• Rozwiążesz równania z dwiema wartościami bezwzględnymi.

• Udoskonalisz umiejętności rozwiązywania równań z wartością bezwzględną.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ wartość bezwzględną definiujemy jako:

Rozwiążemy równanie $\left|x-5\right|=\left|3-4x\right|$.

Aby rozwiązać równanie skorzystamy  z tego, że:

Zatem $x-5=3-4x$ lub $x-5=-\left(3-4x\right)$.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem równania $x-5=3-4x$.

$x+4x=3+5$

$5x=8$

$x=1\frac{3}{5}$

Teraz rozwiążemy równanie $x-5=-\left(3-4x\right)$.

$x-5=-3+4x$

$x-4x=-3+5$

$-3x=2$

$x=-\frac{2}{3}$

Zatem rozwiązaniem równania są liczby $x\in \left\{-\frac{2}{3}, 1\frac{3}{5}\right\}$.

Rozwiążemy równanie $\left|x+4\right|+\left|x-3\right|=10$.

Najpierw zapiszemy wyrażenie $\left|x+4\right|$ bez użycia wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby rzeczywistej awartości bezwzględnej.

Korzystając z definicji otrzymujemy:

$\left|x+4\right|=\left\{\begin{array}{ll}x+4& \mathrm{dla} x\ge -4\\ -\left(x+4\right)& \mathrm{dla} x<-4\end{array}\right.$

Analogicznie

$\left|x-3\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-3& \mathrm{dla} x\ge 3\\ -\left(x-3\right)& \mathrm{dla} x<3\end{array}\right.$

Przedstawimy teraz jak zmieniają się znaki wartości bezwzględnej w wyznaczonych przedziałach na osi liczbowej.

R19UHCH0LqzKy

Grafika przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do pięciu. Na osi zaznaczone są przedziały na dwóch poziomach. Górny poziom dotyczy przedziałów dla $\left|x-3\right|$. Na przedziale otwartym od minus nieskończoności do trzech dla wartości bezwzględnej różnicy działa wzór $-\left(x-3\right)$. Dla przedziału lewostronnie domkniętego od trzech do plus nieskończoności działa wzór $x-3$. Dolny poziom dotyczy przedziałów dla $\left|x+4\right|$. Na przedziale obustronnie otwartym od minus nieskończoności do minus czterech dla wartości bezwzględnej sumy działa wzór $-\left(x+4\right)$. Dla przedziału lewostronnie domkniętego od minus czterech do plus nieskończoności działa wzór $x+4$.

Przedział 1.

$x\in \left(-\infty , -4\right)$

$-\left(x+4\right)-\left(x-3\right)=10$

$-x-4-x+3=10$

$-2x-1=10$

$-2x=11$

$x=-5\frac{1}{2}$

Teraz należy sprawdzić, czy liczba $x=-5\frac{1}{2}$ należy do przedziału, w którym się znajdujemy.

$x=-5\frac{1}{2}\in \left(-\infty , -4\right)$

Przedział 2.

$x\in \left.⟨-4, 3\right)$

$x+4-\left(x-3\right)=10$

$x+4-x+3=10$

$7=10$

Sprzeczność.

Przedział 3.

$x\in \left.⟨3, \infty \right)$

$x+4+x-3=10$

$2x+1=10$

$2x=9$

$x=4\frac{1}{2}$

Teraz należy sprawdzić, czy liczba $x=4\frac{1}{2}$ należy do przedziału, w którym się znajdujemy.

$x=4\frac{1}{2}\in ⟨3,\mathrm{\infty })$

Zatem rozwiązaniami równania są liczby $x=-5\frac{1}{2},x=4\frac{1}{2}$,    .

Dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $\left|x-5\right|+\left|x+5\right|=m$ ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$\left|x-5\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-5& \mathrm{dla} x\ge 5\\ -\left(x-5\right)& \mathrm{dla} x<5\end{array}\right.$

$\left|x+5\right|=\left\{\begin{array}{ll}x+5& \mathrm{dla} x\ge -5\\ -\left(x+5\right)& \mathrm{dla} x<-5\end{array}\right.$

Przedział 1.

$x\in \left(-\infty , -5\right)$

$-\left(x-5\right)-\left(x+5\right)=m$

$-x+5-x-5=m$

$-2x=m$

$x=-\frac{m}{2}$

Przedział 2.

$x\in \left.⟨-5, 5\right)$

$-\left(x-5\right)+x+5=m$

$-x+5+x+5=m$

$10=m$

Przedział 3.

$x\in \left.⟨5, \infty \right)$

$x-5+x+5=m$

$2x=m$

$x=\frac{m}{2}$

Zatem równanie będzie miało nieskończenie wiele rozwiązań dla $m=10$.

Rozwiążemy równanie $\left|\left|x-1\right|-6\right|=2$.

Opuszczając wartość bezwzględną, otrzymujemy:

$\left|x-1\right|-6=2$ lub $\left|x-1\right|-6=-2$

$\left|x-1\right|=8$ lub $\left|x-1\right|=4$

Oba równania posiadają rozwiązania, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

Rozwiązują równanie $\left|x-1\right|=8$ otrzymujemy $x=-7$ lub $x=9$.

Rozwiązanie równania $\left|x-1\right|=4$ to  $x=-3$ lub $x=5$.

Zatem rozwiązaniem równania są liczby  $x\in \left\{-7, -3, 5, 9\right\}$.

Rozwiążemy równanie $\left|4+\left|x-1\right|\right|=2$.

$4+\left|x-1\right|=2$ lub $4+\left|x-1\right|=-2$

$\left|x-1\right|=-2$ lub $|x-1|=-6$

Oba otrzymane równania są sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczba nieujemną.

Zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Rozwiążemy równanie $\left|\left|x\right|-2\right|=\left|x\right|+1$.

$\left|x\right|-2=\left|x\right|+1$ lub $\left|x\right|-2=-\left|x\right|-1$

Rozwiązując pierwsze równanie, otrzymujemy sprzeczność, ponieważ $-2\ne 1$.

Rozwiążemy równanie $\left|x\right|-2=-\left|x\right|-1$.

$2·\left|x\right|=1$

$\left|x\right|=\frac{1}{2}$

Zatem $x=-\frac{1}{2}$ lub $x=\frac{1}{2}$.

Dla jakich wartości parametru $p$ równanie $\left|px\right|+\left|p\right|=1$ ma rozwiązania?

$\left|px\right|+\left|p\right|=1$

Najpierw skorzystamy z własności wartości bezwzględnej $\left|px\right|=\left|p\right|·\left|x\right|$ dla dowolnych $p$ i $x$.

$\left|p\right|·\left|x\right|+\left|p\right|=1$

$\left|p\right|·\left|x\right|=1-\left|p\right|$

Dla $p\ne 0$ otrzymujemy:

$\left|x\right|=\frac{1-\left|p\right|}{\left|p\right|}$

Aby równanie miało rozwiązania, musi zachodzić warunek:

$\frac{1-\left|p\right|}{\left|p\right|}\ge 0$

Ponieważ $\left|p\right|>0$

$1-\left|p\right|\ge 0$

$\left|p\right|\le 1$

Zatem $p\in ⟨-1, 1⟩\setminus \left\{0\right\}$.

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $\left|x-5\right|=m$ ma dwa dodatnie pierwiastki.

$\left|x-5\right|=m$

Aby równanie miało dwa pierwiastki $m>0$.

Wtedy

$x-5=m$ lub $x-5=-m$

$x=m+5$ lub $x=5-m$

Aby oba pierwiastki równaniapierwiastki równaniapierwiastki równania były dodatnie:

$\left\{\begin{array}{l}m+5>0\\ 5-m>0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}m>-5\\ m<5\end{array}\right.$

Czyli $m\in \left(-5, 5\right)$

Ale ponieważ założyliśmy, że $m$ jest liczbą dodatnią $m\in \left(0, 5\right)$.

liczby spełniające równanie