4. Symetria środkowa względem punktu (0, 0)

R13wskmKuuOaD

W starożytności symetrią nazywano harmonijny układ części. Już w $I w. p. n. e.$ rzymski architekt Witruwiusz, określał symetrię jako najbardziej podstawowe pojęcie estetyki i piękna.

Symetria jest wszechobecna: w świecie przyrody ożywionej, czy w matematyce. W tym materiale omówimy wiadomości dotyczące rysowania wykresu funkcji w symetrii względem osi $X$ i $Y$ układu współrzędnych. Sprawdzimy, które własności funkcji ulegają zmianie w wyniku takiego przekształcenia. Będziemy rozwiązywać ćwiczenia interaktywne, bazując na części teoretycznej materiału i podanych przykładach.

Twoje cele

Przekształcisz wykres danej funkcji w symetrii względem osi $X$ i $Y$ układu współrzędnych.
Odczytasz własności funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przekształcenia wykresu danej funkcji.
Wyznaczysz wzór funkcji $- f (- x)$ , znając wzór i wykres funkcji $f$ .
Zastosujesz swoją wiedzę, wykonując zestaw przygotowanych ćwiczeń.

Wykres funkcjiwykres funkcjiWykres funkcji możemy przekształcać w różny sposób. Na przykład wykorzystując przesunięcie równoległe, symetrię osiową lub środkową.

Symetria wykresu funkcji względem osi

X

Y

Twierdzenie: Symetria wykresu funkcji względem osi

X

Y

Wykres funkcji $y = - f (- x)$ otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $X$ i względem osi $Y$ .

W praktyce takie przekształcenie oznacza to, że wykres funkcji $f$ najpierw odbijamy symetrycznie względem osi $X$ , a następnie tak otrzymany wykres odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ . Możemy też postąpić inaczej – najpierw wykres funkcji $f$ odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ , a następnie otrzymany wykres odbijamy symetrycznie względem osi $X$ .

Do prawidłowego wyznaczenia wykresu funkcji w symetrii względem osi $X$ i względem osi $Y$ wystarczy wykorzystać poniższą zależność.

Obrazem punktu $P = (x, y)$ w symetrii względem osi $X$ i osi $Y$ jest punkt $P' = (- x, - y)$ .

Zauważmy, że przekształcenie to jest równoważne symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Do naszkicowania wykresu funkcji $g (x) = - f (- x)$ na podstawie wykresu funkcji $f (x)$ możemy wykorzystać poniższe własności.

1. Dla dowolnego punktu $P = (x, y)$ jego obrazem w symetrii względem osi $X$ układu współrzędnych jest punkt $P' = (x, - y)$ .

Jeżeli punkt $P' = (x, - y)$ należy do wykresu funkcji $f$ , to $f (x) = - y$ , czyli $y = - f (x)$ .

2. Dla dowolnego punktu $P' = (x, - f (x))$ jego obrazem w symetrii względem osi $Y$ układu współrzędnych jest punkt $P'' = (- x, - f (x))$ .

Jeżeli punkt $P'' = (- x, - f (x))$ należy do wykresu funkcji $g$ , to $g (- x) = - f (x)$ .

3. Wobec tego prawdziwa jest zależność $g (- (- x)) = - f (- x)$ , czyli $g (x) = - f (- x)$ .

Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f$ i $g$ , symetryczne względem początku układu współrzędnych (czyli względem osi $X$ i $Y$ ):

R1ONtIiBcSiKA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy będące łamaną. Łamana niebieska, oznaczona fx składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych, zbiegających się ze sobą w punkcie o współrzędnych 2;1. Łamana czerwona, oznaczona gx składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych zbiegających się w punkcie o współrzędnych -2;-1. Linią przerywaną połączono ze sobą wierzchołki obu funkcji, oraz punkty równo oddalone od wierzchołka. Obie linie przebiegają przez początek układu współrzędnych.

W wyniku przekształcaniu wykresu funkcji w symetrii względem początku układu współrzędnychprzekształcenie wykresu funkcji $- f (- x)$ przekształcaniu wykresu funkcji w symetrii względem początku układu współrzędnych, otrzymujemy wykres innej funkcji. Funkcje te mogą mieć inne dziedziny, zbiory wartości. Mogą zatem mieć różne własności.

Przykład 1

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji funkcji $g (x) = - f (- x)$ , jeżeli zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $\{- 2, - 1, 0, 1, 3, 5\}$ . Dziedziną każdej z rozważanych funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Zbiorem wartości funkcji $g (x) = - f (- x)$ jest zbiór liczb:

$\{- 5, - 3, - 1, 0, 1, 2\}$ .

Przykład 2

W tabeli przedstawiono argumenty oraz odpowiadające im wartości funkcji $f$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 3$	$- 1$	$0$	$4$	$5$
$f (x)$	$2$	$4$	$3$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{4}$

Wyznaczymy tabelę argumentów oraz odpowiadających im wartości funkcji określonej wzorem $g (x) = - f (- x)$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli $g (x) = - f (- x)$ , to:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 5$	$- 4$	$0$	$1$	$3$
$g (x)$	$- \frac{1}{4}$	$- \frac{1}{5}$	$- 3$	$- 4$	$- 2$

Przykład 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RjydFMr2VbT69

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx. Wykres funkcji stanowi parabola z ramionami skierowanymi ku górze. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych 2;-2. Funkcja przebiega przez punkty o współrzędnych 0;2, oraz 4;2.

Naszkicujemy wykres funkcji $g$ określonej wzorem $g (x) = - f (- x)$ , a następnie wyznaczymy:

a) zbiór wartości funkcji $g$ ,

b) przedziały monotoniczności funkcji $g$ .

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $g$ otrzymujemy, przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Wobec tego:

Rb3OYPVlFriZo

Na ilustracji przedstawiono przekształcony wykres gx, który jest efektem przekształcenia wcześniejszej funkcji fx. Wykres funkcji gx stanowi parabola z ramionami skierowanymi w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych -2;2. Funkcja przebiega przez punkty o współrzędnych -4;-2, oraz 0;-2.

Z wykresu odczytujemy, że:

a) zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział $(- \infty, 2⟩$ ,

b) funkcja $g$ jest:

rosnąca w przedziale $(- \infty, - 2⟩$ ,

malejąca w przedziale $⟨- 2, \infty)$ .

Przykład 4

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \sqrt{x - 3} - 1$ .

Rcu66Be7qJ6DN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx, znajdującej się w pierwszej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres funkcji stanowi zakrzywiona linia o początku w punkcie o współrzędnych 3;-1 i biegnie do plus nieskończoności przez punkt 7;1.

Niech $g (x) = - f (- x)$ .

Dla funkcji $g$ :

a) wyznaczymy wzór funkcji,

b) naszkicujemy wykres,

c) określimy dziedzinę i zbiór wartości.

Rozwiązanie:

a) Ponieważ $g (x) = - f (- x)$ , zatem

$g (x) = - f (- x) = - \sqrt{- x - 3} + 1$ .

b) Wykres funkcji $g$ przedstawia się następująco:

R130VunY1rjQQ

Na ilustracji przedstawiono przekształcony wykres gx, który jest efektem przekształcenia wcześniejszej funkcji fx. Wykres funkcji gx znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych i stanowi go zakrzywiona linia zmierzająca od minus nieskończoności do punktu o współrzędnych -3;1. Przechodzi przez punkt 7;-1.

c) Dziedziną funkcji $g$ jest przedział $(- \infty, - 3⟩$ , a zbiorem wartości tej funkcji przedział $(- \infty, 1⟩$ .

Mając dany wzór funkcji $f (x)$ , możemy wyznaczyć wzór funkcji $g (x) = - f (- x)$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wzór funkcji $g (x) = - f (- x)$ , jeżeli funkcja $f$ jest określona wzorem:

a) $f (x) = x^{2} - x + 1$ ,

b) $f (x) = \frac{x + 1}{3 - x}$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli $g (x) = - f (- x)$ , to:

a) $g (x) = - f (- x) = - ({(- x)}^{2} - (- x) + 1) = - (x^{2} + x + 1) = - x^{2} - x - 1$ ,

b) $g (x) = - f (- x) = - \frac{- x + 1}{3 - (- x)} = \frac{x - 1}{3 + x}$ .

Zauważmy, że $D_{f} = ℝ ∖ \{3\}$ oraz $D_{g} = ℝ ∖ \{- 3\}$ .

Przykład 6

Wykażemy, że jeśli funkcja $f$ wyraża się wzorem $f (x) = a x$ , gdzie $a, x \in ℝ$ , to funkcja $f$ i funkcja $g$ określona wzorem $g (x) = - f (- x)$ są równe.

Rozwiązanie:

Mówimy, że funkcje $f$ i $g$ są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same dziedziny oraz dla każdego $x \in D_{f} = D_{g}$ zachodzi warunek $f (x) = g (x)$ .

Niech $x \in D_{f} = D_{g}$ . Wówczas:

$g (x) = - f (- x) = - a \cdot (- x) = a \cdot x = a x = f (x)$

Wobec tego funkcje $f$ i $g$ są równe.

Polecenie 1

Przeanalizuj działanie symulacji interaktywnej. Za każdym razem określ dziedzinę, zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności funkcji po przekształceniu. Następnie samodzielnie wykonaj poniższe polecenie.

RZPbV0ZDhFmu1

Polecenie 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = |x - 3| - 2$ .

Rsr2iVdNcT5G1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu, oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych, zbiegających się ze sobą w punkcie o współrzędnych 3;-2. Pierwsza półprosta skierowana jest w dół, przebiega przez punkt0;1. Druga półprosta skierowana jest w górę i przebiega przez punkt o współrzędnych 5;0. Obie półproste zbiegają się w punkcie o współrzędnych 3;-2.

Niech $g (x) = - f (- x)$ .

a) Wyznacz wzór funkcji $g$ .

b) Naszkicuj wykres funkcji $g$ .

c) Określ przedziały monotoniczności funkcji $g$ .

a) Funkcja $g$ wyraża się wzorem:

$g (x) = - f (- x) = - |- x - 3| + 2 = - |x + 3| + 2$ .

b) Wykres funkcji $g$ przedstawia się następująco:

RJIooiyBzUnAQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy będące łamaną. Łamana niebieska, oznaczona fx składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych, zbiegających się ze sobą w punkcie o współrzędnych 3;-2. Pierwsza półprosta jest malejąca i przecina oś x w punkcie równym jeden. Druga półprosta jest rosnąca i przecina oś x w punkcie pięć. Łamana czerwona, oznaczona gx składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych zbiegających się w punkcie o współrzędnych -3;2. Pierwsza półprosta jest rosnąca i przecina oś x w punkcie równym minus pięć. Druga półprosta jest malejąca i przecina oś x w punkcie minus jeden.

c) Funkcja $g$ jest:

rosnąca w przedziale $(- \infty, - 3⟩$ ,

malejąca w przedziale $⟨- 3, \infty)$ .

Ćwiczenie 1

R1TWU5P7Gb5JQ

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = |x + 3|$ . Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

R1NsRvuWJxqf4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do trzech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych, zbiegających się ze sobą w punkcie o współrzędnych -3;0. Pierwsza półprosta zmierza w dół i przebiega przez punkt -5;2. Druga półprosta zmierza w górę i przebiega przez punkt o współrzędnych 0;3.

Rhcea2XLUPTSW

Ćwiczenie 3

RKmL6t6jedCpw

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RitrStQb3De5F

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą dwóch półprostych, zbiegających się ze sobą w jednym punkcie. Pierwsza półprosta skierowana jest w dół przebiega przez punkt -2;0. Druga półprosta skierowana jest w górę i przebiega przez punkt o współrzędnych 6;0. Obie półproste zbiegają się w punkcie o współrzędnych 2;-4.

RUAnZNWzPaQtC

Ćwiczenie 5

Rkwyc9xFXtjpv

Ćwiczenie 6

R16vQ0nxl2Ei3

Ćwiczenie 7

Do wykresu funkcji $f$ należą punkty o współrzędnych $(- 3, 2)$ , $(- 2, 4)$ , $(- 1, 0)$ , $(0, 3)$ , $(1, - 2)$ .

Wyznacz:

a) współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji określonej wzorem $g (x) = - f (- x)$ ,

b) dla jakich argumentów funkcja określona wzorem $g (x) = - f (- x)$ przyjmuje wartości dodatnie.

a) Ponieważ $g (x) = - f (- x)$ , zatem do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych:

$(- 1, 2)$ , $(0, - 3)$ , $(1, 0)$ , $(2, - 4)$ , $(3, - 2)$ .

b) Funkcja określona wzorem $g (x) = - f (- x)$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentu $(- 1)$ .

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - 1$ .

RYtOU03oMtA3e

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx. Wykres funkcji stanowi parabola z ramionami skierowanymi ku górze. Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych 0;-1. Ramiona paraboli przechodzą przez punkty -1;1 oraz 1;1.

Niech $g (x) = - f (- x)$ .

a) Wyznacz wzór funkcji $g$ .

b) Naszkicuj wykres funkcji $g$ .

b) Opisz wykres funkcji $g$ .

a) Funkcja $g$ jest określona wzorem:

$g (x) = - f (- x) = - (2 \cdot {(- x)}^{2} - 1) = - 2 x^{2} + 1$ .

b) Wykres funkcji $g$ przedstawia się następująco:

RVGBxRDlix4vw

Słownik

przekształcenie wykresu funkcji

- f (- x)

przekształcenie wykresu funkcji

- f (- x)

symetryczne odbicie wykresu funkcji przez symetrię względem osi $X$ i osi $Y$ ,

symetryczne odbicie wykresu funkcji względem początku układu współrzędnych

wykres funkcji

f

wykres funkcji

f

zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, y)$ , które spełniają zależność $y = f (x)$

3. Symetria osiowa względem osi X i Y

5*. Inne przekształcenia wykresów funkcji: y = f(|x|) , y = |f(x)|

4. Symetria środkowa względem punktu (0, 0)

Słownik