2. Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

R7cRA5QKeeoJx

Stosunków długości boków w trójkącie prostokątnym używano już w starożytnej Grecji, w dziełach Euklidesa i Archimedesa. Do rozwoju trygonometrii w matematyce przyczyniły się takie osoby jak Mikołaj Kopernik, czy Isaac Newton.

Funkcja cosinus powstała przez złożenie łacińskiego co– (wspólnik, towarzysz) i słowa sinus. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego. Przedrostek „ko–” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty.

tym materiale omówimy własności funkcji cosinus w kontekście trójkąta prostokątnego.

Twoje cele

Zdefiniujesz funkcję cosinus w trójkącie prostokątnym.
Obliczysz wartości funkcji cosinus kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.
Zastosujesz definicję funkcji cosinus oraz jej własności do rozwiązywania problemów matematycznych.

Wprowadźmy definicję funkcji cosinus kąta ostregocosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Definicja: cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy iloraz długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

RPVx3I3OAOB8b

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, która jest jednocześnie bokiem CB, o pionowej przyprostokątnej b, która jest bokiem AC oraz o przeciwprostokątnej c, która jest bokiem AB. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Przy wierzchołku C oznaczono kąt prosty, przy wierzchołku B oznaczono kąt β, a przy wierzchołku A oznaczono kąt α.

Do oznaczenia funkcji cosinus używa się skrótu cos.

Wzór funkcji cosinus zapisujemy słownie:

$cosinus kąta ostrego = \frac{długość przyprostokątnej leżącej przy kącie}{długość przeciwprostokątnej}$

Zapisując za pomocą symboli matematycznych, mamy, że:

$\cos α = \frac{b}{c}$ ,

$\cos β = \frac{a}{c}$ .

Powyższą definicję zastosujemy do wyznaczania wartości cosinusów kątów ostrych w trójkątach prostokątnych.

Przykład 1

Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R1SGVgJ5FSZVb

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości 6 i o pionowej przyprostokątnej o długości 3. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między opisanymi wyżej bokami, kąt β między przeciwprostokątną a podstawą o długości 6 oraz kąt α między przyprostokątną a bokiem o długości 3.

Rozwiązanie:

Oznaczmy długość przeciwprostokątnej jako $x$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $3^{2} + 6^{2} = x^{2}$ .

Z równania wynika, że $x^{2} = 45$ , zatem $x = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ lub $x = - \sqrt{45} = - 3 \sqrt{5}$ .

Ponieważ $x > 0$ , więc $x = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ .

Z definicji funkcji cosinus otrzymujemy, że:

$\cos α = \frac{3}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ,

$\cos β = \frac{6}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Ważne!

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi zależność:

0 < \cos α < 1

Wyjaśnienie tej nierówności można zapisać w dwóch krokach:

nierówność $\cos α > 0$ wynika wprost z definicji funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym,
ponieważ w dowolnym trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej jest zawsze mniejsza od długości przeciwprostokątnej, zatem:
$\cos α = \frac{b}{c} < \frac{c}{c} = 1$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wartość cosinusa mniejszego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, jeżeli jedna przyprostokątna trójkąta ma długość $5$ , a przeciwprostokątna długość $10$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R5og477hgJKnH

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x, pionowej przyprostokątnej o długości 5 oraz o przeciwprostokątnej o długości 10. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między podstawą a bokiem o długości 5, kąt α między przeciwprostokątną a podstawą oraz kąt β między przyprostokątną a bokiem o długości 5.

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza długość drugiej przyprostokątnej. Wtedy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, rozwiązujemy równanie:

$x^{2} + 5^{2} = 10^{2}$ .

Zatem $x^{2} = 75$ , wobec tego

$x = 5 \sqrt{3}$ lub $x = - 5 \sqrt{3}$ .

Ponieważ $x$ jest długością boku, zatem $x = 5 \sqrt{3}$ .

W dowolnym trójkącie kąt o najmniejszej mierze leży naprzeciwko najkrótszego boku, zatem mniejszym kątem ostrym jest kąt o mierze $α$ .

Wobec tego

$\cos α = \frac{5 \sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia $\sqrt{3 - 2 \cos^{2} α}$ , jeżeli $α$ jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, leżącym przy dłuższej przyprostokątnej, wiedząc że krótsza przyprostokątna trójkąta ma długość $3 \sqrt{3}$ , a przeciwprostokątna ma długość $2 \sqrt{15}$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R1J2Il9PYnZC5

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x, pionowej przyprostokątnej o długości 33 oraz o przeciwprostokątnej o długości 215. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między podstawą a bokiem o długości 33, kąt α między przeciwprostokątną a podstawą oraz kąt β między przyprostokątną a bokiem o długości 33.

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza długość dłuższej przyprostokątnej.

Wówczas, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy i rozwiązujemy równanie:

$x^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2} = {(2 \sqrt{15})}^{2}$ .

Zatem $x^{2} = 33$ , czyli $x = \sqrt{33}$ .

Dłuższa przyprostokątna ma długość $\sqrt{33}$ , zatem kąt ostry leżący przy tym boku ma miarę $α$ .

Wobec tego:

$\cos α = \frac{\sqrt{33}}{2 \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{495}}{30}$ .

Wartość wyrażenia $\sqrt{3 - 2 \cos^{2} α}$ wynosi $\sqrt{3 - 2 \cdot {(\frac{\sqrt{495}}{30})}^{2}} = \sqrt{3 - 2 \cdot \frac{495}{900}} = \sqrt{\frac{171}{90}} = \frac{\sqrt{190}}{10}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $12$ , jeżeli wiadomo, że cosinus jednego kąta ostrego jest trzy razy większy od cosinusa drugiego kąta ostrego.

RPVx3I3OAOB8b

Z warunków zadania wynika, że $\cos α = 3 \cos β$ oraz $c = 12$ .

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Po podstawieniu do zależności $\cos α = 3 \cos β$ mamy, że:

$\frac{b}{c} = 3 \cdot \frac{a}{c}$ , czyli $b = 3 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $c^{2} = a^{2} + {(3 a)}^{2}$ , więc $c = \sqrt{10} a$ .

Otrzymujemy równanie $12 = \sqrt{10} a$ , zatem $a = \frac{6 \sqrt{10}}{5}$ .

Zatem przyprostokątne mają długości:

$a = \frac{6 \sqrt{10}}{5}$ ,

$b = 3 \cdot \frac{6 \sqrt{10}}{5} = \frac{18 \sqrt{10}}{5}$ .

Przykład 5

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $4 \sqrt{2}$ , a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość $4$ . Obliczymy cosinus kąta pomiędzy wysokością tego trójkąta a ramieniem.

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt równoramienny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RLmnXSJFu5dQz

Rysunek przedstawia trójkąt równoramienny o podstawie o długości 42 i ramieniu x. Z górnego wierzchołka upuszczono na podstawę wysokość o długości 4 i oznaczono kąt prosty między wysokością a podstawą. Między wysokością a ramieniem x zaznaczono kąt α.

Do wyznaczenia wartości $\cos α$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

R1TpfR2pxLfAT

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości 22 i przeciwprostokątnej x. Pionowa przyprostokątna ma długość 4. W trójkącie oznaczono dwa kąty wewnętrzne. Kąt prosty między przyprostokątnymi o długościach 4 oraz 22 oraz kąt α między pionowym bokiem o długości 4 a przeciwprostokątną.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa rozwiązujemy równanie:

${(2 \sqrt{2})}^{2} + 4^{2} = x^{2}$ .

Zatem $x^{2} = 24$ , czyli $x = 2 \sqrt{6}$ .

Wobec tego

$\cos α = \frac{4}{2 \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Przykład 6

Dany jest prostokąt o bokach długości $4$ i $8$ . Wyznaczymy cosinusy kątów, jakie tworzy przekątna tego prostokąta z jego bokami.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostokąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RRmtxuAhOjJvP

Rysunek przedstawia prostokąt, w którym poprowadzono przekątną, dzięki czemu utworzono trójkąt prostokątny o podstawie o długości 8, przeciwprostokątnej x i pionowej przyprostokątnej o długości 4. W trójkącie oznaczono kąty wewnętrzne. Kąt prosty między przyprostokątnymi o długościach 4 oraz 8, kąt α między podstawą a przeciwprostokątną oraz kąt β między przeciwprostokątną a bokiem o długości 4 .

Zauważmy, że przekątna prostokąta dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Jeżeli długość przekątnej prostokąta oznaczymy jako $x$ , to korzystając z twierdzenia Pitagora rozwiązujemy równanie:

$4^{2} + 8^{2} = x^{2}$ ,

zatem

$x^{2} = 80$

$x = 4 \sqrt{5}$ .

Wobec tego:

$\cos α = \frac{8}{4 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ,

$\cos β = \frac{4}{4 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R3pgIppXTnt9a

Slajd pierwszy. Przypomnijmy definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Definicja: cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Kąty wewnętrze trójkąta to: beta między bokami a i c, alfa między bokami b i c oraz kąt prosty między a i b. Obok ilustracji zapisano: kosinus alfa, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka. Slajd drugi. Zgodnie z definicją funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości odpowiednich boków, zatem istnieje nieskończenie wiele różnych trójkątów prostokątnych o kącie ostrym α takich, których cosinus przyjmuje tę samą wartość, np. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka. Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne ustawione obok siebie. Pierwszy od lewej ma podstawę o długości 1 i przeciwprostokątną o długości trzy. Między tymi bokami oznaczono kąt alfa. Drugi trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 2 i przeciwprostokątną o długości sześć. Między tymi bokami oznaczono taki sam kąt alfa. Trzeci trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 3 i przeciwprostokątną o długości dziewięć. Między tymi bokami oznaczono również kąt alfa. Slajd trzeci. Wyznaczymy sumę cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Zagadnienie: Ile wynosi suma cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego z poniższego rysunku? Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 2 i o przeciwprostokątnej o długości pięć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 2 i 5, kąt alfa między bokami a i 5 oraz kąt prosty między bokami 2 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zatem mamy a, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka. Stąd kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka. Zatem kosinus alfa, plus, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, plus, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka Slajd czwarty. Porównamy wartości cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 4 i o przeciwprostokątnej o długości sześć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 4 i 6, kąt alfa między bokami a i 6 oraz kąt prosty między bokami 4 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zatem mamy a, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia koniec pierwiastka, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka. Stąd kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Ponieważ pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, większy niż, dwa, zatem kosinus alfa, większy niż, kosinus BETA. Slajd piąty. Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, którego boki są wyrazami ciągu arytmetycznego. Zagadnienie: Długość boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4, a przeciwprostokątna ma długość dwadzieścia. Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej b i o przeciwprostokątnej o długości dwadzieścia. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami b i 20, kąt alfa między bokami a i 20 oraz kąt prosty między bokami a i b. Rozwiązanie: a, równa się, dwadzieścia, minus, cztery, równa się, szesnaście oraz b, równa się, szesnaście, minus, cztery, równa się, dwanaście, stąd mamy kosinus alfa, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka.

Slajd pierwszy.

Przypomnijmy definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Definicja: cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Kąty wewnętrze trójkąta to: beta między bokami a i c, alfa między bokami b i c oraz kąt prosty między a i b. Obok ilustracji zapisano: $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Slajd drugi.

Zgodnie z definicją funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości odpowiednich boków, zatem istnieje nieskończenie wiele różnych trójkątów prostokątnych o kącie ostrym alfa takich, których cosinus przyjmuje tę samą wartość, np. $\cos α = \frac{1}{3}$ . Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne ustawione obok siebie. Pierwszy od lewej ma podstawę o długości 1 i przeciwprostokątną o długości trzy. Między tymi bokami oznaczono kąt alfa. Drugi trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 2 i przeciwprostokątną o długości sześć. Między tymi bokami oznaczono taki sam kąt alfa. Trzeci trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 3 i przeciwprostokątną o długości dziewięć. Między tymi bokami oznaczono również kąt alfa.

Slajd trzeci.

Wyznaczymy sumę cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Zagadnienie: Ile wynosi suma cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego z poniższego rysunku? Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 2 i o przeciwprostokątnej o długości pięć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 2 i 5, kąt alfa między bokami a i 5 oraz kąt prosty między bokami 2 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} + 2^{2} = 5^{2}$ , zatem mamy $a = \sqrt{21}$ . Stąd $\cos α = \frac{\sqrt{21}}{5}$ oraz $\cos β = \frac{2}{5}$ . Zatem $\cos α + \cos β = \frac{\sqrt{21} + 2}{5}$

Slajd czwarty.

Porównamy wartości cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 4 i o przeciwprostokątnej o długości sześć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 4 i 6, kąt alfa między bokami a i 6 oraz kąt prosty między bokami 4 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} + 4^{2} = 6^{2}$ , zatem mamy $a = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ . Stąd $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ oraz $\cos β = \frac{2}{3}$ . Ponieważ $\sqrt{5} > 2$ , zatem $\cos α > \cos β$ .

Slajd piąty.

Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, którego boki są wyrazami ciągu arytmetycznego. Zagadnienie: Długość boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4, a przeciwprostokątna ma długość dwadzieścia. Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej b i o przeciwprostokątnej o długości dwadzieścia. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami b i 20, kąt alfa między bokami a i 20 oraz kąt prosty między bokami a i b. Rozwiązanie: $a = 20 - 4 = 16$ oraz $b = 16 - 4 = 12$ , stąd mamy $\cos α = \frac{4}{5}$ oraz $\cos β = \frac{3}{5}$ .

Polecenie 2

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość $5$ , a druga jest o $1$ krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R1KQDjf9eJmDT

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x-1, pionowej przyprostokątnej o długości 5 oraz o przeciwprostokątnej o długości x. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami x-1 a 5, kąt α między podstawą a przeciwprostokątną oraz kąt β między bokiem 5 a przeciwprostokątną.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy i rozwiązujemy równanie:

$5^{2} + {(x - 1)}^{2} = x^{2}$ .

Wobec tego:

$25 + x^{2} - 2 x + 1 = x^{2}$

$2 x = 26$

$x = 13$ .

Zatem trójkąt ma boki długości $5$ , $12$ , $13$ oraz

$\cos α = \frac{12}{13}$ ,

$\cos β = \frac{5}{13}$ .

Wyznaczymy wartości cosinusów niektórych kątów ostrych. Wykorzystamy do tego trójkąty charakterystyczne.

R1MvtA1xRXi5c

Rysunek przedstawia dwa trójkąty prostokątne skierowane do siebie przeciwprostokątnymi. Po lewej mamy trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych a i przeciwprostokątnej a2. Zaznaczono kąty wewnętrzne trójkąta: kąt prosty między bokami a oraz dwa równe kąty o mierze czterdziestu pięciu stopni, które znajdują się między przyprostokątnymi a przeciwprostokątną. Po lewej mamy trójkąt prostokątny o podstawie a, pionowej przyprostokątnej a3 oraz przeciwprostokątnej 2a. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i a3, kąt o mierze trzydziestu stopnie między bokami a3 oraz 2a , a także kąt o mierze sześćdziesięciu stopni między bokami 2a oraz a.

Korzystając z definicji funkcji cosinus, otrzymujemy, że:

\cos 30 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos 45 ° = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos 60 ° = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

Przykład 7

Wyznaczymy wartość wyrażenia $\frac{2 \cos 30 ° - \cos 60 °}{3 \cos 45 °}$ .

Po podstawieniu mamy:

$\frac{2 \cos 30 ° - \cos 60 °}{3 \cos 45 °} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} =$

$= \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{2}}{\frac{3 \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{2}}{6}$ .

Przykład 8

Wiadomo, że suma cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymcosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ . Obliczymy iloczyn cosinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RiGRXz1OOr0lW

Z rysunku mamy, że $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Wiadomo, że $\cos α + \cos β = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$(\frac{b}{c} + \frac{a}{c}) = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ .

Podnosząc obie strony równania do kwadratu, mamy, że:

${(\frac{b}{c} + \frac{a}{c})}^{2} = {(\frac{2 \sqrt{5}}{3})}^{2}$ .

Po przekształceniu równanie jest postaci:

$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{c^{2}} = \frac{20}{9}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc $\frac{c^{2} + 2 a b}{c^{2}} = \frac{20}{9}$ .

Równanie możemy zapisać w postaci $1 + \frac{2 a b}{c^{2}} = \frac{20}{9}$ .

Zatem $\frac{a b}{c^{2}} = \frac{11}{18}$ , więc $\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{11}{18}$ .

Po podstawieniu, zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami, otrzymujemy: $\cos α \cdot \cos β = \frac{11}{18}$ .

Przykład 9

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $10$ , jeżeli wiadomo, że cosinus jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od cosinusa drugiego kąta ostrego.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1Atu4UKtcIR0

Z warunków zadania wynika, że $\cos α = 2 \cos β$ oraz $c = 10$ .

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Po podstawieniu do zależności $\cos α = 2 \cos β$ mamy, że:

$\frac{b}{c} = 2 \cdot \frac{a}{c}$ , czyli $b = 2 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że

$c^{2} = a^{2} + {(2 a)}^{2}$ , więc $c = \sqrt{5} a$ .

Otrzymujemy równanie $10 = \sqrt{5} a$ , zatem $a = 2 \sqrt{5}$ .

Przyprostokątne mają więc długości $a = 2 \sqrt{5}$ oraz $b = 4 \sqrt{5}$ .

Przykład 10

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry oraz $\cos α = \frac{1}{3}$ , to $α > 60 °$ .

Wprowadźmy następujące oznaczenia, jak na rysunku:

RkIBfuR9k4gCc

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej, czyli podstawie o długości 1 oraz o przeciwprostokątnej o długości 3. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt α między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną.

Z rysunku możemy odczytać, że $\cos α = \frac{1}{3}$ .

Następnie dorysujmy, tak jak pokazano na rysunku, odcinek o długości $2$ oraz zaznaczmy kąt $β$ .

R1DcSp6TNt31c

Z rysunku mamy, że $\cos β = \frac{1}{2}$ , co oznacza że $β = 60 °$ .

Ponieważ $α > β$ , więc $α > 60 °$ .

Ważne!

Funkcja cosinus jest funkcją malejącą dla $α \in (0, 90 °)$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenie.

Rck7BT9Qs8C0U

Ilustracja interaktywna Definicja: Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej., Ilustracja definicji przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, pionowej przyprostokątnej b oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b, kąt alfa między bokami b i c oraz kąt dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa między bokami a i c. Obok ilustracji zapisano: kosinus alfa, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka oraz kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka. Własności: 1. zero, mniejszy niż, kosinus alfa, mniejszy niż, jeden dla kąta ostrego alfa, 2. dla kąta ostrego funkcja kosinus alfa jest funkcją malejącą. Przykład: Wyznaczymy wartości tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych pięć i dwanaście oraz o kątach alfa i BETA. Rozwiązanie: Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości dwanaście, która jest jednocześnie bokiem C B, o pionowej przyprostokątnej o długości pięć, która jest bokiem A C oraz o przeciwprostokątnej c, która jest bokiem B A. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt BETA, a przy wierzchołku A znajduje się kąt alfa., 2. x – długość przeciwprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, czyli x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto sześćdziesiąt dziewięć, stąd x, równa się, trzynaście.
kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka.

Polecenie 4

Wiadomo, że iloczyn cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{1}{6}$ . Wyznacz sumę cosinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

RoQ82DueMUIC9

Z rysunku mamy, że $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Wiadomo, że $\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{6}$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{6}$ .

Mamy wyznaczyć $\cos α + \cos β$ .

Podnosząc to wyrażenie do kwadratu, otrzymujemy, że ${(\cos α + \cos β)}^{2} = {(\frac{b}{c} + \frac{a}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{c^{2}}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc ${(\cos α + \cos β)}^{2} = \frac{c^{2} + 2 a b}{c^{2}} = 1 + 2 \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c}$ .

Zatem ${(\cos α + \cos β)}^{2} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$ .

Otrzymujemy, że $\cos α + \cos β = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ lub $\cos α + \cos β = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Ponieważ w trójkącie prostokątnym $\cos α > 0$ oraz $\cos β > 0$ , zatem $\cos α + \cos β = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Ćwiczenie 1

Dany jest trójkąt prostokątny jak na rysunku poniżej.

RWy2KBxE32yyO

RoK4R0LA5WDlx

Ćwiczenie 2

RIdyk1RpHMOnF

Połącz w pary długości przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego z wartościami cosinusów kątów ostrych alfa i BETA w tym trójkącie. a, równa się, jeden, b, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, dwa, b, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, dwa, b, równa się, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, trzy, b, równa się, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka

Ćwiczenie 3

RBywGgeuoSvfn

Ćwiczenie 4

R1HbXkN9ynhCB

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości dwa i pięć, to iloczyn cosinusów kątów ostrych tego trójkąta wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.
Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości jeden i cztery, to suma cosinusów kątów ostrych w tym trójkącie wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.
Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości trzy i pięć, to iloczyn cosinusów kątów ostrych w tym trójkącie wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o kątach ostrych $α$ i $β$ .

RQFlxIr8f1RPO

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości 22 i o pionowej przyprostokątnej o długości 3. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między opisanymi wyżej bokami, kąt α między przeciwprostokątną a podstawą o długości 22 oraz kąt β między przyprostokątną a bokiem o długości 3.

Rrs7nPiIzNtDD

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o kątach ostrych $α$ i $β$ . Wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

RZX1YCMiWJApf

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości 5 i o przeciwprostokątnej o długości 15. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między przyprostokątnymi, kąt α między przeciwprostokątną a podstawą oraz kąt β między pionową przyprostokątną a podstawą.

RewrVZjmiBZ4P

Ćwiczenie 7

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest o $3$ dłuższa od drugiej, a stosunek ich długości wynosi $\frac{7}{4}$ . Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

ROX9goCd0HriS

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x+3, o pionowej przyprostokątnej x oraz o przeciwprostokątnej c. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami x+3 i x, kąt α między bokami x+3 a c oraz kąt β między bokami x i c.

Z treści zadania wynika, że zachodzi zależność

$\frac{x + 3}{x} = \frac{7}{4}$ , zatem $x = 4$ .

Przyprostokątne trójkąta mają długości $4$ i $7$ .

Długość przeciwprostokątnej obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$c^{2} = 4^{2} + 7^{2}$ , zatem $c = \sqrt{65}$ .

Wobec tego:

$\cos α = \frac{7}{\sqrt{65}} = \frac{7 \sqrt{65}}{65}$

$\cos β = \frac{4}{\sqrt{65}} = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że suma cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest zawsze większa od $1$ .

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R1Ys1iMvpRb6g

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, o pionowej przyprostokątnej b oraz o przeciwprostokątnej c. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b, kąt α między bokami a i c oraz kąt β między bokami b i c.

Z definicji funkcji cosinus mamy:

$\cos α = \frac{a}{c}$ ,

$\cos β = \frac{b}{c}$ .

Zatem:

$\cos α + \cos β = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ .

Ponieważ w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność

$\cos α + \cos β = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ , zatem:

$\cos α + \cos β = \frac{a + b}{c} > \frac{c}{c} = 1$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 9

RxA4hYonofPlN

Ćwiczenie 10

RYYiyc06HsUNU

Połącz w pary wyrażenie z odpowiadającą mu wartością. kosinus trzydzieści stopni, plus, kosinus czterdzieści pięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka początek ułamka, kosinus sześćdziesiąt stopni, mianownik, kosinus czterdzieści pięć stopni, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka kosinus trzydzieści stopni, razy, kosinus sześćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka początek ułamka, kosinus czterdzieści pięć stopni, plus, kosinus sześćdziesiąt stopni, mianownik, kosinus trzydzieści stopni, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka

Ćwiczenie 11

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

RIQ4PjyPuXN74

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 4 oraz o podstawie o długości 8. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną, kąt α między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną oraz kąt β między pionową przyprostokątną a jego przeciwprostokątną.

RKxrGuCKEXeeO

Ćwiczenie 12

R1IBpUxHAK8PJ

Ćwiczenie 13

RdInRXWps6f16

Ćwiczenie 14

Ru12NI6PnWIph

Ćwiczenie 15

R15SlKguM430G

Ćwiczenie 16

Wykaż, że suma kwadratów cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $1$ .

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

Rt6pQx7wEAAk0

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie b, która jest jednocześnie bokiem CA, o pionowej przyprostokątnej a, która jest bokiem BC oraz o przeciwprostokątnej c, która jest bokiem AB. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Przy wierzchołku C oznaczono kąt prosty, przy wierzchołku B oznaczono kąt β, a przy wierzchołku A oznaczono kąt α.

Mamy pokazać, że $\cos^{2} α + \cos^{2} β = 1$ .

Z rysunku możemy odczytać, że $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Po podstawienu do lewej strony równania $\cos^{2} α + \cos^{2} β = 1$ otrzymujemy, że:

$\frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{a^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , zatem $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$ .

Słownik

cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

iloraz długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej

1. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

3. Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

2. Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Słownik