3. Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

R1S3q6GVxrGns

Czy możliwe jest, aby zmierzyć wysokość drzewa lub szerokość rzeki, mając do dyspozycji zwykłą miarkę i narzędzie do mierzenia kątów? Funkcje trygonometryczne mają szerokie zastosowanie m.in. w nawigacji, kartografii, czy geodezji.

Słowo tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, co oznaczało długość odcinka stycznego do okręgu jednostkowego.

RZonaRTEKRECf

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O i promieniu równym 1. Na rysunku zaznaczono trzy punkty: środek okręgu, czyli punkt O, punkt leżący na okręgu, do którego poprowadzono promień, czyli punkt A oraz leżący poza okręgiem punkt B i poprowadzono odcinki między tymi punktami, tworząc trójkąt prostokątny OBA. Zaznaczono również dwa kąty wewnętrzne w powstałym trójkącie, to jest kąt prosty przy wierzchołku A oraz kąt α przy wierzchołku O. Przyprostokątna BA wyróżniona jest kolorem i opisana jako tgα.

Podczas lekcji wprowadzimy definicję funkcji tangens w kontekście trójkąta prostokątnego.

Twoje cele

Poznasz definicję funkcji tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
Wyznaczysz wartości funkcji tangens dla niektórych kątów.
Zastosujesz definicję funkcji tangens w trójkącie prostokątnym oraz jej własności do rozwiązywania problemów matematycznych.

Już wiesz

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Definicja: Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

R1ZH1vlAu2YuN

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, która jest jednocześnie bokiem CB, o pionowej przyprostokątnej b, która jest bokiem AC oraz o przeciwprostokątnej c, która jest bokiem BA. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt β, a przy wierzchołku A znajduje się kąt α.

Do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu tg.

Wzór funkcji możemy zapisać słownie:

tg α = \frac{długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta}{długość przyprostokątnej leżącej przy kącie}

Zapisując wzór za pomocą symboli matematycznych, mamy, że:

tg α = \frac{a}{b}

tg β = \frac{b}{a}

Ważne!

Z przyjętych oznaczeń wynika, że $β = 90 ° - α$ , więc $tg (90 ° - α) = \frac{b}{a}$ .

Ciekawostka

Odwrotność funkcji tangens możemy przedstawić jako funkcję cotangens, co zapisujemy w skrócie:

ctg α = \frac{1}{tg α}

W wielu krajach do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu $\tan$ . Stąd w wielu programach komputerowych, aby wyznaczyć tangens danego kąta musimy użyć właśnie tego skrótu.

Przykład 1

Obliczymy wartości tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R1Lu6iwdiWm9i

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny CBA o podstawie CB, która ma długość 4, o pionowej przyprostokątnej AC oraz o przeciwprostokątnej BA, która ma długość 10. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt α, a przy wierzchołku A znajduje się kąt β.

Oznaczmy długość brakującej przyprostokątnej jako $x$ .

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że $x^{2} + 4^{2} = 10^{2}$ .

Z równania wynika, że $x^{2} = 84$ , zatem $x = 2 \sqrt{21}$ lub $x = - 2 \sqrt{21}$ .

Ponieważ $x > 0$ , więc $x = 2 \sqrt{21}$ .

Z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:

$tg α = \frac{2 \sqrt{21}}{4} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ,

$tg β = \frac{4}{2 \sqrt{21}} = \frac{2 \sqrt{21}}{21}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy tangens mniejszego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, którego boki są kolejnymi liczbami naturalnymi.

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R2gqp4dWSRXjg

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny A B C o podstawie x+1, która jest jednocześnie bokiem CB, o pionowej przyprostokątnej x, która jest bokiem AC oraz o przeciwprostokątnej x+2, która jest bokiem BA. Na ilustracji zaznaczono dwa kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt α.

W celu wyznaczenia wartości $x$ rozwiążemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + {(x + 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Zatem

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = x^{2} + 4 x + 4$

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Wobec tego $x = \frac{2 - 4}{2} = - 1$ lub $x = \frac{2 + 4}{2} = 3$ .

Czyli długości boków trójkąta wynoszą odpowiednio: $3$ , $4$ , $5$ .

Tangens mniejszego kąta ostrego wynosi:

$tg α = \frac{3}{4}$

Wyznaczymy wartości tangensów niektórych kątów ostrych. Wykorzystamy do tego trójkąty charakterystyczne.

RrrLJwRBioODR

Rysunek przedstawia dwa trójkąty prostokątne zwrócone do siebie przekątnymi. Trójkąt po lewo jest równoramienny o przyprostokątnych a i o przeciwprostokątnej a2. Oznaczono kąty wewnętrzne trójkąta: między przyprostokątnymi a przeciwprostokątną oba kąty mają miarę czterdziestu pięciu stopni, a między bokami a oznaczono kąt prosty. Trójkąt znajdujący się po prawej stronie ma podstawę a, pionową przyprostokątną a3 oraz przeciwprostokątną 2a. Tu również zaznaczono kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt między bokami 2a oraz a ma miarę sześćdziesięciu stopni, kąt między bokami 2a a a3 ma miarę trzydziestu stopni, a kąt między bokiem a3 a bokiem a to kąt prosty.

Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:

tg 30 ° = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

tg 45 ° = \frac{a}{a} = 1

tg 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}

Przykład 3

Wyznaczymy wartość wyrażenia $\frac{tg 30 ° + tg 45 °}{tg 60 °}$ .

Po podstawieniu mamy

$\frac{tg 30 ° + tg 45 °}{tg 60 °} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{\sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}$ .

Przykład 4

Sprawdzimy, czy prawdziwa jest równość:

$\frac{tg 60 ° + tg 45 °}{tg 60 ° - tg 45 °} = 2 + \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Po podstawieniu odpowiednich wartości, mamy:

$\frac{tg 60 ° + tg 45 °}{tg 60 ° - tg 45 °} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$ .

Zatem równość jest prawdziwa.

Przykład 5

Wiadomo, że suma tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymtangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $3$ . Obliczymy iloczyn sinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R12PvvkaHhw5v

Z rysunku mamy, że $tg α = \frac{a}{b}$ oraz $tg β = \frac{b}{a}$ .

Wiadomo, że $tg α + tg β = 3$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 3$ .

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy, że:

$\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} = 3$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc mamy zależność $\frac{c^{2}}{a b} = 3$ .

Równanie możemy zapisać w postaci $\frac{a b}{c^{2}} = \frac{1}{3}$ .

Zatem $\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{3}$ .

Z definicji funkcji sinus otrzymujemy, że $\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{3}$ .

Przykład 6

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $4$ , jeżeli wiadomo, że tangens jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od tangensa drugiego kąta ostrego.

R15bfrpZ0pc42

Z warunków zadania wynika, że $tg α = 2 tg β$ oraz $c = 4$ .

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $tg α = \frac{a}{b}$ oraz $tg β = \frac{b}{a}$ .

Po podstawieniu do zależności $tg α = 2 tg β$ mamy, że:

$\frac{a}{b} = 2 \cdot \frac{b}{a}$ , czyli $a^{2} = 2 b^{2}$ .

Zatem $a = \sqrt{2} b$ lub $a = - \sqrt{2} b$ .

Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$ , więc $a = \sqrt{2} b$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że ${(\sqrt{2} b)}^{2} + b^{2} = 4^{2}$ , więc $3 b^{2} = 16$ .

Zatem $b^{2} = \frac{16}{3}$ , czyli $b = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ lub $b = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Ponieważ $b > 0$ , więc $b = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Czyli $a = \sqrt{2} \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ .

Zatem przyprostokątne mają długości $a = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ oraz $b = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Ważne!

Funkcja tangens jest funkcją rosnącą dla $α \in (0, 90 °)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą definicji funkcji tangens oraz wyznaczania tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.

R1AsYxX0wYpbI

Polecenie 2

Wyznacz tangensy kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, jeżeli długości jego boków są kolejnymi liczbami parzystymi.

Jeżeli długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami parzystymi, to wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku $(n \in ℕ_{+})$ .

Rwn5LYIIGjg5x

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie 2n+2, która jest jednocześnie bokiem CB, o pionowej przyprostokątnej 2n, która jest bokiem AC oraz o przeciwprostokątnej 2n+4, która jest bokiem BA. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt α, a przy wierzchołku A znajduje się kąt β.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że ${(2 n)}^{2} + {(2 n + 2)}^{2} = {(2 n + 4)}^{2}$ .

Równanie przekształcamy ze wzorów skróconego mnożenia do postaci

$4 n^{2} + 4 n^{2} + 8 n + 4 = 4 n^{2} + 16 n + 16$ .

Po uporządkowaniu mamy postać:

$n^{2} - 2 n - 3 = 0$ .

Po obliczeniu pierwiastków równania mamy, że $n_{1} = - 1$ oraz $n_{2} = 3$ .

Ponieważ $n \in ℕ_{+}$ , zatem przyprostokątne trójkąta mają długości $6$ i $8$ , zaś przeciwprostokątna $10$ .

Po podstawieniu do wzorów na tangens kąta mamy, że:

$tg α = \frac{3}{4}$ ,

$tg β = \frac{4}{3}$ .

monotoniczność funkcji tangens

Własność: monotoniczność funkcji tangens

Dla kąta $α \in (0 °, 90 °)$ tangens jest funkcją rosnącą.

Przykład 7

Wykażemy, że jeśli $tg α < 1$ i $α$ jest kątem ostrym, to $α < 45 °$ .

Rozwiązanie:

Naszkicujmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $2$ i $1$ oraz kącie ostrym $α$ .

Rywc0GCVMIw6c

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie będącej przyprostokątną o długości 1 i o drugiej przyprostokątnej o długości 2. Między bokiem o długości 2 a przekątną zaznaczono kąt ostry α.

Z rysunku możemy odczytać, że $tg α = \frac{1}{2}$ .

Dorysujemy odcinek tak, jak na rysunku i wprowadźmy oznaczenie kąta $β$ .

R1VXOrArgxf7N

Rysunek przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny o ramionach o długości 2 każde. Z górnego wierzchołka poprowadzono środkową podstawy, która podzieliła podstawę na dwa odcinki o długości 1 każdy. Górny wierzchołek trójkąta prostokątnego jest kątem ostrym o mierze beta. Środkowa nachylona jest do ramienia, z którym ma wspólny początek pod kątem alfa.

Zauważmy, że $tg β = \frac{2}{2} = 1$ .

Równość ta zachodzi dla $β = 45 °$ .

Ponieważ $α < β$ , zatem $α < 45 °$ .

Przykład 8

Wykażemy, że w dowolnym trójkącie prostokątnym o kątach ostrych $α$ i $β$ zachodzą następujące zależności:

$tg α \cdot tg β = 1$ ,

$tg α + tg β = \frac{1}{\sin α \sin β} = \frac{1}{\cos α \cos β}$ .

Rozwiązanie:

Dowody równości przeprowadzimy z wykorzystaniem rysunku poniżej.

RDM5EY6RDCWow

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny A B C o podstawie a, będącej przyprostokątną która jest jednocześnie bokiem CB, o drugiej przyprostokątnej b, która jest bokiem AC oraz o przeciwprostokątnej c, która jest bokiem BA. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt β, a przy wierzchołku A znajduje się kąt α.

Z rysunku możemy odczytać, że $tg α = \frac{a}{b}$ oraz $tg β = \frac{b}{a}$ .

Zatem mamy:

$tg α + tg β = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a b}{a b} = 1$ ,

$tg α + tg β = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} = \frac{c^{2}}{a b} =$
$= \frac{1}{\frac{a b}{c^{2}}} = \frac{1}{\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c}} = \frac{1}{\sin α \cdot \sin β} = \frac{1}{\cos α \cdot \cos β} .$

Przykład 9

Obliczymy tangensy kątów ostrych wyznaczonych przez środkową trójkątaśrodkowa trójkątaśrodkową trójkąta prostokątnego równoramiennego, poprowadzoną do ramienia tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny równoramienny, poprowadźmy odpowiednią środkową trójkąta i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RPkFsAvHyjD4W

Ilustracja przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny. Przyprostokątne mają długość a każda. Kąt między każdą z nich a przeciwprostokątną wynosi 45 stopni. Z jednego z wierzchołków łączących przyprostokątną i przeciwprostokątną poprowadzono odcinek do drugiej przyprostokątnej. Utworzono w ten sposób drugi trójkąt prostokątny wewnątrz pierwszego o przyprostokątnych a oraz x. Zaznaczono kąty w nowym prostokącie: kąt beta między bokiem a i przeciwprostokątną, kąt alfa między bokiem x i przeciwprostokątną oraz kąt prosty.

Zauważmy, że $x = \frac{1}{2} a$ .

Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:

$tg α = \frac{a}{x} = \frac{a}{\frac{1}{2} a} = 2$

$tg β = \frac{x}{a} = \frac{\frac{1}{2} a}{a} = \frac{1}{2}$

Przykład 10

Wiadomo, że suma tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Obliczymy sumę kwadratów tych tangensów.

Wprowadźmy oznaczenia:

$α$ oraz $β$ – kąty ostre w trójkącie prostokątnym.

Wiadomo, że $tg α + tg β = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Podnosimy wyrażenie $tg α + tg β$ do kwadratu. Otrzymujemy:

${(tg α + tg β)}^{2} = {tg}^{2} α + {tg}^{2} β + 2 \cdot tg α \cdot tg β$ .

Wiadomo, że $tg α \cdot tg β = 1$ , zatem:

${(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{2} = {tg}^{2} α + {tg}^{2} β + 2$ .

Po przekształceniu otrzymujemy, że:

${tg}^{2} α + {tg}^{2} β = \frac{19}{3}$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenie.

RUWvdgUOVpQRs

Infografika dotyczy własności funkcji tangens. Definicja: tangens kąta ostrego. Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie., Ilustracja definicji przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, pionowej przyprostokątnej b oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b, kąt alfa między bokami b i c oraz kąt dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa między bokami a i c. Obok ilustracji zapisano: tangens alfa, równa się, początek ułamka, a, mianownik, b, koniec ułamka oraz tangens nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, b, mianownik, a, koniec ułamka. Własności: 1. dla kąta ostrego funkcja tangens alfa jest funkcją rosnącą, 2. tangens nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, tangens alfa, koniec ułamka. Przykład: Wyznaczymy wartości tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej pięć i przeciwprostokątnej trzynaście oraz o kątach alfa i BETA. Rozwiązanie: Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x, która jest jednocześnie bokiem C B, o pionowej przyprostokątnej o długości pięć, która jest bokiem A C oraz o przeciwprostokątnej o długości trzynaście, która jest bokiem B A. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt BETA, a przy wierzchołku A znajduje się kąt alfa. 2. Obliczenia x – długość przyprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że
pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego,
czyli x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto czterdzieści cztery,
stąd x, równa się, dwanaście.

sinus alfa, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, sinus BETA, równa się, początek ułamka, dwanaście, mianownik, pięć, koniec ułamka

Polecenie 4

Wyznacz długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $6$ , jeżeli wiadomo, że tangens jednego kąta ostrego jest trzy razy większy od tangensa drugiego kąta ostrego.

RHOxSXfpKib2t

Z warunków zadania wynika, że $tg α = 3 tg β$ oraz $c = 6$ .

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $tg α = \frac{a}{b}$ oraz $tg β = \frac{b}{a}$ .

Po podstawieniu do zależności $tg α = 3 tg β$ mamy, że:

$\frac{a}{b} = 3 \cdot \frac{b}{a}$ , czyli $a^{2} = 3 b^{2}$ .

Zatem $a = \sqrt{3} b$ lub $a = - \sqrt{3} b$ .

Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$ , więc $a = \sqrt{3} b$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że ${(\sqrt{3} b)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$ , więc $4 b^{2} = 36$ .

Zatem $b^{2} = 9$ , czyli $b = 3$ lub $b = - 3$ .

Ponieważ $b > 0$ , więc $b = 3$ .

Otrzymujemy zatem $a = 3 \sqrt{3}$ .

Przyprostokątne mają zatem długości $a = 3 \sqrt{3}$ oraz $b = 3$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RAEDJkaE2Nyb7

Ćwiczenie 2

R15YLb4EUaw5x

Ćwiczenie 3

Ryk1ossn2gYN0

Ćwiczenie 4

RRntLV4aDAPmI

Ćwiczenie 5

RFQbq4MoAaFsP

Ćwiczenie 6

RrU9MwaeYKdHa

Ćwiczenie 7

R2sp3t6P7nlQC

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że suma tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $2$ . Wyznacz iloczyn cosinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku poniżej.

RePR9NeUKMOh6

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie b, pionowej przyprostokątnej a oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b, kąt α między bokami b i c oraz kąt β między bokami a i c.

Z rysunku możemy odczytać, że $tg α = \frac{a}{b}$ oraz $tg β = \frac{b}{a}$ .

Z warunku, że $tg α + tg β = 2$ mamy równanie

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2$ .

Zatem $\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} = 2$ , co jest równoważne równaniu

$\frac{c^{2}}{a b} = 2$ ,

czyli $\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{2}$ .

Korzystając z definicji funkcji cosinus, otrzymujemy, że:

$\cos α \cos β = \frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 9

R6e4N9amPwHFO

Ćwiczenie 10

R1VNkYAE8wHfZ

Ćwiczenie 11

RFyjj9IQLiAsq

Ćwiczenie 12

R1aHGWmvsltfK

Ćwiczenie 13

R1TGOFA1O51N5

Ćwiczenie 14

RR4Xo1usgONN2

Ćwiczenie 15

R1LLtHSQVVYkJ

Ćwiczenie 16

Wyznacz odwrotność sumy kwadratów tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, jeżeli suma tych tangensów wynosi $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Jeżeli przez $α$ oraz $β$ oznaczymy kąty ostre tego trójkąta, to $tg α + tg β = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Zatem mamy: ${(tg α + tg β)}^{2} = {tg}^{2} α + {tg}^{2} β + 2 \cdot tg α \cdot tg β$ .

Po podstawieniu do równania mamy, że:

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} = {tg}^{2} α + {tg}^{2} β + 2$ .

Otrzymujemy, że:

${tg}^{2} α + {tg}^{2} β = \frac{19}{4}$ .

Zatem $\frac{1}{{tg}^{2} α + {tg}^{2} β} = \frac{4}{19}$ .

Słownik

tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie

środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku trójkąta

2. Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

M_R_W07_M1 Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

3. Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Słownik