4. Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej

R16tyStnalxPi

Znajdowanie ekstremów funkcji już od dziesięcioleci jest istotną częścią pracy naukowców z różnych dziedzin, m.in. z ekonomii, fizyki czy statystyki.

Teoria ekstremów okazuje się być bardzo przydatnym narzędziem w technice i statystyce, a także w odniesieniu do zagadnień optymalizacyjnych. Większość problemów, z którymi borykają się współcześni badacze prędzej czy później sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji istotnej dla zadania. Maksymalizowanie pola przy zadanym obwodzie danej figury płaskiej (np. prostokąta) jest przykładem problemu, który rozwiązujemy przy wykorzystaniu ekstremum funkcji kwadratowej.

Twoje cele

Wyznaczysz ekstremum funkcji kwadratowej.
Wyznaczysz największą/najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
Zastosujesz poznane wzory do rozwiązywania zadań.
Wyznaczysz zbiór wartości funkcji kwadratowej, określonej w przedziale domkniętym.

Ekstrema, czyli maksima i minima, to pewne wartości przyjmowane przez rozpatrywaną funkcję. Intuicyjnie łatwo zrozumieć, czym jest minimalna i maksymalna wartość danej funkcji, jednak sformalizowanie tego pojęcia nie jest aż tak proste.

Funkcja kwadratowa posiada dokładnie jedno ekstremum w punkcie, który jest wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej. Oznacza to, że nie musimy szukać ekstremum lokalnego, możemy od razu przejść do wyznaczania ekstremum globalnego funkcji.

Maksimum, minimum globalne

Definicja: Maksimum, minimum globalne

Niech dana będzie funkcja rzeczywista $f : X ⟶ ℝ$ . Powiemy, że funkcja $f$ osiąga maksimum globalne w punkcie $x_{0} \in X$ , jeżeli dla dowolnego punktu $x \in X$ spełniona jest nierówność

f (x_{0}) ⩾ f (x)

Analogicznie, powiemy, że funkcja $f$ osiąga minimum globalne w punkcie $x_{0} \in X$ , jeżeli dla dowolnego punktu $x \in X$ zachodzi nierówność

f (x_{0}) ⩽ f (x)

Liczbę $f (x_{0})$ nazywamy wówczas (odpowiednio) największą lub najmniejszą wartością funkcji $f$ w zbiorze $X$ .

Ekstrema pojawiają się w wielu problemach współczesnej nauki. W niektórych przypadkach wyznaczenie minimalnej i maksymalnej wartości dla danej funkcji jest zadaniem trudnym. W przypadku funkcji kwadratowej jest jednak inaczej, co wynika z kształtu jej wykresu tj. paraboli. Przypatrzmy się poniższym wykresom.

Ra3Ij24tfCuYw

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do dwóch, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku w punkcie -2;-3 i ramionach skierowanych w górę.

RjDNJz7f8ar68

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do trzech, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku w punkcie 1;4 i ramionach skierowanych do dołu.

Każda parabola (opisywana równaniem $y = a x^{2} + b x + c$ ) ma dokładnie jeden wierzchołek. Wierzchołek ten odpowiada największej lub najmniejszej wartości przyjmowanej przez zadaną funkcję kwadratową – charakter tego ekstremum zależy od znaku współczynnika $a$ przy wyrażeniu $x^{2}$ .

Jak obserwujemy na wykresach, skierowane ku górze ramiona paraboli (czyli dodatni współczynnik $a$ ) przekładają się na istnienie minimum globalnego funkcji kwadratowej. W takiej sytuacji funkcja nie jest ograniczona z góry, więc nie możemy mówić o jej maksimum globalnym.

Z kolei w przypadku, gdy $a$ ma wartość mniejszą od zera, minimum globalne nie istnieje, ale za to parabola posiada maksimum globalne. Możemy więc sformułować następującą obserwację.

Ważne!

Zwróćmy teraz uwagę na ważną obserwację.
Funkcja kwadratowa $f : ℝ ⟶ ℝ$ zadana wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ma dokładnie jedno ekstremum globalne. Jest to minimum, w sytuacji gdy $a > 0$ , zaś maksimum, gdy $a < 0$ .
Współrzędne takiego ekstremum można wyznaczyć z postaci kanonicznej funkcji kwadratowejpostać kanoniczna funkcji kwadratowejkanonicznej funkcji kwadratowej, czyli dla $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ wierzchołek paraboli opisywanej przez wzór funkcji $f$ znajduje się w punkcie o współrzędnych $(p, q)$ . Oznacza to, że funkcja kwadratowa ma ekstremum globalne w punkcie $p$ o wartości $q$ .

Przykład 1

Wyznaczymy ekstremum globalne funkcji $f (x) = 2 \cdot {(x - 1)}^{2} - 3$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = 2 > 0$ , to funkcja ma minimum globalne w punkcie $p = 1$ , wynoszące $q = f (p) = - 3$ .

R1Fjnvkz7UJA4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do trzech i pionową osią y od minus trzech do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias p średnik q zamknięcie nawiasu, czyli w punkcie nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

Jeżeli wzór funkcji kwadratowej jest zapisany w postaci iloczynowejpostać iloczynowa funkcji kwadratowejpostaci iloczynowej, to argument, w którym znajduje się minimum (lub maksimum) globalne, jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych tej funkcji.

Ekstremum globalne

Twierdzenie: Ekstremum globalne

Niech dana będzie funkcja kwadratowa $f : ℝ ⟶ ℝ$ określona wzorem w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Wówczas funkcja $f$ posiada ekstremum globalne w punkcie

p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}

Przykład 2

Wyznaczymy ekstremum globalne funkcji kwadratowej: $f (x) = - 2 \cdot (x - 2) (x - 4)$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = - 2 < 0$ , to funkcja ma maksimum globalne w punkcie $p = \frac{4 + 2}{2} = 3$ . Największa wartość przyjmowana przez tę funkcję wynosi więc $q = f (3) = - 2 \cdot (3 - 2) (3 - 4) = - 2 \cdot 1 \cdot (- 1) = 2$ .

R1DNMGdCXHHni

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias p średnik q zamknięcie nawiasu, czyli w punkcie nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu.

W przypadku gdy funkcja kwadratowa jest podana w postaci ogólnej, zagadnienie znajdowania ekstremum funkcji kwadratowej sprowadza się do wyznaczenia wierzchołka opisywanej przez nią paraboli.

Wierzchołek paraboli

Twierdzenie: Wierzchołek paraboli

Niech dana będzie funkcja kwadratowa $f : ℝ ⟶ ℝ$ w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Wówczas wierzchołek paraboli opisanej przez funkcję $f$ znajduje się w punkcie $(p, q)$ , gdzie $p$ i $q$ opisane są wzorami

p = \frac{- b}{2 a}

q = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a}

Podsumujmy. Jeśli $a > 0$ , to funkcja $y = a x^{2} + b x + c$ przyjmuje wartość najmniejszą $y_{\min} = - \frac{Δ}{4 a}$ dla $x = - \frac{b}{2 a}$ .

R1YwNVBa6t5Tu

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X, oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której wierzchołek znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, a jej ramiona skierowane są w górę. Z wierzchołka poprowadzono linią przerywaną prostą prostopadłą do osi X w punkcie xw, oraz prostą prostopadłą do osi Y w punkcie ymin.

Jeśli $a < 0$ , to funkcja $y = a x^{2} + b x + c$ przyjmuje wartość największą $y_{\max} = - \frac{Δ}{4 a}$ dla $x = - \frac{b}{2 a}$ .

R1w9G5TjWonnd

Przykład 3

Wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji kwadatowej $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ , gdy $x \in ℝ$ .

Rozwiązanie

$a > 0$ , więc funkcja $f (x)$ przyjmuje wartość najmniejszą $y_{\min} = - \frac{Δ}{4 a}$ dla $x_{w} = - \frac{b}{2 a}$ .

Sprowadźmy trójmian do postaci kanonicznej:

$2 x^{2} + 4 x - 1 = 2 (x^{2} + 2 x - \frac{1}{2}) = 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 1 - 1 - \frac{1}{2}) =$

$= 2 ((x^{2} + 2 \cdot x + 1) - 1 - \frac{1}{2}) = 2 ({(x + 1)}^{2} - \frac{3}{2}) = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ .

Wykorzystaliśmy wzór skróconego mnożenia:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ ,

więc $x_{w} = - 1$ i $y_{m i n} = - 3$ .

Odpowiedź

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $(- 3)$ dla $x = - 1$ .

Przykład 4

Wyznaczymy największą wartość funkcji $f (x) = - x^{2} + x + 20$ .

Rozwiązanie

$a < 0$ , więc funkcja $f (x)$ przyjmuje wartość największą $y_{\max} = - \frac{Δ}{4 a}$ dla $x_{w} = - \frac{b}{2 a}$ .

Mamy zatem

$x_{w} = - \frac{1}{2 \cdot (- 1)} = \frac{1}{2}$ i $a < 0$ , to $y_{\max} = - \frac{Δ}{4 a}$ .

$Δ = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 (- 1) (20) = 1 + 80 = 81$ , to $y_{m a x} = - \frac{Δ}{4 a} = \frac{- 81}{4 (- 1)} = \frac{81}{4}$ .

Odpowiedź

Funkcja osiąga wartość największą $\frac{81}{4}$ dla $x = \frac{1}{2}$ .

Przykład 5

Wyznaczymy ekstremum globalne funkcji $f (x) = x^{2} + 4 x - 2$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = 1 > 0$ , to funkcja ma minimum lokalne w punkcie $p = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$ .

Najmniejszą wartość osiąganą przez tę funkcję możemy obliczyć następująco:

$q = f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 2 = 4 - 8 - 2 = - 6$

lub z podanego wyżej wzoru

$q = \frac{- 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}{4 \cdot 1} = \frac{- 16 - 8}{4} = \frac{- 24}{4} = - 6$ .

R104OLUEYoqx0

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do dwóch i pionową osią y od minus sześciu do dwóch. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias p średnik q zamknięcie nawiasu, czyli w punkcie nawias minus dwa średnik minus sześć zamknięcie nawiasu.

Przykład 6

Wyznaczymy dla jakiej wartości parametru $m \in ℝ$ funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = m x^{2} - (m + 2) x + 5$ osiąga ekstremum dla $x = 1$ . Czy jest to maksimum czy minimum?

Rozwiązanie

Zauważmy, że funkcja $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $x = 1$ oznacza to, że

$1 = \frac{m + 2}{2 m}$

$2 m = m + 2$

$m = 2$ .

Wzór szukanej funkcji, to $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ . Ponieważ $a = 2 > 0$ , to funkcja w punkcie $x = 1$ osiąga minimum lokalne.

Najmniejszą wartość osiąganą przez tą funkcję możemy obliczyć następująco:

$f (1) = 2 - 4 + 5 = 3$ .

Przykład 7

Wyznaczymy współczynniki $a$ , $b$ , $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $y = a x^{2} + b x + c$ , jeśli wiadomo, że dla $x = 1$ funkcja przyjmuje wartość największą równą $2$ , zaś dla $x = 2$ przyjmuje wartość $1$ .

Rozwiązanie

Funkcja przyjmuje wartość największą równą $2$ dla argumentu równego $1$ .

Współrzędne wierzchołka paraboli: $x_{w} = 1$ i $y_{max} = 2$ .

Możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$f (x) = a {(x - 1)}^{2} + 2$ ,

ponieważ $f (2) = 1 \to 1 = a {(2 - 1)}^{2} + 2 \to 1 = a + 2 \to a = - 1$ .

Wyznaczymy współczynniki $b$ i $c$ , zapisując wzór funkcji w postaci ogólnej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

$f (x) = - {(x - 1)}^{2} + 2 = - (x^{2} - 2 x + 1) + 2 =$

$= - x^{2} + 2 x - 1 + 2 = - x^{2} + 2 x + 1$

Porównując zapisy $f (x) = a x^{2} + b x + c$ oraz $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ widzimy, że $b = 2$ i $c = 1$ .

Odpowiedź

$a = - 1$ , $b = 2$ , $c = 1$ .

Do czego można wykorzystać umiejętność wyznaczania ekstremów funkcji kwadratowej?

Wyjaśniamy to na praktycznym przykładzie.

Przykład 8

Wyznaczymy maksymalne pole prostokąta, którego obwód wynosi $48 cm$ . Podamy też długości boków, przy których osiągane jest to maksymalne pole.

Rozwiązanie

Przypomnijmy wzory na pole i obwód prostokąta o bokach, których długości oznaczymy przez $x$ i $y$ .

$P = x \cdot y$

$L = 2 x + 2 y$

Podstawiamy znaną nam wartość obwodu do wzoru.

$48 = 2 x + 2 y$

Dzielimy obie strony równości przez $2$ .

$24 = x + y$

Przekształcamy równość, wyznaczając z niej wartość $y$ .

$y = 24 - x$ , $x \in (0, 24)$

Podstawiamy tak przedstawioną długość boku $y$ do wzoru na pole prostokąta.

$P = x \cdot (24 - x)$ , $x \in (0, 24)$

Wartość pola rozważanego prostokąta, w zależności od długości boku $x$ , jest wyrażona przez następującą funkcję kwadratową:

$P = - x^{2} + 24 x$ , $x \in (0, 24)$

Ponieważ $a = - 1 < 0$ , to funkcja w wierzchołku osiąga największą wartość.

Wypiszemy współczynniki powyższej funkcji kwadratowej.

$a = - 1$ , $b = 24$ , $c = 0$

Maksymalną wartość pola prostokąta wyznaczamy, korzystając ze wzoru na współrzędną $q$ wierzchołka paraboli.

$q = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- 24^{2} + 4 \cdot (- 1) \cdot 0}{4 \cdot (- 1)} = \frac{- 576}{- 4} = 144$

Uzyskany wynik to $144 {cm}^{2}$ . Jest to największe pole, jakie może mieć prostokąt o obwodzie $48 cm$ .

Obliczymy teraz długości boków prostokąta o maksymalnym polu. W tym celu wykorzystujemy wzór na współrzędną $p$ punktu opisującego wierzchołek paraboli.

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 24}{2 \cdot (- 1)} = 12$

Zatem $x = 12 cm$ i $x \in (0, 24)$ jest długością boku, dla której obliczone wcześniej maksymalne pole jest osiągane. Długość boku $y$ wyliczamy z zależności:

$y = 24 - x$

co daje:

$y = 12$

Wiedząc więc, że $x = y = 12 cm$ możemy stwierdzić, że maksymalne pole powierzchni dla prostokąta o obwodzie $48 cm$ wynosi $144 {cm}^{2}$ i jest osiągane przez kwadrat o boku $12 cm$ .

Przykład 9

Na bokach prostokąta o obwodzie $20 cm$ oparto cztery trójkąty równoboczne. Wyznaczymy jakie powinny być długości boków trójkąta, aby pole całej figury złożonej z prostokąta i trójkątów było najmniejsze.

Rozwiązanie

Korzystając z poprzedniego przykładu wiemy, że wzory na pole i obwód prostokąta o bokach, których długości oznaczymy przez $x$ i $y$ , to

$P = x \cdot y$ ,

$L = 2 x + 2 y$ .

Podstawiamy znaną nam wartość obwodu do wzoru.

$20 = 2 x + 2 y$

Dzielimy obie strony równości przez $2$ .

$10 = x + y$

Przekształcamy równość, wyznaczając z niej wartość $x$ .

$x = 10 - y$ , $y \in (0, 10)$ .

Podstawiamy tak przedstawioną długość boku $x$ do wzoru na pole trójkąta równobocznego.

Oznaczmy:

$P_{1}$ – pole trójkąta o boku $x$ ,

$P_{2}$ – pole trójkąta o boku $y$ .

$P_{1} = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{(y - 10)}^{2} \sqrt{3}}{4}$ ,

$P_{2} = \frac{y^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Zatem pole całej figury będzie równe:

$P_{c} = (10 - y) y + 2 \cdot \frac{y^{2} \sqrt{3}}{4} + 2 \cdot \frac{{(y - 10)}^{2} \sqrt{3}}{4}$

$P_{c} = 10 y - y^{2} + \frac{1}{2} (y^{2} \sqrt{3} + {(y - 10)}^{2} \sqrt{3})$

$P_{c} = (\sqrt{3} - 1) y^{2} + (10 - 10 \sqrt{3}) y + 50 \sqrt{3}$ , $y \in (0, 10)$ .

Ponieważ $a = \sqrt{3} - 1 > 0$ , to funkcja w wierzchołku osiąga najmniejszą wartość.

Obliczymy długości boków prostokąta, tak aby otrzymana figura miała najmniejsze pole. W tym celu wykorzystujemy wzór na współrzędną $p$ punktu opisującego wierzchołek paraboli.

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (10 - 10 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{3} - 1)} = \frac{5 \sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{10}{2} = 5$

Zatem $y = 5 cm$ i $y \in (0, 10)$ jest długością boku, dla którego obliczone wcześniej minimalne pole jest osiągane. Długość boku $x$ wyliczamy z zależności:

$x = 10 - y$

co daje:

$x = 5$ .

Widzimy, że boki prostokąta, dla których pole całej figury złożonej z prostokąta i trójkątów było najmniejsze, mają długości: $x = y = 5 cm$ .

Polecenie 1

Zmieniaj wartości współczynników funkcji kwadratowej opisanej równaniem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Obserwuj, które z parametrów wpływają na położenie ekstremum, a które jedynie modyfikują przyjmowaną w tym ekstremum wartość funkcji $f$ .

R1apRJC2ImBmV

Polecenie 2

R1HQka01X7ZWi

Polecenie 3

Dla podanych funkcji kwadratowych określ, czy posiadają one minimum czy maksimum globalne. Przeciągnij poprawne wartości w odpowiednie miejsca.

R1axnsNQT7IWd

Najmniejszej/największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Wyznaczanie najmniejszej/największej wartości funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej w przedziale domkniętym możemy opisać za pomocą algorytmu.

Dane są liczby $a$ i $b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ oraz $a < b$ . Do wyznaczenia wartości najmniejszej/największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym $⟨ a, b ⟩$ zastosujemy poniższą procedurę:

1. Obliczamy wartości funkcji kwadratowej na końcach podanego przedziału $⟨ a, b ⟩$ oraz wartość pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

2. Jeżeli:

$p \in ⟨ a, b ⟩$ , to obliczamy $q = f (p)$ i wybieramy wartość najmniejszą oraz wartość największą z liczb: $f (a), f (b), f (p)$ ,
$p \notin ⟨ a, b ⟩$ , to wybieramy wartość najmniejszą i wartość największą z liczb: $f (a), f (b)$ .

Na istnienie wartości najmniejszej lub największej ma także wpływ fakt, czy ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej są skierowane do góry, czy do dołu.

Ważne!

Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ , to:

dla $a > 0$ ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do góry,
dla $a < 0$ ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, skierowane są do dołu.

Przykład 10

Wyznaczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $a > 0$ , wykresem funkcji $f$ jest parabola o ramionach skierowanych w górę, a funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli. Funkcja $f$ nie przyjmuje tym samym wartości największej.

Pierwszą współrzędną wierzchołka $W = (p, q)$ tej paraboli wyznaczymy korzystając ze wzoru:

$p = - \frac{b}{2 a}$ , zatem $p = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ .

Najmniejszą wartość funkcji $f$ możemy obliczyć ze wzoru na $q = - \frac{∆}{4 a}$ lub przez obliczenie wartości funkcji $f$ dla argumentu $p$ .

Wybierając drugi sposób otrzymujemy:

$f (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = - 4$ .

Zatem wartością najmniejszą funkcji $f$ jest liczba $- 4$ .

Przykład 11

Wyznaczymy wartość najmniejszą i wartość największą w każdym z przedziałów: $⟨- 2, 0⟩$ , $⟨- 1, 2⟩$ , $⟨2, 4⟩$ funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Rozwiązanie:

Zanim wyznaczymy wartość najmniejszą i wartość największą funkcji $f$ , naszkicujemy wykres tej funkcji.

Do naszkicowania wykresu funkcji $f$ , poza współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji, wyznaczymy miejsca zerowe funkcji.

W tym celu obliczamy najpierw wartość wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego:

$∆ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16$ .

Wykorzystując wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$ , otrzymujemy:

$x_{1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1$ ,

$x_{1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ .

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $(- 1)$ oraz $3$ .

Wykres funkcji $f$ przedstawia się następująco:

R1eylxsD07Dqr

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych 1;-4, a ramiona skierowane są w górę. Wykres funkcji przecina oś X w punkcie x, równa się, minus jeden, oraz x, równa się, trzy. Po lewo napisano wzór funkcji fx=x2-2x-3.

Wyznaczamy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji $f$ w przedziałach:

$⟨- 2, 0⟩$

Ponieważ $p = 1 \notin ⟨ - 2, 0 ⟩$ , zatem wystarczy obliczyć wartości funkcji $f$ na końcach tego przedziału.

Wobec tego: $f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - 3 = 5$ , $f (0) = 0^{2} - 2 \cdot 0 - 3 = - 3$ .

Ponieważ $- 3 < 5$ , zatem wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $⟨- 2, 0⟩$ wynosi $(- 3)$ , a wartość największa $f$ wynosi $5$ .

$⟨- 1, 2⟩$

Ponieważ $p = 1 \in ⟨- 1, 2⟩$ , zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x = 1$ , a wartość największą w jednym z końców podanego przedziału.

Wobec tego: $f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 3 = 0$ , $f (1) = - 4$ , $f (2) = 2^{2} - 2 \cdot 2 - 3 = - 3$ .

Ponieważ $- 3 < 0$ , to wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $⟨- 1, 2⟩$ wynosi $(- 4)$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $0$ .

$⟨2, 4⟩$

Ponieważ $p = 1 \notin ⟨2, 4⟩$ , zatem wystarczy obliczyć wartości funkcji $f$ na końcach tego przedziału.

Wobec tego: $f (2) = 2^{2} - 2 \cdot 2 - 3 = - 3$ , $f (4) = 4^{2} - 2 \cdot 4 - 3 = 5$ .

Ponieważ $- 3 < 5$ , to wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $⟨2, 4⟩$ wynosi $(- 3)$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $5$ .

Analogicznie wyznacza się wartość najmniejszą oraz największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, gdy ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Przykład 12

Wyznaczymy wartość najmniejszą i wartość największą w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + x + 6$ . .

Rozwiązanie:

Ponieważ $a = - 2 < 0$ , zatem funkcja kwadratowa $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

Sprawdźmy, czy wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka $p$ paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ należy do przedziału $⟨- 2, 1⟩$ .

Obliczamy $p = \frac{- 1}{2 \cdot (- 2)} = \frac{1}{4}$ .

Ponieważ $p = \frac{1}{4} \in ⟨- 2, 1⟩$ , zatem funkcja kwadratowa $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku, a wartość najmniejszą w jednym z końców przedziału $⟨- 2, 1⟩$ .

Zatem:

$f (- 2) = - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 6 = - 4$ ,

$f (\frac{1}{4}) = - 2 \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{4} + 6 = 6 \frac{1}{8}$ ,

$f (1) = - 2 \cdot 1^{2} + 1 + 6 = 5$ .

Wobec tego, że $- 4 < 6 \frac{1}{8}$ , to wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ wynosi $(- 4)$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $6 \frac{1}{8}$ .

Metodę wyznaczania wartości najmniejszej i wartości największej w podanym przedziale domkniętym możemy zastosować do znajdowania zbioru wartości funkcji kwadratowej, która jest określona w podanym przedziale.

Przykład 13

Funkcja $f$ określona w przedziale $⟨- 2, 2⟩$ przyporządkowuje każdej liczbie z tego przedziału jej kwadrat pomniejszony o połowę tej liczby. Wyznaczymy zbiór wartości tej funkcji.

Rozwiązanie:

Funkcję z zadania zapisujemy za pomocą wzoru $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} x$ , gdzie $x \in <- 2, 2>$ .

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$ sprowadza się do znalezienia wartości najmniejszej i największej tej funkcji w przedziale $⟨- 2, 2⟩$ .

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, na której leży wykres funkcji $f$ :

$p = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ .

Ponieważ $p = \frac{1}{4} \in ⟨- 2, 2⟩$ , zatem wykorzystując przedstawioną wcześniej metodę, obliczamy wartości funkcji $f$ w trzech punktach:

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2) = 5$ ,

$f (\frac{1}{4}) = {(\frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) = - \frac{1}{16}$ ,

$f (2) = 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 = 3$ .

Ponieważ $- \frac{1}{16} < 5$ , to najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $⟨- 2, 2⟩$ jest równa $(- \frac{1}{16})$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $5$ .

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- \frac{1}{16}, 5⟩$ .

Istnienie wartości najmniejszej lub największej funkcji kwadratowej pozwala w niektórych przypadkach na określenie własności innych funkcji.

Przykład 14

Wyznaczymy najmniejszą wartość oraz największą wartość w przedziale $⟨ 0, 4 ⟩$ funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 8}$ .

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy pomocniczo funkcję $g$ określoną wzorem $g (x) = x^{2} - 4 x + 8$ .

Wyznaczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji $g$ w przedziale $⟨ 0, 4 ⟩$ .

Obliczamy pierwszą współrzędną $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ :

$p = \frac{4}{2} = 2$

Ponieważ $p = 2 \in ⟨ 0, 4 ⟩$ , zatem funkcja $g$ przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli, będącej wykresem tej funkcji, a wartość największą w danym przedziale w jednym z końców przedziału $⟨ 0, 4 ⟩$ .

Zatem:

$g (0) = 0^{2} - 4 \cdot 0 + 8 = 8$

$g (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8 = 4$

$g (4) = 4^{2} - 4 \cdot 4 + 8 = 8$

Ponieważ $4 < 8$ , to wartość najmniejsza funkcji $g$ w przedziale $⟨ 0, 4 ⟩$ wynosi $4$ , a wartość największa funkcji wynosi $8$ .

Zauważmy, że zachodzi zależność: $f (x) = \frac{1}{g (x)}$ i funkcja g w rozpatrywanym przedziale przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Wobec tego wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $⟨ 0, 4 ⟩$ wynosi:

$f (0) = f (4) = \frac{1}{g (4)} = \frac{1}{8}$

a wartość największa funkcji $f$ w przedziale $⟨ 0, 4 ⟩$ wynosi $f (2) = \frac{1}{g (2)} = \frac{1}{4}$

Przykład 15

Wyznaczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 5 x - 6}$ .

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy pomocniczo funkcję $g$ określoną wzorem $g (x) = - x^{2} + 5 x - 6$ .

Wyznaczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji $g$ w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ .

Obliczamy pierwszą współrzędną $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ :

$p = \frac{- 5}{- 2} = \frac{5}{2}$

Ponieważ $p = \frac{5}{2} \in ⟨ 2, 3 ⟩$ , zatem funkcja $g$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli, będącej wykresem tej funkcji, a wartość najmniejszą w jednym z końców przedziału $⟨ 2, 3 ⟩$ .

Zatem:

$g (2) = - 2^{2} + 5 \cdot 2 - 6 = 0$

$g (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 \cdot \frac{5}{2} - 6 = \frac{1}{4}$

$g (3) = - 3^{2} + 5 \cdot 3 - 6 = 0$

Ponieważ $0 < \frac{1}{4}$ , to wartość najmniejsza funkcji $g$ w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ wynosi $0$ , a wartość największa funkcji wynosi $\frac{1}{4}$ . Wynika stąd również, że w rozpatrywanym przedziale funkcja g przybiera tylko wartości nieujemne.

Zauważmy, że zachodzi zależność: $f (x) = \sqrt{g (x)}$ .

Wobec tego wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ wynosi:

$f (2) = f (3) = \sqrt{g (2)} = \sqrt{g (3)} = 0$

a wartość największa funkcji $f$ w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ wynosi $f (\frac{5}{2}) = \sqrt{g (\frac{5}{2})} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z animacją prezentującą rozwiązania zadań, w których oblicza się największą/najmniejszą wartość funkcji, a następnie rozwiąż polecenia i porównaj z odpowiedziami.

R15Ahkmg28DsV

Polecenie 5

Funkcja $f$ jest funkcją kwadratową. Liczby $3$ i $(- 1)$ są jej miejscami zerowymi oraz $f (0) = - 3$ . Wyznacz wartość najmniejszą tej funkcji.

Ponieważ mamy podane miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ,

podstawiając $x_{1} = 3$ i $x_{2} = - 1$ otrzymamy:

$f (x) = a (x - 3) (x + 1)$ .

Musimy teraz wyznaczyć wartość $a$ , wykorzystamy w tym celu warunek $f (0) = - 3$ .

$f (0) = a (0 - 3) (0 + 1) = a \cdot 3 \cdot (- 1) = - 3 a = - 3$ , stąd $a = 1$ .

$a = 1 > 0$ , więc funkcja przyjmuje dla $x = x_{w}$ wartość najmniejszą.

Współrzędną $x_{w}$ wierzchołka wyliczymy wykorzystując warunek: $x_{w} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

$x_{w} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{3 + (- 1)}{2} = 1$

$y_{\min} = f (1) = (1 - 3) (1 + 1) = (- 2) \cdot 2 = - 4$

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą $(- 4)$ dla $x = 1$ .

Polecenie 6

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f (x) = - x^{2} - 3 x + 10$ w przedziale $⟨- 2, 2⟩$ .

Przedstawiamy wzór funkcji $f (x) = - x^{2} - 3 x + 10$ w postaci kanonicznej:

$f (x) = - x^{2} - 3 x + 10 = - (x^{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4} + 10 = - {(x + \frac{3}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$ .

$x = - \frac{3}{2}$ należy do przedziału $⟨- 2, 2⟩$ i $a < 0$ , więc dla $x = - \frac{3}{2}$ funkcja w tym przedziale przyjmuje wartość największą $\frac{49}{4}$ .

Szukamy najmniejszej wartości funkcji pośród liczb $f (- 2)$ i $f (2)$ :

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 3 (- 2) + 10 = - 4 + 6 + 10 = 12$ ,

$f (2) = - {(2)}^{2} - 3 (2) + 10 = - 4 - 6 + 10 = 0$ .

W przedziale $⟨- 2, 2⟩$ funkcja $f (x) = - x^{2} - 3 x + 10$ przyjmuje wartość największą $\frac{49}{4}$ dla $x = - \frac{3}{2}$ , a najmniejszą $0$ dla $x = 2$ .

Polecenie 7

Uruchom aplet, a następnie przeanalizuj, jak zmienia się wartość najmniejsza/największa funkcji kwadratowej, w zależności od liczb, które są końcami podanego przedziału.

Rps8WpOFFGT3h

Polecenie 8

Wyznacz wartość najmniejszą/największą w przedziale $⟨- 4, 2⟩$ funkcji kwadratowych $f$ określonych wzorami:

a) $f (x) = - x^{2} - x + 4$

b) $f (x) = x^{2} - 6 x - 2$

a) Obliczamy wartość pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ :

$p = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}$ .

Ponieważ $p = - \frac{1}{2} \in ⟨- 4, 2⟩$ oraz $a = - 1 < 0$ , zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , a wartość najmniejszą w jednym z końców podanego przedziału.

Zatem:

$f (- 4) = - {(- 4)}^{2} + 4 + 4 = - 8$ ,

$f (- \frac{1}{2}) = - {(- \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} + 4 = 4 \frac{1}{4}$ ,

$f (2) = - 2^{2} - 2 + 4 = - 2$ .

Ponieważ $- 8 < 4 \frac{1}{4}$ , to wartość najmniejsza funkcji $f$ wynosi $(- 8)$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $4 \frac{1}{4}$ .

b) Obliczamy wartość pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ :

$p = \frac{6}{2} = 3$ .

Zauważmy, że $p = 3 \notin ⟨- 4, 2⟩$ , zatem obliczamy tylko wartości funkcji $f$ na końcach podanego przedziału.

Zatem:

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} - 6 \cdot (- 4) - 2 = 38$ ,

$f (2) = 2^{2} - 6 \cdot 2 - 2 = - 10$ .

Ponieważ $- 10 < 38$ , to wartość najmniejsza funkcji $f$ wynosi $(- 10)$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $38$ .

RXnbrhh2ilcIm1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1EQFGLz5GeTj

RN3ZXxtlcfjsL

RXTzwUWnXR7nC2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej określ charakter jej ekstremum i wartość w nim osiąganą.

RSgS5incgY3fv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do siedmiu. W układzie zaznaczono wykres funkcji o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias trzy średnik siedem zamknięcie nawiasu.

RiNvhIIHKRwjJ

RqLXNAbCSi3Ed2

Ćwiczenie 5

R1ESvV0oZe3aX2

Ćwiczenie 6

R7NK1yrnx2tFJ2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Trajektorię lotu piłki można opisać za pomocą wykresu funkcji $y = 2 + 4 x - \frac{1}{2} x^{2}$ . Wyznacz najwyższą wysokość, na jakiej może znaleźć się piłka w trakcie lotu.

Z treści zadania wynika, że interesuje nas znalezienie maksymalnej wartości osiąganej przez zdefiniowaną w zadaniu funkcję.

Ponieważ $a = - \frac{1}{2} < 0$ , to funkcja ma maksimum globalne w punkcie $p = \frac{- 4}{- 1} = 4$ . Największa wartość przyjmowana przez tę funkcję wynosi więc:

$f (4) = 2 + 4 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} = 10$

$10$

Ćwiczenie 9

Ile wynosi największe pole, jakie może mieć prostokąt o obwodzie równym $60 dm$ ?

Jeżeli obwód prostokąta o bokach długości $a$ , $b$ wynosi $60 dm$ , to długość boku $a$ w zależności od $b$ wynosi:

$a = (30 - b) dm$

Wówczas pole takiego prostokąta wynosi

$P = a \cdot b = (30 - b) \cdot b = 30 b - b^{2}$

Funkcja ta przyjmuje największą wartość w punkcie

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 30}{2 \cdot (- 1)} = 15$

Wartość ta wynosi $30 \cdot 15 - 15^{2} = 225 ({dm}^{2})$

Największe pole, jakie może mieć prostokąt o obwodzie równym $60 dm$ wynosi $225 {dm}^{2}$ .

Ćwiczenie 10

R1SE6LdPkm3Kq

Ćwiczenie 11

R1UsMFv3XcjBW

Ćwiczenie 12

RJTixFJ8x2UMf

Ćwiczenie 13

R14VKMWiLbmfB

Pogrupuj własności funkcji określonych za pomocą podanych wzorów. Funkcja określona wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa: Możliwe odpowiedzi: 1. w przedziale nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość największą równą cztery, 2. w przedziale nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego osiąga wartość najmniejszą równą minus, dwa, 3. przyjmuje wartość najmniejszą dla x, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. w przedziale nawias ostry jeden przecinek trzy zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość największą równą początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. w przedziale nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, dwa zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość najmniejszą równą zero, 6. przyjmuje wartość największą dla x, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Funkcja określona wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, dwa: Możliwe odpowiedzi: 1. w przedziale nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość największą równą cztery, 2. w przedziale nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego osiąga wartość najmniejszą równą minus, dwa, 3. przyjmuje wartość najmniejszą dla x, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. w przedziale nawias ostry jeden przecinek trzy zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość największą równą początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. w przedziale nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, dwa zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość najmniejszą równą zero, 6. przyjmuje wartość największą dla x, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka

Ćwiczenie 14

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2$ .

R1dcsBX7cPjmk

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której wierzchołek znajduje się w punkcie -2;3, a ramiona skierowane są w dół. Wykres funkcji przecina oś X w punkcie x, równa się, minus pięć, oraz x, równa się, jeden.

R1EhUTyBn2mum

Ćwiczenie 15

R1FPSlcMdNS5i

Ćwiczenie 16

Wiadomo, że funkcja kwadratowa $f$ dla $x = \frac{1}{2}$ przyjmuje wartość najmniejszą.

Wyznacz wartości współczynników $b$ i $c$ we wzorze tej funkcji kwadratowej, jeżeli funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = x^{2} + b x + c$ , a wyróżnik $∆ = 49$ .

Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x = \frac{1}{2}$ , zatem $x = p$ .

Wartość współczynnika $b$ obliczymy ze wzoru $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Zatem $\frac{1}{2} = - \frac{b}{2}$ , więc $b = - 1$ .

Korzystając ze wzoru na wyróżnik $∆ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ , rozwiązujemy równanie w celu wyznaczenia wartości $c$ .

Zatem $49 = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c$ , czyli $c = - 12$ .

Ćwiczenie 17

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Najmniejsza wartość funkcji $f$ jest równa $- 2$ oraz $f (- 1) = f (3) = 2$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ .

Jeżeli $f (- 1) = f (3) = 2$ , to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wynosi

$p = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ , więc $f (1) = - 2$ .

Zatem $\frac{- b}{2 a} = 1$ , czyli $b = - 2 a$ .

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci: $f (x) = a x^{2} - 2 a x + c$ .

Do wyznaczenia wartości współczynników $a, b, c$ rozwiązujemy układ równań:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} b = - 2 a \\ 2 = a + 2 a + c \\ - 2 = a - 2 a + c \end{cases} \end{array}$ .

Z układu równań otrzymujemy, że: $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 1$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ .

RTawiJnVf98GS1

Ćwiczenie 18

R1YlKhOFjbcWq1

Ćwiczenie 19

R1USgtmMuFIWk1

Ćwiczenie 20

R1ATkD1ZyxOEP2

Ćwiczenie 21

R1J0443Udtssc2

Ćwiczenie 22

RYUoFaaC9AXoV2

Ćwiczenie 23

RK3CvZ0ltDtZ13

Ćwiczenie 24

R4N8VYIDGmIo73

Ćwiczenie 25

Słownik

wyróżnik wielomianu stopnia drugiego

liczba charakterystyczna dla funkcji kwadratowej oznaczana przez $∆$ ; przy zapisie funkcji w postaci:

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ , to wyróżnik ten zadany jest wzorem $∆ = b^{2} - 4 a c$

postać iloczynowa funkcji kwadratowej

zapis wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynu czynników liniowych; korzystanie z niego jest możliwe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest nieujemny; dla takich funkcji zapis ten ma postać:

$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$ , gdy $∆ > 0$ , gdzie $x_{1}$ , $x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji $f$

$f (x) = a \cdot {(x - x_{0})}^{2}$ , gdy $∆ = 0$ , wówczas $x_{0}$ jest miejscem zerowym funkcji $f$

postać kanoniczna funkcji kwadratowej

zapis wzoru funkcji kwadratowej, w którym wyeksponowany jest wierzchołek paraboli będącej jej wykresem; funkcja przedstawiona w tej postaci opisana jest wzorem:

$f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $(p, q)$ są współrzędnymi wierzchołka paraboli; w przeciwieństwie do postaci iloczynowej, postać kanoniczna istnieje zawsze, niezależnie od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowegowyróżnik wielomianu stopnia drugiegowyróżnika trójmianu kwadratowego

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

3. Wartości dodatnie, ujemne i monotoniczność funkcji kwadratowej

5. Odczytywanie własności funkcji kwadratowej na podstawie wykresu i szkicowanie wykresów.