3. Wartości dodatnie, ujemne i monotoniczność funkcji kwadratowej

RzBxiHVOEg23U

Każda funkcja, w szczególności funkcja kwadratowa, ma szereg różnych własności, które możemy odczytać ze wzoru lub wykresu. Własności funkcji kwadratowej wykorzystano między innymi budując gigantyczne, paraboliczne lustra, teleskopy i anteny w cACelu zbierania fal radiowych z kosmosu. Wiązki skierowane na paraboliczną powierzchnię skupiane są w centralnym punkcie. Tym punktem może być wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej.

Twoje cele

Wyznaczysz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej.
Odczytasz przedziały monotoniczności funkcji na podstawie jej wzoru lub wykresu.
Odczytasz lub obliczysz argumenty, dla których funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie oraz wartości ujemne.
Zastosujesz poznaną wiedzę do rozwiązywania zadań.

Monotoniczność funkcji kwadratowej

Umiejętność wyznaczania współrzędnych wierzchołka paraboli jest pomocna przy określaniu monotoniczności funkcji kwadratowej. Rozwijaniem tej umiejętności zajmiemy się właśnie teraz.

Jeżeli mówimy o monotoniczności funkcjimonotoniczność funkcjimonotoniczności funkcji, to określamy przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca lub nierosnąca.

Czasami mówimy, że określamy maksymalne przedziały, w których funkcja jest monotoniczna.

Mając daną parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej możemy określić monotoniczność funkcjimonotoniczność funkcjimonotoniczność funkcji ze względu na to, jak skierowane są ramiona paraboli.

Jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ ∈ $ℝ$ oraz $a \neq 0$ , to współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$ paraboli, która jest wykresem tej funkcji, obliczamy ze wzorów:

$p = \frac{- b}{2 a}$ , $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , gdzie $∆ = b^{2} - 4 a c$ .

Do określenia maksymalnych przedziałów monotoniczności funkcji kwadratowej stosujemy następujące zależności:

dla $a > 0$ :

Ro7OLNqju3NdX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią Y i poziomą osią X. Zaznaczono parabolę z ramionami do góry z wierzchołkiem W o współrzędnych p;q

Funkcja jest:

- malejąca w przedziale $(- \infty, p⟩$ ,

- rosnąca w przedziale $⟨p, \infty)$ .

dla $a < 0$ :

Re2omjLzft9Xw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią Y i poziomą osią X. Zaznaczono parabolę z ramionami do dołu z wierzchołkiem W o współrzędnych p;q w pierwszej ćwiartce.

Funkcja jest:

- rosnąca w przedziale $(- \infty, p⟩$ ,

- malejąca w przedziale $⟨p, \infty)$ .

Wniosek:

Funkcja kwadratowafunkcja kwadratowaFunkcja kwadratowa nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest monotoniczna przedziałami.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - 1$ mamy:

$f (- 2) = 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 1 = 7$

$f (0) = 2 \cdot 0^{2} - 1 = - 1$

$f (3) = 2 \cdot 3^{2} - 1 = 17$

Zauważmy, że $f (- 2) > f (0) < f (3)$ , zatem funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie.

Przykład 1

Odczytamy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku.

RZybMSgigv7M0

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 5 do trzech oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę z ramionami skierowanymi do góry oraz wierzchołkiem w punkcie -2;-5

Rozwiązanie:

Niech $W$ będzie wierzchołkiem paraboli, przedstawionej na rysunku. Zatem $W = (- 2, - 5)$ .

Wobec tego:

maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca to $(- \infty, - 2⟩$ ,
maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca to $⟨- 2, \infty)$ .

Przykład 2

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + \frac{1}{3} x - 1$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia maksymalnych przedziałów monotoniczności funkcji $f$ , obliczymy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji. Otrzymujemy:

$p = \frac{- \frac{1}{3}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{1}{12}$ .

Ponieważ $a = - 2 < 0$ , więc ramiona paraboli są skierowane do dołu.

Zatem:

maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca to $(- \infty, \frac{1}{12}⟩$ ,
maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca to $⟨\frac{1}{12}, \infty)$ .

Jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest zapisana za pomocą wzoru w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , to przedziały monotoniczności tej funkcji możemy określić na podstawie wartości współczynników $a$ oraz $p$ .

Przykład 3

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = - {(x + 4)}^{2} - 3$ .

Rozwiązanie:

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $a = - 1$ oraz $p = - 4$ .

Ponieważ $a < 0$ , zatem:

maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca to $(- \infty, - 4⟩$ ,
maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca to $⟨- 4, \infty)$ .

Jeżeli znamy maksymalny przedział, w którym funkcja kwadratowa jest rosnąca lub malejąca, to możemy wyznaczyć wartości współczynników we wzorze tej funkcji.

Przykład 4

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + b x + 1$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ , jeżeli wiadomo, że maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca to $⟨3, \infty)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca to $⟨3, \infty)$ , zatem pierwsza współrzędna wierzchołka $p$ paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej wynosi $p = 3$ .

Jeżeli wykorzystamy wzór na $p$ , to otrzymujemy równanie na współczynnik $b$ :

$3 = \frac{- b}{2 \cdot \frac{1}{3}}$ , zatem $b = - 2$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wartości współczynników $a$ i $b$ we wzorze funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x - 1$ , jeżeli wiadomo, że maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca to $(- \infty, - 2⟩$ oraz do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(2, 2)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca to $(- \infty, - 2⟩$ , zatem $p = - 2$ , czyli $- 2 = \frac{- b}{2 a}$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(2, 2)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem: $2 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 - 1$ .

Otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} - 2 = \frac{- b}{2 a} \\ 2 = 4 a + 2 b - 1 \end{cases}$

Pierwsze równanie przekształcamy do postaci $b = 4 a$ , a po podstawieniu do drugiego równania, otrzymujemy równanie, z którego wyznaczymy wartość współczynnika $a$ :

$2 = 4 a + 8 a - 1$ , czyli $a = \frac{1}{4}$ .

Zatem $b = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ .

Monotoniczność funkcji kwadratowej możemy określać także korzystając z definicji funkcji monotonicznej.

Przykład 6

Wykażemy, że funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = \sqrt{3} x^{2} - 3$ jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0 ⟩$ .

Rozwiązanie:

Niech $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0 ⟩$ oraz $x_{1} < x_{2}$ .

Wówczas:

$f (x_{1}) = \sqrt{3} \cdot {x_{1}}^{2} - 3$

$f (x_{2}) = \sqrt{3} \cdot {x_{2}}^{2} - 3$

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = \sqrt{3} \cdot {x_{2}}^{2} - 3 - (\sqrt{3} \cdot {x_{1}}^{2} - 3) =$

$= \sqrt{3} \cdot {x_{2}}^{2} - 3 - \sqrt{3} \cdot {x_{1}}^{2} + 3 = \sqrt{3} \cdot {x_{2}}^{2} - \sqrt{3} \cdot {x_{1}}^{2} =$

$= \sqrt{3} \cdot (x_{2} - x_{1}) \cdot (x_{1} + x_{2})$

Zauważmy, że $\sqrt{3} \cdot (x_{2} - x_{1}) \cdot (x_{1} + x_{2}) < 0$ , zatem $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Stąd wobec dowolności $x_{1}$ oraz $x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0 ⟩$ .

Przykład 7

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ , gdzie $m \in ℝ$ , funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = - x^{2} + m x - 2$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, m^{2} - 3 m + 1 ⟩$ .

Rozwiązanie:

Obliczamy wartość $p$ pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ :

$p = \frac{- m}{2 \cdot (- 1)} = \frac{m}{2}$

Jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, m^{2} - 3 m + 1 ⟩$ , to do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy nierówność:

$\frac{m}{2} \geq m^{2} - 3 m + 1$

Nierówność przekształcamy do postaci:

$2 m^{2} - 7 m + 2 \leq 0$

Obliczamy $m_{1} = \frac{7 - \sqrt{33}}{4}$ oraz $m_{2} = \frac{7 + \sqrt{33}}{4}$ .

Rozwiązaniem nierównocści jest zbiór liczb $m \in ⟨ \frac{7 - \sqrt{33}}{4}, \frac{7 + \sqrt{33}}{4} ⟩$ .

Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, m^{2} - 3 m + 1 ⟩$ , gdy $m \in ⟨ \frac{7 - \sqrt{33}}{4}, \frac{7 + \sqrt{33}}{4} ⟩$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj działanie schematu interaktywnego, dotyczącego wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji kwadratowej określonej wzorem w postaci ogólnej, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

RnpVcC3wJFWpq1

Polecenie 2

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$ :

a) określonej za pomocą wzoru $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ ,

b) jeżeli jej wykres przedstawiono na poniższym rysunku.

RZnPko5sgx2CW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 2 do dziewięciu oraz osią poziomą od minus 5 do sześciu. Zaznaczono parabolę z ramionami skierowanymi w dół, wierzchołkiem w pierwszej ćwiartce w punkcie o współrzędnych 3;9.

a) Wyznaczymy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji:

$p = \frac{- 3}{2 \cdot 2} = - \frac{3}{4}$ .

Ponieważ $a = 2 > 0$ oraz $p = - \frac{3}{4}$ , zatem:

maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca to $(- \infty, - \frac{3}{4}⟩$ ,
maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca to $⟨- \frac{3}{4}, \infty)$ .

b) Maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest:

rosnąca to $(- \infty, 3⟩$ ,
malejąca to $⟨3, \infty)$ .

Polecenie 3

W poniższym schemacie przygotuj algorytm określający monotoniczność funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

RBMq5qYNR4kc4

Przygotuj w języku Python algorytm określający monotoniczność funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

R1PmC7VTQyl5W1

Linia 1. x znak równości None. Linia 2. a znak równości None. Linia 3. wynik znak równości None. Linia 4. b znak równości None. Linia 5. c znak równości None. Linia 7. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Określanie monotoniczności funkcji kwadratowej. Linia 8. na podstawie jej wzoru f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości ax kareta 2 plus bx plus c. Linia 9. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 10. def Monotoniczno podkreślnik C5 podkreślnik 9B podkreślnik C4 podkreślnik 87 podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 11. global x przecinek a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 12. a znak równości 10. Linia 13. b znak równości 1. Linia 14. c znak równości 0. Linia 15. if a znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 16. print otwórz nawias okrągły apostrof To nie jest funkcja kwadratowa kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 17. else dwukropek. Linia 18. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x2 zamknij nawias okrągły for x2 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Niech p znak równości otwórz nawias okrągły apostrof przecinek minus otwórz nawias okrągły b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 2 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły znak równości apostrof przecinek wierzcholek otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 19. if a zamknij nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 20. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x3 zamknij nawias okrągły for x3 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Ponieważ a zamknij nawias ostrokątny 0 przecinek zatem funkcja jest malejąca w przedziale otwórz nawias okrągły minus ∞ średnik apostrof przecinek wierzcholek otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof ⟩ i funkcja jest rosnąca w przedziale ⟨ apostrof przecinek wierzcholek otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof średnik ∞ zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 21. else dwukropek. Linia 22. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x4 zamknij nawias okrągły for x4 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Ponieważ a otwórz nawias ostrokątny 0 przecinek zatem funkcja jest rosnąca w przedziale otwórz nawias okrągły minus ∞ średnik apostrof przecinek wierzcholek otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof ⟩ i funkcja jest malejąca w przedziale ⟨ apostrof przecinek wierzcholek otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof średnik ∞ zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 24. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 25. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 26. def znak otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 27. global a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 28. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 29. wynik znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 30. else dwukropek. Linia 31. wynik znak równości apostrof plus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 32. return wynik. Linia 34. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 35. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 36. def minus otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 37. global a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 38. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 39. wynik znak równości apostrof apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 40. else dwukropek. Linia 41. wynik znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 42. return wynik. Linia 44. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 45. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 46. def wierzcholek otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 47. global x przecinek a przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 48. wynik znak równości str otwórz nawias okrągły minus otwórz nawias okrągły b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 2 asterysk a zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły plus apostrof apostrof. Linia 49. return wynik. Linia 52. Monotoniczno podkreślnik C5 podkreślnik 9B podkreślnik C4 podkreślnik 87 podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

x = None
a = None
wynik = None
b = None
c = None

"""Określanie monotoniczności funkcji kwadratowej
na podstawie jej wzoru f(x) = ax^2 + bx + c
"""
def Monotoniczno_C5_9B_C4_87_funkcji_kwadratowej():
  global x, a, wynik, b, c
  a = 10
  b = 1
  c = 0
  if a == 0:
    print('To nie jest funkcja kwadratowa.')
  else:
    print(''.join([str(x2) for x2 in ['Niech p = (', minus(b), ')/(2*(', a, ')) = ', wierzcholek()]]))
    if a > 0:
      print(''.join([str(x3) for x3 in ['Ponieważ a > 0, zatem funkcja jest malejąca w przedziale (-∞; ', wierzcholek(), '⟩ i funkcja jest rosnąca w przedziale ⟨', wierzcholek(), '; ∞). ']]))
    else:
      print(''.join([str(x4) for x4 in ['Ponieważ a < 0, zatem funkcja jest rosnąca w przedziale (-∞; ', wierzcholek(), '⟩ i funkcja jest malejąca w przedziale ⟨', wierzcholek(), '; ∞).']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def znak(x):
  global a, wynik, b, c
  if x < 0:
    wynik = '- ' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = '+ ' + str(x)
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def minus(x):
  global a, wynik, b, c
  if x < 0:
    wynik = '' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = '-' + str(x)
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def wierzcholek():
  global x, a, wynik, b, c
  wynik = str(minus(b) / (2 * a)) + ''
  return wynik


Monotoniczno_C5_9B_C4_87_funkcji_kwadratowej()

Dodatnie i ujemne wartości funkcji kwadratowej

Poniżej omówimy, w jaki sposób odczytuje się lub wyznacza wartości dodatnie oraz wartości ujemne funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej a także wyznaczymy argumenty, dla których te wartości są przyjmowane.

Już wiesz

Jeżeli wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a \neq 0$ , jest punkt o współrzędnych $(p, q)$ , to:

dla $a > 0$ zbiorem wartościzbiór wartości funkcjizbiorem wartości funkcji jest przedział $⟨q, \infty)$ ,
dla $a < 0$ zbiorem wartościzbiór wartości funkcjizbiorem wartości funkcji jest przedział $(- \infty, q⟩$ .

Do wyznaczenia wartości dodatnich oraz wartości ujemnych funkcji kwadratowej posłużymy się wzorem lub wykresem.

Jeżeli funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe, to możemy wyróżnić poniższe przypadki przypadki:

I. Jeżeli ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej, są skierowane do góry, $q$ jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, funkcja ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ i $x_{2}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ , to:

funkcja przyjmuje wartości ujemne należące do przedziału $⟨q, 0)$ dla $x \in (x_{1}, x_{2})$ ,
funkcja przyjmuje wartości dodatnie należące do przedziału $(0, \infty)$ dla $x \in (- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, \infty)$ .

R16vOSOrZbswH

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz pionową oś Y. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącą parabolą z ramionami skierowanymi do góry i z wierzchołkiem zawierającym się w pionowej osi Y pod osią X. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias x indeks dolny jeden koniec indeksu średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias x indeks dolny dwa koniec indeksu średnik zero koniec nawiasu.

II. Jeżeli ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej, są skierowane do dołu, $q$ jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, funkcja ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ i $x_{2}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ , to:

funkcja przyjmuje wartości dodatnie należące do przedziału $(0, q⟩$ dla $x \in (x_{1}, x_{2})$ ,
funkcja przyjmuje wartości ujemne należące do przedziału $(- \infty, 0)$ dla $x \in (- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, \infty)$ .

RJo2s5dP0deu7

III. Jeżeli ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej, są skierowane do góry, $q$ jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, funkcja ma jedno miejsce zerowe $x_{0}$ , to:

funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie należące do przedziału $(0, \infty)$ dla $x \in (- \infty, x_{0}) \cup (x_{0}, \infty)$ .

R1LFT4jOD7lfo

IV. Jeżeli ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej, są skierowane do dołu, $q$ jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, funkcja ma jedno miejsce zerowe $x_{0}$ , to:

funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne należące do przedziału $(- \infty, 0)$ dla $x \in (- \infty, x_{0}) \cup (x_{0}, \infty)$ .

R11LRmuHl1bjT

V. Jeżeli ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej, są skierowane do góry, $q$ jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, funkcja nie ma miejsc zerowych, to:

,funkcja przyjmuje wartości dodatnie należące do przedziału $⟨q, \infty)$ dla $x \in ℝ,$
funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych..

RgWMr5ZgXl49A

VI. Jeżeli ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej, są skierowane do dołu, $q$ jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, funkcja nie ma miejsc zerowych, to:

wartości ujemne funkcji znajdują się w przedziale $(- \infty, q⟩$ dla $x \in ℝ,$
funkcja nie przyjmuje wartości dodatnich.

R1OghYbfczMPh

Przykład 8

Określimy, dla jakich argumentów funkcja $f$ , której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.

RZPlPBghG9iBy

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do siedmiu i pionowa oś Y od minus sześciu do trzech. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącą parabolą z ramionami skierowanymi w dół i z wierzchołkiem w punkcie nawias minus jeden przecinek pięć średnik jeden koniec nawiasu. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias minus trzy średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ przyjmuje wartości:

dodatnie dla argumentów należących do przedziału $(- 3, 0)$ ,
ujemne dla argumentów należących do przedziału $(- \infty, - 3) \cup (0, \infty)$ .

Rij4JlhbYemQi

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do siedmiu i pionowa oś Y od minus trzech do sześciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącą parabolą z ramionami skierowanymi do góry i z wierzchołkiem w punkcie nawias dwa średnik minus jeden przecinek trzy koniec nawiasu. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias cztery średnik zero koniec nawiasu.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ przyjmuje wartości:

dodatnie dla argumentów należących do przedziału $(- \infty, 0) \cup (4, \infty)$ ,
ujemne dla argumentów należących do przedziału $(0, 4)$ .

Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona za pomocą pewnego wzoru, wówczas możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe (o ile istnieją) i określić argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz ujemne.

Przykład 9

Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = - x^{2} + 2 x$ przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich wartości ujemne.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci:

$f (x) = - x (x - 2)$ .

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $0$ i $2$ .

Ponieważ $a = - 1 < 0$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Wobec tego funkcja $f$ przyjmuje wartości:

ujemne dla $x \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ ,
dodatnie dla $x \in (0, 2)$ .

Przykład 10

Na podstawie wykresu odczytamy wartości ujemne oraz dodatnie funkcji kwadratowej $f$ oraz określimy argumenty, dla których te wartości są przyjmowane.

R1AC40Ax4HU1e

Rozwiązanie:

Z wykresu odczytujemy, że:

funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne należace do przedziału $⟨- 2, 0)$ dla argumentów $x \in (1, 3)$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie należące do przedziału $(0, \infty)$ dla argumentów $x \in (- \infty, 1) \cup (3, \infty)$ .

Umiejętność odczytywania argumentów, dla których funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne lub dodatnie, pozwala na rozwiązywanie nierówności kwadratowych typu $f (x) > 0$ lub $f (x) < 0$ .

Przykład 11

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ . Wyznaczymy rozwiązania nierówności $f (x) > 0$ oraz $f (x) < 0$ .

a) $f (x) = - 3 x^{2}$

b) $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Rozwiązanie:

a) Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $0$ a ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Zatem:

$f (x) > 0$ dla $x \in \emptyset$ ,
$f (x) < 0$ dla $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .

b) Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $2$ i $3$ a ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do góry.

Zatem:

$f (x) < 0$ dla $x \in (2, 3)$ ,
$f (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty)$ .

Polecenie 4

Przeanalizuj działanie schematu interaktywnego, a następnie wykonaj polecenie.

RykyW7WwO7jwe1

Polecenie 5

Określ, dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich wartości ujemne, jeżeli jest określona wzorem:

a) $f (x) = - 2 (x - 4) (x + 3)$ ,

b) $f (x) = 3 (x + 1) (x - 5)$ .

a) Ponieważ $a = - 2 < 0$ i $x_{1} = - 3$ oraz $x_{2} = 4$ , zatem:

funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- 3, 4)$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (- \infty, - 3) \cup (4, \infty)$ .

b) Ponieważ $a = 3 > 0$ i $x_{1} = - 1$ oraz $x_{2} = 5$ , zatem:

funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (- 1, 5)$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (5, \infty)$ .

Polecenie 6

W poniższym schemacie przygotuj algorytm wyznaczający przedziały, dla jakich funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

RUiyD0O6dhZ1J

Przygotuj w języku PHP algorytm wyznaczający przedziały, dla jakich funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

R1Gxm6Q2L7VXq

Linia 1. $a średnik. Linia 2. $x1 średnik. Linia 3. $x2 średnik. Linia 5. prawy ukośnik prawy ukośnik Określanie wartości dodatnich i ujemnych funkcji. Linia 6. prawy ukośnik prawy ukośnik kwadratowej postaci f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości a otwórz nawias okrągły x minus x podkreślnik 10 zamknij nawias okrągły otwórz nawias okrągły x minus x podkreślnik 2 zamknij nawias okrągły przecinek gdzie x podkreślnik 1. Linia 7. prawy ukośnik prawy ukośnik i x podkreślnik 2 są różnymi miejscami zerowymi tej funkcji kropka. Linia 8. function Warto podkreślnik C5 podkreślnik 9Bci podkreślnik dodatnie podkreślnik i podkreślnik C2 podkreślnik A0ujemne podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 9. global $a przecinek $x1 przecinek $x2 średnik. Linia 10. $a znak równości 10 średnik. Linia 11. $x1 znak równości 1 średnik. Linia 12. $x2 znak równości 0 średnik. Linia 13. if otwórz nawias okrągły $a znak równości znak równości 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 14. print otwórz nawias okrągły apostrof To nie jest funkcja kwadratowa kropka apostrof zamknij nawias okrągły średnik. Linia 15. zamknij nawias klamrowy else if otwórz nawias okrągły $a zamknij nawias ostrokątny 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 16. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Dla a zamknij nawias ostrokątny 0 dwukropek funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ∈ otwórz nawias okrągły apostrof przecinek $x1 otwórz nawias ostrokątny $x2 znak zapytania $x1 dwukropek $x2 przecinek apostrof średnik apostrof przecinek $x1 otwórz nawias ostrokątny $x2 znak zapytania $x2 dwukropek $x1 przecinek apostrof zamknij nawias okrągły przecinek funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x ∈ otwórz nawias okrągły minus ∞ średnik apostrof przecinek $x1 otwórz nawias ostrokątny $x2 znak zapytania $x1 dwukropek $x2 przecinek apostrof zamknij nawias okrągły ∪ otwórz nawias okrągły apostrof przecinek $x1 otwórz nawias ostrokątny $x2 znak zapytania $x2 dwukropek $x1 przecinek apostrof średnik ∞ zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 17. zamknij nawias klamrowy else otwórz nawias klamrowy. Linia 18. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Dla a otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x ∈ otwórz nawias okrągły apostrof przecinek $x1 otwórz nawias ostrokątny $x2 znak zapytania $x1 dwukropek $x2 przecinek apostrof średnik apostrof przecinek $x1 otwórz nawias ostrokątny $x2 znak zapytania $x2 dwukropek $x1 przecinek apostrof zamknij nawias okrągły przecinek funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ∈ otwórz nawias okrągły minus ∞ średnik apostrof przecinek $x1 otwórz nawias ostrokątny $x2 znak zapytania $x1 dwukropek $x2 przecinek apostrof zamknij nawias okrągły ∪ otwórz nawias okrągły apostrof przecinek $x1 otwórz nawias ostrokątny $x2 znak zapytania $x2 dwukropek $x1 przecinek apostrof średnik ∞ zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 19. zamknij nawias klamrowy. Linia 20. zamknij nawias klamrowy. Linia 23. Warto podkreślnik C5 podkreślnik 9Bci podkreślnik dodatnie podkreślnik i podkreślnik C2 podkreślnik A0ujemne podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik.

$a;
$x1;
$x2;

// Określanie wartości dodatnich i ujemnych funkcji
// kwadratowej postaci f(x)=a(x-x_10)(x-x_2), gdzie x_1
// i x_2 są różnymi miejscami zerowymi tej funkcji.
function Warto_C5_9Bci_dodatnie_i_C2_A0ujemne_funkcji_kwadratowej() {
  global $a, $x1, $x2;
  $a = 10;
  $x1 = 1;
  $x2 = 0;
  if ($a == 0) {
    print('To nie jest funkcja kwadratowa.');
  } else if ($a > 0) {
    print(implode('', array('Dla a>0: funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ∈ (',$x1 < $x2 ? $x1 : $x2,';',$x1 < $x2 ? $x2 : $x1,'), funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x ∈ (-∞; ',$x1 < $x2 ? $x1 : $x2,') ∪ (',$x1 < $x2 ? $x2 : $x1,'; ∞).')));
  } else {
    print(implode('', array('Dla a<0: funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x ∈ (',$x1 < $x2 ? $x1 : $x2,';',$x1 < $x2 ? $x2 : $x1,'), funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ∈ (-∞; ',$x1 < $x2 ? $x1 : $x2,') ∪ (',$x1 < $x2 ? $x2 : $x1,'; ∞).')));
  }
}


Warto_C5_9Bci_dodatnie_i_C2_A0ujemne_funkcji_kwadratowej();

Ćwiczenie 1

RGF5aGrwN2uyQ

Ćwiczenie 2

R1R71ugUV3cmT

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej. Wybierz zdania, które są prawdziwe.

R1eINIYX2Xbuc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionowa do minus 3 do trzech oraz osią poziomą od minus 5 do sześciu. Zaznaczono na nim parabolę z ramionami skierowanymi w dół oraz wierzchołkiem w pierwszej ćwiartce w punkcie o współrzędnych 1;2.

RQo23gorfatXb

Ćwiczenie 4

R1S5vRFZ5WfrK

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem, przenosząc je w odpowiednie miejsca. Wzory funkcji, które są malejące w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, trzy, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, cztery, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa Wzory funkcji, które są malejące w przedziale nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, trzy, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, cztery, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa

Ćwiczenie 5

R2us2I7yfky76

Ćwiczenie 6

R7S2O8Mn65oDL

Ćwiczenie 7

Wiadomo, że funkcja kwadratowa $f$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów z przedziału $(- 3, 5)$ . Określ przedziały monotoniczności funkcji $f$ .

Jeżeli funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne dla argumentów z przedziału $(- 3, 5)$ , to liczby $(- 3)$ i 5 są miejscami zerowymi tej funkcji.

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wynosi $p = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$ .

Zatem funkcja $f$ :

- jest malejąca w przedziale $(- \infty, 1⟩$

- rosnąca w przedziale $⟨1, \infty)$ .

Ćwiczenie 8

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + 2$ . Wyznacz wartość współczynnika $b$ , jeżeli wiadomo, że maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca to $(- \infty, 3⟩$ .

Ponieważ maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca to $(- \infty, 3⟩$ , zatem pierwsza współrzędna wierzchołka $p$ paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wynosi $p = 3$ .

Do wyznaczenia wartości współczynnika $b$ wykorzystamy wzór $p = \frac{- b}{2 a}$ .

Rozwiązujemy równanie:

$3 = \frac{- b}{2 \cdot \frac{1}{2}}$ , zatem $b = - 3$ .

R1VJvlRvxx09i1

Ćwiczenie 9

R1E2bFpMIcn3N1

Ćwiczenie 10

RIKh11hRkxF6u1

Ćwiczenie 11

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Wzory funkcji, które w przedziale nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu przyjmują tylko wartości dodatnie: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, cztery, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, dwa Wzory funkcji, które w przedziale nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu przyjmują tylko wartości dodatnie: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, dwa, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, cztery, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, dwa

RBmJtu5UDHhhM2

Ćwiczenie 12

RR7Bh4pcAcFEd2

Ćwiczenie 13

RIVIwcJPB1amz2

Ćwiczenie 14

R1WV9pEU8ilaW3

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = x^{2} - 4 x$ . Wyznacz:

a) wartości dodatnie oraz wartości ujemne funkcji $f$ ,

b) zbiory argumentów, dla których przyjmowane są wartości dodatnie/ ujemne .

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ można zapisać w postaci $f (x) = x (x - 4)$ .

Zatem miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $0$ i $4$ .

Współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ , wynoszą odpowiednio:

$p = \frac{0 + 4}{2} = 2$

$q = f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 = - 4$ .

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- 4, \infty)$ .

Zatem:

a) wartościami ujemnymi funkcji $f$ są liczby należące do przedziału $⟨- 4, 0)$ , a wartościami dodatnimi funkcji $f$ są liczby należące do przedziału $(0, \infty)$ ,

b) funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (0, 4)$ , funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 0) \cup (4, \infty)$ .

Słownik

monotoniczność funkcji

własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze wzrostem argumentów

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ ∈ $ℝ$ oraz $a \neq 0$

zbiór wartości funkcji

zbiór wszystkich tych liczb, które można otrzymać w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów

2. Oś symetrii wykresu, zbiór wartości i monotoniczność funkcji kwadratowej

4. Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej