• Utrwalisz definicję geometryczną wartości bezwzględnej liczby $a$.

• Udoskonalisz umiejętności zapisywania za pomocą warunków $\left|x-a\right|<b$ oraz $\left|x-a\right|>b$, przedziałów przedstawionych na osi liczbowej.

• Nauczysz się rozwiązywać nierówności typu $\left|x-a\right|<b$ oraz $\left|x-a\right|>b$.

• Narysujesz wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|x\right|$, $f\left(x\right)=\left|x-a\right|$, $f\left(x\right)=\left|x+a\right|$ i odczytasz z nich rozwiązanie odpowiednich nierówności.

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $\left|x-4\right|<2$.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste $x$, których odległość od liczby $4$ jest mniejsza od $2$.

R1UznTe7z99sQ

Ilustracja przedstawia oś X z opisanymi wartościami od minus siedem do siedem. Zaznaczono za pomocą pustych kropek zbiór od dwa do sześć oraz za pomocą pełnej kropki punkt cztery wewnątrz zbioru. Nad zbiorem od punktu cztery w lewo narysowano strzałkę z podpisem minus dwa a w prawą stronę od punktu cztery strzałkę opisano jako dodać dwa.

Rozwiązaniem nierówności $\left|x-4\right|<2$ jest przedział otwarty $\left(2, 6\right)$.

Zwróć uwagę, że liczby $2$ oraz $6$ nie należą do tego przedziału, ponieważ ich odległość od liczby cztery jest równa $2$.

Rozwiąż nierówność $\left|x-3\right|\le 4$. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste $x$, których odległość od liczby $3$ jest równa $4$ oraz te, których ta odległość jest mniejsza od $4$.

R2ha3aFCUx1TV

Ilustracja przedstawia oś X z opisanymi wartościami od minus siedem do siedem. Zaznaczono za pomocą pełnych kropek zbiór od minus jeden do siedem oraz za pomocą pełnej kropki punkt trzy wewnątrz zbioru. Nad zbiorem od punktu trzy w lewo narysowano strzałkę z podpisem minus cztery a w prawą stronę od punktu trzy strzałkę opisano jako dodać cztery.

Rozwiązaniem nierówności $\left|x-3\right|\le 4$ jest przedział domknięty $⟨-1, 7⟩$.

Liczby $-1$ oraz $7$ należą do tego przedziału.

Rozwiąż nierówność $\left|x+2\right|\le 3$. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału.

Aby różnica pod modułem była widoczna, możemy zapisać powyższą nierówność następująco:

$\left|x-\left(-2\right)\right|\le 3$

A zatem ten warunek jest spełniony przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$, których odległość od liczby $\left(-2\right)$ jest równa $3$ oraz te, których ta odległość jest mniejsza od $3$.

RMH0kH2Ox9nSG

Ilustracja przedstawia oś X z opisanymi wartościami od minus siedem do siedem. Zaznaczono za pomocą pełnych kropek zbiór od pięć jeden do jeden oraz za pomocą pełnej kropki punkt minus dwa wewnątrz zbioru. Nad zbiorem od punktu minus dwa w lewo jest minus trzy a w prawą stronę od punktu minus dwa dodać trzy.

Rozwiązaniem nierówności $\left|x+2\right|\le 3$ jest przedział domknięty $⟨-5, 1⟩$.

Przypomnij sobie jak wyglądają wykresy funkcji, we wzorze których pojawia się symbol modułu. Przeanalizuj poniższe przykłady.

Rqmo4S5NgPwrA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do dziesięciu z podziałką co dwa oraz z pionowej osi Y od minus czterech do ośmiu z podziałką co dwa. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza ukośna biegnie w drugiej ćwiartce od minus nieskończoności do środka układu współrzędnych. Z punktu $(0, 0)$ biegnie druga półprosta, która w całości znajduje się w pierwszej ćwiartce, biegnie ona do plus nieskończoności.

R1SFRwJPRJxf8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do dziesięciu z podziałką co dwa oraz z pionowej osi Y od minus czterech do ośmiu z podziałką co dwa. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza ukośna znajduje się w drugiej i częściowo w pierwszej ćwiartce układu. Biegnie ona od minus nieskończoności do punktu $(2, 0)$ i przecina oś w punkcie $(0,2)$. Z punktu $(2, 0)$ do plus nieskończoności biegnie druga półprosta, znajduje się ona w całości w pierwszej ćwiartce.

RnHYOEW2OIjgh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do dziesięciu z podziałką co dwa oraz z pionowej osi Y od minus czterech do ośmiu z podziałką co dwa. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch ukośnych półprostych. Pierwsza ukośna biegnie w drugiej ćwiartce od minus nieskończoności do punktu $\left(-2;0\right)$. Z tego punktu biegnie druga półprosta przebiegająca przez drugą i pierwszą ćwiartkę oraz przecina pionową oś w wyróżnionym punkcie $\left(0;2\right)$.

Rozwiąż graficznie nierówność $\left|x-1\right|\le 5$. Zapisz rozwiązanie za pomocą przedziału.

Rysujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji $f\left(x\right)=5$ oraz $g\left(x\right)=\left|x-1\right|$.

R1ZThg3KaWuOp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu z podziałką co jeden oraz z pionowej osi Y od minus dwóch do siedmiu z podziałką co jeden. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy: wykres funkcji g składający się z dwóch ukośnych półprostych oraz wykres funkcji f będący prostą równoległą do osi x. Pierwsza ukośna wykresu funkcji g biegnie przez pierwszą oraz drugą ćwiartkę, od minus nieskończoności, przez punkt $(0,1)$do punktu $(1,0)$. Z tego punktu do plus nieskończoności biegnie druga półprosta przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę. Wykres funkcji f jest prostą równoległą do osi x i przecina oś y  punkcie $(5,0)$.

Odczytujemy z wykresu w jakim przedziale, wartości funkcji $g$ są równe wartościom funkcji $f$ lub od nich mniejsze.

R198s3vR47rLV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu z podziałką co jeden oraz z pionowej osi Y od minus dwóch do siedmiu z podziałką co jeden. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy: wykres funkcji g składający się z dwóch ukośnych półprostych oraz wykres funkcji f będący prostą równoległą do osi x. Pierwsza ukośna wykresu funkcji g biegnie przez pierwszą oraz drugą ćwiartkę, od minus nieskończoności, przez punkt $(0,1)$do punktu $(1,0)$. Z tego punktu do plus nieskończoności biegnie druga półprosta przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę. Wykres funkcji f jest prostą równoległą do osi x i przecina oś y  punkcie $(5,0)$. Część wykresu funkcji g znajdująca się pod wykresem funkcji f została zaznaczona na kolor zielony. Z punktów, w których przecinają się wykresy, czyli kolejno: $(-4,5)$ i $(6,5)$ poprowadzone zostały linie przerywane łączące te punkty z osią x. Na osi x zaznaczony został obszar od minus 4 do 6, przy czym zarówno wartość minus 4 i 6 są oznaczone zamalowaną kropką.

Rozwiązaniem nierówności $\left|x-1\right|\le 5$ jest przedział domknięty $⟨-4, 6⟩$.

Rozwiąż nierówność $\left|x-3\right|\le 8$.

Zapisujemy nierówność bez symbolu modułu, korzystając wprost z powyższej własności:

$3-8\le x\le 3+8$

$-5\le x\le 11$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x\in ⟨-5, 11⟩$

Rozwiąż nierówność $\left|4x-5\right|<1$.

Wykorzystują tę własność możemy nierówność zapisać również w taki sposób:

$-1<4x-5<1$

A następnie rozwiązać odpowiednią nierówność liniową podwójnąnierówność liniowa podwójnanierówność liniową podwójną:

$-1<4x-5<1 \left|+5\right.$

$4<4x<6 \left|:4\right.$

$1<x<\frac{6}{4}$

$1<x<1\frac{1}{2}$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x\in \left(1, 1\frac{1}{2}\right)$

Rozwiąż nierówność $\left|6·\left(x-2\right)+4\right|\le 10$.

Tym razem najpierw doprowadzimy wyrażenie pod modułem do najprostszej postaci.

$\left|6x-12+4\right|\le 10$

$\left|6x-8\right|\le 10$

Stosujemy własność:

$-10\le 6x-8\le 10$

Rozwiązujemy nierówność podwójną:

$-10\le 6x-8\le 10 \left|+8\right.$

$-2\le 6x\le 18 \left|:6\right.$

$-\frac{2}{6}\le x\le 3$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x\in ⟨-\frac{1}{3}, 3⟩$

Rozwiąż nierówność $\left|2x+3\right|-4<5$.

Zapisujemy nierówność równoważnie:

$\left|2x+3\right|<5+4$

Opuszczamy symbol modułu i rozwiązujemy nierówność podwójną:

$-9<2x+3<9 \left|-3\right.$

$-12<2x<6 \left|:2\right.$

$-6<x<3$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x\in \left(-6, 3\right)$

Rozwiąż nierówność $\left|x-2\right|<7$.

Zastosuj definicję algebraiczną wartości bezwzględnej liczby.

Przypomnijmy tę definicję:

Sposób ten wymaga rozpatrzenia, zgodnie z definicją, dwóch przypadków:

1° $a\ge 0 \Rightarrow \left|a\right|=a$

2° $a<0 \Rightarrow \left|a\right|=-a$

W tym przykładzie wyrażenie $a$ jest równe $x-2$, a zatem :

$\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-2,& \mathrm{dla} x\ge 2\\ -x+2,& \mathrm{dla} x<2\end{array}\right.$

Rozpatrujemy pierwszy przypadek, kiedy liczba pod modułem jest nieujemna:

1° $x-2\ge 0\iff x\ge 2$

Wtedy nierówność przyjmuje postać:

$x-2<7$

$x<9$

W pierwszym przypadku, rozwiązaniem są liczby, które spełniają układ nierówności

$\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x<9\end{array}\right.\iff x\in \left.⟨2, 9\right)$

Rozpatrujemy drugi przypadek, kiedy liczba pod modułem jest ujemna.

2° $x-2<0\iff x<2$

Wtedy nierówność przyjmuje postać:

$-x+2<7$

$-x<5 \left|:\left(-1\right)\right.$

$x>-5$

W tym przypadku, rozwiązaniem są liczby, które spełniają układ nierówności

$\left\{\begin{array}{l}x<2\\ x>-5\end{array}\right.\iff x\in \left(-5, 2\right)$

Rozwiązaniem nierówności $\left|x-2\right|<7$ jest suma przedziałów otrzymanych w powyższych przypadkach.

$x\in \left(-5, 2\right)\cup \left.⟨2, 9\right)$

A zatem zbiór rozwiązań nierówności, to przedział otwarty $\left(-5, 9\right)$.

Rozwiąż nierówność $\left|3x-1\right|\le 5$.

Zastosuj definicję algebraiczną wartości bezwzględnej liczby.

Rozpatrujemy przypadki:

1° $3x-1\ge 0\iff 3x\ge 1\iff x\ge \frac{1}{3}$

Wtedy:

$\left|3x-1\right|=3x-1$

a nierówność przyjmuje postać:

$3x-1\le 5$

$3x\le 6 \left|:3\right.$

$x\le 2$

Zapisujemy rozwiązanie pierwszego przypadku.

$\left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{1}{3}\\ x\le 2\end{array}\iff \right.x\in ⟨\frac{1}{3}, 2⟩$

2° $3x-1<0\iff 3x<1\iff x<\frac{1}{3}$

Wtedy:

$\left|3x-1\right|=-3x+1$

i nierówność przyjmuje postać:

$-3x+1\le 5$

$-3x\le 4 \left|:\left(-3\right)\right.$

$x\ge -\frac{4}{3}$

Zapisujemy rozwiązanie drugiego przypadku.

$\left\{\begin{array}{l}x<\frac{1}{3}\\ x\ge -\frac{4}{3}\end{array}\right.\iff x\in \left.⟨-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$

Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left.⟨-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)\cup ⟨\frac{1}{3}, 2⟩$

$x\in ⟨-\frac{4}{3}, 2⟩$

Rozwiąż nierówność $\left|x-5\right|>3$.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $5$ na osi liczbowej wynosi więcej niż $3$ jednostki.

Zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej $5$ i wyznaczamy liczby, których odległość od niego wynosi $3$.

RsafUDlo6TBUl

Ilustracja przedstawia oś X z opisanymi wartościami od zera do dziesięciu. Na osi za pomocą zamalowanych kropek zaznaczono punkty kolejno: 2, 5 oraz 8, przy czym punkty 2 i 8 są zamalowane na kolor niebieski, a punkt 5 jest zamalowany na kolor pomarańczowy. Od punktu pięć w lewo do punktu dwa narysowano strzałkę z napisem minus trzy a w prawą stronę od punktu pięć do punktu osiem strzałkę opisano jako plus trzy.

Są to punkty o współrzędnych $2$ oraz $8$.

Szukamy liczb, których odległość od liczby $5$ jest większa niż odległość od punktów tak wyznaczonych.

Zaznaczamy zatem na osi dwa przedziały nieograniczone: lewostronnie otwarty $\left(-\infty , 2\right)$ oraz prawostronnie otwarty $\left(8, \infty \right)$.

RP47RcyNF0lLY

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z opisanymi wartościami od zera do dziesięciu. Na osi pomarańczową kropką zaznaczono punkt pięć, oraz niezamalowanymi kropkami punkty dwa i osiem. Zaznaczono obszar od minus nieskończoności do punktu dwa, oraz od punktu osiem do plus nieskończoności.

Zbiór rozwiązań możemy zapisać za pomocą sumy przedziałówsuma przedziałówsumy przedziałów: $\left(-\infty , 2\right)$ oraz $\left(8, \infty \right)$,

co zapisujemy symbolicznie:

Rozwiąż nierówność $\left|x+6\right|\ge 2$.

Taka nierówność jest równoważna nierówności:

$\left|x-\left(-6\right)\right|\ge 2$

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $\left(-6\right)$ jest równa $2$ oraz te, których ta odległość wynosi więcej niż $2$.

Zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej $\left(-6\right)$ i wyznaczamy liczby, których odległość od niego wynosi $2$.

RTEh7GmpH0FkY

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z opisanymi wartościami od minus dziesięciu do zera Na osi za pomocą zamalowanych kropek zaznaczono punkty kolejno: minus 8, minus 6 oraz minus 4, przy czym punkty minus 8 i minus 4 mają kolor niebieski, a punkt minus 6 jest zamalowany na kolor pomarańczowy. Od punktu minus 6 w lewo do punktu minus 8 narysowano strzałkę z napisem minus dwa a w prawą stronę od punktu minus 6 do punktu minus 4 strzałkę opisano jako plus dwa.

Są to punkty o współrzędnych $\left(-8\right)$ oraz $\left(-4\right)$. Liczby te spełniają powyższą nierówność.

Szukamy jeszcze liczb, których odległość od liczby $\left(-6\right)$ jest większa niż $2$ jednostki.

Zaznaczamy zatem na osi dwa przedziały nieograniczone: lewostronnie domknięty $\left(-\infty , -8\right.⟩$ oraz prawostronnie domknięty $\left.⟨-4, \infty \right)$.

R1ZZOonsxdIZR

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z opisanymi wartościami od minus 10 do zera. Na osi pomarańczową kropką zaznaczono punkt minus 6, oraz zamalowanymi na niebiesko kropkami punkty minus 8 i minus 4. Na osi zaznaczono obszary od minus nieskończoności do punktu minus osiem, oraz od punktu minus 4 do plus nieskończoności.

Zbiór ten możemy zapisać za pomocą sumy przedziałówsuma przedziałówsumy przedziałów $\left(-\infty , -8\right.⟩\cup \left.⟨-4, \infty \right)$.

A zatem:

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $4-\left|x-3\right|\ge 1$.

Przekształcamy nierówność równoważnie:

$4-\left|x-3\right|\ge 1 \left|-4\right.$

$-\left|x-3\right|\ge -3 \left|:\left(-1\right)\right.$

$\left|x-3\right|\le 3$

Otrzymaliśmy nierówność, którą już potrafisz rozwiązać. Spełniają ją liczby, których odległość od liczby $3$ na osi liczbowej jest mniejsza lub równa $3$ jednostkom.

R1BWmUdI34zQE

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z opisanymi wartościami od minus dwóch do ośmiu. Na osi pomarańczową kropką zaznaczono punkt trzy, oraz zamalowanymi na niebiesko kropkami punkty 0 i sześć. Na osi zaznaczono obszar od zera do sześciu. Od punktu trzy, znajdującego się wewnątrz przedziału w lewą stronę do punktu 0 narysowano strzałkę z napisem minus trzy a w prawą stronę od punktu 3 do punktu 6 strzałkę opisano jako plus trzy.

Zapisujemy zbiór rozwiązań:

Rozwiąż nierówność: $-2·\left|x-8\right|\ge 5$.

Ponownie przekształcamy nierówność równoważnie:

$-2·\left|x-8\right|\ge 5 \left|:\left(-2\right)\right.$

$\left|x-8\right|\le -\frac{5}{2}$

Otrzymana nierówność jest sprzeczna, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną.

A zatem:

Rozwiąż nierówność $\left|x+6\right|\ge 10$.

Zapisujemy nierówność bez symbolu modułu, korzystając wprost z powyższej własności:

$x+6\le -10 \vee x+6\ge 10$

$x\le -10-6 \vee x\ge 10-6$

$x\le -16 \vee x\ge 4$

Możemy przedstawić otrzymane nierówności na osi liczbowej. Rozwiązaniem jest alternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierówności.

RbFflquz0gAOJ

Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X z zaznaczonymi punktami o wartościach minus szesnaście oraz cztery. Punkty zaznaczone są zamalowanymi kropkami. Na osi zaznaczone zostały przedziały: od minus nieskończoności do minus szesnastu i od czterech do plus nieskończoności,

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x\in \left(-\infty , -16\right.⟩\cup \left.⟨4, \infty \right)$

Rozwiąż nierówność $\left|3x-5\right|>2$.

Powołując się na wspomnianą własność możemy tę nierówność zapisać również w postaci alternatywy nierówności.

$3x-5<-2 \vee 3x-5>2$

A następnie rozwiązać odpowiednie nierówności.

$3x-5<-2 \vee 3x-5>2$

$3x<-2+5 \vee 3x>2+5$

$3x<3 \vee 3x>7$

$x<1 \vee x>2\frac{1}{3}$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x\in \left(-\infty , 1\right)\cup \left(2\frac{1}{3}, \infty \right)$

Rozwiąż nierówność $\left|6·\left(x-12\right)+35\right|+14\ge 12$.

Tym razem najpierw doprowadzimy wyrażenie pod modułem do najprostszej postaci.

$\left|6x-72+35\right|+14\ge 12$

$\left|6x-37\right|\ge -2$

Odległość dwóch liczb jest zawsze liczbą nieujemną. Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową.

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x\in \mathrm{ℝ}$

Rozwiąż nierówność $\left|2x-4\right|>12$.

1°

Rozpatrujemy pierwszy przypadek, kiedy liczba pod modułem jest nieujemna.

$2x-4\ge 0\iff 2x\ge 4\iff x\ge 2$

Wtedy:

$\left|2x-4\right|=2x-4$

i nierówność przyjmuje postać:

$2x-4>12$

$2x>16$

$x>8$

W pierwszym przypadku, rozwiązaniem są liczby, które spełniają układ nierówności

$\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x>8\end{array}\right.\iff x\in \left(8, \infty \right)$

2°

Rozpatrujemy drugi przypadek, kiedy liczba pod modułem jest ujemna.

$2x-4<0\iff 2x<4\iff x<2$

Wtedy:

$\left|2x-4\right|=-2x+4$

i nierówność przyjmuje postać:

$-2x+4>12$

$-2x>8$

$x<-4$

W tym przypadku, rozwiązaniem są liczby, które spełniają układ nierówności

$\left\{\begin{array}{l}x<2\\ x<-4\end{array}\right.\iff x\in \left(-\infty , -4\right)$

Rozwiązaniem nierówności $\left|2x-4\right|>12$ jest suma przedziałów otrzymanych w powyższych przypadkach.

$x\in \left(-\infty , -4\right)\cup \left(8, \infty \right)$

Rozwiąż nierówność $\left|-5x+10\right|\ge 5$.

Zastosuj definicję algebraiczną wartości bezwzględnej liczby.

Rozpatrujemy przypadki:

1° $-5x+10\ge 0\iff -5x\ge -10\iff x\le 2$

Wtedy:

$\left|-5x+10\right|=-5x+10$

a nierówność przyjmuje postać:

$-5x+10\ge 5$

$-5x\ge 5-10$

$-5x\ge -5$

$x\le 1$

Zapisujemy rozwiązanie pierwszego przypadku.

$\left\{\begin{array}{c}x\le 2\\ x\le 1\end{array}\right.\iff x\in \left(-\infty , 1\right.⟩$

2° $-5x+10<0\iff -5x<-10\iff x>2$

Wtedy:

$\left|-5x+10\right|=5x-10$

i nierówność przyjmuje postać:

$5x-10\ge 5$

$5x\ge 5+10$

$5x\ge 15$

$x\ge 3$

Zapisujemy rozwiązanie drugiego przypadku.

$\left\{\begin{array}{c}x>2\\ x\ge 3\end{array}\right.\iff x\in \left.⟨3, \infty \right)$

Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty , 1\right.⟩\cup \left.⟨3, \infty \right)$

wartość bezwzględna różnicy współrzędnych tych punków $\left|x_1-x_2\right|$

nierówność, w której pojawiają się dwa znaki mniejszości; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają jednocześnie obie nierówności

suma przedziałów $A$ oraz $B$, symbolicznie: $A\cup B$ to liczby należące do przedziału $A$ lub do przedziału $B$: $x\in A\cup B\iff x\in A\vee x\in B$

dwie nierówności połączone spójnikiem logicznym „lub” $\left(\vee \right)$; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają pierwszą lub drugą z nierówności