1. Równania liniowe z parametrem

RFESzTlQIGbbI

W tym materiale zajmiemy się analizą równania liniowego z jednym parametrem oraz z kilkoma parametrami.
W pierwszym przypadku analiza ta będzie polegała na rozwiązaniu równania z niewiadomą $x$ , np.:

a \cdot (x - 3) = a + 6

gdzie:
$a$ – jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Liczbę $a$ nazywamy parametrem równania.

Twoim zadaniem będzie zbadanie liczby rozwiązań równania w zależności od parametru $a$ , czyli podaniu takich wartości liczby $a$ , dla których równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla których jest sprzeczne i kiedy ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W dalszej części rozważymy sytuację z większą liczbą parametrów oraz postawimy dodatkowe warunki.

Twoje cele

Znajdziesz wszystkie takie wartości rzeczywiste parametru, aby dana liczba była rozwiązaniem równania.
Zbadasz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru występującego w równaniu.
Znajdziesz wszystkie takie wartości rzeczywiste kilku parametrów, aby dana liczba była rozwiązaniem równania.
Zbadasz liczbę rozwiązań równania w zależności od kilku parametrów występujących w równaniu.

Przykład 1

Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru $p$ , dla których rozwiązaniem równania $2 p^{2} x + 4 = p + x$ z niewiadomą $x$ będzie liczba $4$ .

W tym celu podstawimy do równania w miejsce $x$ liczbę $4$ .

2 p^{2} \cdot 4 + 4 = p + 4

8 p^{2} + 4 = p + 4

8 p^{2} - p = 0

p \cdot (8 p - 1) = 0

$p = 0$ lub $8 p - 1 = 0$

$p = 0$ lub $p = \frac{1}{8}$

Aby rozwiązaniem równania $2 p^{2} x + 4 = p + x$ z niewiadomą $x$ była liczba $4$ , to $p \in \{0, \frac{1}{8}\}$ .

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru $a$ równanie liniowerównanie liniowerównanie liniowe $2 \cdot (x - 3) = a \cdot (x - 3)$ jest tożsamościowe?

2 x - 6 = a x - 3 a

2 x - a x = 6 - 3 a

x \cdot (2 - a) = 3 \cdot (2 - a)

Zastanówmy się teraz, dla jakiego parametru $a$ otrzymamy równanie tożsamościowe postaci $0 \cdot x = 0$ .

Będzie ono zachodziło dla $2 - a = 0$ , czyli dla $a = 2$ .

Jeżeli zatem w miejsce $a$ podstawimy liczbę $2$ otrzymamy $0 \cdot x = 3 \cdot 0$ , czyli $0 \cdot x = 0$ .

Zatem aby równanie było tożsamościowe $a = 2$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $a \cdot (x + 1) = 2 x + 1$ z niewiadomą $x$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

a x + a = 2 x + 1

a x - 2 x = 1 - a

x \cdot (a - 2) = 1 - a

Abyśmy mogli podzielić obie strony równania przez wyrażenie znajdujące się przy $x$ należy najpierw założyć, że $a \neq 2$ .

Wówczas otrzymamy rozwiązanie

x = \frac{1 - a}{a - 2}

Jeżeli $a = 2$ wówczas równanie ma postać $x \cdot 0 = 1 - 2$ , czyli $0 = - 1$ .

Ponieważ otrzymaliśmy zdanie fałszywe, równanie nie posiada rozwiązania, czyli jest sprzeczne.

Przykład 4

Ustalimy, dla jakich wartości parametru $p$ rozwiązaniem równania $3 x - \sqrt{2} p = 4 \cdot (x + 2) - 2 - p$ jest liczba mniejsza od $(- 4)$ .

Najpierw zapiszemy równanie w prostszej postaci.

$3 x - \sqrt{2} p = 4 \cdot (x + 2) - 2 - p$

$3 x - \sqrt{2} p = 4 x + 8 - 2 - p$

$3 x - \sqrt{2} p = 4 x + 6 - p$

$3 x - 4 x = \sqrt{2} p - p + 6$

$- x = \sqrt{2} p - p + 6$

$x = p - \sqrt{2} p - 6$

Aby rozwiązaniem równania była liczba mniejsza od $(- 4)$ musi zachodzić warunek:

$p - \sqrt{2} p - 6 < - 4$

$p - \sqrt{2} p < 2$

Wyciągamy $p$ przed nawias.

$p \cdot (1 - \sqrt{2}) < 2$

Podzielimy obie strony nierówności przez $(1 - \sqrt{2})$ . Jest to wyrażenie ujemne, więc zmienimy znak nierówności na przeciwny.

$p > \frac{2}{1 - \sqrt{2}}$

Zajmiemy się teraz usunięciem niewymierności z mianownika ułamka.

$p > \frac{2}{1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$

$p > \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{2})}{1 - 2}$

$p > - 2 \cdot (1 + \sqrt{2})$

Rozwiązaniem równania jest liczba mniejsza od $(- 4)$ , gdy $p \in (- 2 \cdot (1 + \sqrt{2}), \infty)$ .

Przykład 5

Ustalimy liczbę rozwiązań równania $2 - |3 x - 7| = \sqrt{3} p - 2$ w zależności od parametru $p$ .

$2 - |3 x - 7| = \sqrt{3} p - 2$

$- |3 x - 7| = \sqrt{3} p - 2 - 2$

$- |3 x - 7| = \sqrt{3} p - 4$

$|3 x - 7| = 4 - \sqrt{3} p$

Wiemy, że wartość bezwzględna jest zawsze liczba nieujemną. Zatem jeżeli prawa strona równania $|3 x - 7| = 4 - \sqrt{3} p$ będzie liczbą ujemną, to równanie będzie sprzeczne.

$4 - \sqrt{3} p < 0$

$- \sqrt{3} p < - 4$

$\sqrt{3} p > 4$

$p > \frac{4}{\sqrt{3}}$

$p > \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Jeżeli prawa strona równania $|3 x - 7| = 4 - \sqrt{3} p$ będzie liczbą równą $0$ , to równanie będzie miało jedno rozwiązanie.

$4 - \sqrt{3} p = 0$

$p = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Jeżeli prawa strona równania $|3 x - 7| = 4 - \sqrt{3} p$ będzie liczbą dodatnią, to równanie będzie miało dwa rozwiązania.

$4 - \sqrt{3} p > 0$

$p < \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Dla $p > \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ równanie jest sprzeczne, dla $p = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ równanie ma jedno rozwiązanie, a dla $p < \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ rozwiązaniem równania są dwie liczby.

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją i przeanalizuj, jak badamy liczbę rozwiązań równania liniowego w zależności od parametru $a$ .

R1cN75ABPQLJd

Polecenie 2

Określ liczbę rozwiązań równania $(m^{2} - 36) \cdot x = m + 6$ dla $m = - 6$ i $m = 6$ .

Dla $m = - 6$ równanie jest tożsamościowe, dla $m = 6$ równanie jest sprzeczne.

Polecenie 3

Określ liczbę rozwiązań równania $k + 2 x = 3 k - 4$ w zależności od parametru $k$ .

Równanie ma jedno rozwiązanie dla $k \in ℝ : x = k - 2$ .

Potrafisz już przeprowadzać analizę równania liniowego z jednym parametrem. Równanie liniowe może mieć więcej parametrów. Rozwiązanie równania liniowego z dwoma lub więcej parametrami wykonujemy podobnie do rozwiązywania równań z jednym parametrem.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie $3 x - 2 a + 1 = b + 2 - c$ z niewiadomą $x$ , gdzie $a$ , $b$ i $c$ są parametrami równania.

$3 x - 2 a + 1 = b + 2 - c$

$3 x = 2 a + b - c + 1$

Podzielimy obie strony równania przez liczbę $3$ .

$3 x = 2 a + b - c + 1 | : 3$

$x = \frac{2 a + b - c + 1}{3}$

Dla dowolnych wartości parametrów $a$ , $b$ i $c$ równanie ma jedno rozwiązanie.

Przykład 7

Rozwiążemy równanie $a x + 4 = b + 2$ z niewiadomą $x$ , gdzie $a$ i $b$ są parametrami równania. Mamy tu przykład równania liniowego z niewiadomą $x$ oraz parametrami $a$ i $b$ równania liniowego z niewiadomą $x$ oraz parametrami $a$ i $b$ .

$a x + 4 = b + 2$

$a x = b - 2$

Abyśmy mogli podzielić obie strony równania przez wyrażenie znajdujące się przy $x$ , należy najpierw założyć, że $a \neq 0$ .

Wówczas otrzymamy rozwiązanie:

$x = \frac{b - 2}{a}$

Jeżeli $a = 0$ wówczas równanie ma postać $x \cdot 0 = b - 2$ :

1. Jeżeli $b - 2 = 0$ , czyli $b = 2$ , wówczas równanie jest tożsamościowe.

2. Jeżeli $b \neq 2$ , wtedy równanie jest sprzeczne.

Zatem dla $a \neq 0$ równanie ma jedno rozwiązanie:

$x = \frac{b - 2}{a}$

Dla $a = 0$ i $b = 2$ równanie ma niekończenie wiele rozwiązań.

Dla $a = 0$ i $b \neq 2$ równanie nie ma rozwiązania.

Przykład 8

Dane jest równanie $4 x - a = 3 \cdot (x - b)$ z niewiadomą $x$ .

Określimy, dla jakich wartości parametrów $a$ i $b$ rozwiązaniem równania jest liczba nieujemna.

$4 x - a = 3 \cdot (x - b)$

$4 x - a = 3 x - 3 b$

$x = a - 3 b$

Czyli $a - 3 b \geq 0$ .

Zatem $a \geq 3 b$ .

Aby rozwiązaniem równania była liczba nieujemna $a \geq 3 b$ .

Przykład 9

Określimy liczbę rozwiązań równania dla $k = 3$ i $n = - 3$ .

$(k - 3) x = n + 1$

Podstawiając do równania podane wartości parametrów $k$ i $n$ otrzymujemy:

$(3 - 3) x = - 3 + 1$

$0 \cdot x = - 2$

$0 = - 2$

Otrzymaliśmy równość fałszywą.

Zatem dla $k = 3$ i $n = - 3$ równanie jest sprzeczne, czyli nie posiada rozwiązania.

Polecenie 4

Zapoznaj się z animacją oraz ze sposobami analizy równania liniowego z dwoma lub więcej parametrami.

RrDakDNEH5Eqa

Polecenie 5

Określ liczbę rozwiązań równania $n x + 2 = m - 5$ w zależności od wartości parametrów $m$ i $n$ .

Dla $n = 0$ i $m = 7$ równanie jest tożsamościowe.
Dla $n = 0$ i $m \neq 7$ równanie jest sprzeczne.
Dla $n \neq 0$ i $m \in ℝ$ równanie ma jedno rozwiązanie.

Potrafisz już przeprowadzać analizę równania liniowego z jednym parametrem lub większą liczbą parametrów.

W tej części Twoim zadaniem będzie określanie warunków, dla których równanie ma żądaną własność, np. rozwiązanie jest konkretną liczbą lub dowolną liczbą naturalną. Rozwiązanie równania może też być np. nie większe od zadanej wartości.

Przykład 10

Dla jakiej wartości parametru $p$ rozwiązanie równaniarozwiązanie równaniarozwiązanie równania $x p + 6 p - 2 = 3 x + p^{2} + 7$ jest nie większe od $\frac{3}{4}$ ?

Najpierw zajmiemy się uporządkowaniem równania.

$x p + 6 p - 2 = 3 x + p^{2} + 7$

$x p - 3 x = p^{2} - 6 p + 9$

$x (p - 3) = p^{2} - 6 p + 9$

Prawą stronę równania, możemy zapisać w postaci wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

$x (p - 3) = {(p - 3)}^{2}$

Aby równanie miało jedno rozwiązanie musi być spełniony warunek: $p \neq 3$ .

Wtedy rozwiązanie możemy zapisać w postaci:

$x = \frac{{(p - 3)}^{2}}{p - 3}$

Po skróceniu rozwiązanie równania przyjmuje postać $x = p - 3$ .

Rozwiązanie równaniarozwiązanie równaniaRozwiązanie równania ma być nie większe od liczby $\frac{3}{4}$ .

Warunek zapiszemy w postaci nierówności $p - 3 \leq \frac{3}{4}$ .

Czyli $p \leq 3 \frac{3}{4}$ .

Przykład 11

Określimy, dla jakich wartości parametru $a$ rozwiązaniem równania $a x = 4 - x$ jest liczba naturalna.

$a x = 4 - x$

$a x + x = 4$

$x (a + 1) = 4$

Aby równanie miało rozwiązanie $a \neq - 1$ .

Wtedy:

$x = \frac{4}{a + 1}$

Aby rozwiązanie $x$ było liczbą naturalną:

$a + 1 = 1$ lub $a + 1 = 2$ lub $a + 1 = 4$

Czyli $a = 0$ lub $a = 1$ lub $a = 3$ .

Zatem $a \in \{0, 1, 3\}$ .

Przykład 12

Określimy warunek, dla którego rozwiązaniem równania $3 x + 2 \cdot |k + 4| = 1$ z niewiadomą $x$ i parametrem $k$ jest liczba $3$ .

Podstawimy w miejsce $x$ liczbę $3$ .

$9 + 2 \cdot |k + 4| = 1$

$2 \cdot |k + 4| = - 8$

$|k + 4| = - 4$

Otrzymane równanie jest sprzeczne dla dowolnego $k$ , ponieważ wartość bezwzględna liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Zatem nie ma takiej wartości parametru $k$ , dla której rozwiązaniem równania będzie liczba $3$ .

Polecenie 6

Zapoznaj się z animacją i zapoznaj się ze sposobami określania warunków, przy których równanie ma żądaną własność.

R1BjaLyXAQmPj

Polecenie 7

Podaj przykład takiego równania liniowego postaci $a x = b$ z niewiadomą $x$ i parametrem $m$ , aby dla $m = - 6$ równanie było sprzeczne, dla $m = 0$ miało nieskończenie wiele rozwiązań, a dla $m \neq - 6$ i $m \neq 0$ miało jedno rozwiązanie.

Np.: $m \cdot (m + 6) \cdot x = m \cdot (m + 2)$

Polecenie 8

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $(m + 1) (m + 6) \cdot x = m \cdot (m + 6)$ będzie tożsamościowe, a dla jakich będzie miało jedno rozwiązanie?

Dla $m = - 6$ równanie będzie tożsamościowe.

Dla $m \in ℝ ∖ {- 6, - 1}$ równanie będzie miało jedno rozwiązanie.

R3HiV4Gjyarne1

Ćwiczenie 1

R1aKXh4HMJwuv1

Ćwiczenie 2

R31uex36MDzd42

Ćwiczenie 3

RiZoO6Qu2QKkR2

Ćwiczenie 4

R1DUKufEJF3vP2

Ćwiczenie 5

Określ liczbę rozwiązań podanych równań dla m, równa się, pięć. Przeciągnij równanie do odpowiedniego okienka. równania sprzeczne Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu, x, równa się, m, plus, jeden, 2. nawias m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu x, równa się, m, minus, pięć, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, m x, równa się, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. nawias, m, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, x, równa się, m, plus, dwa, 5. m x, minus, pięć x, równa się, dwa m, minus, dziesięć, 6. m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, x, równa się, m, plus, trzy, 7. x, minus, trzy x, równa się, m, plus, siedem, plus, dwa x równania, które mają jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu, x, równa się, m, plus, jeden, 2. nawias m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu x, równa się, m, minus, pięć, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, m x, równa się, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. nawias, m, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, x, równa się, m, plus, dwa, 5. m x, minus, pięć x, równa się, dwa m, minus, dziesięć, 6. m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, x, równa się, m, plus, trzy, 7. x, minus, trzy x, równa się, m, plus, siedem, plus, dwa x równania tożsamościowe Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu, x, równa się, m, plus, jeden, 2. nawias m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu x, równa się, m, minus, pięć, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, m x, równa się, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. nawias, m, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, x, równa się, m, plus, dwa, 5. m x, minus, pięć x, równa się, dwa m, minus, dziesięć, 6. m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, x, równa się, m, plus, trzy, 7. x, minus, trzy x, równa się, m, plus, siedem, plus, dwa x

R15M2CZ2EjIyC2

Ćwiczenie 6

R1To4IhqYPuPH3

Ćwiczenie 7

R9Bnxcsiq0cam3

Ćwiczenie 8

R2s4NwsvqHrYA1

Ćwiczenie 9

ROqDj7LRwHgJ71

Ćwiczenie 10

R1bo1uLBC2qtX2

Ćwiczenie 11

RRwPk09vf1uvi2

Ćwiczenie 12

Roi6wwNEM6S2e2

Ćwiczenie 13

R12fItU65pzTL2

Ćwiczenie 14

R13XbAgAiHhLc3

Ćwiczenie 15

R1cDtdKbAbrpu3

Ćwiczenie 16

RiwOg234o55Rn1

Ćwiczenie 17

R1Dj6JOcHO6WO1

Ćwiczenie 18

ROIgYF9NHYPwI2

Ćwiczenie 19

RTKPv4zNK4f3m2

Ćwiczenie 20

R1MoMqZ8ycROH2

Ćwiczenie 21

RIXUdcqHFhI3O2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Podaj przykład równania liniowego z niewiadomą $y$ i parametrem $a$ , aby dla $a = - 5$ równanie było sprzeczne, dla $a = 2$ miało nieskończenie wiele rozwiązań, a dla $a \neq - 5$ i $a \neq 2$ miało jedno rozwiązanie.

Np.: $y (a + 5) (a - 2) = (a - 2) (a - 1)$ .

Ćwiczenie 24

Wykaż, że równanie $k x - 2 x + 1 = 3 k - 5$ z niewiadomą $x$ ma co najmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej wartości parametru $k$ .

k x - 2 x + 1 = 3 k - 5

x \cdot (k - 2) + 1 = 3 k - 5

x \cdot (k - 2) = 3 k - 6

Jeżeli $k = 2$ to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Jeżeli $k \neq 2$ to równanie ma jedno rozwiązanie:

x = \frac{3 \cdot (k - 2)}{k - 2} = 3

Czyli równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie dla $k \in ℝ$ .

Słownik

równanie liniowe

równanie, w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze

równanie liniowe z niewiadomą

x

oraz parametrami

a

b

równanie liniowe z niewiadomą

x

oraz parametrami

a

b

równanie postaci $a x + b = 0$ , gdzie $x$ jest niewiadomą, natomiast $a$ i $b$ są parametrami równania liniowego

rozwiązanie równania

liczba, która spełnia dane równanie

2. Nierówności liniowe z parametrem

M_R_W09_M3 Równania i nierówności z parametrem

1. Równania liniowe z parametrem

Słownik