• Przedstawisz graficzną ilustrację układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi z wartością bezwzględną.

• Odczytasz liczbę rozwiązań układu równań z wartością bezwzględną na podstawie jego ilustracji graficznej.

• Odczytasz rozwiązanie układu równań liniowych z wartością bezwzględną na podstawie jego interpretacji geometrycznej.

Rozwiązaniem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb spełniającą jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Dany jest układ równań $\left\{\begin{array}{l}y-x=-2\\ \left|x\right|+y=2\end{array}\right.$. Przedstawimy interpretację geometryczną tego układu. Sprawdzimy, czy posiada rozwiązanie.

Doprowadzamy pierwsze równanie do postaci kierunkowej.

$y-x=-2$

$y=x-2$

Wybieramy przykładowe punkty, których współrzędne spełniają to równanie. Mogą to być punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Oś $X$ – punkt $\left(\mathrm{2,} 0\right)$

Oś $Y$ – punkt $\left(0, -2\right)$

Zajmiemy się teraz drugim równaniem.

$\left|x\right|+y=2$

W tym równaniu pojawia się wartość bezwzględna liczby $x$.

Przypomnimy podstawowe informacje na temat wartości bezwzględnej.

Algebraicznie wartością bezwzględną liczby rzeczywistej $a$ nazywamy:

• liczbę $a$, jeśli liczba $a$ jest nieujemna;

• liczbę przeciwną do $a$, jeśli liczba $a$ jest ujemna.

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistejwartość bezwzględna liczby rzeczywistej (moduł liczby rzeczywistej)Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej $a$ oznaczamy $\left|a\right|$.

Powyższą definicję możemy zapisać za pomocą wzoru

$\left|a\right|=\left\{\begin{array}{ll}a,& \text{jeżeli} a\ge 0\\ -a,& \text{jeżeli} a<0\end{array}\right.$

A zatem wracając do równania $\left|x\right|+y=2$ mamy:

• jeśli $x\ge 0$, to $\left|x\right|=x$
  i wtedy równanie przyjmuje postać:
  $x+y=2$

• jeśli $x<0$, to $\left|x\right|=-x$
  i wtedy równanie przyjmuje postać:
  $-x+y=2$

Teraz przekształcamy równania do postaci kierunkowej i wybieramy punkty przez które przechodzi wykres.

$x+y=2$ i $-x+y=2$

$y=-x+2$ i $y=x+2$

Wybierając współrzędną musimy pamiętać o warunkach dotyczących zmiennej $x$.

$x=0\Rightarrow y=2$ – otrzymujemy punkt $\left(\mathrm{0,} 2\right)$ i $x=-2\Rightarrow y=0$ – otrzymujemy punkt $\left(-\mathrm{2,} 0\right)$

$x=2\Rightarrow y=0$ – otrzymujemy punkt $\left(\mathrm{2,} 0\right)$ i $x=-1\Rightarrow y=1$ – otrzymujemy punkt $\left(-\mathrm{1,} 1\right)$

Rysujemy wykresy obu równań i sprawdzamy, czy posiadają one punkty wspólne.

R1NCTYh05JyfP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wykres pierwszy to ukośna prosta o równaniu y równa się x odjąć 2. Prosta ta przebiega przez dwa wyróżnione punkty o współrzędnych $\left(0;-2\right), \left(2;0\right)$. Drugi wykres opisany jest równaniem $y=-\left|x\right|+2$ i składa się z dwóch ukośnych półprostych . Od lewej wykres biegnie od minus nieskończoności przez trzecią i drugą ćwiartkę i przebiega przez trzy wyróżnione punkty: $\left(-2;0\right), \left(-1;1\right), \left(0;2\right)$. W punkcie $\left(0;2\right)$ półprosta ma swój koniec. Z tego punktu biegnie druga składowa wykresu tej funkcji. Druga półprosta jest symetryczna do pierwszej względem osi Y i przebiega przez wyróżniony punkt $\left(2;0\right)$. Ma więc jeden punkt wspólny z wykresem pierwszej funkcji.

Wykresy równań $y-x=-2$ oraz $\left|x\right|+y=2$ przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych $\left(\mathrm{2,} 0\right)$.

Jak zawsze, przy metodzie graficznej, musimy jeszcze sprawdzić poprawność rozwiązania.

Podstawiamy wartości $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$ do każdej ze stron każdego z równań układu.

$L_1=y-x=0-2=-2=P_1$

$L_2=\left|x\right|+y=\left|2\right|+0=2=P_2$

Otrzymaliśmy tożsamości, a zatem para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$ jest rozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymirozwiązanie układu równań

$\left\{\begin{array}{l}y-x=-2\\ \left|x\right|+y=2\end{array}\right.$.

Rozwiążemy metodą graficzną układ równań $\left\{\begin{array}{l}x+\left|y\right|=1\\ x=-3 \end{array}\right.$.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, przekształcamy pierwsze równanie, rozpatrując przypadki.

$x+\left|y\right|=1$

$y\ge 0\Rightarrow \left|y\right|=y$ i $y<0\Rightarrow \left|y\right|=-y$

Wtedy równanie przyjmuje postać:

$x+y=1$ i $x-y=1$

$y=-x+1$ i $y=x-1$

Wybieramy przykładowe punkty, których współrzędne spełniają te równania. (Mogą to być punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych).

$\left(1, 0\right)$, $\left(0, 1\right)$ i $(-3,-4)$, $\left(0, -1\right)$

Wykres drugiego równania $x=-3$ jest prostą równoległą do osi $Y$.

Rysujemy wykresy obu równań i sprawdzamy, czy posiadają one punkty wspólne.

R1YDUg7wEfOjk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wykres pierwszy składa się z dwóch ukośnych półprostych i przedstawia funkcję zadaną wzorem $x+\left|y\right|=1$. Półproste położone są jedna nad drugą i są symetryczne względem osi X oraz mają wspólny koniec. Położona wyżej półprosta biegnie przez drugą i pierwszą ćwiartkę oraz przez punkty: $\left(0;1\right), \left(1;0\right)$, gdzie punkt $\left(1;0\right)$ jest wspólnym końcem półprostych. Druga półprosta biegnie przez czwartą i trzecią ćwiartkę oraz przez punkty $\left(0;-1\right), \left(1;0\right)$. Drugi wykres to pionowa prosta zadana równaniem x równa się minus 3. Na płaszczyźnie wyróżniono dwa punkty przecięcia obu wykresów. Punkty te to: $\left(-3;-4\right)$ oraz $\left(-3;4\right)$.

Wykresy przecinają się w dwóch punktach: $\left(-\mathrm{3,} 4\right)$ oraz $\left(-3, -4\right)$.

Sprawdzamy poprawność odczytanych rozwiązań.

Dla pary $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=4\end{array}\right.$:

$L_1=x+\left|y\right|=-3+\left|4\right|=-3+4=1=P_1$

$L_2=-3=P_2$

Dla pary $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-4\end{array}\right.$:

$L_1=x+\left|y\right|=-3+\left|-4\right|=-3+4=1=P_1$

$L_2=-3=P_2$

A zatem układ równań $\left\{\begin{array}{l}x+\left|y\right|=1\\ x=-3 \end{array}\right.$ ma dwa rozwiązania: $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=4\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-4\end{array}\right.$.

Rozwiążemy metodą graficzną układ równań $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=3\\ 3·\left|x\right|-y=1\end{array}\right.$.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej przekształcamy pierwsze równanie rozpatrując przypadki.

$\left|x\right|+\left|y\right|=3$

• I przypadek – I ćwiartka układu współrzędnych

  $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\end{array}\right.$ wtedy $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=x\\ \left|y\right|=y\end{array}\right.$ i równanie przyjmuje postać $x+y=3$

  Wybieramy pary, które należą do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych  i spełniają to równanie.

  $\left(\mathrm{0,} 3\right)$, $\left(\mathrm{3,} 0\right)$

• II przypadek – II ćwiartka układu współrzędnych

  $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ wtedy $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=-x\\ \left|y\right|=y\end{array}\right.$ i równanie przyjmuje postać $-x+y=3$

  Wybieramy pary, które należą do drugiej ćwiartki i spełniają to równanie.

  $\left(-\mathrm{1,} 2\right)$, $\left(-\mathrm{3,} 0\right)$

• III przypadek – III ćwiartka układu współrzędnych

  $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ y<0\end{array}\right.$ wtedy $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=-x \\ \left|y\right|=-y\end{array}\right.$ i równanie przyjmuje postać $-x-y=3$

  Wybieramy pary, które należą do trzeciej ćwiartki układu współrzędnych  i spełniają to równanie.

  $\left(-1, -2\right)$, $\left(-2, -1\right)$

• IV przypadek – IV ćwiartka układu współrzędnych

  $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y<0\end{array}\right.$ wtedy $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=x\\ \left|y\right|=-y\end{array}\right.$ i równanie przyjmuje postać $x-y=3$

  Wybieramy pary, które należą do czwartej ćwiartki układu współrzędnych i spełniają to równanie.

  $\left(0, -3\right)$, $\left(1, -2\right)$

RsuF8qZkmREVG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $\left|x\right|+\left|y\right|=3$, czyli romb o następujących wierzchołkach: $\left(-3;0\right), \left(0;3\right), \left(0;-3\right), \left(3;0\right)$. Poza wierzchołkami, wyróżniono również cztery punkty o następujących współrzędnych: $\left(-2;-1\right), \left(-1;-2\right), \left(-1;2\right), \left(1;-2\right)$.

Zajmiemy się teraz drugim równaniem $3·\left|x\right|-y=1$.

Rozpatrujemy przypadki wynikające z definicji wartości bezwzględnej liczby.

• I przypadek:

  $x\ge 0$ wtedy $\left|x\right|=x$ i równanie przyjmuje postać $3x-y=1$.

  Przekształcamy równanie:

  $y=3x-1$

  Wybieramy pary liczb spełniające to równanie:

  $\left(0, -1\right)$, $\left(\mathrm{1,} 2\right)$, $\left(\mathrm{2,} 5\right)$

• II przypadek:

  $x<0$ wtedy $\left|x\right|=-x$ i równanie przyjmuje postać $-3x-y=1$.

  Przekształcamy równanie:

  $y=-3x-1$

  Wybieramy pary liczb spełniające to równanie:

  $\left(-\mathrm{2,} 5\right)$, $\left(-\mathrm{1,} 2\right)$

A więc wykres równania ma postać:

RzjUdFPS7dQCQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $3\left|x\right|-y=1$ składający się z dwóch półprostych przypominający kształtem literę V. Półproste są symetryczne względem osi Y i mają wspólny koniec. Lewa półprosta przechodzi przez wyróżnione punkty o współrzędnych $\left(-2;5\right), \left(-1;2\right), \left(0;-1\right)$, przy czym punkt $\left(0;-1\right)$ jest wspólnym końcem półprostych. Prawa półprosta przebiega przez następujące wyróżnione punkty: $\left(0;-1\right), \left(1;2\right), \left(2;5\right)$.

Umieszczamy powyższe wykresy w jednym układzie współrzędnych.

R1NDIBzeYgl2m

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wykres pierwszy przedstawia funkcję $\left|x\right|+\left|y\right|=3$ i jest rombem o następujących wierzchołkach: $\left(-3;0\right), \left(0;3\right), \left(0;-3\right), \left(3;0\right)$. Wykres drugiej funkcji zadanej wzorem $3\left|x\right|-y=1$ składa się z dwóch półprostych symetrycznych względem osi Y i o wspólnym wierzchołku w punkcie $\left(0;-1\right)$. Na rysunku wyróżniono punktu przecięcia obu wykresów. Punkty te mają współrzędne $\left(-1;2\right)$ oraz $\left(1;2\right)$.

Wykresy przecinają się w dwóch punktach $\left(-\mathrm{1,} 2\right)$ oraz $\left(\mathrm{1,} 2\right)$.

Sprawdzamy poprawność odczytanych rozwiązań.

Dla pary $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.$:

$L_1=\left|x\right|+\left|y\right|=\left|-1\right|+\left|2\right|=3=P_1$

$L_2=3·\left|x\right|-y=3·\left|-1\right|-2=3-2=1=P_2$

Dla pary $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$:

$L_1=\left|x\right|+\left|y\right|=\left|1\right|+\left|2\right|=3=P_1$

$L_2=3·\left|x\right|-y=3·\left|1\right|-2=3-2=1=P_2$

A zatem układ równań $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=3\\ 3·\left|x\right|-y=1\end{array}\right.$ ma dwa rozwiązania: $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$.

Rozwiążemy metodą graficzną układ równań $\left\{\begin{array}{l}2x-2y=4\\ \left|x+y\right|=2\end{array}\right.$.

Doprowadzamy pierwsze równanie do postaci kierunkowej.

$2x-2y=4$

$2y=2x-4 |:2$

$y=x-2$

Wybieramy przykładowe punkty, których współrzędne spełniają to równanie. Mogą to być punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych.

Oś $X$ – punkt $\left(\mathrm{2,} 0\right)$

Oś $Y$ – punkt $\left(0, -2\right)$

Rysujemy wykres równania $2x-2y=4$.

R95gqeZdNiclF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykresy funkcji zadanej wzorem $2x-2y=4$. Wykres tej funkcji jest ukośną prostą przechodzącą przez dwa wyróżnione punkty: $\left(0;-2\right), \left(2;0\right)$.

Zajmiemy się teraz drugim równaniem $\left|x+y\right|=2$.

Rozpatrujemy przypadki wynikające z definicji wartości bezwzględnej liczby.

• I przypadek:

  $x+y\ge 0\iff y\ge -x\Rightarrow \left|x+y\right|=x+y$

  Wtedy równanie przyjmuje postać

  $x+y=2$.

  Przekształcamy je do postaci kierunkowej i dobieramy pary liczb będące rozwiązaniem.

  $y=-x+2$

  $\left(\mathrm{0,} 2\right)$, $\left(\mathrm{2,} 0\right)$

• II przypadek:

  $x+y<0\iff y<-x\Rightarrow \left|x+y\right|=-x-y$

  Wtedy równanie przyjmuje postać

  $-x-y=2$.

  Przekształcamy je do postaci kierunkowej i dobieramy pary liczb będące rozwiązaniem.

  $y=-x-2$

  $\left(0, -2\right)$, $\left(-\mathrm{2,} 0\right)$

Rysujemy wykres równania $\left|x+y\right|=2$.

Rqv0eptspPR7w

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji - jeden pomocniczy narysowany przerywaną linią i jeden zasadniczy. Wykres pomocniczy to ukośna prosta zadana wzorem y równa się minus x. Prosta ta przebiega przez drugą i czwartą ćwiartkę oraz przez początek układu współrzędnych i na przykład punkt otwarcie nawiasu jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Wykres zasadniczy składa się z dwóch ukośnych równoległych prostych i przedstawia funkcję zadaną wzorem $\left|x+y\right|=2$. Pierwsza z prostych tego wykresu przebiega drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę oraz następujące wyróżnione punkty: $\left(-2;0\right), \left(0;-2\right)$. Poniżej prostej zapisano następującą nierówność: $y<-x$. Druga prosta składowa wykresu przebiega drugą, pierwszą i czwartą ćwiartkę oraz następujące wyróżnione punkty: $\left(0;2\right), \left(2;0\right)$. Nad prostą zapisano następującą nierówność: $y>-x$.

Umieszczamy wykresy obu równań w jednym układzie współrzędnych.

RGpORvTf8ma0S

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wykres pierwszy składa się z dwóch ukośnych równoległych prostych i przedstawia funkcję zadaną wzorem $\left|x+y\right|=2$. Pierwsza z prostych tego wykresu przebiega drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę oraz następujące punkty: $\left(-2;0\right), \left(0;-2\right)$. Druga prosta składowa wykresu przebiega drugą, pierwszą i czwartą ćwiartkę oraz następujące punkty: $\left(0;2\right), \left(2;0\right)$. Drugi wykres to ukośnie prosta zadana wzorem $2x-2y=4$. Prosta ta przebiega trzecią, czwartą i pierwszą ćwiartkę i przecina się z pierwszym wykresem funkcji w wyróżnionych punktach: $\left(0;-2\right), \left(2;0\right)$.

Wykresy przecinają się w dwóch punktach $\left(0, -2\right)$ oraz $\left(\mathrm{2,} 0\right)$.

Sprawdzamy poprawność odczytanych rozwiązań.

Dla pary $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-2\end{array}\right.$:

$L_1=2x-2y=2·0-2·\left(-2\right)=4=P_1$

$L_2=\left|x+y\right|=\left|0-2\right|=2=P_2$

Dla pary $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$:

$L_1=2x-2y=2·2-2·0=4=P_1$

$L_2=\left|x+y\right|=\left|2+0\right|=2=P_2$

A zatem układ równań $\left\{\begin{array}{l}2x-2y=4\\ \left|x+y\right|=2 \end{array}\right.$ ma dwa rozwiązania: $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-2 \end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$.

Określimy liczbę rozwiązań układu równań $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=4\\ y=m\end{array}\right.$ w zależności od parametru $m$.

Korzystając z przykładu $3$, wiemy jaką postać będzie miał wykres równania $\left|x\right|+\left|y\right|=4$.

Wyznaczymy jedynie punkty  przecięcia  wykresu  z osiami $X$ i $Y$.

Oś $X$ – punkty $\left(-\mathrm{4,} 0\right)$, $\left(\mathrm{4,} 0\right)$

Oś $Y$ – punkty $\left(0, -4\right)$, $\left(\mathrm{0,} 4\right)$

Rysujemy wykres.

R388SQ3qnenSG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $\left|x\right|+\left|y\right|=4$, czyli romb o następujących wierzchołkach: $\left(-4;0\right), \left(0;4\right), \left(0;-4\right), \left(4;0\right)$.

Rozpatrzymy teraz położenie wykresu równania $y=m$ w zależności od parametru $m$.

Wykres jest prostą równoległą do osi $X$, a parametr $m$ „przesuwa” tą prostą wzdłuż osi $Y$.

Przyjrzyjmy się następującym przypadkom:

• $m=-5$

Wtedy równanie przyjmuje postać $y=-5$.

RgFlHeKRlzxvz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Pierwszy ilustruje funkcję $\left|x\right|+\left|y\right|=4$, czyli romb o następujących wierzchołkach: $\left(-4;0\right), \left(0;4\right), \left(0;-4\right), \left(4;0\right)$. Drugi wykres to pozioma prosta zadana równaniem y równa się minus pięć.

Wykresy nie mają teraz punktów wspólnych. Widać, że analogiczna sytuacja będzie dla wszystkich $m<-4$, np.:

R17GcvN4Un4Bg

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy zasadnicze i trzy pomocnicze. Pierwszy zasadniczy wykres ilustruje funkcję $\left|x\right|+\left|y\right|=4$, czyli romb o następujących wierzchołkach: $\left(-4;0\right), \left(0;4\right), \left(0;-4\right), \left(4;0\right)$. Drugi zasadniczy wykres to pozioma prosta zadana równaniem y równa się minus 5. Trzy pomocnicze wykresy narysowano linią przerywaną. To poziome proste o następujących równaniach: y równa się minus 4 i pół, y równa się minus 5 i pół oraz y równa się minus sześć.

A także dla wszystkich $m>4$, np.:

R1SYdUKzNfXsm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy zasadnicze i trzy pomocnicze. Pierwszy zasadniczy wykres ilustruje funkcję $\left|x\right|+\left|y\right|=4$, czyli romb o następujących wierzchołkach: $\left(-4;0\right), \left(0;4\right), \left(0;-4\right), \left(4;0\right)$. Drugi zasadniczy wykres to pozioma prosta zadana równaniem y równa się minus 5. Trzy pomocnicze wykresy narysowano linią przerywaną. To poziome proste o następujących równaniach: y równa się 4 i pół, y równa się 5 i pół oraz y równa się sześć.

• $m=-4$ lub $m=4$

RC5dkQO5bWPaQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano trzy wykresy. Pierwszy wykres ilustruje funkcję $\left|x\right|+\left|y\right|=4$, czyli romb o następujących wierzchołkach: $\left(-4;0\right), \left(0;4\right), \left(0;-4\right), \left(4;0\right)$. Drugi wykres to pozioma prosta zadana równaniem y równa się minus 4, a trzeci wykres to również pozioma prosta o równaniu y równa się cztery. Na płaszczyźnie wyróżniono punkty przecięcia wykresów, to jest punkty $\left(0;-4\right)$ oraz $\left(0;4\right)$.

Wykresy równań $\left|x\right|+\left|y\right|=4$ i $y=4$ oraz $\left|x\right|+\left|y\right|=4$ i $y=-4$ mają jeden punkt wspólny.

• $m=2$

Wykresy równań $\left|x\right|+\left|y\right|=4$ i $y=2$ mają dwa punkty wspólne.

Zauważmy, że analogiczna sytuacja będzie dla $m\in \left(-\mathrm{4,} 4\right)$, np.:

RxHacwyLQaCez

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano zasadniczy wykres funkcji oraz cztery pomocnicze wykresy narysowane linią przerywaną. Wykres zasadniczy ilustruje funkcję $\left|x\right|+\left|y\right|=4$, czyli romb o następujących wierzchołkach: $\left(-4;0\right), \left(0;4\right), \left(0;-4\right), \left(4;0\right)$. Wykresy pomocnicze to poziome prosta zadane następującymi równaniami: y równa się minus 3, y równa się minus 1, y równa się 1 oraz y równa się 2 i pół. Na płaszczyźnie wyróżniono punkty przecięcia wykresów, to jest następujące punkty: z prostą y równa się minus 3 punkty wspólne to: $\left(-1;-3\right), \left(1;-3\right)$, z prostą y równa się minus 1 punkty wspólne to: $\left(-3;-1\right), \left(3;-1\right)$, z prostą y równa się 1 punkty wspólne to: $\left(-3;1\right), \left(3;1\right)$, z prostą y równa się 2 i pół punkty wspólne to: $\left(-1,5;2,5\right), \left(1,5;2,5\right)$.

Podsumowujmy nasze rozważania.

Układ równań $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=4\\ y=m \end{array}\right.$:

• nie ma rozwiązań dla $m\in \left(-\infty , -4\right)\cup \left(4, \infty \right)$;

• ma jedno rozwiązanie dla $m\in \left\{-\mathrm{4,} 4\right\}$;

• ma dwa rozwiązania dla $m\in \left(-4, 4\right)$.

para liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie