5. Nierówności liniowe z wartością bezwzględną

R1TinRjx5D7LA

Nierówności liniowe z wartością bezwzględną rozwiążesz podobnie, jak równania z wartością bezwzględną. Rozważając poszczególne przypadki, ustalisz najpierw zbiór rozwiązań odpowiedniej nierówności. Następnie ze zbioru rozwiązań wybierzesz te liczby, które spełniają rozważany warunek. W tym celu wyznaczysz iloczyn odpowiednich przedziałów liczbowych.

Po rozważeniu wszystkich przypadków ustalisz, jaki jest zbiór rozwiązań Twojej nierówności.

Trudne?

Analizując poniższy materiał, opracujesz swój algorytm rozwiązywania takich nierówności.

Twoje cele

Rozwiążesz nierówności zawierające wyrażenia z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Udoskonalisz umiejętności rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną.

Przypomnij sobie pojęcia alternatywy i koniunkcji nierówności.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność $||x + 2| - 4| + 1 \leq 3$ .

Przekształcamy nierówność równoważnie, a następnie opuszczamy zewnętrzny moduł, korzystając z poznanej już własności wartości bezwzględnej liczby.

Dla dowolnego $a \in ℝ$ i dowolnego $b > 0$ :

|a| \leq b \Leftrightarrow - b \leq a \leq b .

$||x + 2| - 4| + 1 \leq 3 |- 1$

$||x + 2| - 4| \leq 2$

$- 2 \leq |x + 2| - 4 \leq 2 |+ 4$

$2 \leq |x + 2| \leq 6$

Otrzymaliśmy koniunkcję dwóch nierównościkoniunkcja dwóch nierównościkoniunkcję dwóch nierówności: $|x + 2| \geq 2 \land |x + 2| \leq 6$ .

Rozwiązujemy je kolejno.

warunek $I$ :
$|x + 2| \geq 2$
$x + 2 \leq - 2 \lor x + 2 \geq 2$
$x \leq - 4 \lor x \geq 0$
A zatem pierwszy warunek spełniają liczby $x \in (- \infty, - 4⟩ \cup ⟨0, \infty)$ .

warunek $II$ :
$|x + 2| \leq 6$
$- 6 \leq x + 2 \leq 6 |- 2$
$- 8 \leq x \leq 4$
Drugi warunek spełniają liczby $x \in ⟨- 8, 4⟩$ .

Możemy zaznaczyć otrzymane zbiory rozwiązań na jednej osi liczbowej.

R1awb4b5iZ50Z

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do pięciu. Na osi zaznaczono dwa zbiory będące warunkami. Warunek pierwszy to zbiór składa się z dwóch przedziałów: prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do minus czterech oraz z lewostronnie domkniętego od zera do plus nieskończoności. Warunek drugi to zbiór domknięty od minus ośmiu do czterech. Kolorem wyróżniono części wspólne zbiorów, czyli przedział domknięty od minus ośmiu do minus czterech oraz przedział domknięty od zera do czterech.

Rozwiązaniem jest iloczyn otrzymanych przedziałów, a więc ostatecznie:

$x \in ⟨- 8, - 4⟩ \cup ⟨0, 4⟩$

Przykład 2

Rozwiąż nierówność $4 \cdot |x + 3| + 2 x > 6$ .

W tym przykładzie skorzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej.

Rozpatrzymy więc dwa przypadki, gdzie ostatecznym rozwiązaniem będzie alternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierówności

przypadek $I$ :
$x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 3 \Rightarrow |x + 3| = x + 3$
Wtedy nierówność przyjmuje postać:
$4 \cdot (x + 3) + 2 x > 6$
$4 x + 12 + 2 x > 6$
$6 x > - 6$
$x > - 1$
Rozwiązaniem tego warunku są liczby spełniające układ nierówności
$\{\begin{matrix} x \geq - 3 \\ x > - 1 \end{matrix} \Rightarrow x \in (- 1, \infty)$

przypadek $II$ :
$x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < - 3 \Rightarrow |x + 3| = - x - 3$
Wtedy nierówność przyjmuje postać:
$4 \cdot (- x - 3) + 2 x > 6$
$- 4 x - 12 + 2 x > 6$
$- 2 x > 18$
$x < - 9$
Rozwiązaniem tego warunku są liczby spełniające układ nierówności
$\{\begin{matrix} x \leq - 3 \\ x < - 9 \end{matrix} \Rightarrow x \in (- \infty, - 9)$ .

Ostatecznie:

$x \in (- \infty, - 9) \cup (- 1, \infty)$

Przykład 3

Rozwiąż nierówność $3 \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + 2 \cdot |x + 1| \leq 10$ .

Przy rozwiązywaniu tej nierówności, będziemy korzystać z własności wartości bezwzględnej.

Dla dowolnego $a \in ℝ$ :

\sqrt{a^{2}} = |a|

$3 \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + 2 \cdot |x + 1| \leq 10$

$3 \sqrt{{(x + 1)}^{2}} + 2 \cdot |x + 1| \leq 10$

$3 \cdot |x + 1| + 2 \cdot |x + 1| \leq 10$

Otrzymaliśmy dwa takie same moduły, a więc możemy je dodać.

$5 \cdot |x + 1| \leq 10$

$|x + 1| \leq 2$

Taką nierówność już doskonale potrafisz rozwiązać.

$- 2 \leq x + 1 \leq 2$

$- 2 - 1 \leq x \leq 2 - 1$

$- 3 \leq x \leq 1$

Zapisujemy zbiór rozwiązań:

$x \in ⟨- 3, 1⟩$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z kolejnymi przykładami rozwiązywania nierówności z modułami, przeanalizuj przedstawione metody.

RXgBpUiizpqx3

Polecenie 2

Rozwiąż nierówności. Spróbuj zastosować przedstawione w animacji metody.

$||x| - 4| \leq 3$
$|||x + 1| - 2| - 3| > 4$

$I$ SPOSÓB:
$||x| - 4| \leq 3$
$- 3 \leq |x| - 4 \leq 3 |+ 4$
$1 \leq |x| \leq 7$
$(|x| \geq 1) \land (|x| \leq 7)$
$(x \leq - 1 \lor x \geq 1) \land (- 7 \leq x \leq 7)$
RF3VUr0L8IoBQ
$II$ SPOSÓB:
R6IzmajSomH3G
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 9 do 9 oraz z pionową osią Y od minus 2 do 5. Pod osią X narysowane są dwa poziome odcinki na wyskokości około minus 1. Pierwszy z nich ma początek dla x równego minus 7 i koniec dla x równego minus 1, a drugi ma początek dla x równego 1 i koniec dla x równego 7. Odcinki te są symetryczne względem osi Y. Na rysunku przedstawiony jest także wykres funkcji $y = ||x| - 4|$ . Wykres ten jest w kształcie litery W, a jego punkty szczególne to: $(- 4; 0), (0; 4), (4; 0)$ . Ostatnim elementem rysunku jest pozioma prosta przecinająca opisany wykres funkcji. Równanie tej prostej to: $y = 3$ , natomiast punkty przecięcia z wykresem to: $(- 7; 3), (- 1; 3), (1; 3), (1; 7)$ .
$|||x + 1| - 2| - 3| > 4$
$||x + 1| - 2| - 3 < - 4 \lor ||x + 1| - 2| - 3 > 4$
Rozwiązanie pierwszej nierówności:
$||x + 1| - 2| < - 1$ – nierówność sprzeczna.
Rozwiązanie drugiej nierówności:
$||x + 1| - 2| > 7$
$|x + 1| - 2 < - 7 \lor |x + 1| - 2 > 7$
Rozwiązanie pierwszej nierówności:
$|x + 1| < - 5$ – nierówność sprzeczna.
Rozwiązanie drugiej nierówności:
$|x + 1| > 9$
$x + 1 < - 9 \lor x + 1 > 9$
$x < - 10 \lor x > 8$

Rtr8WINHJ5f3j

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 14 do 14 oraz z pionową osią Y od minus 4 do 8, przy czym podziałka jest co 2. Pod osią X narysowane są dwie poziome półproste na wyskokości minus 2. Pierwsza z nich ma koniec dla x równego 10. Druga ma początek dla x równego 8. Na rysunku przedstawiony jest także wykres funkcji y=x+1-2-3. Wykres przypomina kształtem zmodyfikowaną literę W o większej liczbie załamań. Punkty szczególne tego wykresu, w którym się "łamie" to: -6;0, -3;3, 1;1, 3;3, 4;0. Ostatnim elementem rysunku jest pozioma prosta przecinająca opisany wykres funkcji. Równanie tej prostej to: y=4, natomiast punkty przecięcia z wykresem to: -10;4, 8;4.

$x \in ⟨- 7, - 1⟩ \cup ⟨1, 7⟩$
$x \in (- \infty, - 10) \cup (8, \infty)$

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność $|x + 2| + |4 x - 2| > 5$ .

Najpierw zapiszemy wyrażenie $|x + 2|$ korzystając z definicji wartości bezwzględnej:

$|x + 2| = \{\begin{cases} x + 2, & dla x \geq - 2 \\ - (x + 2), & dla x < - 2 \end{cases}$ .

Analogicznie

$|4 x - 2| = \{\begin{cases} 4 x - 2, & dla x \geq \frac{1}{2} \\ - (4 x - 2), & dla x < \frac{1}{2} \end{cases}$ .

Przedstawimy teraz, jak zmieniają się znaki wartości bezwzględnej w wyznaczonych przedziałach na osi liczbowej.

RhfgHoDZuNSJl

Grafika przedstawia poziomą oś X. Mniej więcej w jednej trzeciej jej długości, patrząc od lewej strony, zaznaczona jest na osi liczba minus dwa, a po prawej stronie zaznaczona jest jedna druga. Na osi zaznaczone również przedziały na dwóch poziomach. Górny poziom dotyczy przedziałów dla 4x-2. Na przedziale obustronnie otwartym od minus nieskończoności do jednej drugiej dla wartości bezwzględnej różnicy działa wzór -4x-2. Dla przedziału lewostronnie domkniętego od jednej drugiej do plus nieskończoności działa wzór 4x-2. Dolny poziom dotyczy przedziałów dla x+2. Na przedziale otwartym od minus nieskończoności do minus dwóch dla wartości bezwzględnej sumy działa wzór -x+2. Dla przedziału lewostronnie domkniętego od minus dwóch do plus nieskończoności działa wzór x+2.

1. Jeśli $x \in (- \infty, - 2)$ , to nierówność jest postaci

$- (x + 2) - (4 x - 2) > 5$

$- x - 2 - 4 x + 2 > 5$

$- 5 x > 5$

$x < - 1$ .

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy $x \in (- \infty, - 2)$ .

2. Jeśli $x \in ⟨- 2, \frac{1}{2})$ , to nierówność jest postaci

$x + 2 - (4 x - 2) > 5$

$x + 2 - 4 x + 2 > 5$

$- 3 x > 5 - 4$

$- 3 x > 1$

$x < - \frac{1}{3}$ .

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy $x \in ⟨- 2, - \frac{1}{3})$ .

3. Jeśli $x \in ⟨\frac{1}{2}, \infty)$ , to nierówność jest postaci

$x + 2 + 4 x - 2 > 5$

$5 x > 5$

$x > 1$ .

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy $x \in (1, \infty)$ .

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.

Rozwiązanie nierówności: $x \in (- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (1, \infty)$ .

Przykład 5

Wykażemy, że zbiorem rozwiązań nierówności $2 + \sqrt{25 - 10 x + x^{2}} > |x - 5|$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że

$\sqrt{25 - 10 x + x^{2}} = \sqrt{{(5 - x)}^{2}} = |5 - x|$ .

Zatem nierówność zapiszemy w postaci $2 + |5 - x| > |x - 5|$ .

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej

|a - b| = |b - a|,

czyli mamy

$2 + |5 - x| > |5 - x|$

$2 > 0$ .

Jest to nierówność zawsze prawdziwa. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 6

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór

$A = \{(x, y) \in ℝ^{2} : |x - 5| + |x + 3| > 10 i |y - 2| + |y + 4| > 10\}$ .

Zbiorem rozwiązań nierówności będzie zbiór punktów, których odcięte spełniają pierwszą nierówność, a rzędne drugą nierówność.

Aby zaznaczyć w układzie współrzędnych zbiór rozwiązań nierówności, rozwiążemy najpierw każdą nierówność oddzielnie.

Najpierw znajdziemy zbiór rozwiązań nierówności

$|x - 5| + |x + 3| > 10$

1. Jeśli $x \in (- \infty, - 3)$ , to nierówność jest postaci

$- (x - 5) - (x + 3) > 10$

$- x + 5 - x - 3 > 10$

$- 2 x > 8$

$x < - 4$ .

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy $x \in (- \infty, - 4)$ .

2. Jeśli $x \in ⟨- 3, 5)$ , to nierówność jest postaci

$- (x - 5) + x + 3 > 10$

$- x + 5 + x + 3 > 10$

$8 > 10$ .

Otrzymaliśmy nierówność sprzecznąnierówność sprzecznanierówność sprzeczną. Zatem $x \in \emptyset$ .

3. Jeśli $x \in ⟨5, \infty)$ to nierówność jest postaci

$x - 5 + x + 3 > 10$

$2 x > 12$

$x > 6$ .

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy $x \in (6, \infty)$ .

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.

Rozwiązanie nierówności: $x \in (- \infty, - 4) \cup (6, \infty)$ .

Teraz w analogiczny sposób zajmiemy się rozwiązaniem nierówności

$|y - 2| + |y + 4| > 10$ .

1. Jeśli $y \in (- \infty, - 4)$ to nierówność jest postaci

$- (y - 2) - (y + 4) > 10$

$- y + 2 - y - 4 > 10$

$- 2 y > 12$

$y < - 6$ .

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $y \in (- \infty, - 6)$ .

2. Jeśli $y \in ⟨- 4, 2)$ to nierówność jest postaci

$- (y - 2) + y + 4 > 10$

$- y + 2 + y + 4 > 10$

$6 > 12$ .

Otrzymaliśmy nierówność sprzecznąnierówność sprzecznanierówność sprzeczną. Zatem $y \in \emptyset$ .

3. Jeśli $y \in ⟨2, \infty)$ to nierówność jest postaci

$y - 2 + y + 4 > 10$

$2 y > 8$

$y > 4$ .

Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy $y \in (4, \infty)$ .

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.

Rozwiązanie nierówności to: $y \in (- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$ .

Następnie zaznaczymy w układzie współrzędnych otrzymane rozwiązania. Punkty należące do „zakolorowanych” dwoma kolorami obszarów spełniają obie nierówności.

RYVk5feSrsEdE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz pionową osią Y od minus siedmiu do pięciu. Na płaszczyźnie przedstawione są cztery proste: dwie poziome i dwie pionowe, dzielące przestrzeń na dziewięć części. Proste poziome spełniają równania: y=6 oraz y=-6. Proste pionowe spełniają równania: x=-4 oraz x=6. Ograniczony prostymi kwadrat zaznaczony jest na żółto. Przestrzeń po jego prawej i lewej stronie zaznaczona jest na niebiesko. Przestrzeń pod nim i nad nim zaznaczona jest na różowo, a przestrzenie odchodzące od jego wierzchołków są niebieskie i pomarańczowe, tu kolory reprezentujące zbiory nakładają się na siebie.

Polecenie 3

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, który pokazuje sposób rozwiązywania nierówności z dwiema wartościami bezwzględnymi metodą graficzną, korzystając bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.

R1OY3OqdPor8f

Polecenie 4

Rozwiąż nierówność $|x - 8| + |4 x + 3| > 4$ .

Jeśli $x \in (- \infty, - \frac{3}{4})$ to nierówność jest postaci:

$- (x - 8) - (4 x + 3) > 4$

$- x + 8 - 4 x - 3 > 4$

$- 5 x > - 1$

$x < \frac{1}{5}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in (- \infty, - \frac{3}{4})$ .

Jeśli $x \in ⟨- \frac{3}{4}, 8)$ to nierówność jest postaci:

$- (x - 8) + 4 x + 3 > 4$

$- x + 8 + 4 x + 3 > 4$

$3 x > - 7$

$x > - \frac{7}{3}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in (- \frac{3}{4}, 8)$ .

Jeśli $x \in ⟨ 8, \infty)$ to nierówność jest postaci:

$x - 8 + 4 x + 3 > 4$

$5 x > 9$

$x > \frac{9}{5}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in ⟨ 8, \infty)$ .

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności $|x - 8| + |4 x + 3| > 4$ jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków: $x \in ℝ$ .

Przykład 7

Rozwiążemy nierówność $|x + 1| + |2 x - 4| < 5$ .

Najpierw zapiszemy wyrażenie $|x + 1|$ bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, korzystając z definicji wartości bezwzględnej. 0trzymujemy:

$|x + 1| = \{\begin{cases} x + 1 & dla x \geq - 1 \\ - (x + 1) & dla x < - 1 \end{cases}$

Analogicznie:

$|2 x - 4| = \{\begin{cases} 2 x - 4 & dla x \geq 2 \\ - (2 x - 4) & dla x < 2 \end{cases}$

Przedstawimy teraz, jak zmieniają się znaki wyrażeń w wyznaczonych przedziałach na osi liczbowej.

R1DYJy0On9uJa

Ilustracja przedstawia poziomą oś X na odcinku od minus dwóch do trzech. Na osi zaznaczone są cztery przedziały, przy czym dwa są tuż przy osi, a dwa wyżej. Przedziały tuż przy osi ilustrują graficzne rozwiązanie wzoru x+1 i są następujące: pierwszy przedział jest otwarty od minus nieskończoności do minus jeden, drugi to przedział lewostronnie domknięty od minus jeden do plus nieskończoności. Przedziały zaznaczone wyżej są ilustracją rozwiązania wzoru 2x-4 i są następujące: pierwszy przedział jest otwarty od minus nieskończoności do dwóch, a drugi jest lewostronnie domknięty od dwóch do plus nieskończoności.

1. Jeśli $x \in (- \infty, - 1)$ to nierówność jest postaci:

$- (x + 1) - (2 x - 4) < 5$

$- x - 1 - 2 x + 4 < 5$

$- 3 x < 2$

$x > - \frac{2}{3}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in \emptyset$ .

2. Jeśli $x \in ⟨- 1, 2)$ to nierówność jest postaci:

$x + 1 - (2 x - 4) < 5$

$x + 1 - 2 x + 4 < 5$

$- x + 5 < 5$

$- x < 0$

$x > 0$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in (0, 2)$ .

3. Jeśli $x \in ⟨2, \infty)$ to nierówność jest postaci:

$x + 1 + 2 x - 4 < 5$

$3 x - 3 < 5$

$3 x < 8$

$x < 2 \frac{2}{3}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in ⟨2, 2 \frac{2}{3})$ .

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.

Rozwiązanie nierówności: $x \in (0, 2 \frac{2}{3})$ .

Przykład 8

Wykażemy, że zbiorem rozwiązań nierówności $3 + 4 \sqrt{1 + 4 x + 4 x^{2}} > |2 x + 1|$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że:

$\sqrt{1 + 4 x + 4 x^{2}} = \sqrt{{(1 + 2 x)}^{2}} = |1 + 2 x|$

Zatem nierówność zapiszemy w postaci $3 + 4 \cdot |1 + 2 x| > |1 + 2 x|$ .

Czyli:

$3 \cdot |1 + 2 x| > - 3$

$|1 + 2 x| > - 1$

Ponieważ wartość bezwzględna liczby jest zawsze liczbą nieujemną, nasza nierówność jest zawsze prawdziwa. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 9

Wykażemy, że nierówność $||x + 2| + |4 x - 8|| < 1$ to nierówność sprzecznanierówność sprzecznanierówność sprzeczna.

Zapiszemy nierówność z wartością bezwzględną jako koniunkcję nierówności.

$|x + 2| + |4 x - 8| < 1$ i $|x + 2| + |4 x - 8| > - 1$

Druga nierówność jest zawsze prawdziwa ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje zawsze nieujemne wartości, zatem suma takich wartości - również.

Określimy zbiór rozwiązań nierówności:

$|x + 2| + |4 x - 8| < 1$

1. Jeśli $x \in (- \infty, - 2)$ to nierówność jest postaci:

$- (x + 2) - (4 x - 8) < 1$

$- x - 2 - 4 x + 8 < 1$

$- 5 x < - 5$

$x > 1$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in \emptyset$ .

2. Jeśli $x \in ⟨- 2, 2)$ to nierówność jest postaci:

$x + 2 - (4 x - 8) < 1$

$x + 2 - 4 x + 8 < 1$

$- 3 x < - 9$

$x > 3$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in \emptyset$ .

3. Jeśli $x \in ⟨2, \infty)$ to nierówność jest postaci:

$x + 2 + 4 x - 8 < 1$

$5 x - 6 < 1$

$5 x < 7$

$x < 1 \frac{2}{5}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in \emptyset$ .

Zatem nierówność nie posiada rozwiązania.

Ponieważ rozwiązaniem nierówności $||x + 2| + |4 x - 8|| < 1$ jest koniunkcja rozwiązań nierówności $|x + 2| + |4 x - 8| < 1$ i $|x + 2| + |4 x - 8| > - 1$ , zatem nierówność ta jest sprzeczna. Nie posiada rozwiązania.

Polecenie 5

Zapoznaj się z filmem samouczkiem pokazującym sposób rozwiązywania nierówności z dwiema wartościami bezwzględnymi metodą graficzną oraz metodą tradycyjną - korzystając bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.

RlDsI4PCM6WeJ

Polecenie 6

Rozwiąż nierówność $|x - 4| + |3 x + 5| < 6$ .

$x \in (- \infty, - \frac{5}{3})$
$- (x - 4) - (3 x + 5) < 6$
$- x + 4 - 3 x - 5 < 6$
$- 4 x < 7$
$x > - \frac{7}{4}$
Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in (- \frac{7}{4}, - \frac{5}{3})$ .
$x \in ⟨- \frac{5}{3}, 4)$
$- (x - 4) + (3 x + 5) < 6$
$- x + 4 + 3 x + 5 < 6$
$2 x < - 3$
$x < - \frac{3}{2}$
Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in ⟨- \frac{5}{3}, - \frac{3}{2})$ .
$x \in ⟨4, \infty)$
$x - 4 + 3 x + 5 < 6$
$4 x < 5$
$x < \frac{5}{4}$
Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in \emptyset$ .

Ostatecznie:

$x \in (- 1 \frac{3}{4}, - 1 \frac{1}{2})$

RHWbnqqYf2sHh1

Ćwiczenie 1

R12mFeY4FTGvj1

Ćwiczenie 2

R1JgH6o4Hyrhg2

Ćwiczenie 3

R1VV17IEQDKiv2

Ćwiczenie 4

Do podanych nierówności dobierz nierówności im równoważne. Nierówność pierwsza: wartość bezwzględna z, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, trzy, dla x, należy do, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: a) dwa, mniejszy niż, minus, x, plus, trzy, mniejszy równy, trzy; b) dwa, mniejszy równy, x, plus, jeden, mniejszy równy, trzy; c) dwa, mniejszy równy, x, plus, trzy, mniejszy równy, trzy; d) jeden, mniejszy równy, x, minus, jeden, mniejszy równy, trzy. Nierówność druga: wartość bezwzględna z, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, trzy, dla x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: a) dwa, mniejszy niż, minus, x, plus, trzy, mniejszy równy, trzy; b) dwa, mniejszy równy, x, plus, jeden, mniejszy równy, trzy; c) dwa, mniejszy równy, x, plus, trzy, mniejszy równy, trzy; d) jeden, mniejszy równy, x, minus, jeden, mniejszy równy, trzy. Nierówność trzecia: wartość bezwzględna z, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, trzy, dla x, należy do, nawias ostry, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: a) dwa, mniejszy niż, minus, x, plus, trzy, mniejszy równy, trzy; b) dwa, mniejszy równy, x, plus, jeden, mniejszy równy, trzy; c) dwa, mniejszy równy, x, plus, trzy, mniejszy równy, trzy; d) jeden, mniejszy równy, x, minus, jeden, mniejszy równy, trzy. Nierówność czwarta: wartość bezwzględna z, wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, trzy, dla x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: a) dwa, mniejszy niż, minus, x, plus, trzy, mniejszy równy, trzy; b) dwa, mniejszy równy, x, plus, jeden, mniejszy równy, trzy; c) dwa, mniejszy równy, x, plus, trzy, mniejszy równy, trzy; d) jeden, mniejszy równy, x, minus, jeden, mniejszy równy, trzy.

RAudc7adjKAK52

Ćwiczenie 5

RKaWU2Egne7YW2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Przyporządkuj nierówności odpowiedni wykres, następnie odczytaj z nich zbiór rozwiązań nierówności.

R48iUZNpv5v0W

Zbiór rozwiązań nierówności:

$||x - 4| - 1| \leq 1 \Rightarrow x \in ⟨2, 6⟩$

$|||x + 2| - 3| - 4| < 5 \Rightarrow x \in (- 14, 10)$

Opisz pojęcie alternatywy oraz koniunkcji nierówności i wytłumacz, jakie są między nimi różnice i co z nich wynika.

RwhY7PbEnvya5

Ćwiczenie 8

Dane są zbiory:

$A = \{x \in ℝ : \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} + |x + 3| > 4\}$

$B = \{x \in ℝ : 2 \cdot |x - 2| + \sqrt{4 x^{2} - 16 x + 16} \leq 16\}$

Zbiór A to zbiór takich rzeczywistych x, które spełniają warunek: $\sqrt{x^{2} + 6 x + 9} + |x + 3| > 4$ .

Zbiór B to zbiór takich rzeczywistych x, które spełniają warunek: $2 \cdot |x - 2| + \sqrt{4 x^{2} - 16 x + 16} \leq 16$ .

Wyznacz zbiory: $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A ∖ B$ , $B ∖ A$ .

$A = (- \infty, - 5) \cup (- 1, \infty)$

$B = ⟨- 2, 6⟩$

R1Nkux1X17X8B

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus 9 do 8. Na osi zaznaczone są dwa zbiory, przy czym jeden ze zbiorów, zbiór A jest sumą dwóch rozłącznych przedziałów, mianowicie przedziału otwartego od minus nieskończoności do minus 5 oraz drugiego przedziału otwartego od minus 1 do plus nieskończoności. Drugi zbiór zaznaczony na osi to zbiór B, który jest przedziałem domkniętym od minus 2 do 6.

$A \cup B = (- \infty, - 5) \cup ⟨- 2, \infty)$

$A \cap B = (- 1, 6⟩$

$A ∖ B = (- \infty, - 5) \cup (6, \infty)$

$B ∖ A = ⟨- 2, - 1⟩$

RV2sR15dg3QHV1

Ćwiczenie 9

R15ZS5uFMV1SP1

Ćwiczenie 10

RkKODgMUfS3Kd2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

R16A5VlxAb237

R1bdZYDhwQYdD

RWkqxzM0NlHnk

Ćwiczenie 13

R1JWfHC5rGq8C2

Ćwiczenie 14

Połącz w pary nierówności i zbiory rozwiązań, które je spełniają. wartość bezwzględna z, cztery, minus, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, cztery, plus, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jedenaście, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, siedem, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, początek ułamka, czternaście, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, osiem, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, sześć, plus, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jedenaście, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, siedem, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, początek ułamka, czternaście, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, osiem, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, jeden, minus, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jedenaście, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, siedem, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, początek ułamka, czternaście, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, osiem, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, cztery, minus, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, trzy x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, minus, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jedenaście, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, siedem, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, początek ułamka, czternaście, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, osiem, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu

RyTiqtNMuECYS3

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Rozwiąż nierówność $||x + 1| + |5 x - 1|| > 5$ .

$|x + 1| + |5 x - 1| > 5$ lub $|x + 1| + |5 x - 1| < - 5$

$|x + 1| + |5 x - 1| < - 5$ – nierówność jest sprzeczna.

$|x + 1| + |5 x - 1| > 5$

1. $x \in (- \infty, - 1)$

$- x - 1 - 5 x + 1 > 5$

$- 6 x > 5$

$x < - \frac{5}{6}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in (- \infty, - 1)$ .

2. $x \in ⟨- 1, \frac{1}{5})$

$x + 1 - 5 x + 1 > 5$

$- 4 x > 3$

$x < - \frac{3}{4}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in ⟨- 1, - \frac{3}{4})$ .

3. $x \in ⟨- \frac{1}{5}, \infty)$

$x + 1 + 5 x - 1 > 5$

$6 x > 5$

$x > \frac{5}{6}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x \in (\frac{5}{6}, \infty)$ .

Rozwiązanie nierówności: $x \in (- \infty, - \frac{3}{4}) \cup (\frac{5}{6}, \infty)$ .

RcMwzyh6EYckI1

Ćwiczenie 17

R4HbRLIm1Pv1M1

Ćwiczenie 18

R1Ly3JhFX8eGZ2

Ćwiczenie 19

Ćwiczenie 20

R1428lDVN2cqj

RDgig1t6xqN03

R1YlEcJwRjyMY2

Ćwiczenie 21

Przenieś do obszaru "Przedziały zawierające zbiór rozwiązań nierówności" wszystkie przedziały, które zawierają zbiór rozwiązań nierówności wartość bezwzględna z, dwa, minus, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, trzy x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, jeden, a pozostałe przedziały przenieś do obszaru "Przedziały pozostałe". Przedziały zawierające zbiór rozwiązań nierówności Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu Przedziały pozostałe Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

R1Af93mbdz6EU2

Ćwiczenie 22

Połącz w pary nierówności i ich zbiory rozwiązań. wartość bezwzględna z, cztery, minus, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, cztery, plus, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, x, plus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, trzy, plus, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, jeden, minus, cztery x, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, x, plus, pięć, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, sześć, minus, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, cztery x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

RpWeKpnDHBD5V3

Ćwiczenie 23

R9Jh83Fr0YBDZ3

Ćwiczenie 24

Słownik

nierówność sprzeczna

nierówność, która nie jest spełniona przez żadną liczbę należącą do dziedziny tej nierówności

alternatywa dwóch nierówności

dwie nierówności połączone spójnikiem logicznym „lub” $(\lor)$ ; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają pierwszą lub drugą nierówność

koniunkcja dwóch nierówności

dwie nierówności połączone spójnikiem logicznym „i” $(\land)$ ; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają jednocześnie pierwszą i drugą nierówność

4. Proste nierówności z wartością bezwzględną typu |x‑a|>b, |x‑a|<b

M_R_W09_M2 Równania i nierówności z wartością bezwzględną

5. Nierówności liniowe z wartością bezwzględną

Słownik