2. Interpretacja zagadnień geometrycznych z zastosowaniem funkcji kwadratowej

R1H9EuVSUrzE1

Archimedes, jeden z najwybitniejszych matematyków starożytności, zajmował się głównie geometrią. Interesował się wyznaczaniem pól nietypowych figur. W swoim traktacie o kwadraturze paraboli napisanym ok. $III$ wieku p.n.e. zaprezentował metodę wyznaczenia pola wycinka paraboli.

W tym materiale wykorzystamy własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

Twoje cele

Rozwiążesz równania kwadratowe.
Wykorzystasz własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.
Zastosujesz poznaną wiedzę do rozwiązywania zadań.

Funkcję określoną wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

x \in ℝ

gdzie $a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym $a \neq 0$ , nazywamy funkcją kwadratową. Gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego

∆ = b^{2} - 4 a c

jest nieujemny, to funkcja ma miejsca zerowe:

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}

Pokażemy teraz przykładowe zadania tekstowe, w których interpretując zagadnienie geometryczne, wykorzystamy własności funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej.

Przykład 1

Obwód rombu jest równy $60 cm$ , a różnica długości jego przekątnych $6 cm$ . Oblicz długości przekątnych tego rombu.

W rombie:

przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe,
przekątne są dwusiecznymi kątów.

R196PPIqDuQyj

Ilustracja przedstawia romb A B C D z zaznaczonymi przekątnymi A C i B D przecinającymi się w punkcie O. Boki rombu mają długość a.

Rozwiązanie:

Z rysunku mamy poniższe zależności:

$|A B| = |B C| = |C D| = |D A| = a$

$|A C| - |D B| = 6$

$|D B| = |A C| - 6$

$|A C| = x$

$| D B | = x - 6$ , $x > 6$ ,

gdzie $|A C|$ to dłuższa przekątna rombu, natomiast $|D B|$ to krótsza przekątna rombu.

Trójkąt $A O B$ jest trójkątem prostokątnym. Zapiszmy zatem długości przyprostokątnych tego trójkąta.

$|A O| = \frac{1}{2} x$

$|B O| = \frac{1}{2} (x - 6)$

Wzór na obwód rombu: $L = 4 a$ i $L = 60 cm$ .

$4 a = 60$

$a = 15 \Rightarrow x > 15$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A O B$ :

${(\frac{1}{2} x)}^{2} + {[\frac{1}{2} (x - 6)]}^{2} = 15^{2}$

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} {(x - 6)}^{2} = 225$ .

Mnożymy stronami przez $4$ i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

$x^{2} + {(x - 6)}^{2} = 900$

$x^{2} + x^{2} - 12 x + 36 = 900$

$2 x^{2} - 12 x - 864 = 0$

$∆ = b^{2} - 4 a c = 144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 864) = 144 + 6912 = 7056$

$\sqrt{∆} = \sqrt{7056} = 84$

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 12) + \sqrt{7056}}{2 \cdot 2} = \frac{12 + 84}{4} = \frac{96}{4} = 24$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 12) - \sqrt{7056}}{2 \cdot 2} = \frac{12 - 84}{4} = \frac{- 72}{4} = - 18 < 0$

Długość przekątnej nie może być ujemna, zatem z powyższych obliczeń mamy, że $x = 24$ , a więc $|A C| = 24$ oraz $|D B| = x - 6 = 24 - 6 = 18$ .

Odp.: Dłuższa przekątna ma długość $24 cm$ , a krótsza $18 cm$ .

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnych wynosi $4 : 3$ . Znaleźć długości przyprostokątnych, jeżeli przeciwprostokątna ma długość $20 cm$ .

R1OripqafcQAd

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi o długości b oraz x oraz z przeciwprostokątną o długości dwadzieścia.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku mamy: $x^{2} + b^{2} = 20^{2}$ .

Z treści zadania mamy, że $\frac{b}{x} = \frac{4}{3}$ .

$b = \frac{4}{3} x$ , $0 < x < 20$

$x^{2} + {(\frac{4}{3} x)}^{2} = 20^{2}$

$x^{2} + \frac{16}{9} x^{2} = 20^{2}$

$\frac{25}{9} x^{2} = 20^{2}$

$\frac{25}{9} x^{2} - 20^{2} = 0$

$(\frac{5}{3} x - 20) (\frac{5}{3} x + 20) = 0$

Skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę kwadratów: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero.

$\frac{5}{3} x - 20 = 0$ lub $\frac{5}{3} x + 20 = 0$

$\frac{5}{3} x = 20$ lub $\frac{5}{3} x = - 20$

$x = 12$ lub $x = - 12 < 0$

Długość boku nie może być ujemna,i musi spełniać zakładane wcześniej warunki, więc $x = 12$ .

$b = \frac{4}{3} x = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16$

Odp.: Przyprostokątne mają długości $12 cm$ i $16 cm$ .

Przykład 3

Środki boków prostokąta o obwodzie równym $28 cm$ są wierzchołkami rombu o boku $5 cm$ . Wyznacz długości boków tego prostokąta.

R1cqzvmZnpuyY

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach b na a oraz romb wpisany w prostokąt. Wierzchołek rombu A znajduje się na środku krótszego boku b prostokąta i tworzy odcinek A B, gdzie b to wierzchołek prostokąta, o długości x. Na środku dłuższego odcinka prostokąta o długości a, znajduje się wierzchołek rombu C.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

Z treści zadania: $2 a + 2 b = 28$ .

$a + b = 14$

$a = 14 - b$

$b = 2 x$ , $0 < x < 7$

$a = 14 - 2 x$

Ponieważ środki boków prostokąta są wierzchołkami rombu, to powstały trójkąt $A B C$ jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości $\frac{1}{2} b$ , $\frac{1}{2} a$ i przeciwprostokątnej o długości równej $5$ .

Możemy dla tego trójkąta zastosować twierdzenie Pitagorasa.

${(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = 5^{2}$

${(\frac{2 x}{2})}^{2} + {(\frac{14 - 2 x}{2})}^{2} = 25$

$x^{2} + {(7 - x)}^{2} = 25$

$x^{2} + 49 - 14 x + x^{2} = 25$

$2 x^{2} - 14 x + 24 = 0 | : 2$

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, aby znaleźć miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej.

$∆ = b^{2} - 4 a c = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

$\sqrt{∆} = 1$

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Dla $x_{1}$ mamy następujące rozwiązania:

$b_{1} = 2 x_{1} = 2 \cdot 4 = 8$

oraz

$a_{1} = 14 - b_{1} = 14 - 8 = 6$ .

Dla $x_{2}$ mamy następujące rozwiązania:

$b_{2} = 2 x_{2} = 2 \cdot 3 = 6$

oraz

$a_{2} = 14 - b_{2} = 14 - 6 = 8$ .

Odp.: Prostokąt ma boki o długościach $6 cm$ i $8 cm$ .

Przykład 4

Suma objętości dwóch sześcianów wynosi $72 {cm}^{3}$ , a suma ich wysokości wynosi $6 cm$ . Oblicz długość boku każdego z tych sześcianów.

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez $x$ długość krawędzi jednego z sześcianów. Z treści zadania wynika, że krawędź drugiego sześcianu wynosi $6 - x$ .

R119QIGuNf0ng

Ilustracja przedstawia dwa sześciany, pierwszy mniejszy o krawędzi równej x oraz drugi większy o krawędzi równej sześć odjąć x.

Objętość sześcianu wyraża wzór: $V = a^{3}$ .

Objętość pierwszego sześcianu: $V_{1} = x^{3}$ .

Objętość drugiego sześcianu: $V_{2} = {(6 - x)}^{3}$ , $0 < x < 6$ .

Z treści zadania: $V_{1} + V_{2} = 72$ .

Po podstawieniu $V_{1} = x^{3}$ i $V_{2} = {(6 - x)}^{3}$ , otrzymujemy wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów: $x^{3} + {(6 - x)}^{3} = 72$ .

Lewą stronę tego równania przekształcimy, wykorzystując wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .

$x^{3} + {(6 - x)}^{3} = 72$

$(x + 6 - x) [x^{2} - x (6 - x) + {(6 - x)}^{2}] = 72$

Dzielimy stronami przez $6$ i przeprowadzamy redukcję wyrażeń podobnych.

$6 (x^{2} - 6 x + x^{2} + 36 - 12 x + x^{2}) = 72 | : 6$

$3 x^{2} - 18 x + 36 = 12$

$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0 | : 3$

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz miejsca zerowe odpowiedniej funkcji.

$∆ = b^{2} - 4 a c = 36 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$\sqrt{∆} = \sqrt{4} = 2$

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Dla $x_{1} = 4$ bok drugiego sześcianu wynosi $6 - 4 = 2$ .

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Dla $x_{2} = 2$ bok drugiego sześcianu wynosi $6 - 2 = 4$ .

Odp.: Długości boków są równe $4 cm$ i $2 cm$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą wykorzystanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych. Rozwiąż zadania zapisane w Poleceniu 2 i w Poleceniu 3. Porównaj z odpowiedziami.

Rs3hus9vcOM0G

Polecenie 2

Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego, wiedząc, że są one kolejnymi liczbami parzystymi.

Oznaczmy: $x$ – liczba dodatnia parzysta.

Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami parzystymi, czyli wynoszą: $x$ , $x + 2$ , $x + 4$ .

Trójkąt jest prostokątny – przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $x + 4$ (najdłuższy bok w trójkącie).

R1X15GGBD7eg2

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi o długości x oraz x dodać dwa oraz z przeciwprostokątną o długości x dodać cztery.

Z twierdzenia Pitagorasa: $x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} + 8 x + 16$

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Po redukcji wyrażeń podobnych otrzymujemy: $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ .

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego, aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji.

$∆ = b^{2} - 4 a c = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 16 + 48 = 64$

$\sqrt{∆} = \sqrt{64} = 8$

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 < 0$

Długość nie może być ujemna więc $x = 6$ .

Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami parzystymi, czyli wynoszą: $6$ , $8$ i $10$ .

Polecenie 3

Pole prostokąta wynosi $28 {cm}^{2}$ , a jego obwód $22 cm$ . Oblicz długości boków tego prostokąta.

RREEomE14y90c

Ilustracja przedstawia prostokąt o długości boków b oraz a równe x.

Wzór na pole prostokąta: $P = a b$ .

Wzór na obwód prostokąta: $L = 2 a + 2 b$ .

Przez $x$ oznaczmy długość boku $a$ .

Z treści zadania: $L = 22 cm$ .

$22 = 2 x + 2 b | : 2$

$11 = x + b$

Otrzymujemy zatem:

$b = 11 - x$ , $0 < x < 11$ .

Z treści zadania $P = 28 {cm}^{2}$ , więc $28 = x b$ .

Podstawiamy do powyższego równania $b = 11 - x$ .

$28 = x (11 - x)$

$28 = 11 x - x^{2}$

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego, aby rozwiązać równanie.

$∆ = b^{2} - 4 a c = 11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 28) = 121 - 112 = 9$

$\sqrt{∆} = \sqrt{9} = 3$

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- 11 + \sqrt{9}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 11 + 3}{- 2} = \frac{- 8}{- 2} = 4$

Dla $x_{1}$ mamy: $b_{1} = 11 - x_{1} = 11 - 4 = 7$ .

Dla $x_{2}$ mamy: $b_{2} = 11 - x_{2} = 11 - 4 = 7$ .

Prostokąt ma boki o długościach: $4 cm$ i $7 cm$ .

RzNIWQ9iLLfme1

Ćwiczenie 1

RXNnAFPG8kgJM1

Ćwiczenie 2

R1FTquDLwGaHl1

Ćwiczenie 3

R1PdXh3UsBXhF2

Ćwiczenie 4

R1H4KMaHjOpd62

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ , jak na rysunku poniżej.

R1LG8lSQjaT4K

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Podstawą trójkąta jest bok A B o długości x. Na środku odcinka A C będącego wysokością trójkąta poprowadzono odcinek o długości piętnaście, równoległy do podstawy łączący wysokość oraz dzielący przeciwprostokątną na dwa odcinki. Pierwszy przy punkcie C o długości x odjąć trzynaście oraz drugi przy punkcie B o długości siedemnaście.

Rq2lKSB0B88HE

Ćwiczenie 7

Rysunek poniżej przedstawia prostokąt $A B C D$ wpisany w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $6$ i $8$ . Pole tego prostokąta wynosi $9$ .

R7Encl9B9wRWb

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi o długości sześć oraz osiem. Wewnątrz trójkąta wpisano prostokąt A B C D w taki sposób, że wierzchołek B jest jednocześnie wierzchołkiem trójkąta przy kącie prostym, wierzchołek C znajduje się na dłuższej przyprostokątnej, wierzchołek D znajduje się na przeciwprostokątnej natomiast wierzchołek A znajduje się na krótszej przyprostokątnej.

R12JLMmuXMjq6

R1S887dnlhBdW3

Ćwiczenie 8

Słownik

funkcja kwadratowa

funkcję $f (x) = a x^{2} + b x + c$ określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych, gdzie $a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym $a \neq 0$ , nazywamy funkcją kwadratową

1. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności

3. Interpretacja zagadnień praktycznych z zastosowaniem funkcji kwadratowej

2. Interpretacja zagadnień geometrycznych z zastosowaniem funkcji kwadratowej

Słownik