• Poznasz metody rozwiązywania równań z wartością bezwzględną.

• Nauczysz się rozwiązywać równania, w których występuje wartość bezwzględna.

• Nauczysz się rozwiązywać równania, w których występuje więcej niż jedna wartość bezwzględna.

• Udoskonalisz umiejętności rozwiązywania równań z wartością bezwzględną.

Rozwiąż równania:

a) $\left|x\right|=10$

Najprostszą metodą jest odgadnięcie, jaką liczbą jest $x$, jeśli jego wartość bezwzględna wynosi $10$.

Taką liczbą jest $10$ lub $-10$.

A zatem pierwiastki tego równania, to:

$x=-10$ lub $x=10$.

Odpowiedź: $x\in \left\{-10, 10\right\}$

b) $\left|2x-4\right|=8$

Podobnie ja w poprzednim przykładzie odgadujemy, jaka to liczba, której moduł wynosi $8$.

Taką liczbą jest $8$ lub $-8$.

A zatem

$2x-4=8$ lub $2x-4=-8$

Stąd

$2x=12$ lub $2x=-4$

$x=6$ lub $x=-2$

Odpowiedź: $x\in \left\{-2, 6\right\}$

Rozwiąż równania:

a) $\left|x\right|=6$

Korzystając z definicji geometrycznej wartości bezwzględnej, wiemy, że powyższy warunek spełniają liczby, których odległość na osi liczbowej od liczby zero wynosi $6$.

R1EfXF7DSn6ws

Ilustracja przedstawia oś x z opisanymi wartościami od minus siedem do osiem. Na osi zaznaczono punkty minus sześć, zero i sześć. Od minus sześć do zera i od zera do sześć zaznaczono przedziały sześć jednostek.

Są dwie takie liczby: $-6$ i $6$.

A zatem

$x=-6$ lub $x=6$.

Odpowiedź: $x\in \left\{-6, 6\right\}$

b) $\left|x-4\right|=3$

Zgodnie z geometryczną definicją wartości bezwzględnej, wiemy, że powyższy warunek spełniają liczby, których odległość od liczby $4$ na osi liczbowej wynosi $3$.

RPKeUom02TcJV

Ilustracja przedstawia oś x z opisanymi wartościami od minus siedem do osiem. Na osi zaznaczono punkty jeden, 4 i siedem. Od minus jeden do 4 i od 4 do 7 zaznaczono przedziały trzy jednostki.

Są dwie takie liczby: $1$ i $7$.

A zatem

$x=1$ lub $x=7$

Odpowiedź: $x\in \left\{1, 7\right\}$

Rozwiąż równania:

a) $\left|x\right|=15$

Tym razem skorzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej.

$\left|a\right|=\left\{\begin{array}{ll}a,& \mathrm{dla} a\ge 0\\ -a,& \mathrm{dla} a<0\end{array}\right.$

Rozpatrujemy dwa przypadki:

1) Dla $x\ge 0$

Wtedy $\left|x\right|=x$

Zatem równanie przyjmuje postać

$x=15$

$15\ge 0$, więc warunek $x\ge 0$ jest spełniony.

2) Dla $x<0$

Wtedy $\left|x\right|=-x$

Zatem równanie przyjmuje postać

$-x=15 |:\left(-1\right)$

$-15<0$, więc warunek $x<0$ jest spełniony.

A zatem

$x=15$ lub $x=-15$

Odpowiedź: $x\in \left\{-15, 15\right\}$

b) $\left|3x-9\right|=15$

Ponownie korzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej i rozpatrujemy dwa przypadki:

1) Dla $3x-9\ge 0$

$3x\ge 9 \left|:3\right.$

$x\ge 3$

A więc $x\in \left.⟨3, \infty \right)$

Wtedy $\left|3x-9\right|=3x-9$

Zatem równanie przyjmuje postać

$3x-9=15$

$3x=15+9$

$3x=24 \left|:3\right.$

$x=8$

$8\in \left.⟨3, \infty \right)$, więc warunek $x\in \left.⟨3, \infty \right)$ jest spełniony.

2) Dla $3x-9<0$

$3x<9 \left|:3\right.$

$x<3$

A więc $x\in \left(-\infty , 3\right)$

Wtedy $\left|3x-9\right|=-3x+9$

Zatem równanie przyjmuje postać

$-3x+9=15$

$-3x=15-9$

$-3x=6 \left|:3\right.$

$x=-2$

$-2\in \left(-\infty , 3\right)$, więc warunek $x\in \left(-\infty , 3\right)$ jest spełniony.

A zatem

$x=8$ lub $x=-2$

Odpowiedź: $x\in \left\{-2, 8\right\}$

Rozwiąż równania:

a) $\left|x\right|+x=10$

Zauważ, że w tym równaniu niewiadoma znajduje się zarówno pod modułem jak i poza nim. Musimy wtedy skorzystać z definicji algebraicznej wartości bezwzględnej, a zatem rozpatrzeć dwa przypadki.

1) Dla $x\ge 0$

mamy $\left|x\right|=x$

Wtedy równanie przyjmuje postać

$x+x=10$

$2x=10 \left|:2\right.$

$x=5$

$5\ge 0$, więc warunek $x\ge 0$ jest spełniony.

2) Dla $x<0$

mamy $\left|x\right|=-x$

Wtedy równanie przyjmuje postać

$-x+x=10$

$0=10$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.

A zatem równanie $\left|x\right|+x=10$ ma tylko jeden pierwiastek $x=5$.

Odpowiedź: $x\in \left\{5\right\}$

b) $\left|4x-5\right|+3x=20$

Ponownie korzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej i rozpatrujemy dwa przypadki:

1) Dla $4x-5\ge 0$

$4x\ge 5 \left|:4\right.$

$x\ge \frac{5}{4}$

A więc $x\in \left.⟨\frac{5}{4}, \infty \right)$

Wtedy $\left|4x-5\right|=4x-5$

Zatem równanie przyjmuje postać

$4x-5+3x=20$

$7x=20+5$

$7x=25 \left|:6\right.$

$x=\frac{25}{7}$

$x=3\frac{4}{7}$

$3\frac{4}{7}\in \left.⟨\frac{5}{4}, \infty \right)$, więc warunek $x\in \left.⟨\frac{5}{4}, \infty \right)$ jest spełniony.

2) Dla $4x-5<0$

$4x<5 \left|:4\right.$

$x<\frac{5}{4}$

A więc $x\in \left(-\infty , \frac{5}{4}\right)$

Wtedy $\left|4x-5\right|=-4x+5$

Zatem równanie przyjmuje postać

$-4x+5+3x=20$

$-x=20-5$

$-x=15 \left|:\left(-1\right)\right.$

$x=-15$

$-15\in \left(-\infty , \frac{5}{4}\right)$, więc warunek $x\in \left(-\infty , \frac{5}{4}\right)$ jest spełniony.

Równanie $\left|4x-5\right|+3x=20$ ma dwa pierwiastki $x=3\frac{4}{7}$ oraz $x=-15$.

Odpowiedź: $x\in \left\{-15, 3\frac{4}{7}\right\}$

Wróćmy do zadania, od którego rozpoczęliśmy ten materiał.

Pan Tomasz jest właścicielem firmy znajdującej się między Warszawą a Łodzią. Przyjmijmy, że odległość między tymi miastami wynosi ok. $135 \mathrm{km}$.
W poniedziałek do Łodzi pojechało $5$ transportów, a do Warszawy $7$. Samochody pokonały łącznie $885 \mathrm{km}$. W jakiej odległości od Łodzi znajduje się firma pana Tomasza?

Opisaną w zadaniu sytuację możemy zilustrować, korzystając z graficznej definicji wartości bezwzględnej.

R146uEzOX5uXq

Ilustracja przedstawia oś x na której zaznaczone zostały 3 punkty. Pierwszy punkt został zaznaczony przy wartości zero i jest on podpisany Łódź. Drugi punkt ma wartość x  i jest podpisany Firma, trzeci punkt ma wartość 135 i jest podpisany Warszawa. Odległość od 0 do x została podpisana: odległość od firmy do Łodzi $|0-x|$, odległość pomiędzy x a 135 jest podpisana: odległość od firmy do Warszawy $|x-135|$.

Możemy zatem zapisać równanie

$5·\left|0-x\right|+7·\left|x-135\right|=885$

Stosując poznane metody rozwiązujemy równanie.

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{ll}x,& \mathrm{dla} x\ge 0\\ -x,& \mathrm{dla} x<0\end{array}\right.$

oraz

$\left|x-135\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-135,& \mathrm{dla} x\ge 135\\ -x+135,& \mathrm{dla} x<135\end{array}\right.$

Uwzględniając warunki zadania, wiemy, że $0<x<135$.

A zatem

$\left|x\right|=x$ oraz $\left|x-135\right|=-x+135$.

Wtedy

$5x+7·\left(-x+135\right)=885$

$5x-7x+945=885$

$-2x=-60$

$x=30$

Odpowiedź: Firma pana Tomasza znajduje się $30 \mathrm{km}$ od Łodzi.

Rozwiążemy równanie.

$\sqrt{4x^2-12x+9}=5$

Wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy w postaci kwadratu różnicy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

$\sqrt{{\left(2x-3\right)}^2}=5$

Przypomnijmy własność wartości bezwzględnej

Możemy więc zapisać nasze równanie w postaci

$\left|2x-3\right|=5$

Wykorzystujemy poznane wcześnie metody rozwiązywania równań

$2x-3=5$ lub $2x-3=-5$

$2x=8 \left|:2\right.$ lub $2x=-2 \left|:2\right.$

$x=4$ lub $x=-1$

Odpowiedź: $x\in \left\{-1, 4\right\}$.

Rozwiążemy równanie.

$\left|1+\left|x-2\right|\right|=4$

Usuwamy najpierw zewnętrzny moduł. Korzystając z poznanych już metod, wiemy, że w tym przypadku, liczba pod modułem musi być równa $4$ lub $-4$.

A zatem

(*) $1+\left|x-2\right|=4$ lub (**) $1+\left|x-2\right|=-4$

Zacznijmy od rozwiązania równania (*).

$1+\left|x-2\right|=4$

$\left|x-2\right|=3$

$x-2=3$ lub $x-2=-3$

$x=5$ lub $x=-1$

Teraz zajmiemy się równaniem (**).

$1+\left|x-2\right|=-4$

$\left|x-2\right|=-4-1$

$\left|x-2\right|=-5$

Otrzymaliśmy równanie sprzecznerównanie sprzecznerównanie sprzeczne.

A zatem pierwiastki równania $\left|1+\left|x-2\right|\right|=4$, to

$x=-1$ lub $x=5$.

Odpowiedź: $x\in \left\{-1, 5\right\}$.

Rozwiążemy równanie.

$\left|x-5\right|=\left|x+2\right|$

Rozwiązując takie równanie możemy skorzystać z twierdzenia

A zatem

$x-5=x+2$ lub $x-5=-\left(x+2\right)$

$-5=2$ lub $x-5=-x-2$

równanie sprzecznerównanie sprzecznerównanie sprzeczne lub $x+x=-2+5$

$2x=3 \left|:2\right.$

$x=\frac{3}{2}$

Równanie ma tylko jeden pierwiastek $x=\frac{3}{2}$.

Odpowiedź: $x\in \left\{\frac{3}{2}\right\}$.

Rozwiążemy równanie.

$\left|x+3\right|+\left|x+2\right|-\left|x+1\right|=10$

Rozwiązując równanie, w którym pojawiły się trzy moduły, postępujemy analogicznie jak przy podobnych równaniach z dwoma wartościami bezwzględnymi.

RNZtCj8oKn1yy

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu. Po lewej stronie ilustracji nad osią X znajdują się wyrażenia , pierwsze $x+3$, drugie $x+2$ oraz ostatnie $x+1$. Każde z tych wyrażeń ma swój osobny wiersz, w którym zaznaczone zostały znaki dodatnie oraz ujemne, w zależności od przyjmowanej wartości wyrażenia względem przedziału na poziomej osi X. W przedziale od minus nieskończoności do minus trzech prawostronnie otwartym wszystkie wyrażenia przyjmują wartości ujemne. W przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym od minus trzech do minus dwóch tylko pierwsze wyrażenie $x+3$ przyjmuje wartości dodatnie. W przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym od minus dwóch do plus minus jeden wszystkie wyrażenia przyjmują wartości dodatnie oprócz wyrażenia ostatniego $x+1$. W ostatnim przedziale lewostronnie domkniętym od minus jeden do plus nieskończoności wszystkie wyrażenia przyjmują wartości dodatnie.

Jak można wyczytać z rysunku, są cztery przedziały, w których musimy rozważyć znaki wyrażeń pod modułami.

A zatem

Odpowiedź: $x\in \left\{-14, 6\right\}$.

Rozwiążemy równanie.

$\left|x+2\right|-\left|x^2-4\right|=0$

Zauważmy, że wyrażenie pod drugim modułem możemy zapisać w postaci iloczynu sumy i różnicy dwóch wyrażeń, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

$\left|x+2\right|-\left|\left(x+2\right)\left(x-2\right)\right|=0$

Skorzystajmy z poznanej własności wartości bezwzględnej

$\left|x+2\right|-\left|x+2\right|·\left|x-2\right|=0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias

$\left|x+2\right|·\left[1-\left|\left(x-2\right)\right|\right]=0$

A zatem

$\left|x+2\right|=0$ lub $1-\left|x-2\right|=0$

$x+2=0$ lub $-\left|x-2\right|=-1$

Pozbywamy się modułu:

$x-2=1$ lub $x-2=-1$

Odpowiedź: $x\in \left\{-2, 1, 3\right\}$.

liczba spełniająca równanie

równania posiadające taki sam zbiór rozwiązań

równanie, które nie posiada rozwiązania, co zapisujemy $x\in \varnothing$