3. Proste nierówności z wartością bezwzględną typu |x|>a, |x|<a - M_R_W09_M2 Równania i nierówności z wartością bezwzględną

R1FB5XTTGP1Sg

3. Proste nierówności z wartością bezwzględną typu $|x| > a$ oraz $|x| < a$

W matematyce ten sam zbiór możemy opisać na kilka sposobów. Na przykład, jeśli chcemy wskazać zbiór liczb większych od $(- 10)$ i mniejszych od $10$ , możemy zapisać przedział $(- 10, 10)$ , możemy skorzystać z nierówności, z przedziału narysowanego na osi liczbowej, z układu nierówności albo nierówności podwójnej.

W tym materiale dowiesz się, kiedy w takim zapisie możemy jeszcze wykorzystać wartość bezwzględną liczby i jak interpretujemy ten fakt geometrycznie.

Umiesz już rozwiązywać równania, w których pojawił się symbol wartości bezwzględnej. Wiesz też, jak geometrycznie interpretujemy moduł.

W tym materiale dowiesz się jak należy rozwiązywać nierówności typu $|x| > a$ oraz $|x| < a$ .

Twoje cele

Utrwalisz definicję geometryczną wartości bezwzględnej liczby $a$ .
Udoskonalisz umiejętności zaznaczania na osi liczbowej przedziałów określonych za pomocą prostych nierówności z wartością bezwzględną. Udoskonalisz umiejętności zapisywania za pomocą prostych nierówności z wartością bezwzględną przedziałów przedstawionych na osi liczbowej.
Nauczysz się rozwiązywać proste nierówności z wartością bezwzględną.

Nierówności typu $|x| > 2$ .

Przypomnijmy sobie informacje dotyczące przedziałów nieograniczonych.

Przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym $(a, \infty)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od pewnej liczby $a$ .

RczrNKNY6sHfD

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym po jej lewej stronie punktem a. Punkt a zaznaczony jest niezamalowaną kropką. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od a do plus nieskończoności.

x \in (a, \infty) \Leftrightarrow x > a

Przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym $⟨a, \infty)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od pewnej liczby $a$ lub jej równe.

RgclfVANlamPu

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym po jej lewej stronie punktem a. Punkt a zaznaczony jest zamalowaną kropką. Na osi zaznaczony jest przedział lewostronnie domknięty od a do plus nieskończoności.

x \in ⟨a, \infty) \Leftrightarrow x \geq a

Przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym $(- \infty, a)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są mniejsze od pewnej liczby $a$ .

R4WgehAaGs5e1

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym po jej prawej stronie punktem a. Punkt a zaznaczony jest niezamalowaną kropką. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od minus nieskończoności do a.

x \in (- \infty, a) \Leftrightarrow x < a

Przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym $(- \infty, a⟩$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są mniejsze od pewnej liczby $a$ lub jej równe.

R1EnIzuZqiKVn

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym po jej prawej stronie punktem a. Punkt a zaznaczony jest zamalowaną kropką. Na osi zaznaczony jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do a.

x \in (- \infty, a⟩ \Leftrightarrow x \leq a

Przypomnijmy sobie najważniejsze informacje o nierównościach pierwszego stopnia (liniowych) z jedną niewiadomą.

Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą, to nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.
Przykłady takich nierówności, to:
$2 x > 4$
$- 3 x + 1 \geq 2$
$\frac{1}{2} x - 4 < 0$
$- 0,4 + 0,3 x = - 0,5$
Zbiorem rozwiązań nierównościrozwiązanie nierównościrozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb, które spełniają daną nierówność. Zbiór ten zaznaczamy na osi liczbowej i zapisujemy w postaci odpowiedniego przedziału.
Nierówności równoważne, to takie, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań.
Aby rozwiązać nierówność, możemy przekształcać ją równoważnie.
Pamiętaj, że podczas mnożenia i dzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Wiesz już, że wartość bezwzględną liczbywartość bezwzględna liczby awartość bezwzględną liczby rzeczywistej $a$ , możemy zinterpretować jako odległość tej liczby od liczby $0$ na osi liczbowej.

Przykład 1

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $|x| > 2$ .

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $0$ wynosi więcej niż $2$ .

Zaznaczamy zatem na osi dwa przedziały nieograniczone: prawostronnie otwarty $(- \infty, - 2)$ oraz lewostronnie otwarty $(2, \infty)$ .

Rn4rOXR1LpXlK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu z zaznaczonym punktami minus dwa i dwa. Punkty te zaznaczone są niezamalowanymi kropkami. Na osi zaznaczone są dwa przedziały otwarte: pierwszy od minus nieskończoności do minus dwóch oraz drugi od dwóch do plus nieskończoności.

Ponieważ nierówność jest ostra, to kółeczka znajdujące się na liczbach $2$ oraz $- 2$ są niezamalowane.

Zbiór ten możemy zapisać za pomocą sumy przedziałów $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

Przykład 2

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $|x| \geq 2$ .

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $0$ jest równa $2$ oraz te, których ta odległość wynosi więcej niż $2$ .

Zaznaczamy zatem na osi dwa przedziały nieograniczone: prawostronnie domknięty $(- \infty, - 2⟩$ oraz lewostronnie domknięty $⟨2, \infty)$ .

R176H6VELRLBc

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu z zaznaczonym punktami minus dwa i dwa. Punkty te zaznaczone są zamalowanymi kropkami. Na osi zaznaczone są dwa przedziały: pierwszy prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus dwóch oraz drugi lewostronnie domknięty od dwóch do plus nieskończoności.

Ponieważ nierówność jest słaba (nieostra), to kółeczka znajdujące się na liczbach $2$ oraz $- 2$ są zamalowane.

Zbiór ten możemy zapisać za pomocą sumy przedziałów $(- \infty, - 2⟩ \cup ⟨2, \infty)$ .

Przykład 3

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $|x| \geq - 2$ .

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $0$ wynosi więcej niż $- 2$ , czyli wszystkie liczby rzeczywiste.

Odległość jest zawsze nieujemna, a zatem każda liczba znajduje się na osi w odległości większej niż $- 2$ .

RirWe55x7RA95

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu. Na osi zaznaczony jest przedział zawierający całą oś, czyli wszystkie liczby rzeczywiste, co można zapisać jako przedział nieograniczony od minus nieskończoności do plus nieskończoności.

Możemy zatem zapisać, że $x \in ℝ$ .

Analogicznie wygląda zbiór liczb spełniających warunek $|x| \geq 0$ .

Przykład 4

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $|x| > 0$ .

W tym przypadku jedyną liczbą, która nie spełnia warunku jest liczba $0$ .

R8bhfIa2aUVot

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu. Na osi zaznaczony jest przedział zawierający niemal całą oś, czyli wszystkie liczby rzeczywiste, poza zerem, które oznaczone jest niezamalowanym punktem.

Zapisujemy: $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji, a następnie wykonaj samodzielnie polecenie 2.

R1Ty60l1Qd4dj

Polecenie 2

Rozwiąż nierówności. Zaznacz rozwiązania na osi liczbowej i zapisz w postaci sumy przedziałów:

a) $|x| > 5$

b) $|x| \geq 1$

RBQWdNTf1qU38

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do siedmiu. Na osi zaznaczone są dwa przedziały otwarte. Pierwszy od minus nieskończoności do minus pięciu oraz drugi od pięciu do plus nieskończoności.

x \in (- \infty, - 5) \cup (5, \infty)

R163VGID27C0z

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do siedmiu. Na osi zaznaczone są dwa przedziały. Pierwszy prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus jeden oraz drugi lewostronnie domknięty od jeden do plus nieskończoności.

x \in (- \infty, - 1⟩ \cup ⟨1, \infty)

Przykład 5

Rozwiąż algebraicznie nierówność $|x| > 3$ .

Aby znaleźć zbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierówności, zapisujemy ją najpierw bez symbolu wartości bezwzględnej, w równoważnej postaci alternatywy dwóch nierówności

$x < - 3$ lub $x > 3$

Zaznaczmy otrzymane zbiory na osi liczbowej, a następnie zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci sumy przedziałów.

Pamiętaj, że kółeczka muszą być niezamalowane – są to nierówności ostre.

RXicgXoo8h453

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi za pomocą niezamalowanych kropek oznaczono punkty minus trzy oraz trzy. Obszar mniejszy niż minus trzy i większy od trzy został zaznaczony.

x \in (- \infty, - 3) \cup (3, \infty)

Przykład 6

Rozwiąż algebraicznie nierówność $|2 x| > 12$ .

Nierówność możemy zapisać w postaci alternatywy dwóch nierówności.

$2 x < - 12$ lub $2 x > 12$

Rozwiązujemy te nierówności i zaznaczamy na jednej osi liczbowej przedziały, które są ich zbiorami rozwiązań.

$2 x < - 12| : 2$ lub $2 x > 12| : 2$

$x < - 6$ lub $x > 6$

RQb4EF1AjAovV

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus sześć oraz sześć . Punkty te są niezamalowane. Obszar mniejszy niż minus sześć i większy od sześć został zaznaczony.

Zapisujemy teraz rozwiązanie przedstawione na rysunku w postaci sumy przedziałów.

x \in (- \infty, - 6) \cup (6, \infty)

Przykład 7

Rozwiąż algebraicznie nierówność $|- 4 x| \geq 3$ .

Zauważ, że, zgodnie z własnością wartości bezwzględnej:

|a| = |- a|, dla a \in ℝ

nierówność ta jest równoważna nierówności

$|4 x| \geq 3$

Dalej rozwiązujemy nierówność analogicznie jak w powyższych przykładach.

$4 x \leq - 3 |: 4$ lub $4 x \geq 3 |: 4$

$x \leq - \frac{3}{4}$ lub $x \geq \frac{3}{4}$

Pamiętaj, że kółeczka muszą być zamalowane – są to nierówności nieostre.

R1WRpnyPK6t1a

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus trzy czwarte oraz trzy czwarte . Punkty te zostały zamalowane. Obszar mniejszy niż minus trzy czwarte i większy od trzy czwarte został zaznaczony.

x \in (- \infty, - \frac{3}{4}⟩ \cup ⟨\frac{3}{4}, \infty)

Polecenie 3

Zapoznaj się ze sposobem rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną w postaci $| x | > a$ , gdzie $a > 0$ przedstawionym na infografice, a następnie wykonaj samodzielnie polecenie $2$ .

R1QKh7NmuolUW

Polecenie 4

Rozwiąż nierówność. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej i zapisz w postaci sumy przedziałów.

$|5 x| > 32$

Rozważ dwa przypadki:

Przypadek 1:

$5 x < 0$

Przypadek 2:

$5 x \geq 0$

Przypadek 1:

$5 x < 0 \Leftrightarrow x < 0$

Wtedy $|5 x| = - 5 x$

$- 5 x > 32 : (- 5)$

$x < - 6 \frac{2}{5} \land x < 0$

$x < - 6 \frac{2}{5}$

Przypadek 2:

$5 x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$

Wtedy $|5 x| = 5 x$

$5 x > 32 : 5$

$x > 6 \frac{2}{5} \land x \geq 0$

$x > 6 \frac{2}{5}$

RbKvKIe8RE4P3

Grafika przedstawia oś x na której zaznaczone zostały dwa punkty. Punkt minus 6 i dwie piąte oraz punkt 6 i dwie piąte. Punkty te są niezamalowane. Wartości mniejsze od minus 6 i dwie piąte oraz wartości większe od 6 i dwie piąte zostały zaznaczone.

x \in (- \infty, - 6 \frac{2}{5}) \cup (6 \frac{2}{5}, \infty)

Nierówności typu $|x| < a$ .

Przypomnijmy sobie informacje dotyczące przedziałów ograniczonych otwartych i domkniętych.

Przedziałem otwartym $(a, b)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od liczby $a$ i mniejsze od liczby $b$ .

R4X0LDNVYsC5n

Ilustracja przedstawia oś X z zaznaczonym zbiorem a b. Punkty A oraz B są niezamalowane.

x \in (a, b) \Leftrightarrow x > a i x < b \Leftrightarrow a < x < b

Przedziałem ograniczonym domkniętym $⟨a, b⟩$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są niemniejsze od liczby $a$ i niewiększe od liczby $b$ .

Rxn6Kpzdm7BjE

Ilustracja przedstawia oś Xz zaznaczonym zbiorem a b. Zarówno punkt a i b są zamalowane.

x \in ⟨a, b⟩ \Leftrightarrow x \geq a i x \leq b \Leftrightarrow a \leq x \leq b

Przykład 8

Zaznacz przedziały na osi liczbowej.

a) $A = (- 6, 4)$

RpFKpywcsQiFm

Ilustracja przedstawia oś Xz zaznaczonym zbiorem od minus sześć do cztery. Oba punkty są niezamalowane.

Zwróć uwagę, że kółeczka zaznaczone na liczbach $- 6$ i $4$ są niezamalowane.

b) $B = ⟨- 2, 7⟩$

R4OZK2Cj5app9

Ilustracja przedstawia oś Xz zaznaczonym zbiorem od minus dwa do siedem. Oba punkty są zamalowane.

Zwróć uwagę, że kółeczka zaznaczone na liczbach $- 2$ i $7$ są zamalowane.

Wiesz już, że rozwiązaniem nierówności liniowej jest zbiór liczb, które ją spełniają.

Zastanów się jak wyznaczyć zbiór liczb które spełniają jednocześnie dwie nierówności.

Przykład 9

Zaznacz zbiory rozwiązań nierówności $x > 3$ oraz $x < 6$ na jednej osi liczbowej.

RdsOo8LSfrkDV

Ilustracja przedstawia oś Xz zaznaczonymi dwoma zbiorami liczb od sześć do minus nieskończoności i od trzy do nieskończoności. Oba punkty są niezamalowane.

Na osi liczbowej mamy przedstawione dwa przedziały. Liczby, które należą jednocześnie do każdego z nich, to liczby należące do przedziału $(3, 6)$ .

Jest to oczywiście iloczyn przedziałów. Znajdują się w nim liczby, które spełniają pierwszą i drugą nierówność.

Rbfxpnds9biOe

Ilustracja przedstawia oś X z zaznaczonymi dwoma zbiorami liczb od sześć (niezamalowana kropka) do minus nieskończoności, opisany jako x mniejsze od sześć i od trzy (niezamalowana kropka) do nieskończoności, opisany jako x większe od trzy. część wspólna obu zbiorów opisana jest jako x należy do przedziału nawias, trzy, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu.

Możemy powiedzieć, że przedział $(3, 6)$ jest rozwiązaniem układu nierówności liniowych

$\{\begin{cases} x > 3 \\ x < 6 \end{cases}$

Przykład 10

Wyznacz rozwiązanie układu nierównościrozwiązanie układu nierównościrozwiązanie układu nierówności liniowych $\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ x \leq 4 \end{cases}$ .

Zaznaczamy na osi przedziały wyznaczone przez nierówności $x \geq - 2$ oraz $x \leq 4$ .

Rqr6HVCXFvSi5

Ilustracja przedstawia oś X z zaznaczonymi dwoma zbiorami liczb od cztery do minus nieskończoności i od minus dwa do nieskończoności. Oba punkty są zamalowane.

Odczytujemy iloczyn zaznaczonych przedziałów. Jest to rozwiązanie układu nierównościrozwiązanie układu nierównościrozwiązanie układu nierówności

$x \in ⟨- 2, 4⟩$

Przykład 11

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $|x| < 5$ .

Z definicji wartości bezwzględniej wiemy, że są to liczby, których odległość od liczby $0$ na osi liczbowej jest mniejsza od $5$ .

A zatem są to liczby większe od $- 5$ i jednocześnie mniejsze od $5$ .

RqcAqu7fhMqxA

Ilustracja przedstawia oś Xz zaznaczonymi dwoma zbiorami liczb od pięciu do minus nieskończoności i od minus pięć do nieskończoności. Oba punkty są niezamalowane.

Rozwiązaniem jest więc przedział $(- 5, 5)$ .

RhkRkgqWTJxva

Ilustracja przedstawia oś X z zaznaczonym zbiorem od minus pięć do pięć. Oba punkty są niezmalowane.

Przykład 12

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $|x| \leq 12$ .

Z definicji wartości bezwzględniej wiemy, że są to liczby, których odległość od liczby $0$ na osi liczbowej jest niewiększa niż $12$ .

A zatem są to liczby niemniejsze niż $- 12$ i jednocześnie niewiększe niż $12$ .

R61Z4G2jSEfuP

Ilustracja przedstawia oś X z zaznaczonymi dwoma zbiorami liczb od dwanaście do minus nieskończoności i od minus dwanaście do nieskończoności. Oba punkty są zamalowane.

Rozwiązaniem jest więc przedział $⟨- 12, 12⟩$ .

Przykład 13

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $|x| < - 1$ .

Ponownie odwołując się do definicji wartości bezwzględniej, musimy zauważyć, że ta nierówność jest sprzeczna.

Odległość dowolnej liczby od liczby $0$ na osi liczbowej jest nieujemna, a więc nie istnieje taka liczba rzeczywista $x$ , dla której warunek $|x| < - 1$ jest spełniony.

Polecenie 5

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w infografice, a następnie wykonaj samodzielnie polecenie 2.

RpRY3Du2RgSNl

Polecenie 6

Rozwiąż nierówności. Zaznacz rozwiązania na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziałów.

a) $|x| < 3$

b) $|x| \leq 16$

R27X8CIv3IqLX

Ilustracja przedstawia oś x z zaznaczonym zbiorem od minus 3 (niezamalowana kropka) do trzy (niezamalowana kropka).

x \in (- 3, 3)

R82ZE3r5Q3mrN

Ilustracja przedstawia oś x z zaznaczonym zbiorem od minus 16 (zamalowana kropka) do 16 (zamalowana kropka).

x \in ⟨- 16, 16⟩

Przykład 14

Rozwiąż algebraicznie nierówność $|x| < 4$ .

Aby znaleźć zbiór rozwiązań tej nierówności, zapisujemy ją bez symbolu wartości bezwzględnej:

$- 4 < x < 4$

Następnie zaznaczamy otrzymany zbiór na osi liczbowej i zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

R1Q7bfUiztt1T

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus cztery oraz cztery. Punky te są niezamalowane. Obszar pomiędzy punktami, większy niż minus cztery i mniejszy od cztery został zaznaczony.

x \in (- 4, 4)

Przykład 15

Rozwiąż algebraicznie nierówność $|3 x| < 21$ .

Nierówność możemy zapisać w postaci koniunkcji dwóch nierówności.

$3 x > - 21 |: 3$ $\land$ $3 x < 21 |: 3$

$x > - 7$ $\land$ $x < 7$

Zaznaczamy na osi liczbowej przedział, który jest iloczynem ich zbiorów rozwiązań.

R1dIV6kH4JrNk

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus siedem oraz siedem. Punkty te zaznaczono kropkami, które nie są zamalowane. Obszar pomiędzy punktami, większy niż minus siedem i mniejszy od siedem został zaznaczony.

Zapisujemy teraz rozwiązanie przedstawione na rysunku w postaci przedziału.

x \in (- 7, 7)

Przykład 16

Rozwiąż algebraicznie nierówność $|\frac{4}{5} x| \leq 8$ .

Skorzystamy teraz z definicji algebraicznej wartości bezwzględnej:

|x| = \{\begin{cases} - x, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}

Przypadek 1:

$\frac{4}{5} x < 0 \Leftrightarrow x < 0$

Wtedy $|\frac{4}{5} x| = - \frac{4}{5} x$

$- \frac{4}{5} x \leq 8 |: (- \frac{4}{5})$

$x \geq - 8 \cdot \frac{5}{4}$

$x \geq - 10$

$\{\begin{cases} x < 0 \\ x \geq - 10 \end{cases} \Leftrightarrow x \in ⟨- 10, 0)$

Przypadek 2:

$\frac{4}{5} x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$

Wtedy $|\frac{4}{5} x| = \frac{4}{5} x$

$\frac{4}{5} x \leq 8$

$x \leq 8 \cdot \frac{5}{4}$

$x \leq 10$

$\{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 10 \end{cases} \Leftrightarrow x \in ⟨0, 10⟩$

Zaznaczamy na osi liczbowej otrzymane przedziały.

Ich suma jest zbiorem rozwiązań nierówności $|\frac{4}{5} x| \leq 8$ .

R1OjSk9wfJ4FK

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus dziesięć, zero oraz dziesięć.Przy czym punkty minus 10 i 10 są zamalowane, natomiast punkt 0 jesr zamalowany tylko do połowy od prawej strony. Obszar pomiędzy punktami, większy niż minus dziesięć i mniejszy od zero, oraz większy niż zero i mniejszy od dziesięć, został zaznaczony.

x \in ⟨- 10, 10⟩

Przykład 17

Rozwiąż nierówność $|x| + 5 < 8$ .

Przenosimy liczbę $5$ na drugą stronę nierówności.

$|x| < 8 - 5$

$|x| < 3$

Zapisujemy ją bez symbolu wartości bezwzględnej.

$- 3 < x < 3$

Następnie zaznaczmy otrzymany zbiór na osi liczbowej i zapisujemy w postaci przedziału.

RMYYx3I2qctMi

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus trzy oraz trzy. Punkty te są niezamalowane. Obszar pomiędzy punktami, większy niż minus trzy i mniejszy od trzy został zaznaczony.

x \in (- 3, 3)

Przykład 18

Rozwiąż nierówność $5 - 2 |x| \geq 9$ .

Przenosimy liczbę $5$ na drugą stronę nierówności.

$- 2 |x| \geq 9 - 5$

$- 2 |x| \geq 4$

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę $(- 2)$ .

Pamiętaj, że przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną, należy zmienić jej znak na przeciwny.

$- 2 |x| \geq 4 |: (- 2)$

$|x| \leq - 2$

Otrzymana nierówność to nierówność sprzecznanierówność sprzecznanierówność sprzeczna.

x \in \emptyset

Przykład 19

Rozwiąż nierówność $- 2 |x| \leq - 8$ .

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę $(- 2)$ .

$|x| \geq 4$

Otrzymaliśmy nierówność, którą już umiesz rozwiązać – zapisujemy ją bez wartości bezwzględnej, w postaci alternatywy dwóch nierówności, zaznaczamy rozwiązanie na osi liczbowej i zapisujemy w postaci sumy przedziałów.

$x \leq - 4$ lub $x \geq 4$

RuXeatVIUIXVb

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus cztery oraz cztery. Punkty te są zamalowane. Obszar mniejszy niż minus cztery i większy od cztery został zaznaczony.

x \in (- \infty, - 4⟩ \cup ⟨4, \infty)

Polecenie 7

Zapoznaj się z przykładem, w którym pojawia się więcej niż jeden symbol wartości bezwzględnej. Następnie wykonaj samodzielnie polecenie 2.

RjypDVxUwj1lt

R1D1VoO2DUQbA

RpFu86XQlynFc

R1BpkxcdJA49l

R1Bi6zN71moMm

Polecenie 8

Rozwiąż nierówność. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału $|5 |4 x|| < 20$ .

$|5 |4 x|| < 20$

$- 20 < 5 |4 x| < 20$

$- 20 < 5 |4 x|$ $\land$ $5 |4 x| < 20 |: 5$

$- 5 |4 x| < 20 |: (- 5)$ $\land$ $|4 x| < 4$

$|4 x| > - 4$ $\land$ $- 4 < 4 x < 4 |: 4$

nierówność tożsamościowa $\land$ $- 1 < x < 1$

$x \in ℝ$ $\land$ $x \in (- 1, 1)$

RFGKiwoPCEsJn

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi za pomocą niezamalowanych kółek dwoma punktami: minus 1 oraz jeden. Zaznaczono też dwa przedziały otwarte: całą prostą oraz przedział od minus jeden do jeden. Część wspólna tych przedziałów to przedział od minus jeden do jeden.

x \in (- 1, 1)

R73rtWWpKY9271

Ćwiczenie 1

Rfw7BqBo9ABsm1

Ćwiczenie 2

RNLyJMZ2KZgh32

Ćwiczenie 3

RfIN4TWNT785I2

Ćwiczenie 4

R1ZjsW1DOb7GN2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary nierówności i zbiory ich rozwiązań. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, cztery, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, cztery, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, cztery, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, cztery, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 6

Przyporządkuj opisy zbiorów do odpowiadających im rysunków. Przyciągnij prawidłowe odpowiedzi.

RGK0XbzSmqyjz

W zadaniu mamy dwa rysunki. Oba przestawiają poziome osie X od minus dziesięciu do dziesięciu. Rysunek pierwszy: na osi zaznaczone są dwa przedziały otwarte. Pierwszy od minus nieskończoności do minus siedmiu i drugi od siedmiu do plus nieskończoności. Rysunek drugi: na osi zaznaczone są dwa przedziały. Pierwszy prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus siedmiu i drugi lewostronnie domknięty od siedmiu do plus nieskończoności.

R6NENn0FMgyXV

RvBEkFnXgTDit3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Zapisz nierówność, której rozwiązanie przedstawiono na rysunku.

Rokef1AuA0b7b

Podpunkt a. Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do dziesięciu. Na osi zaznaczone są zamalowanymi kropkami dwie współrzędne: minus osiem i osiem oraz zaznaczone są dwa przedziały: pierwszy od minus nieskończoności do minus ośmiu oraz drugi od ośmiu do plus nieskończoności.

R14XX7oUX2rQI

Podpunkt b. Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus trzydziestu pięciu do trzydziestu pięciu, przy czym współrzędne są oznaczone co pięć. Na osi zaznaczone są niezamalowanymi kropkami dwie współrzędne: minus piętnaście i piętnaście oraz zaznaczone są dwa przedziały: pierwszy od minus nieskończoności do minus piętnastu oraz drugi od piętnastu do plus nieskończoności.

R1E3unqDXYb8P

Podpunkt c. Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus trzydziestu pięciu do trzydziestu pięciu, przy czym współrzędne są oznaczone co pięć. Na osi zaznaczone są zamalowanymi kropkami dwie współrzędne: minus pięć i pięć oraz zaznaczone są dwa przedziały: pierwszy od minus nieskończoności do minus pięciu oraz drugi od pięciu do plus nieskończoności.

R1G2cNfDCsugo

Podpunkt d. Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus trzech i pół do trzech i pół, przy czym współrzędne są oznaczone co jedną drugą. Na osi zaznaczone są niezamalowanymi kropkami dwie współrzędne: minus półtora i półtora oraz zaznaczone są dwa przedziały: pierwszy od minus nieskończoności do minus półtora oraz drugi od półtora do plus nieskończoności.

a) $|x| \geq 8$

b) $|x| > 15$

c) $|x| \geq 5$

d) $|x| > 1, 5$

R1bPoEtJFRUyk1

Ćwiczenie 9

RDG3MZeIGDUjR1

Ćwiczenie 10

RI1z3jVOWQa2U2

Ćwiczenie 11

R1QQLza9cR3cQ2

Ćwiczenie 12

Połącz w pary równe zbiory. A, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. H, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy równy, minus, cztery lub x, większy równy, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. E, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy niż, minus, pięć lub x, większy niż, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. G, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy niż, minus, cztery lub x, większy niż, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. F, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy równy, minus, pięć lub x, większy równy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego B, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. H, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy równy, minus, cztery lub x, większy równy, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. E, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy niż, minus, pięć lub x, większy niż, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. G, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy niż, minus, cztery lub x, większy niż, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. F, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy równy, minus, pięć lub x, większy równy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego C, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. H, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy równy, minus, cztery lub x, większy równy, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. E, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy niż, minus, pięć lub x, większy niż, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. G, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy niż, minus, cztery lub x, większy niż, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. F, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy równy, minus, pięć lub x, większy równy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego D, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. H, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy równy, minus, cztery lub x, większy równy, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. E, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy niż, minus, pięć lub x, większy niż, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. G, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy niż, minus, cztery lub x, większy niż, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. F, równa się, nawias klamrowy, x, należy do, liczby rzeczywiste, podzielić na, x, mniejszy równy, minus, pięć lub x, większy równy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego

R6B6jRxpUOfAj2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Ułóż we właściwej kolejności kolejne etapy rozwiązania nierówności $|- 3 \frac{1}{2} x| > 4,2$ .
Przeciągnij w poprawne miejsca.

RPCdTxj1gWlup

wartość bezwzględna z, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, cztery przecinek dwa
jeden stopień trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, mniejszy niż, minus, cztery przecinek dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
1. iloczyn zbiorów, 2. suma zbiorów, 3. nawias, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, większy niż, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. x, większy niż, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 8. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 9. nawias, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka
1. iloczyn zbiorów, 2. suma zbiorów, 3. nawias, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, większy niż, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. x, większy niż, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 8. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 9. nawias, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka
dwa stopnie trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, większy niż, cztery przecinek dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
1. iloczyn zbiorów, 2. suma zbiorów, 3. nawias, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, większy niż, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. x, większy niż, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 8. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 9. nawias, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka
1. iloczyn zbiorów, 2. suma zbiorów, 3. nawias, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, większy niż, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. x, większy niż, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 8. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 9. nawias, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka
x, należy do1. iloczyn zbiorów, 2. suma zbiorów, 3. nawias, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, większy niż, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. x, większy niż, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 8. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 9. nawias, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka1. iloczyn zbiorów, 2. suma zbiorów, 3. nawias, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, większy niż, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. x, większy niż, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 8. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 9. nawias, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka1. iloczyn zbiorów, 2. suma zbiorów, 3. nawias, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, większy niż, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. x, większy niż, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 8. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 9. nawias, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka

R20s68PCaO9tu

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus sześć piątych oraz sześć piątych. Punkty te są niezamalowane. Obszar mniejszy niż minus sześć piątych i większy od sześć piątych został zaznaczony.

RMp5iPNVur1tG3

Ćwiczenie 15

wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, piętnaście
jeden stopień x1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równyzero implikuje wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, równa się, minus, x
wtedy:
minus, x1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równypiętnaście
x1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równy1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równy
lub
dwa stopnie x1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równyzero implikuje wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, równa się, x
wtedy
x1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równy1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równy
x, należy do1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równy1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równy1. mniejszy równy, 2. większy równy, 3. większy niż, 4. większy równy, 5. minus, piętnaście, 6. piętnaście, 7. mniejszy niż, 8. nawias ostry, minus, piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 9. mniejszy równy, 10. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 11. iloczyn zbiorów, 12. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu, 13. nawias ostry piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 14. nawias piętnaście, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, 15. mniejszy niż, 16. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, piętnaście zamknięcie nawiasu ostrego, 17. większy niż, 18. suma zbiorów, 19. większy równy

Ćwiczenie 16

Rozwiąż nierówność, korzystając z definicji algebraicznej wartości bezwzględnej liczby $|1 \frac{5}{7} x| \geq 2 \frac{2}{7}$ .

Rozważ dwa przypadki.

Przypadek 1:

$1 \frac{5}{7} x < 0$

Przypadek 2:

$1 \frac{5}{7} x \geq 0$

Przypadek 1:

$1 \frac{5}{7} x < 0 \Leftrightarrow x < 0$

Wtedy $|1 \frac{5}{7} x| = - 1 \frac{5}{7} x$

$- 1 \frac{5}{7} x > 2 \frac{2}{7} |: (- 1 \frac{5}{7})$

$x < \frac{16}{7} : (- \frac{12}{7})$

$x < - 1 \frac{1}{3}$

$\{\begin{cases} x < - 1 \frac{1}{3} \\ x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow x < - 1 \frac{1}{3}$

Przypadek 2:

$1 \frac{5}{7} x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$

Wtedy $|1 \frac{5}{7} x| = 1 \frac{5}{7} x$

$1 \frac{5}{7} x > 2 \frac{2}{7}$

$x > \frac{16}{7} : \frac{12}{7}$

$x > 1 \frac{1}{3}$

$\{\begin{cases} x > 1 \frac{1}{3} \\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1 \frac{1}{3}$

R1E42S5DKAsfB

Grafika przedstawia oś x na której zaznaczone zostały dwa punkty. Punkt minus 1 i jedna trzecia oraz punkt 1 i jedna trzecia. Punkty te są niezamalowane. Wartości mniejsze od minus 1 i jedna trzecia oraz wartości większe od 1 i jedna trzecia zostały zaznaczone.

x \in (- \infty, - 1 \frac{1}{3}) \cup (1 \frac{1}{3}, \infty)

Ćwiczenie 17

Które liczby przedstawione na poniższym rysunku spełniające nierówność $|x| \leq 6$ ?

R1SxPYObXTRAG

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z oznaczonymi od minus dziewięciu do dziewięciu. Na osi zaznaczone zostały punkty, kolejno: E równe minus dziewięć, A równe minus osiem, H równe minus sześć, D równe minus trzy, G równe zero, B równe się dwa, F równe się cztery oraz C równe się dziewięć.

R34W2BXbZFWVE

Ćwiczenie 18

Która z podanych niżej nierówności jest przedstawiony na rysunku?

R1IUQGDkOwZdd

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono zamalowanymi kółkami liczby: minus dwa i dwa i zaznaczono obszar między nimi.

RrwCppTWQl6M1

Ćwiczenie 19

R1JZ3NhBW4Efb

Ćwiczenie 20

Rc21gM9LbAU5l

Ćwiczenie 21

R10hw6NNUq6ex

RQ1SLSilDhdW0

Ćwiczenie 22

Do przedstawionych na osiach liczbowych zbiorów, przyciągnij wszystkie pasujące do nich opisy.

R1E3xyohQdjar

Ilustracja przedstawia dwie oś iks z oznaczonymi zbiorami od minus osiem do osiem. W pierwszym przykładzie punkty są puste, w drugim pełne.

RVb5baOoZhj2k

Ćwiczenie 23

RbCUn0xIEh6bo

R1ZbHSU3RRk88

Ćwiczenie 24

Zapisz nierówność, której rozwiązanie przedstawiono na rysunku.

RZqOm9P9BjNgU

Ilustracja przedstawia cztery osie iks z oznaczonymi zbiorami. Pierwsza: puste punkty od minus pięć do pięć, druga: pełne punkty od minus jeden do jeden, trzecia: puste punkty od minus dwa i pół do dwa i pół, czwarta: pełne punkty od minus siedem do siedem.

a) $|x| < 5$

b) $|x| \leq 1$

c) $|x| < 2, 5$

d) $|x| \leq 7$

R1XbqMj1t5n0C1

Ćwiczenie 25

RfM9eWRSIcnRP1

Ćwiczenie 26

R16T5kJB5E6gg2

Ćwiczenie 27

RpcqPbDbZd7pg2

Ćwiczenie 28

Rozwiąż nierówności dowolnym sposobem. Posegreguj je w zależności od liczby posiadanych rozwiązań i umieść w odpowiedniej kolumnie, zgodnie z opisem. Nieskończenie wiele rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, większy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, siedem, 2. siedem, minus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, pięć, 3. sześć, większy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, sześć, 4. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, siedem, mniejszy równy, minus, dziesięć, 5. wartość bezwzględna z, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, plus, dziesięć, mniejszy równy, dwa, 6. cztery, plus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, osiem, 7. cztery, minus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery, 8. wartość bezwzględna z, trzy x, koniec wartości bezwzględnej, minus, dwanaście, większy równy, minus, trzy, 9. minus, dziesięć, mniejszy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa, 10. minus, pięć, plus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, minus, pięć Brak rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, większy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, siedem, 2. siedem, minus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, pięć, 3. sześć, większy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, sześć, 4. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, siedem, mniejszy równy, minus, dziesięć, 5. wartość bezwzględna z, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, plus, dziesięć, mniejszy równy, dwa, 6. cztery, plus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, osiem, 7. cztery, minus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery, 8. wartość bezwzględna z, trzy x, koniec wartości bezwzględnej, minus, dwanaście, większy równy, minus, trzy, 9. minus, dziesięć, mniejszy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa, 10. minus, pięć, plus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, minus, pięć Tylko jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, większy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, siedem, 2. siedem, minus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, pięć, 3. sześć, większy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, sześć, 4. wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, siedem, mniejszy równy, minus, dziesięć, 5. wartość bezwzględna z, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, plus, dziesięć, mniejszy równy, dwa, 6. cztery, plus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, osiem, 7. cztery, minus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery, 8. wartość bezwzględna z, trzy x, koniec wartości bezwzględnej, minus, dwanaście, większy równy, minus, trzy, 9. minus, dziesięć, mniejszy równy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa, 10. minus, pięć, plus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, minus, pięć

RWSaOuPt5r1VA2

Ćwiczenie 29

Połącz w pary nierówności i zbiory ich rozwiązań. wartość bezwzględna z, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, 4. x, należy do, nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, 4. x, należy do, nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, trzy, mniejszy równy, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, 4. x, należy do, nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu trzy, minus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, 4. x, należy do, nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 30

Rv4HnSYrW0O9V

Połącz w pary nierówności i zbiory ich rozwiązań. wartość bezwzględna z, trzy wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, trzy, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, jeden, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, cztery wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, trzy, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, jeden, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, trzy, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, jeden, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, dwa wartość bezwzględna z, trzy x, koniec wartości bezwzględnej, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, osiemnaście Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, trzy, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, jeden, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, cztery wartość bezwzględna z, sześć x, koniec wartości bezwzględnej, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, dwadzieścia cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, trzy, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, jeden, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, minus, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, trzy, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, minus, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, nawias, jeden, przecinek, nawias, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 31

Ułóż we właściwej kolejności kolejne etapy rozwiązania nierówności $|4 \frac{2}{3} x| \leq 42$ .

R1KtQSxkYnVHz

wartość bezwzględna z, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, czterdzieści dwa
1. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. x, mniejszy równy, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy równy, minus, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 7. x, mniejszy równy, dziewięć, 8. x, większy równy, minus, dziewięć, 9. nawias, minus, dziewięć przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 10. minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, 11. x, większy równy, minus, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka
jeden stopień, minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x
1. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. x, mniejszy równy, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy równy, minus, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 7. x, mniejszy równy, dziewięć, 8. x, większy równy, minus, dziewięć, 9. nawias, minus, dziewięć przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 10. minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, 11. x, większy równy, minus, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka
1. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. x, mniejszy równy, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy równy, minus, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 7. x, mniejszy równy, dziewięć, 8. x, większy równy, minus, dziewięć, 9. nawias, minus, dziewięć przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 10. minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, 11. x, większy równy, minus, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka
1. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. x, mniejszy równy, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy równy, minus, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 7. x, mniejszy równy, dziewięć, 8. x, większy równy, minus, dziewięć, 9. nawias, minus, dziewięć przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 10. minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, 11. x, większy równy, minus, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka
dwa stopnie cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa
1. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. x, mniejszy równy, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy równy, minus, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 7. x, mniejszy równy, dziewięć, 8. x, większy równy, minus, dziewięć, 9. nawias, minus, dziewięć przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 10. minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, 11. x, większy równy, minus, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka
1. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. x, mniejszy równy, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy równy, minus, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 7. x, mniejszy równy, dziewięć, 8. x, większy równy, minus, dziewięć, 9. nawias, minus, dziewięć przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 10. minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, 11. x, większy równy, minus, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka
1. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. x, mniejszy równy, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy równy, minus, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 7. x, mniejszy równy, dziewięć, 8. x, większy równy, minus, dziewięć, 9. nawias, minus, dziewięć przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 10. minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, 11. x, większy równy, minus, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka
x, należy do1. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 3. x, mniejszy równy, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy równy, minus, czterdzieści dwa, równanie dzielimy obustronnie przez, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. nawias, dziewięć, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 7. x, mniejszy równy, dziewięć, 8. x, większy równy, minus, dziewięć, 9. nawias, minus, dziewięć przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu, 10. minus, czterdzieści dwa, mniejszy równy, cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, mniejszy równy, czterdzieści dwa, 11. x, większy równy, minus, początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, jeden, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka

RhGxsOVtdZNmY

Rysunek przedstawia oś liczbową X. Na osi oznaczono punkty minus dziewięć oraz dziewięć. Oba punkty są zamalowane. Obszar pomiędzy punktami, większy niż minus dziewięć i mniejszy od dziewięć został zaznaczony.

Ćwiczenie 32

Wypisz wszystkie liczby naturalne należące do zbioru rozwiązań nierówność

|- 2 |- 3 x|| < 20

\{0, 1, 2, 3\}

Słownik

wartość bezwzględna liczby a

odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej

rozwiązanie nierówności

zbiór liczb spełniających nierówność

rozwiązanie układu nierówności

zbiór liczb spełniających jednocześnie obie nierówności

zbiór rozwiązań nierówności

zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność

nierówność sprzeczna

zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty – nierówność nie posiada rozwiązania

2. Równania liniowe z wartością bezwzględną

4. Proste nierówności z wartością bezwzględną typu |x‑a|>b, |x‑a|<b

3. Proste nierówności z wartością bezwzględną typu $|x| > a$ oraz $|x| < a$

Nierówności typu $|x| > 2$ .

Nierówności typu $|x| < a$ .

Słownik

2. Równania liniowe z wartością bezwzględną

4. Proste nierówności z wartością bezwzględną typu |x‑a|>b, |x‑a|<b

M_R_W09_M2 Równania i nierówności z wartością bezwzględną

3. Proste nierówności z wartością bezwzględną typu x>a oraz x<a

Nierówności typu x>2.

Nierówności typu x<a.

Słownik

3. Proste nierówności z wartością bezwzględną typu $|x| > a$ oraz $|x| < a$

Nierówności typu $|x| > 2$ .

Nierówności typu $|x| < a$ .