• Określisz warunki, wyznaczysz parametry, dla których rozwiązanie nierówności ma żądaną własność.

• Znajdziesz wszystkie takie wartości rzeczywiste parametrów, aby dany przedział był rozwiązaniem nierówności.

• Zbadasz liczbę rozwiązań nierówności w zależności od parametrów występujących w nierówności.

Nierównością pierwszego stopnia (liniową) z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Wyznaczymy wszystkie wartości współczynnika $k$, dla których zbiorem rozwiązań nierówności liniowej $3x+4k\ge 2$ jest przedział $\left.⟨-1, \mathrm{\infty }\right)$.

$3x+4k\ge 2$

$3x+4k-2\ge 0$

Rozważmy rosnącą funkcję liniową $f\left(x\right)=3x+4k-2$.

Funkcja $f\left(x\right)$ ma przyjmować wartości nieujemne dla $x\in \left.⟨-1, \infty \right)$. Zatem miejscem zerowym funkcji $f$ musi być liczba $\left(-1\right)$.

$f\left(-1\right)=0$

$3·\left(-1\right)+4k-2=0$

$-3+4k-2=0$

$4k=5$

$k=\frac{5}{4}$

Aby zbiorem rozwiązań nierówności był przedział $\left.⟨-1, \mathrm{\infty }\right)$, współczynnik $k=\frac{5}{4}$.

Wyznaczymy wszystkie wartości współczynnika $k$, dla których zbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomązbiór rozwiązań nierówności $x+2k\ge 1$ zawiera się w przedziale $\left.⟨-2, \infty \right)$.

$x+2k\ge 1$

$x+2k-1\ge 0$

Rozważymy rosnącą funkcję $f\left(x\right)=x+2k-1$.

Aby zbiór rozwiązań nierówności zawierał się w przedziale $\left.⟨-2, \infty \right)$, miejsce zerowe funkcji $f$ musi być większe lub równe od $\left(-2\right)$.

Wyznaczymy miejsce zerowe funkcji $f$.

$x+2k-1=0$

$x=1-2k$

Zatem musi być spełniony warunek $1-2k\ge -2$.

$-2k\ge -3$

$k\le \frac{3}{2}$

Aby zbiór rozwiązań nierówności zawierał się w przedziale $\left.⟨-2, \infty \right)$, współczynnik

$k\in \left(-\infty , \frac{3}{2}\right.⟩$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości współczynnika $a$ wśród rozwiązań nierówności $a\left(x+1\right)>2$ jest liczba $x=-3$.

Jeżeli liczba $\left(-3\right)$ ma znajdować się w zbiorze rozwiązań nierówności $a\left(x+1\right)>2$, to podstawimy  ją w miejsce niewiadomej $x$ i rozwiążemy nierówność z niewiadomą $a$.

$a\left(-3+1\right)>2$

$-2a>2$

$a<-1$

$a\in \left(-\infty , -1\right)$.

Dla $a\in \left(-\infty , -1\right)$ wśród rozwiązań nierówności znajduje się liczba $x=-3$.

Wyznaczymy wszystkie wartości współczynnika $a$, dla których zbiorem rozwiązań nierówności $ax<a-1$ jest przedział $\left(4, \mathrm{\infty }\right)$.

$ax<a-1$

Abyśmy mogli podzielić obie strony nierówności przez $a$, rozpatrzymy następujące przypadki.

1. Jeżeli $a>0$ wtedy $x<\frac{a-1}{a}$.

   $x\in \left(-\infty , \frac{a-1}{a}\right)$

   Ponieważ zbiorem rozwiązań nierówności ma być przedział $\left(4, \mathrm{\infty }\right)$ zatem warunek nie może być spełniony.

2. Jeżeli $a=0$, wtedy $0·x<0-1$.

   $0<-1$ – sprzeczność

3. Jeżeli $a<0$, wtedy $x>\frac{a-1}{a}$.

   $x\in \left(\frac{a-1}{a}, \infty \right)$.

Aby zbiorem rozwiązań nierówności był przedział $\left(4, \mathrm{\infty }\right)$, musi zachodzić równość $\frac{a-1}{a}=4$.

$a-1=4a$

$-3a=1$

$a=-\frac{1}{3}<0$

Warunek zadania jest spełniony dla współczynnika $a=-\frac{1}{3}$.

Wyznaczymy wszystkie wartości współczynnika $m$, dla których zbiorem rozwiązań nierówności dla $m^{2}x+3+m<0$ jest zbiór pusty.

Rozważymy funkcję liniową $f\left(x\right)=m^{2}x+3+m$.

Aby funkcja $f$ nie przyjmowała wartości ujemnych, musi być funkcją stałą oraz wyraz wolny musi być liczbą nieujemną, czyli:

$\left\{\begin{array}{l}{m}^2=0\\ 3+m\ge 0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}m=0\\ m\ge -3\end{array}\right.$ czyli $m=0$

Dla współczynnika $m=0$ nierówność jest sprzeczna, czyli jej zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym.

Rozwiążemy nierówność liniową $3m-2x-4>0$.

Przekształcimy równoważnie nierówność, przenosząc odpowiednio wyrażenie $3m$ oraz liczbę na drugą stronę nierówności.

$-2x>4-3m$

Podzielimy obie strony nierówności przez $\left(-2\right)$, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny.

$-2x>4-3m |:\left(-2\right)$

$x<\frac{4-3m}{-2}$

$x<\frac{3m-4}{2}$

Zatem dla każdej wartości parametru $m$ rozwiązaniem nierówności jest przedział $\left(-\infty , \frac{3m-4}{2}\right)$.

Przeprowadzimy analizę nierówności liniowej z jedną niewiadomąnierówność liniowa z jedną niewiadomąnierówności liniowej z jedną niewiadomą $ax-a^2\le -2\left(x+2\right)$ . Niewiadomą jest liczba $x$ , natomiast parametrem jest  $a$.

Najpierw przekształcimy równoważnie nierówność, w celu wyznaczenia niewiadomej $x$.

$ax-a^2\le -2x-4$

$ax+2x\le a^2-4$

$x\left(a+2\right)\le a^2-4$

1. Jeżeli $a+2>0$, czyli $a>-2$ , to możemy podzielić obie strony nierówności przez $a+2$.

Nie zmienimy znaku nierówności na przeciwny, ponieważ założyliśmy, że $a+2>0$.

$x\left(a+2\right)\le a^2-4 |:\left(a+2\right)$

$x\le \frac{a^2-4}{a+2}$

$x\le \frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{a+2}$

$x\le a-2$

Dla $a>-2$ rozwiązanie nierówności:  $x\in \left(-\infty , a-2\right)$.

2. Jeżeli $a+2<0$, czyli $a<-2$ , to  możemy podzielić obie strony nierówności przez $a+2$.

Pamiętamy jednak, że zmieniamy znak nierówności na przeciwny, ponieważ założyliśmy, że $a+2<0$.

$x\left(a+2\right)\le a^2-4 |:\left(a+2\right)$

$x\ge \frac{a^2-4}{a+2}$

$x\ge \frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{a+2}$

$x\ge a-2$

Dla $a<-2$ rozwiązanie nierówności : $x\in \left(a-2, \infty \right)$.

3. Jeżeli $a+2=0$, czyli $\mathrm{a}=-2$, wtedy liczbę $\left(-2\right)$ podstawimy do nierówności

$x\left(a+2\right)\le a^2-4$

$x\left(-2+2\right)\le {\left(-2\right)}^2-4$

$x·0\le 4-4$

$x·0\le 0$

$0\le 0$.

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem dla $a=-2$ rozwiązaniem nierówności jest każda liczba rzeczywista.

Dla jakich wartości parametru $p$ nierówność $2x-6>px-2p$ jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą?

$2x-6>px-2p$

$2x-px>6-2p$

$x\left(2-p\right)>6-2p$

Zastanówmy się teraz dla jakiego parametru $p$ otrzymamy nierówność tożsamościową.

Aby nierówność była spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą, współczynnik przy niewiadomej musi być równy $0$.

Będzie to zachodziło dla $2-p=0$, czyli dla $p=2$.

Ale dla $p=2$ otrzymamy warunek $0·x>6-2·2$.

$0>2$

Zatem otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

Nie istnieje taka wartość parametru $p$, dla której nierówność będzie spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą.

Rozwiążemy nierówność $5x-5a\ge b+2x-2c$ z niewiadomą $x$, gdzie liczby $a$, $b$ i $c$ są parametrami nierówności.

$5x-5a\ge b+2x-2c$

$5x-2x\ge b+5a-2c$

$3x\ge b+5a-2c$

Podzielimy obie strony nierówności przez liczbę $3$.

$3x\ge b+5a-2c |:3$

$x\ge \frac{b+5a-2c}{3}$

Dla dowolnych wartości parametrów $a$, $b$ i $c$ zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział lewostronnie domknięty $\left.⟨\frac{b+5a-2c}{3}, \infty \right)$.

Określimy zbiór rozwiązań nierówności $\left(a-2\right)x<b+5$ dla $a=-1$ i $b=4$.

$\left(a-2\right)x<b+5$

Podstawiając do nierówności podane wartości parametrów $a$ i $b$ otrzymujemy:

$\left(-1-2\right)x<4+5$

$-3x<9$

$x>-3$

Zatem nierówność spełniają liczby należące do przedziału $\left(-3, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $ax+2<b+2x$ z niewiadomą $x$, gdzie liczby  $a$ i $b$ są parametrami nierówności.

$ax+2<b+2x$

$ax-2x<b-2$

$\left(a-2\right)x<b-2$

Abyśmy mogli podzielić obie strony nierówności przez wyrażenie znajdujące się przy $x$ najpierw zakładamy, że $a-2>0$.

Wówczas otrzymamy rozwiązanie:

$x<\frac{b-2}{a-2}$

Jeżeli $a-2<0$ wtedy dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, zatem należy zmienić znak nierówności na przeciwny.

$x>\frac{b-2}{a-2}$

Jeżeli $a=2$ wówczas nierówność ma postać $x·0<b-2$.

1. Jeżeli $b-2>0$, czyli $b>2$, wówczas jest to nierówność tożsamościowanierówność tożsamościowanierówność tożsamościowa.

2. Jeżeli    $b\le 2$, wtedy jest to nierówność sprzecznanierówność sprzecznanierówność sprzeczna.

Zatem dla $a>2$ rozwiązaniem nierówności jest przedział $\left(-\infty , \frac{b-2}{a-2}\right)$.

Zatem dla $a<2$ rozwiązaniem nierówności jest przedział $\left(\frac{b-2}{a-2}, \infty \right)$.

Dla $a=2$ i $b>2$ nierówność jest tożsamościowa.

Dla $a=2$ i $b\le 2$ nierówność nie ma rozwiązania.

Dana jest nierówność $3x-a>2·\left(x+b\right)$ z niewiadomą $x$.

Określimy, jakie warunki muszą spełniać parametry $a$ i $b$, aby do zbioru rozwiązań należały tylko  liczby dodatnie.

$3x-a>2·\left(x+b\right)$

$3x-a>2x+2b$

$x>a+2b$

Czyli $a+2b>0$.

Zatem $a>-2b$.

Aby rozwiązaniem nierówności były liczby dodatnie musi zachodzić warunek $a>-2b$.

każda liczba rzeczywista, która spełnia tę nierówność

nierówność, którą możemy zapisać w postaci $ax+b>0$ lub $ax+b\ge 0$, gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi

nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności

nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności