5. Odczytywanie własności funkcji kwadratowej na podstawie wykresu i szkicowanie wykresów. - M_R_W10_M2 Własności funkcji kwadratowej

R1OSyWv7XMWeX

R1QvRFz2fAacN1

Ilustracja przedstawia wizerunek Thomasa Carlyla. Jest to czarno- biały portret elegancko ubranego mężczyzny z brodą. — Thomas Carlyle
Źródło: dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Jej miejsca zerowe (o ile istnieją) można odczytać geometrycznie kreśląc cyrklem odpowiedni okrąg.

Średnicą tego okręgu jest odcinek $A B$ o końcach $A = (0; 1)$ oraz $B = (- \frac{b}{a}; \frac{c}{a})$ . Odkrycie to zawdzięczamy szkockiemu historykowi Thomasowi Carlyle'owi ( $1795$ – $1881$ ).

W tym materiale, na podstawie wykresu funkcji kwadratowej, określimy jej własności oraz wykorzystamy te wiedzę do rozwiązywania zadań.

Twoje cele

Określisz własnośc i funkcji kwadratowej.
Odczytasz własności funkcji kwadratowej z jej wykresu i wykorzystasz je w zadaniach.
Zastosujesz poznaną wiedzę do rozwiązywania zadań.
Zastosujesz różne własności funkcji kwadratowej do naszkicowania jej wykresu.

Wykresem funkcji kwadratowejwykres funkcji kwadratowejWykresem funkcji kwadratowej

f (x) = a x^{2} + b x + c

x \in ℝ

gdzie $a \neq 0$ , jest krzywa zwana parabolą.

Punkt $(p; q)$ nazywamy wierzchołkiem paraboli. Dzieli on parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami. Współrzędne wierzchołka określone są następującymi wzorami:

p = - \frac{b}{2 a}

q = - \frac{Δ}{4 a}

przy czym wyróżnik trójmianu kwadratowego określony jest wzorem:

Δ = b^{2} - 4 a c

Z wykresu funkcji możemy odczytać m.in. dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) wartości od danej liczby.

Przykład 1

Na podstawie wykresu funkcji $y = a x^{2} + b x + c$ ustalimy znaki liczb: $a$ , $b$ , $c$ , $Δ$ , $p$ , $q$ , $x_{1}$ , $x_{2}$ , gdzie $p$ jest argumentem, w którym funkcja przyjmuje wartość największą równą $q$ , natomiast $x_{1}$ , $x_{2}$ to miejsca zerowe funkcji.

RGCGM7Hz5K5D2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 5 i pionową osią y od minus 4 do jeden. W układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu y=ax2+bx+c, wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Z wykresu odczytujemy:

ramiona paraboli skierowane są w dół, co oznacza, że $a < 0$ ;
funkcja ma dwa miejsca zerowe, więc $Δ > 0$ ;
punkt, w którym przyjmowana jest wartość największa funkcji, leży w I ćwiartce układu współrzędnych: $p > 0$ i $q > 0$ ;
wykres przecina oś $Y$ pod osią $X$ , czyli: $c < 0$ ,
$f (0) = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c$ : punkt $(0; c)$ jest punktem przecięcia z osią $Y$ ;
wykres funkcji przecina oś $X$ w części dodatniej, stąd: $x_{1} > 0$ i $x_{2} > 0$ ;
ponieważ $b = - 2 a p$ oraz $a < 0$ i $p > 0$ , więc $b > 0$ .

Przykład 2

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ :

R1aHEaaftkw68

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 12 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce układu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt A o współrzędnych nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu i punkt B o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt C o współrzędnych nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu.

określimy współrzędne wierzchołka i postać kanoniczną; równanie osi symetrii; zbiór wartości funkcji; miejsca zerowe funkcji i postać iloczynową; przedziały monotoniczności; przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe od $0$ ; zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja w przedziale $⟨- 2; 10⟩$ ; najmniejszą i największą wartość funkcji w tym przedziale.

Rozwiązanie

Na wykresie zaznaczamy oś symetrii paraboli oraz zaznaczamy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

RIK4DTIRMOrng

Z wykresu możemy odczytać:

miejsca zerowe funkcji: $x_{1} = - 4$ i $x_{2} = 8$ ;
oś symetrii paraboli: $x = 2$ (ponieważ przechodzi przez środek odcinka $B C$ );
pierwszą współrzędną wierzchołka $p = 2$ (ponieważ leży na osi symetrii paraboli);
przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: $f (x) > 0$ dla $x \in (- \infty; - 4) \cup (8; + \infty)$ ;
przedział, w którym funkcja jest malejąca: $x \in (- \infty; 2)$ ;
przedział, w którym funkcja jest rosnąca: $x \in (2; + \infty)$ .

Odpowiedzi do pozostałych poleceń określimy po podaniu wzoru funkcji, której wykres jest przedstawiony na rysunku.

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Miejsca zerowe to: $x_{1} = - 4$ i $x_{2} = 8$ , więc wzór funkcji możemy zapisać następująco:

$f (x) = a (x + 4) (x - 8)$ .

Podstawiając współrzędne punktu $A = (0; - 4)$ do wzoru funkcji $f (x) = a (x + 4) (x - 8)$ , otrzymujemy:

$f (0) = a \cdot (0 + 4) \cdot (0 - 8) = - 32 a$ ,

a ponieważ

$f (0) = - 4$ , czyli

$a = \frac{1}{8}$ .

Funkcja, której wykres przedstawiony jest na rysunku, ma postać:

$f (x) = \frac{1}{8} (x + 4) (x - 8)$ .

Zapisujemy teraz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej:

$f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Ponieważ $p = 2$ , więc $q = f (p)$ , czyli

$q = f (2) = \frac{1}{8} \cdot (2 + 4) \cdot (2 - 8) = \frac{1}{8} \cdot (6) \cdot (- 6) = - \frac{36}{8} = - \frac{9}{2}$ .

Wartość najmniejsza $q = - \frac{9}{2}$ osiągana jest dla argumentu $p = 2$ .

Wzór funkcji w postaci kanonicznej zapisujemy następująco:

$f (x) = \frac{1}{8} {(x - 2)}^{2} - \frac{9}{2}$ .

A ponieważ $a > 0$ , to $Z W_{f} = ⟨q; + \infty)$ , więc $Z W_{f} = ⟨\frac{- 9}{2}; + \infty)$ .

Z wykresu wynika, że funkcja w przedziale $⟨- 2; 10⟩$ przyjmuje wartości od $f (p)$ do $f (10)$ .

Wyliczamy wartość funkcji dla $x = 10$ :

$f (10) = \frac{1}{8} \cdot (10 + 4) \cdot (10 - 8) = \frac{1}{8} \cdot (14) \cdot (2) = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$ .

Rs4sGXCkoHtkK

Widzimy, że funkcja przyjmuje w tym przedziale wartości: $y \in ⟨\frac{- 9}{2}; \frac{7}{2}⟩$ .

Najmniejszą wartość w przedziale $⟨- 2; 10⟩$ funkcja przyjmuje dla $x = 2$ : $y_{\min} = - \frac{9}{2}$ , największą dla $x = 10$ : $y_{\max} = \frac{7}{2}$ .

Przykład 3

Na podstawie wykresu określimy: współrzędne wierzchołka, oś symetrii paraboli, zbiór wartości funkcji, przedziały monotoniczności, miejsca zerowe, przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze od $6$ .

Rxa0huONBUO69

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 4 i pionową osią y od minus 1 do osiem. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie A o współrzędnych nawias jeden średnik osiem zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt B o współrzędnych nawias dwa średnik sześć zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Z wykresu odczytujemy:

punkt $A$ jest wierzchołkiem paraboli, współrzędne wierzchołka: $p = 1$ , $q = 8$ ;
oś symetrii paraboli: $x = 1$ (ponieważ wierzchołek leży na osi paraboli);
zbiór wartości funkcji $Z W_{f} = (- \infty; 8⟩$ ;
przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w przedziale $x \in (- \infty; 1)$ , a malejąca w przedziale $x \in (1; + \infty)$ .

Miejsca zerowe możemy odczytać z wykresu, ale możemy też wyliczyć je ze wzoru funkcji. W tym celu teraz wyznaczymy wzór funkcji – ponieważ znamy współrzędne wierzchołka paraboli najlepiej skorzystać z postaci kanonicznej.

Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej.

Aby podać miejsca zerowe, musimy podać wzór funkcji. Wykorzystamy w tym celu współrzędne punktu $B = (2; 6)$ .

$f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Podstawiając $p = 1$ i $q = 8$ , otrzymujemy:

$f (x) = a {(x - 1)}^{2} + 8$ .

Punkt $B = (2; 6)$ leży na paraboli będącej wykresem funkcji $f (x) = a {(x - 1)}^{2} + 8$ , czyli $f (2) = 6$ , więc

$f (2) = a {(2 - 1)}^{2} + 8$ , czyli

$a + 8 = 6$ .

Ostatecznie otrzymujemy: $a = - 2$ .

Wzór funkcji w postaci kanonicznej jest postaci: $f (x) = - 2 {(x - 1)}^{2} + 8$ .

Wyliczamy miejsca zerowe, korzystając ze wzorów:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .

Aby wyliczyć $x_{1}$ i $x_{2}$ , potrzebujemy wartości $b$ i $Δ$ , które możemy wyznaczyć, wykorzystując przekształcone wzory:

$p = - \frac{b}{2 a}$ i $q = - \frac{Δ}{4 a}$ .

Skoro $p = - \frac{b}{2 a}$ , to $b = - 2 a p$ , a po podstawieniu $p = 1$ i $a = - 2$ , mamy:

$b = - 2 \cdot (- 2) \cdot 1 = 4$ .

Skoro $q = - \frac{Δ}{4 a}$ , to $Δ = - 4 a q$ , a po podstawieniu $q = 8$ i $a = - 2$ , mamy:

$Δ = - 4 \cdot (- 2) \cdot 8 = 64$ .

Obliczone wartości $b$ i $Δ$ podstawiamy do wzorów:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 4 + \sqrt{64}}{2 (- 2)} = \frac{- 4 + 8}{- 4} = - 1$ ,

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 4 - \sqrt{64}}{2 (- 2)} = \frac{- 4 - 8}{- 4} = 3$ .

Możemy również wyznaczyć $x_{1}$ i $x_{2}$ , opierając się na wzorze funkcji zapisanej w postaci ogólnej.

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia ${(m - n)}^{2} = m^{2} - 2 m n + n^{2}$ , przechodzimy ze wzoru zapisanego w postaci kanonicznej do postaci ogólnej:

$f (x) = - 2 {(x - 1)}^{2} + 8 = - 2 (x^{2} - 2 x + 1) + 8 =$

$= - 2 x^{2} + 4 x - 2 + 8 = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ .

Otrzymujemy $b = 4$ i $Δ = b^{2} - 4 a c = 4^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6 = 16 + 48 = 64$ .

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 4 + \sqrt{64}}{2 (- 2)} = \frac{- 4 + 8}{- 4} = - 1$ ,

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 4 - \sqrt{64}}{2 (- 2)} = \frac{- 4 - 8}{- 4} = 3$ .

Określimy teraz przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze od $6$ , czyli $f (x) \geq 6$ .

R8va4ymgcepTJ

Funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze od $6$ , $f (x) ⩾ 6$ , gdy $x \in ⟨0; 2⟩$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą, jak odczytywać własności funkcji kwadratowej na podstawie jej wykresu. Rozwiąż zadania znajdujące się pod animacją i porównaj z odpowiedziami.

Rc9hgO80g00N6

Polecenie 2

Na podstawie wykresu funkcji określ: współrzędne wierzchołka, oś symetrii paraboli, miejsca zerowe, zbiór wartości funkcji, przedziały monotoniczności. Zapisz tę funkcję w postaci kanonicznej.

RSzQeyuit3eCf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 3 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie A o współrzędnych nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt B o współrzędnych nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt C o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

Z wykresu odczytujemy:

punkt $A$ jest wierzchołkiem paraboli, współrzędne wierzchołka: $p = - 1$ i $q = - 1$ ;
oś symetrii paraboli: $x = - 1$ ;
miejsce zerowe $x_{2} = 0$ , drugie miejsce zerowe możemy podać, korzystając z warunku $2 p = x_{1} + x_{2}$ , stąd $x_{1} = 2 p - x_{2}, p = - 1$ , więc $x_{1} = 2 (- 1) - 0 = - 2$ ;
zbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = ⟨- 1; + \infty)$ ;
funkcja jest malejąca dla $x \in (- \infty; - 1)$ , a rosnąca dla $x \in (- 1; \infty)$ .

Mając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej: $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Podstawiając $p = - 1$ i $q = - 1$ , otrzymujemy $f (x) = a {(x + 1)}^{2} - 1$ .

Aby wyznaczyć wartość współczynnika $a$ , wybieramy na przykład punkt $C$ . Punkt $C = (0; 0)$ leży na paraboli, czyli $f (0) = 0$ . Po podstawieniu mamy:

$f (0) = a {(0 + 1)}^{2} - 1 = a - 1$

$a - 1 = 0$ , więc

$a = 1$ .

Wzór funkcji w postaci kanonicznej: $f (x) = {(x + 1)}^{2} - 1$ .

Polecenie 3

Na podstawie wykresu podaj zbiór wartości funkcji, określ przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz zapisz tę funkcję w postaci iloczynowej.

R11h7EdvDahX4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie B o współrzędnych nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt A o współrzędnych nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Odczytujemy zbiór wartości funkcji z wykresu: $Z W_{f} = (- \infty; 4⟩$ .

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- 2; 2)$ .

Aby zapisać funkcję w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , musimy wyznaczyć: $a$ , $x_{1}$ , $x_{2}$ .

Odczytujemy z wykresu:

$x_{1} = - 2$ ,

$x_{2} = 2$ , ponieważ wykres jest symetryczny względem osi $X$ .

Po podstawieniu $x_{1} = - 2$ i $x_{2} = 2$ , otrzymujemy:

$f (x) = a (x + 2) (x - 2)$ .

Aby wyznaczyć współczynnik $a$ , wykorzystamy fakt, że $B = (0; 4)$ leży na paraboli, czyli $f (0) = 4$ .

$f (0) = a (0 + 2) (0 - 2) = - 4 a$ ,

a ponieważ $f (0) = 4$ , to

$- 4 a = 4$ , więc

$a = - 1$ .

Postać iloczynowa funkcji: $f (x) = - (x + 2) (x - 2)$ .

Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabolaparabolaparabola. Każda parabola składa się z wierzchołka oraz ramion.

Wzór dowolnej funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej, określonej na zbiorze $ℝ$ możemy zapisać w różnych postaciach:

ogólnej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ ,
kanonicznej: $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ ,
iloczynowej (o ile istnieje): $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ lub $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ .

Wykres dowolnej funkcji kwadratowej możemy naszkicować poprzez obliczenie wartości dla kilku wybranych argumentów i zaznaczenie otrzymanych punktów w układzie współrzędnych.

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = x^{2}$ .

W tym celu w tabeli przedstawimy wartości tej funkcji dla wybranych argumentów:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R1MzITby8E4ax

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz pionowa oś Y. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry.

W przypadku bardziej skomplikowanych wzorów funkcji kwadratowych, tak otrzymany wykres może być nieprecyzyjny.

Dlatego do szkicowania wykresu funkcji kwadratowej posłużymy się poniższą procedurą.

Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a \neq 0$ , przedstawimy w kilku krokach:

ustalamy, czy ramiona paraboli są skierowane do góry ( $a > 0$ ), czy do dołu
( $a < 0$ ),
wyznaczamy współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$ paraboli ze wzorów: $p = - \frac{b}{2 a}$ oraz $q = - \frac{∆}{4 a}$ ,
wyznaczamy (o ile istnieją) miejsca zerowe funkcji kwadratowej, korzystając z następujących wzorów:

Obliczamy wartość $∆ = b^{2} - 4 a c$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to funkcja kwadratowe ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ , które obliczamy za pomocą wzorów:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .

Jeżeli $∆ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe $x_{0}$ , które obliczamy za pomocą wzoru:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

obliczamy punkt przecięcia paraboli z osią $Y$ .

Pokażemy na przykładzie wzoru funkcji kwadratowej zapisanego w postaci ogólnej, jak krok po kroku naszkicować wykres tej funkcji.

Przykład 4

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - x - 1$ .

Rozwiązanie:

Podajemy wartości współczynników: $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 1$ .

Ponieważ $a > 0$ , zatem ramiona paraboli są skierowane do góry.

Obliczamy współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$ .

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 9$

$p = - \frac{- 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

$q = \frac{- 9}{8} = - \frac{9}{8}$

Ponieważ $∆ > 0$ , to funkcja ma dwa miejsca zerowe:

$x_{1} = \frac{1 - 3}{4} = - \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ :

$f (0) = 2 \cdot 0^{2} - 0 - 1 = - 1$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 1)$ .

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

R17Ena8J8hFVU

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jedna czwarta średnik minus dziewięć ósmych koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus jedna druga średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias jeden średnik zero koniec nawiasu. Wykres przecina także pionową oś Y w punkcie nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu.

Podobnie będzie wyglądała procedura szkicowania wykresu funkcji kwadratowej, jeżeli wzór jest zapisany w postaci kanonicznej.

Przykład 5

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - 3 {(x + 2)}^{2} + 3$ .

Rozwiązanie:

Wzór funkcji jest zapisany w postaci kanonicznej, zatem wierzchołek wykresu tej funkcji ma współrzędne $(- 2, 3)$ .

Ponieważ $a = - 3 < 0$ , zatem parabola ma ramiona skierowane do dołu.

Miejsca zerowe obliczymy rozwiązując równanie:

$0 = - 3 {(x + 2)}^{2} + 3$ .

Przekształcając otrzymujemy ${(x + 2)}^{2} = 1$ .

Zatem $x + 2 = 1$ lub $x + 2 = - 1$ .

Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $- 1$ oraz $- 3$ .

Druga współrzędna punktu przecięcia tej paraboli z osią $Y$ wynosi:

$f (0) = - 3 {(0 + 2)}^{2} + 3 = - 9$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 9)$ .

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

R1DggAkHAy5bK

Mając dany wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej możemy w łatwy sposób naszkicować wykres tej funkcji.

Przykład 6

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - (x + 2) (x + 1)$ .

Rozwiązanie:

Wzór funkcji jest zapisany w postaci iloczynowej, zatem miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $- 2$ oraz $- 1$ .

Ponieważ $a = - 1 < 0$ , zatem parabola ma ramiona skierowane do dołu.

Do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji wykorzystamy wzór $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ , gdzie $x_{1}, x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji.

Zatem $p = \frac{- 2 + (- 1)}{2} = - \frac{3}{2}$ .

Współrzędna $q$ wierzchołka paraboli wynosi:

$q = f (- \frac{3}{2}) = - (- \frac{3}{2} + 2) (- \frac{3}{2} + 1) = \frac{1}{4}$

Druga współrzędna punktu przecięcia tej paraboli z osią $Y$ wynosi:

$f (0) = - (0 + 2) (0 + 1) = - 2$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 2)$ .

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

RLHhJKVLj7bLQ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do dwóch. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias minus trzy drugie średnik jedna czwarta koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus dwa średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu. Wykres przecina także pionową oś Y w punkcie nawias zero średnik minus dwa koniec nawiasu.

Jeżeli mamy określone różne własności funkcji kwadratowej, wówczas bez korzystania ze wzoru możemy naszkicować wykres tej funkcji.

Przykład 7

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli wiadomo, że:

miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $0$ oraz $4$ ,
wartość największa funkcji wynosi $6$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja osiąga wartość największą, to ramiona wykresu tej funkcji są skierowane do dołu.

Zauważmy, że współrzędna $p$ wierzchołka tej paraboli wynosi:

$p = \frac{0 + 4}{2} = 2$ .

W przypadku funkcji kwadratowej wartość największa lub najmniejsza jest osiągana w wierzchołku, zatem wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(2, 6)$ .

Jeżeli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $0$ oraz $4$ , zatem do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należą punkty o współrzędnych $(0, 0)$ oraz $(4, 0)$ .

Zatem wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RCjN9Xw6mnUKK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do sześciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias dwa średnik sześć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias dwa średnik zero koniec nawiasu.

Przykład 8

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli:

funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów należących do przedziału $(- 1, 3)$ ,
wartość najmniejsza tej funkcji wynosi $- 4$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja osiąga wartość najmniejszą, to ramiona wykresu tej funkcji są skierowane do góry.

Zauważmy, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $- 1$ oraz $3$ .

Zatem współrzędna $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji wynosi $p = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ .

Czyli wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(1, - 4)$ oraz do paraboli należą punkty o współrzędnych $(- 1, 0)$ oraz $(3, 0)$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R1GSdB9GMJAzt

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do czterech. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jeden średnik minus cztery koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias trzy średnik zero koniec nawiasu.

Jeżeli wybierzemy dwa argumenty, które leżą w równej odległości od pierwszej współrzędnej wierzchołka $p$ , to wartość tej funkcji dla tych argumentów będzie taka sama.

Wynika to z faktu, że prosta o równaniu $x = p$ jest osią symetrii każdej paraboli.

Przykład 9

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli:

funkcja jest określona wzorem $f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ ,
współrzędna $p$ wierzchołka wynosi $2$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $a < 0$ , zatem ramiona paraboli, będącej wykresem tej funkcji są skierowane do dołu.

Obliczamy współrzędną $q$ wierzchołka paraboli:

$q = f (2) = - 2^{2} + 4 \cdot 2 + 1 = - 4 + 8 + 1 = 5$ .

Zatem wierzchołek wykresu tej funkcji ma współrzędne $(2, 5)$ .

Zauważmy, że $f (1) = f (3) = 4$ , zatem do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $(1, 4)$ oraz $(3, 4)$ .

Punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 1)$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RJ0kxyJqaVdK9

Polecenie 4

Przeanalizuj działanie symulacji interaktywnej, a następnie wykonaj polecenie.

R19yWDWnvydxy

Polecenie 5

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 2$ .

Wzór funkcji jest zapisany w postaci kanonicznej, zatem wierzchołek wykresu tej funkcji ma współrzędne $(1, - 2)$ .

Ponieważ $a = 2 > 0$ , zatem parabola, będąca wykresem tej funkcji ma ramiona skierowane do góry.

Miejsca zerowe obliczymy rozwiązując równanie:

$2 {(x - 1)}^{2} - 2 = 0$ , i dalej

$2 {(x - 1)}^{2} = 2$ , czyli ${(x - 1)}^{2} = 1$ .

Zatem $x - 1 = 1$ lub $x - 1 = - 1$ .

Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $2$ oraz $0$ .

Druga współrzędna punktu przecięcia paraboli, będącej wykresem tej funkcji z osią $Y$ wynosi:

$f (0) = 2 \cdot {(0 - 1)}^{2} - 2 = 0$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 0)$ .

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

RumoloHFMpezP

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus trzech do czterech. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry. Wykres posiada dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias dwa średnik zero koniec nawiasu.

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji kwadratowej.

RXeMgEIGv1oaP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 1 i pionową osią y od minus 4 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie A o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt B o współrzędnych nawias minus pięć średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt C o współrzędnych nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu.

RxtMRNiJguhJ7

Ćwiczenie 2

RDfD8r0D3ieSX

RWxeiyVByYqSz

Ćwiczenie 3

Rysunek poniżej przedstawia wykres funkcji kwadratowej $f$ .

R13ESkv3o9xbD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 6 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji fx o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias dwa średnik cztery i pół zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

R5boU9Vhx1MoM

Ćwiczenie 4

Rysunek poniżej przedstawia wykres funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Opierając się na nim, uzupełnij puste miejsca w zdaniach, wstawiając w nie odpowiednie liczby całkowite.

RpV8724hSUqgZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 2 i pionową osią y od minus 1 do osiem. W układzie zaznaczono wykres funkcji fx o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik osiem zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.

RhwqyMnzhKjUS

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Wyznacz współczynnik kierunkowy tej funkcji.

RYlpLm31cLBbH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 3 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji fx o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rp2U3oOFXodUN

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

RYlpLm31cLBbH

R3tFhkP7WbcHs

Ćwiczenie 7

Rysunek przedstawia wykres funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

R1WxYdKu253uw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 5 i pionową osią y od minus 4 do dwanaście z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji fx o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias trzy średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkty o współrzędnych nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu oraz nawias jeden średnik dwanaście zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu.

RlNlEabsfL5LQ

Ćwiczenie 8

Rysunek przedstawia wykres funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

R1WxYdKu253uw

RzSTGttGUTQxt

Pokaż ćwiczenia:

RAlBucYWovlmS1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ .

RxpQYIGzlGW2R

R1c74xlvA3z9d

R12pJfGaIEt1b1

Ćwiczenie 11

R16QxRYKAoRwq2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

RguujzK2nEjvH

Ćwiczenie 14

R1REiwaFApWtt

R1W3oK79pVvYJ

R1Diqm5oOUQVS3

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej $f$ , jeżeli wiadomo, że:

funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $- 2$ oraz $4$ ,
wartość największa funkcji $f$ wynosi $9$ .

Ponieważ funkcja $f$ przyjmuje wartość największą, zatem ramiona paraboli, będącej wykresem tej funkcji są skierowane do dołu.

Współrzędna $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych, zatem:

$p = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$

Wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ ma współrzędne $(1, 9)$ .

Ponieważ liczby $- 2$ oraz $4$ są miejscami zerowymi funkcji $f$ , zatem do jej wykresu należą punkty o współrzędnych $(- 2, 0)$ oraz $(4, 0)$ .

Wykres funkcji $f$ przedstawia się następująco:

R1GHF9hPRW0e1

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do dziewięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jeden średnik dziewięć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres posiada dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias minus dwa średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias cztery średnik zero koniec nawiasu. Wykres funkcji przecina także pionową oś Y w punkcie nawias zero średnik osiem koniec nawiasu.

Słownik

funkcja kwadratowa

funkcja $f (x) = a x^{2} + b x + c$ określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, gdzie $a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym $a \neq 0$

wykres funkcji kwadratowej

wykres funkcji $f (x) = a x^{2} + b x + c$ dla $x \in ℝ$ , gdzie $a \neq 0$ jest krzywa zwana parabolą

parabola

krzywa stożkowa, będąca zbiorem punktów równo odległych od prostej zwanej kierownicą paraboli i punktu nazywanego ogniskiem paraboli

4. Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej

M_R_W10_M2 Własności funkcji kwadratowej

Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowej

Słownik