta leży naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej, zatem: $\sin α = \frac{2,4 a}{2,6 a} = \frac{12}{13}$ .

Ćwiczenie 9

ROzTvYHAS14fa

Ćwiczenie 10

RWOogfrST3DIj

Ćwiczenie 11

Wybierz poprawne wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych z rysunku.

R14G69YPyZCo5

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna ma długość 3, pozioma przyprostokątna ma długość sześć. Kąt pomiędzy dłuższą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

RwnAmVhxvDHfG

Ćwiczenie 12

R1WKv8kte8m9L

Ćwiczenie 13

R12X2nIXFk5no

Ćwiczenie 14

RvewxwNB2gaEI

Ćwiczenie 15

R1RGNqtf8dKf7

Ćwiczenie 16

Wykaż, że suma kwadratów sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $1$ .

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R122WUmrMlay4

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Pozioma przyprostokątna A C ma długość b, pionowa przyprostokątna B C ma długość a, natomiast przeciwprostokątna A B ma długość c. Kąty wewnętrzne figury to: kąt ostry alfa przy wierzchołku A, kąt ostry beta przy wierzchołku B oraz kąt prosty przy wierzchołku C.

Mamy pokazać, że $\sin^{2} α + \sin^{2} β = 1$ .

Z rysunku możemy odczytać, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Po podstawienu do lewej strony równania $\sin^{2} α + \sin^{2} β = 1$ otrzymujemy, że:

$\frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , zatem $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$ .

Słowniczek

sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej

2. Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

M_R_W07_M1 Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

1. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Słowniczek