1. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności

Rk5QZDmB2oWus

W tym materiale wykorzystamy współrzędne szczególnych punktów wykresu funkcji kwadratowej lub dane różne własności tej funkcjido wyznaczenia jej wzoru w trzech postaciach: ogólnej, iloczynowej (o ile istnieje) i kanonicznej. Nie każda funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe, ale każda parabola, która jest wykresem tej funkcji, ma wierzchołek oraz inne punkty szczególne np. punkt przecięcia wykresu z osią $Y$ . Do realizacji celów tej lekcji niezbędna będzie umiejętność odczytywania własności funkcji z wykresu.

Twoje cele

Odczytasz współrzędne punktów szczególnych funkcji kwadratowej z jej wykresu.
Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej lub jej własności wyznaczysz wzór tej funkcji w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.
Określisz, które własności funkcji kwadratowej są niezbędne do wyznaczenia jej wzoru.
Zastosujesz poznane wiadomości do rozwiązywania problemów matematycznych.

W kolejnych przykładach omówimy, jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej na podstawie jej wykresu oraz specjalnie zadanych warunków.

Przykład 1

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej z wykorzystaniem postaci ogólnej, jeżeli jej wykresem jest parabola przedstawiona na poniższym rysunku.

R1G6lGTKARxGA

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w górę. Wykres funkcji znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych i nie posiada miejsc zerowych. Na wykresie funkcji zaznaczono dwa charakterystyczne punkty o współrzędnych -1;4, oraz 1;2.

Dana jest postać ogólna tej funkcji $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Z powyższego wykresu odczytujemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji z osią rzędnych to punkt o współrzędnych $W = (0, 1)$ .

Zatem po podstawieniu do postaci ogólnej otrzymujemy, że $c = 1$ .

Wzór funkcji zapisujemy w postaci: $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ .

Znajdujemy współrzędne dwóch punktów, które należą do wykresu funkcji. Są to np. $(1, 2)$ i $(- 1, 4)$ .

Podstawiamy współrzędne tych punktów do wzoru $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ .

Otrzymujemy: $f (1) = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + 1 = 2$

$f (- 1) = a \cdot {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) + 1 = 4$ .

Tworzymy układ równań: $\{\begin{cases} a + b + 1 = 2 \\ a - b + 1 = 4 \end{cases}$ .

Przekształcamy układ do postaci $\{\begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = 3 \end{cases}$ .

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy: $a = 2$ i $b = - 1$ .

Zatem szukany wzór funkcji jest postaci $f (x) = 2 x^{2} - x + 1$ .

W celu znalezienia wzoru funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wystarczy znać współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji oraz współrzędne dwóch punktów, które należą do jej wykresu.

Przykład 2

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej z wykorzystaniem postaci iloczynowej, jeżeli jej wykresem jest parabola przedstawiona na poniższym rysunku.

R64LerPENMjXA

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w dół. Wykres przecina oś X w punkcie x=-3, oraz x=2. Wierzchołek paraboli znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Na wykresie funkcji zaznaczono charakterystyczny punkt o współrzędnych -1;4.

Z wykresu możemy odczytać miejsca zerowe tej funkcji. Są nimi liczby $(- 3)$ oraz $2$ .

Ponieważ funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, więc możemy wykorzystać jej postać iloczynową $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Po podstawieniu do postaci iloczynowej miejsc zerowych otrzymujemy, że $f (x) = a (x + 3) (x - 2)$

Z wykresu odczytujemy współrzędne punktu, który należy do paraboli, która jest wykresem tej funkcji: $(1, 4)$ .

Podstawiamy współrzędne odczytanego punktu do postaci iloczynowej i otrzymujemy równanie $4 = a (1 + 3) (1 - 2)$ , co po rozwiązaniu daje $a = - 1$ .

Wzór szukanej funkcji jest postaci $f (x) = - (x + 3) (x - 2)$ .

Postać ogólna tej funkcji wyraża się wzorem $f (x) = - x^{2} - x + 6$ .

W omówionym przykładzie nie było możliwe odczytanie dokładnych współrzędnych wierzchołka, dlatego oprócz miejsc zerowych wyznaczyliśmy współrzędne innego punktu, który należy do paraboli.

Przykład 3

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, jeżeli jej wykresem jest parabola przedstawiona na poniższym rysunku.

RUdDZpHHUDOqY

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w dół. Wykres znajduje się w pierwszej, oraz czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych 3;4. Na wykresie funkcji zaznaczono charakterystyczny punkt o współrzędnych 1;-4.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej wyraża się wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji: $W = (3, 4)$ .

Otrzymujemy, że $p = 3$ oraz $q = 4$ .

Po podstawieniu do postaci kanonicznej otrzymujemy, że $f (x) = a {(x - 3)}^{2} + 4$ .

Do wykresu podanej funkcji należy punkt $(1, - 4)$ .

Podstawiamy współrzędne tego punktu do wzoru funkcji i mamy, że $- 4 = a \cdot {(1 - 3)}^{2} + 4$ .

Zatem $a = - 2$ .

Wzór szukanej funkcji w postaci kanonicznej jest postaci $f (x) = - 2 {(x - 3)}^{2} + 4$ .

Jeżeli znamy współrzędne wierzchołka paraboli oraz dowolnego punktu, który do niej należy, wówczas wzór funkcji kwadratowej otrzymamy z postaci kanonicznej.

Przykład 4

Wiadomo, że do wykresu funkcji kwadratowej należą punkty $(2, 4)$ oraz $(6, 4)$ . Wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 22)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Ponieważ dla $x = 2$ oraz dla $x = 6$ funkcja kwadratowa przyjmuje te same wartości, zatem wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji wynosi $p = \frac{2 + 6}{2} = 4$ .

Do rozwiązania wykorzystamy postać ogólną $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Jeśli $p = 4$ , to $\frac{- b}{2 a} = 4$ , czyli $b = - 8 a$ .

Ponieważ punkt przecięcia z osią $Y$ wynosi $(0, 22)$ , zatem wartość współczynnika $c = 22$ .

Funkcja przyjmuje postać $f (x) = a x^{2} - 8 a x + 22$ .

Po podstawieniu współrzędnych punktu $(2, 4)$ otrzymujemy równanie $4 = a \cdot 2^{2} - 8 a \cdot 2 + 22$ .

Z równania mamy, że $a = \frac{3}{2}$ , więc $b = - 12$ .

Otrzymujemy, że funkcja wyraża się wzorem $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 12 x + 22$ .

Ważne!

Jeżeli dane są dwa punkty należące do tej samej paraboli o pierwszych współrzędnych $x_{1}$ oraz $x_{2}$ , które leżą w tym samych odległościach od współrzędnej $p$ wierzchołka, wówczas $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją, a następnie wykonaj polecenie.

R1Iwibxpmjd1t

Polecenie 2

Na podstawie prezentacji rozwiąż poniższe zadanie:

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres przedstawiono na rysunku.

RfK7dtKFdJtre

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do dziewięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do dwudziestu dwóch. Na płaszczyźnie znajduje się parabola o ramionach skierowanych w górę. Wykres funkcji znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych, nie posiada miejsc zerowych. Na wykresie funkcji zaznaczono trzy charakterystyczne punkty o współrzędnych 0; 1, 2; 7 oraz -3; 22.

Wykorzystamy postać ogólną funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Z wykresu odczytujemy, że do paraboli należą punkty $(0, 1)$ , $(2, 7)$ i $(- 3, 22)$ .

Ponieważ punkt $(0, 1)$ należy do paraboli, więc $c = 1$ .

Otrzymujemy funkcję kwadratową postaci: $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ .

Współrzędne punktów podstawiamy do powyższego wzoru i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 7 = 4 a + 2 b + 1 \\ 22 = 9 a - 3 b + 1 \end{cases}$

Z układu otrzymujemy, że $a = 2$ i $b = - 1$ .

Zatem wzór funkcji kwadratowej jest postaci $f (x) = 2 x^{2} - x + 1$ .

Przeanalizujemy teraz, jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej spełniającej określone warunki.

Wzór funkcji kwadratowej możemy zapisywać w różnych postaciach.

Postać ogólna wzoru funkcji kwadratowej:
- $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

Postać kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej:
- $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p = \frac{- b}{2 a}$ oraz $q = \frac{- Δ}{4 a}$

Postać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej:
- $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , gdy $Δ = b^{2} - 4 a c$ , $Δ > 0$ oraz $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$
- $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdy $Δ = b^{2} - 4 a c$ , $Δ = 0$ oraz $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

Wyznaczymy wzory funkcji kwadratowych w różnych postaciach, mając dane własności tej funkcji lub własności jej wykresu.

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z wykorzystaniem postaci ogólnej:

mamy dane współrzędne trzech punktów (lub odczytujemy z wykresu funkcji kwadratowej), które należą do tego wykresu,

układamy i rozwiązujemy układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji $f$ w postaci ogólnej.

R1JEyuR0ATvTJ

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus dziewięciu do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych 1;1,5. Wykres funkcji przechodzi przez punkty o współrzędnych 0;-2, 2;-2, 4;-6.

Rozwiązanie

Z wykresu funkcji $f$ odczytujemy współrzędne trzech punktów: $(0, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, - 6)$ .

Współrzędne tych punktów podstawiamy do wzoru funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} - 2 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c \\ - 2 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c \\ - 6 = a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c \end{cases}$

Po uporządkowaniu układ równań jest postaci:

$\{\begin{cases} - 2 = c \\ - 2 = 4 a + 2 b + c \\ - 6 = 16 a + 4 b + c \end{cases}$

Ponieważ $c = - 2$ , zatem rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

$\{\begin{cases} - 2 = 4 a + 2 b - 2 \\ - 6 = 16 a + 4 b - 2 \end{cases}$

Zatem $\{\begin{cases} 0 = 2 a + b \\ - 1 = 4 a + b \end{cases}$ , czyli $a = - \frac{1}{2}$ oraz $b = 1$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci ogólnej:

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x - 2$

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z wykorzystaniem wzoru w postaci ogólnej oraz punktu przecięcia paraboli, będącej wykresem tej funkcji z osią $Y$ :

mamy dane współrzędne trzech punktów (lub odczytujemy z wykresu), które należą do paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej przy założeniu, że jeden z tych punktów jest punktem przecięcia wykresu tej funkcji z osią rzędnych układu współrzędnych,

mając dany punkt przecięcia wykresu funkcji z osią rzędnych, rozwiązujemy układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Przykład 6

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, jeżeli wiadomo, że należą do niego punkty o współrzędnych $(- 1, 1)$ , $(2, 4)$ , a parabola, będąca wykresem funkcji $f$ przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $(- 4)$ .

Rozwiązanie

Jeżeli parabola, będąca wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $(- 4)$ , to $f (0) = - 4$ , więc $c = - 4$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci: $f (x) = a x^{2} + b x - 4$ .

Jeżeli punkty o współrzędnych $(- 1, 1)$ , $(2, 4)$ należą do wykresu funkcji $f$ , to do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 1 = a \cdot {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) - 4 \\ 4 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 - 4 \end{cases}$

Po uporządkowaniu układ równań zapisujemy w postaci:

$\{\begin{cases} 1 = a - b - 4 \\ 4 = 4 a + 2 b - 4 \end{cases}$

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy, że: $a = 3$ oraz $b = - 2$ .

Zatem funkcja $f$ jest określona za pomocą wzoru $f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 4$ .

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z wykorzystaniem wzoru w postaci iloczynowej:

mamy dane liczby (lub odczytujemy z wykresu funkcji kwadratowej), które są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej oraz współrzędne jednego punktu, który należy do paraboli, będącej wykresem tej funkcji,

do wyznaczenia wzoru funkcji kwadratowej rozwiązujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą.

Przykład 7

Na rysunku przedstawiono parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ . Wyznaczymy wzór funkcji $f$ , korzystając ze wzoru w postaci iloczynowej.

R1OFxguI5PdeR

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w górę. Wierzchołek paraboli znajduje się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres funkcji przechodzi przez punkty o współrzędnych -3;1, 5;7.

Rozwiązanie

Z paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ możemy odczytać, że miejscami zerowymi są liczby $x_{1} = - 2$ oraz $x_{2} = 1$ .

Korzystając ze wzoru funkcji kwadratowej $f$ w postaci iloczynowej mamy, że:

$f (x) = a \cdot (x + 2) (x - 1)$

Zauważmy, że do paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ należy punkt o współrzędnych $(- 3, 1)$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1 = a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 - 1)$

Zatem $a = \frac{1}{4}$ .

Wobec tego funkcja $f$ jest określona za pomocą wzoru $f (x) = \frac{1}{4} (x + 2) (x - 1)$ .

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z wykorzystaniem wzoru w postaci kanonicznej:

mamy dane (lub odczytujemy z wykresu funkcji kwadratowej) współrzędne wierzchołka paraboliparabolaparaboli, która jest wykresem tej funkcji oraz współrzędne jednego punktu, który należy do tego wykresu,

do wyznaczenia wzoru funkcji kwadratowej rozwiązujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą.

Przykład 8

Wiadomo, że wierzchołkiem paraboliparabolaparaboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 5)$ oraz do tego wykresu należy punkt o współrzędnych $(- 1, 1)$ . Wyznaczymy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie

Jeżeli wiadomo, że wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 5)$ , to wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci:

$f (x) = a \cdot {(x + 2)}^{2} - 5$

Jeżeli do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $(- 1, 1)$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1 = a \cdot {(- 1 + 2)}^{2} - 5$

Zatem $a = 6$ , więc wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci kanonicznej $f (x) = 6 \cdot {(x + 2)}^{2} - 5$ .

Wzory funkcji kwadratowychfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowych możemy znajdować również wtedy, gdy podane są własności funkcji kwadratowej lub jej wykresu takie, jak: wartość najmniejsza lub największa, czy oś symetrii paraboli.

Przykład 9

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = - x^{2} + b x + c$ . Wyznaczymy wartości współczynników $b$ i $c$ we wzorze tej funkcji, jeżeli jej miejscami zerowymi są liczby $(- 2)$ oraz $4$ .

Rozwiązanie

Ponieważ dane są miejsca zerowe funkcji $f$ , więc wykorzystamy postać iloczynową wzoru funkcji kwadratowej.

Zatem $f (x) = - (x + 2) (x - 4)$ .

Po przekształceniu tego wzoru do wzoru w postaci ogólnej mamy:

$f (x) = - (x + 2) (x - 4) = - (x^{2} - 4 x + 2 x - 8) = - x^{2} + 2 x + 8$

Wobec tego $b = 2$ i $c = 8$ .

Przykład 10

Wiadomo, że osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + b x - 3$ jest prosta o równaniu $x = - 3$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ .

Rozwiązanie

Ponieważ prosta o równaniu $x = - 3$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , zatem $p = - 3$ .

Jeżeli skorzystamy ze wzoru $p = \frac{- b}{2 a}$ , to $- 3 = \frac{- b}{2 \cdot 2}$ .

Zatem $b = 12$ .

Przykład 11

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + b x + c$ , jeżeli wierzchołkiem jej wykresu jest punkt o współrzędnych $(1, - 5)$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzory $p = \frac{- b}{2 a}$ oraz $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .

Obliczamy $∆$ :

$Δ = b^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot c = b^{2} + 12 c$

Zatem $p = \frac{- b}{2 \cdot (- 3)} = \frac{b}{6}$ oraz $q = \frac{- b^{2} - 12 c}{4 \cdot (- 3)} = \frac{- b^{2} - 12 c}{- 12}$ .

Do wyznaczenia wartości współczynników $b$ i $c$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 1 = \frac{b}{6} \\ - 5 = \frac{- b^{2} - 12 c}{- 12} \end{cases}$

Wobec tego $b = 6$ oraz $c = - 8$ .

Wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci ogólnej $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 8$ .

Przykład 12

Wyznaczymy wartości parametru $m$ , dla których prosta o równaniu $y = - m$ nie ma punktów wspólnych z parabolą, która jest wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + m$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia punktów wspólnych prostej i paraboli rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = - m \\ y = 2 x^{2} - 4 x + m \end{cases}$

Zatem:

$- m = 2 x^{2} - 4 x + m$

Równanie przekształcamy do postaci:

$2 x^{2} - 4 x + 2 m = 0$

Parabola oraz prosta nie będą miały punktów wspólnych, gdy wyróżnik trójmianu jest mniejszy od $0$ .

Wobec tego

$∆ = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 m = 16 - 16 m$

$16 - 16 m < 0$

$m > 1 \Rightarrow m \in (1, \infty)$

Zatem prosta i parabola nie mają punktów wspólnych, gdy $m \in (1, \infty)$ .

Przykład 13

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, jeżeli wiadomo, że suma miejsc zerowych tej funkcji wynosi $(- 1)$ , iloczyn $(- 2)$ , a do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(2, 16)$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeśli $x_{1}$ i $x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , to:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} + \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- b}{a}$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} \cdot \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{c}{a}$

Z danych zadania wynika, że $x_{1} + x_{2} = - 1$ , $x_{1} \cdot x_{2} = - 2$ oraz $f (2) = 16$ .

Zatem:

$- 1 = \frac{- b}{a}$ , czyli $b = a$

$- 2 = \frac{c}{a}$ , czyli $c = - 2 a$

Wobec tego wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci:

$f (x) = a x^{2} + a x - 2 a$

Ponieważ $f (2) = 16$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$16 = a \cdot 2^{2} + a \cdot 2 - 2 a$

Czyli $a = 4$ , $b = 4$ , $c = - 8$ .

Zatem funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = 4 x^{2} + 4 x - 8$ .

Zauważmy jeszcze, że wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni (co jest warunkiem tego, aby uzyskana funkcja kwadratowa miała dwa miejsca zerowe).

Polecenie 3

Zapoznaj się z infografiką dotyczącą wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej, gdy dana jest wartość najmniejsza tej funkcji, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R15REPOVAMQEx

Przedstawiono infografikę dotyczącą wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej. Wiadomo, że funkcja kwadratowa f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, c osiąga wartość najmniejszą równą minus dwa. Wyznaczymy wzór tej funkcji. Przedstawiono sposób pierwszy. Ponieważ a równa się dwa i jest to wartość większa od zera, zatem q równa się minus dwa. Wyznaczamy wartość p ze wzoru p, równa się, początek ułamka, minus, b, mianownik, dwa a, koniec ułamka. Stąd, p, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa × dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka. Następnie stosujemy zależność f nawias, p, zamknięcie nawiasu, równa się, q, czyli f nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa. Po podstawieniu otrzymujemy równanie, minus, dwa, równa się, dwa × nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy × początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, c. Wyznaczamy c, c, równa się, początek ułamka, minus, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka. Stąd, funkcja określona jest wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka. Sposób drugi. Obliczamy wyróżnik. Delta równa się nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery × dwa × c, równa się, dziewięć, minus, osiem c. Ponieważ a równa się dwa, co jest większe od zera, zatem q, równa się, minus, dwa. Korzystamy ze wzoru q równa się, minus delta, dzielone przez cztery razy a. Po podstawieniu otrzymujemy, minus, dwa, równa się, początek ułamka, minus, dziewięć, plus, osiem c, mianownik, cztery × dwa, koniec ułamka. Wyznaczamy c, c, równa się, początek ułamka, minus, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka. Stąd, funkcja określona jest wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka.

Polecenie 4

Wiadomo, że funkcja kwadratowa określona wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + c$ osiąga wartość największą równą $4$ . Wyznacz postać ogólną wzoru tej funkcji.

Zauważmy, że $a = - 3 < 0$ , zatem $q = 4$ .

Obliczmy wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowego:

$Δ = 6^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot c = 36 + 12 c$

Korzystając ze wzoru $q = \frac{- Δ}{4 a}$ , do wyznaczenia wartości $c$ rozwiązujemy równanie

$4 = \frac{- 36 - 12 c}{4 \cdot (- 3)}$

Zatem $c = 1$ .

Postać ogólna wzoru tej funkcja jest określona za pomocą wzoru $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 1$ .

Ćwiczenie 1

RMU7vyjPNQ3Iw

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus dziesięciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych do góry. Na wykresie funkcji zaznaczono dwa punkty o współrzędnych -112;0, oraz 412;0.

R124fmE4MNXQK

R1JVHblWkIMMG1

Ćwiczenie 2

RiMkWDzbenfHn1

Ćwiczenie 3

RPcaBc1pyvNzS2

Ćwiczenie 4

RWDGrN86C0YjZ2

Ćwiczenie 5

Przeciągnij w wyznaczone miejsca odpowiednie wzory funkcji. Funkcje kwadratowe z dwoma miejscami zerowymi i wierzchołkiem leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, siedem, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, jeden, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, minus, czternaście, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa Funkcje kwadratowe z dwoma miejscami zerowymi i wierzchołkiem leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, siedem, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, jeden, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, minus, czternaście, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa

R6xKpKIC355yX2

Ćwiczenie 6

RWoQRXLR3qu4L3

Ćwiczenie 7

RvKXuAwlhuig23

Ćwiczenie 8

R39HiDjTXbXOr3

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Poniżej przedstawiono parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ .

R1NPEQ2LLIVM7

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w górę. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych 1;5. Wykres posiada miejsce zerowe dla x równego minus cztery, oraz x równego sześć.

RxLnUBMse7W7e

RvIhqQczqPqjD1

Ćwiczenie 11

R9EkD4NgwhAGj2

Ćwiczenie 12

R1G7FBAuaMLrQ2

Ćwiczenie 13

ReEwU1KkXHZ5F2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, jeżeli wiadomo, że do paraboli, będącej jej wykresem należą punkty o współrzędnych $(- 3, 1)$ , $(1, 1)$ , a wykres przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $4$ .

Jeżeli wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $4$ , to $f (0) = 4$ , więc $c = 4$ .

Wzór funkcji zapisujemy w postaci: $f (x) = a x^{2} + b x + 4$ .

Jeżeli punkty o współrzędnych $(- 3, 1)$ , $(1, 1)$ należą do paraboli, będącej wykresem tej funkcji, to do wyznaczenia wartości współczynników $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 1 = a \cdot {(- 3)}^{2} + b \cdot (- 3) + 4 \\ 1 = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + 4 \end{cases}$

Po uporządkowaniu układ równań zapisujemy w postaci:

$\{\begin{cases} 1 = 9 a - 3 b + 4 \\ 1 = a + b + 4 \end{cases}$

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy, że: $a = - 1$ oraz $b = - 2$ .

Zatem funkcja jest określona za pomocą wzoru $f (x) = - x^{2} - 2 x + 4$ .

Ćwiczenie 16

Na rysunku przedstawiono parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci iloczynowej.

R1BWiRH2BYAav

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w górę. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych 0;-2. Wykres posiada miejsce zerowe dla x równego minus trzy, oraz x równego dwa.

Z paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej możemy odczytać, że miejscami zerowymi są liczby $x_{1} = - 3$ oraz $x_{2} = 2$ .

Korzystając ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej mamy, że

$f (x) = a \cdot (x + 3) (x - 2)$ .

Zauważmy, że do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, 2)$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$2 = a \cdot (3 + 3) \cdot (3 - 2)$

Zatem $a = \frac{1}{3}$ .

Wobec tego funkcja jest określona za pomocą wzoru $f (x) = \frac{1}{3} (x + 3) (x - 2)$ .

Ćwiczenie 17

Wiadomo, że do paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej należą punkty o współrzędnych: $(- 1, 0)$ , $(1, - 2)$ , $(2, 6)$ . Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Współrzędne punktów, które należą do paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej, podstawiamy do wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 0 = a \cdot {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) + c \\ - 2 = a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \\ 6 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c \end{cases}$

Po uporządkowaniu układ równań jest postaci:

$\{\begin{cases} 0 = a - b + c \\ - 2 = a + b + c \\ 6 = 4 a + 2 b + c \end{cases}$

Rozwiązaniem układu równań są liczby:

$a = 3$ , $b = - 1$ , $c = - 4$ .

Wzór funkcji kwadratowej zapisujemy w postaci ogólnej:

$f (x) = 3 x^{2} - x - 4$

Słownik

funkcja kwadratowa

funkcja, której wzór można zapisać w postaci $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

parabola

wykres funkcji kwadratowej

2. Interpretacja zagadnień geometrycznych z zastosowaniem funkcji kwadratowej

M_R_W10_M3 Zastosowanie własności funkcji kwadratowej

1. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności

Słownik