3. Interpretacja zagadnień praktycznych z zastosowaniem funkcji kwadratowej

RGVNeyg5SxPlp

Odwiecznym problemem militarnym od czasów wynalezienia procy jest pytanie: Jak wycelować działo czy procę, aby trafić do celu?. Tor lotu wystrzelonego lub rzuconego ciała nazywamy krzywą balistyczną.

Odkrycie parabolicznego kształtu krzywej balistycznej jest jednym z osiągnięć Galileusza.

W tym materiale, wykorzystując własności funkcji kwadratowej, pokażemy m.in. jak rozwiązać problem celnego trafienia.

Twoje cele

Określisz własności danej funkcji kwadratowej.
Wykorzystasz własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania zagadnień przyrodniczych.
Zastosujesz własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania zagadnień praktycznych.
Wykorzystasz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Funkcję określoną wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c, x \in ℝ

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są liczbami rzeczywistymi, przy czym $a \neq 0$ , nazywamy funkcją kwadratową.

Wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ dla $x \in ℝ$ , gdzie $a \neq 0$ , jest krzywa, zwana parabolą. Punkt $(p, q)$ nazywamy wierzchołkiem paraboli. Dzieli on parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami.

p = - \frac{b}{2 a}

q = - \frac{∆}{4 a}

gdzie $∆ = b^{2} - 4 a c$ – wyróżnik trójmianu kwadratowego.

Gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego $∆ = b^{2} - 4 a c$ jest nieujemny to funkcja ma miejsca zerowe:

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}

Przeanalizujemy na początku ruch ciała wyrzuconego pod kątem $α$ do poziomu z prędkością $v_{0}$ . Torem ruchu ciała wyrzuconego pod kątem $α$ z prędkością $v_{0}$ jest wykres pewnej funkcji, będący częścią paraboli:

R1ckqZRNQUlaa

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz pionową oś Y. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącą parabolą z wierzchołkiem w punkcie nawias d drugich średnik h indeks dolny max koniec indeksu koniec nawiasu, jest to pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Parabola ma ramiona skierowane w dół oraz posiada dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias d średnik zero koniec nawiasu. Z punktu nawias zero średnik zero koniec nawiasu poprowadzono wektor v indeks dolny zero koniec indeksu pod kątem alfa do poziomej osi X.

Oznaczmy:

$d$ – zasięg rzutu,

$h_{m a x}$ – maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się ciało.

Tor ruchu pocisku opisuje równanie:

y = - (\frac{g}{2 {v_{0}}^{2} \cos^{2} α}) \cdot x^{2} + (tg α) \cdot x

gdzie:

$g$ – przyśpieszenie grawitacyjne: $g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}$ .

Z odpowiedniego wykresu funkcji kwadratowejwykres funkcji kwadratowejwykresu funkcji kwadratowej wynika:

funkcja ma dwa miejsca zerowe: $x = 0$ i $x = d$ ,

$y = 0$ dla $x = 0$ : odpowiada momentowi wyrzutu ciała,

$y = 0$ dla $x = d$ : ciało zakończyło ruch (osiągnęło poziom, z którego zostało ciało wyrzucone),

gdy $x = \frac{d}{2}$ ciało osiąga maksymalną wysokość.

Pokażemy teraz przykładowe zadania tekstowe, w których interpretując zagadnienia przyrodnicze doprowadzimy do zapisania wzoru funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej (ograniczamy się zwykle do rozpatrywania własności takiej funkcji w pewnym przedziale). Pokażemy, jak można wykorzystać równanie toru ruchu ciała do rozwiązania zadań.

Przykład 1

Napiszemy równanie ruchu ciała wyrzuconego pod kątem $45 °$ z prędkością $20 \frac{m}{s}$ . Podamy zasięg i maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się ciało. Przyjmiemy $g \approx 10 \frac{m}{s^{2}}$ .

Rozwiązanie

Do równania toru ruchu:

$y = - (\frac{g}{2 v_{0} {}^{2}\cos^{2} α}) \cdot x^{2} + (tg α) \cdot x$ , gdzie $x > 0$

podstawiamy dane: $v_{0} = 20 \frac{m}{s}$ , $α = 45 °$ , $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ .

Stąd:

$y = - (\frac{10}{2 \cdot 20^{2} \cos^{2} 45 °}) \cdot x^{2} + (tg 45 °) \cdot x$ .

Ponieważ $\cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $tg 45 ° = 1$ ,

to:

$y = - \frac{1}{40} x^{2} + x$ .

Obliczymy teraz zasięg rzutu pamiętając, że $y = 0$ dla $x = d$ :

$0 = - \frac{1}{40} \cdot d^{2} + d = - d (\frac{1}{40} \cdot d - 1)$ .

Iloczyn jest równy zero gdy jeden z czynników jest równy zero, zatem:

$d = 0$ lub $\frac{1}{40} \cdot d - 1 = 0$ .

Stąd: $d = 40 m$ .

Zasięg tego rzutu wynosi $40 m$ .

Maksymalną wysokość obliczymy podstawiając za $x = \frac{d}{2}$ , czyli $x = 20$ .

$h_{\max} = - \frac{1}{40} \cdot 20^{2} + 20 = - \frac{1}{40} \cdot 400 + 20 = - 10 + 20$

$h_{m a x} = 10 m$

Odpowiedź

Maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się ciało to $10 m$ , zaś zasięg rzutu wynosi $40 m$ .

Przykład 2

Obliczymy, po ilu sekundach ciało rzucone pionowo w górę z prędkością $60 \frac{m}{s}$ osiągnie wysokość $100 m$ (przyjmiemy $g \approx 10 \frac{m}{s^{2}}$ ). Wyznaczymy maksymalną wysokość, jaką osiągnie to ciało.

Rozwiązanie

Ciało wyrzucone pionowo w górę porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, stąd droga wyraża się wzorem:

$S = v_{0} \cdot t - \frac{a t^{2}}{2}$ ,

gdzie: $a = g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ , $v_{0} = 60 \frac{m}{s}$ , $S = h = 100 m$ i $t > 0$ .

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

$S = v_{0} \cdot t - \frac{a t^{2}}{2}$

$h = v_{0} \cdot t - \frac{g t^{2}}{2}$

$100 = 60 \cdot t - \frac{10 t^{2}}{2}$

$- 5 t^{2} + 60 \cdot t - 100 = 0$ .

Po podzieleniu stronami przez $(- 5)$ , otrzymujemy: $t^{2} - 12 t + 20 = 0$ , $t > 0$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c = 12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$

Obliczamy wyznacznik trójmianu kwadratowego:

$\sqrt{∆} = \sqrt{64} = 8$ .

Obliczamy pierwiastki równania:

$t_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 > 0$ ,

$t_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 12) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 > 0$ .

Wyznaczymy teraz maksymalną wysokość, jaką osiągnie to ciało. Funkcja opisująca ten ruch ma postać: $f (t) = - 5 t^{2} + 60 t$ , $t > 0$ .

Maksymalną wysokość ciało osiąga w $p = \frac{- 60}{2 \cdot (- 5)} = 6$ sekundzie ruchu, zatem:

$h_{m a x} = - 5 \cdot 6^{2} + 60 \cdot 6$

$h_{m a x} = 180 m$ .

Odpowiedź

Ciało wyrzucone pionowo w górę osiągnie wysokość $100 m$ dwukrotnie: po $2$ sekundach, gdy porusza się w górę oraz po $10$ sekundach, gdy po osiągnięciu maksymalnej wysokości równej $180 m$ porusza się w dół.

Przykład 3

Odległość między dwiema przystaniami na rzece wynosi $100 km$ . Statek przepływa tę drogę w obie strony w czasie $4, 5$ godziny. Wyznaczymy prędkość statku w wodzie stojącej, jeżeli woda w rzece płynie z prędkością $5 \frac{km}{h}$ .

Rozwiązanie

Oznaczymy:

$S = 100 km$ , $t = 4, 5 h$ , $v_{r} = 5 \frac{km}{h}$ .

Wykorzystamy wzór $v = \frac{S}{t}$ przekształcony do postaci:

$t = \frac{S}{v}$ .

Niech:

$t_{1}$ – czas w godzinach, w którym statek pokonał drogę $100 km$ pod prąd, czyli z prędkością względem brzegu: $v - v_{r}$ : $t_{1} = \frac{S}{v - v_{r}}$ ,

$t_{2}$ – czas, w którym statek pokonał drogę $100 km$ z prądem, czyli z prędkością względem brzegu: $v + v_{r}$ : $t_{2} = \frac{S}{v + v_{r}}$ .

Czas całego ruchu: $t = t_{1} + t_{2}$ , zatem: $t = t_{1} + t_{2} = \frac{S}{v - v_{r}} + \frac{S}{v + v_{r}}$ .

Po podstawieniu danych otrzymujemy: $4, 5 = \frac{100}{v - 5} + \frac{100}{v + 5}$ , gdzie $v > 5 \frac{km}{h}$ .

Rozwiązujemy równanie

$4, 5 = \frac{100 \cdot (v + 5)}{(v - 5) \cdot (v + 5)} + \frac{100 \cdot (v - 5)}{(v + 5) \cdot (v - 5)}$

$4, 5 = 100 \frac{v + 5 + v - 5}{v^{2} - 25} = 100 \frac{2 v}{v^{2} - 25}$

$4, 5 = 100 \frac{2 v}{v^{2} - 25}$

$4, 5 (v^{2} - 25) = 200 v$

$4, 5 v^{2} - 4, 5 \cdot 25 = 200 v$

$4, 5 v^{2} - 112, 5 - 200 v = 0$ .

Dzielimy równanie stronami przez $5$ :

$0, 9 v^{2} - 40 v - 22, 5 = 0$ , $v > 5$ .

Obliczamy wyróżnik trójmianu:

$∆ = b^{2} - 4 a c = 40^{2} - 4 \cdot 0, 9 \cdot (- 22, 5) = 1600 + 81 = 1681$ , stąd: $\sqrt{∆} = \sqrt{1681} = 41$ .

Wyznaczamy pierwiastki równania:

$v_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 40) + \sqrt{1681}}{2 \cdot 0, 9} = \frac{40 + 41}{1, 8} = \frac{81}{1, 8} = 45 > 5$ ,

$v_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 40) - \sqrt{1681}}{2 \cdot 0, 9} = \frac{40 - 41}{1, 8} = \frac{- 1}{1, 8} < 5$ .

Tylko pierwsze rozwiązanie spełnia warunki zadania.

Odpowiedź

Prędkość statku w stojącej wodzie wynosi $45 \frac{km}{h}$ .

Przykład 4

Roztwór o stężeniu $40 %$ stanowi $x %$ roztworu dwuskładnikowego, pozostałą część stanowi roztwór o stężeniu $x %$ . Zapiszemy zależność stężenia roztworu dwuskładnikowego od $x$ . Wyznaczymy wartość $x$ , dla której stężenie roztworu będzie maksymalne.

Rozwiązanie

Stężenie roztworu dwuskładnikowego wyraża wzór:

$S = \frac{m_{1} + m_{2}}{M_{1} + M_{2}} \cdot 100 %$ , gdzie:

$m_{1}$ – masa substancji rozpuszczonej w pierwszym roztworze,

$m_{2}$ – masa substancji rozpuszczonej w drugim roztworze,

$M_{1}$ – masa pierwszego roztworu,

$M_{2}$ – masa drugiego roztworu.

Oznaczymy przez $M$ masę dwuskładnikowego roztworu: $M = M_{1} + M_{2}$ .

Z treści zadania:

$M_{1} = \frac{x}{100} M$ (roztwór pierwszy stanowi $x %$ całości roztworu dwuskładnikowego), $x \in (0, 100)$ ,

$M_{2} = \frac{100 - x}{100} M$ (drugi roztwór stanowi $(100 % - x %)$ całości roztworu dwuskładnikowego), $x \in (0, 100)$ ,

masa substancji $40 %$ roztworu: $m_{1} = \frac{40}{100} M_{1}$ ,

masa substancji $x %$ roztworu: $m_{2} = \frac{x}{100} M_{2}$ .

Po podstawieniu do wzoru na stężenie dwuskładnikowego roztworu otrzymujemy:

$S = \frac{\frac{40}{100} M_{1} + \frac{x}{100} M_{2}}{M_{1} + M_{2}} \cdot 100$

$S = \frac{\frac{40}{100} \cdot \frac{x}{100} \cdot M + \frac{x}{100} \cdot \frac{100 - x}{100} \cdot M}{M} \cdot 100$

$S = \frac{40}{100} x + \frac{x (100 - x)}{100}$

$S = \frac{40}{100} x + \frac{100 x - x^{2}}{100}$

$S = \frac{40}{100} x + \frac{100}{100} x - \frac{1}{100} x^{2}$

$S = \frac{- 1}{100} x^{2} + \frac{140}{100} x$

$S (x) = \frac{- 1}{100} x^{2} + 1, 4 x$ , gdzie $x \in (0, 100)$ .

Wykres rozważanej funkcji jest częścią paraboli. Aby podać współrzędne wierzchołka paraboli, możemy przedstawić funkcję w postaci kanonicznej lub wykorzystać fakt, że pierwsza współrzędna wierzchołka jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych. Zauważmy, że:

$S (x) = \frac{- 1}{100} x (x - 140)$ , stąd $x_{1} = 0$ lub $x_{2} = 140$ .

Zatem:

$x_{w} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{140}{2} = 70$ , $x \in (0, 100)$ ,

$y_{w} = S (70) = \frac{- 1}{100} x (x - 140) = - \frac{1}{100} \cdot 70 (70 - 140) = 49$ .

Rn3aKx0qBX9sB

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwudziestu do stu sześćdziesięciu oraz pionową oś S od minus sześćdziesięciu do sześćdziesięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias siedemdziesiąt średnik czterdzieści koniec nawiasu. Parabola posiada ramiona skierowane w dół oraz dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias sto czterdzieści średnik zero koniec nawiasu. Na poziomej osi X zaznaczono przedział prawo stronnie otwarty i lewostronnie otwarty od zera do stu.

Dla $x = 70 %$ otrzymujemy roztwór o maksymalnym stężeniu równym $49 %$ .

Odpowiedź

Jeżeli roztwór o stężeniu $40 %$ będzie stanowił $70 %$ roztworu dwuskładnikowego a pozostałą częścią $(30 %)$ będzie roztwór o stężeniu $70 %$ , to otrzymamy roztwór dwuskładnikowy o największym stężeniu równym $49 %$ .

Przykład 5

Korzystając z prawa Ohma obliczymy natężenie prądu płynącego w obwodzie, w którym zmiana oporu o $115 Ω$ powoduje zmniejszenie natężenia prądu o $1 A$ . Obwód jest podłączony do źródła o stałym napięciu $230 V$ .

Rozwiązanie

Prawo Ohma:

$R = \frac{U}{I}$ ,

gdzie:

$R$ – opór elektryczny,

$U$ – napięcie,

$I$ – natężenie prądu.

Oznaczymy dane (znak $Δ$ opisuje pewną zmianę): $∆ R = 115 Ω$ , $∆ I = 1 A$ , $U = 230 V$ .

Zauważmy, że przed zmianą oporu: $R = \frac{230}{I}$ , zaś po zwiększeniu oporu: $R + ∆ R = \frac{230}{I - ∆ I}$ , gdzie $R > 0$ i $I > 0$ .

Mamy zatem:

$R + 115 = \frac{230}{I - 1}$

$\frac{230}{I} + 115 = \frac{230}{I - 1}$ .

Podzielmy to równanie przez $115$ :

$\frac{2}{I} + 1 = \frac{2}{I - 1}$ , $I \neq 0$ i $I \neq 1$ .

Mnożąc równanie stronami przez $I (I - 1)$ otrzymujemy:

$2 (I - 1) + I (I - 1) = 2 I$

$I^{2} - I - 2 = 0$ i $I > 1$ .

Obliczamy wyróżnik trójmianu:

$∆ = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$ , stąd: $\sqrt{∆} = \sqrt{9} = 3$ .

Obliczamy pierwiastki równania:

$I_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 > 1$ ,

$I_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 < 1$ .

Odpowiedź

W obwodzie płynął prąd o natężeniu $2 A$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą wykorzystanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień przyrodniczych. Rozwiąż polecenia znajdujące się pod animacją. Zwróć uwagę, że wykresem rozważanej funkcji w zadaniu jest część paraboli.

R1UeUQ6dhOjdW

Polecenie 2

Samochód rozpoczął hamowanie i poruszał się ruchem, w którym zależność drogi od czasu opisuje funkcja $S (t) = - t^{2} + 10 t$ . Określ, po jakim czasie samochód się zatrzymał, jeżeli do momentu zatrzymania przebył drogę $25 m$ .

Wiemy, że:

$S = - t^{2} + 10 t$ , $t > 0$ i $S = 25 m$ .

Zatem:

$25 = - t^{2} + 10 t$

$- t^{2} + 10 t - 25 = 0$

$t^{2} - 10 t + 25 = 0$

${(t - 5)}^{2} = 0$ .

Stąd $t = 5 s$ .

Samochód zatrzymał się po $5$ sekundach od momentu rozpoczęcia hamowania.

Polecenie 3

Paweł skacze z trampoliny położonej na wysokości $h = 3 m$ i po $t$ sekundach znajduje się na wysokości $h = - 5 t^{2} + 2 t + 3$ . Oblicz, po ilu sekundach uderzy o powierzchnię wody.

Gdy Paweł dotrze do powierzchni wody, to $h = 0$ .

Zatem:

$0 = - 5 t^{2} + 2 t + 3$ i $t > 0$ .

Wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$∆ = b^{2} - 4 a c = 2^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 3 = 4 + 60 = 64$ ; stąd $\sqrt{∆} = \sqrt{64} = 8$ .

Wyznaczamy pierwiastki równania:

$t_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- 2 + \sqrt{64}}{2 \cdot (- 5)} = \frac{- 2 + 8}{- 10} = \frac{6}{- 10} = - \frac{6}{10} < 0$ ,

$t_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- 2 - \sqrt{64}}{2 \cdot (- 5)} = \frac{- 2 - 8}{- 10} = \frac{- 10}{- 10} = 1$ .

Paweł dotrze do powierzchni wody po $1$ sekundzie od skoku.

Przykład 6

Zdjęcie oprawiono w ramę o zewnętrznych wymiarach $9 dm$ i $6 dm$ tak, że pole powierzchni widocznej części zdjęcia wynosi $18 {dm}^{2}$ . Obliczymy szerokość tej ramy.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RHGLiLY851EvJ

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty. Pierwszy większy oraz drugi mniejszy wewnątrz pierwszego. Odległość pomiędzy bokami mniejszego prostokąta a większego została zaznaczona i wynosi x.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy szerokość ramy w $d m$ , to $6 - x > 0$ oraz $9 - x > 0$ .

Zatem $x \in (0, 6)$ .

Do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$(9 - 2 x) \cdot (6 - 2 x) = 18$

$54 - 18 x - 12 x + 4 x^{2} - 18 = 0$

$2 x^{2} - 15 x + 18 = 0$

$∆ = 225 - 8 \cdot 18 = 81$

$x_{1} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_{2} = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Ponieważ $x \in (0, 6)$ , zatem rama ma szerokość $\frac{3}{2} dm$ .

Przykład 7

Drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym opisuje wzór $s = v_{0} \cdot t + \frac{a \cdot t^{2}}{2}$ , gdzie $v_{0}$ - prędkość poczatkowa ciała w $\frac{m}{s}$ , $a$ - przyspieszenie w $\frac{m}{s^{2}}$ , $s$ - długość przebytej drogi w $m$ , $t$ - czas trwania ruchu w $s$ . Wyznaczymy z tego wzoru czas trwania ruchu.

Rozwiązanie:

Do wyznaczenia czasu $t$ wykorzystamy podany wzór:

$s = v_{0} \cdot t + \frac{a \cdot t^{2}}{2}$

Wzór ten możemy przekształcić do następującej postaci:

$a t^{2} + 2 v_{0} t - 2 s = 0$

Wyznaczamy t:

$∆ = {(2 v_{0})}^{2} - 4 \cdot a \cdot (- 2 s) = 4 {v_{0}}^{2} + 8 a s$

$\sqrt{∆} = \sqrt{4 {v_{0}}^{2} + 8 a s} = 2 \sqrt{{v_{0}}^{2} + 2 a s}$

$t_{1} = \frac{- 2 v_{0} - 2 \sqrt{{v_{0}}^{2} + 2 a s}}{2} = - v_{0} - \sqrt{{v_{0}}^{2} + 2 a s} < 0$

$t_{2} = \frac{- 2 v_{0} + 2 \sqrt{{v_{0}}^{2} + 2 a s}}{2} = - v_{0} + \sqrt{{v_{0}}^{2} + 2 a s} > 0$

Zatem czas trwania ruchu ciała można wyznaczyć ze wzoru $t = - v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2 a s}$ $[s]$ .

Przykład 8

Na rysunku przedstawiono schemat ulicznej latarni. Słup, podtrzymujący latarnię został zaprojektowany na kształt paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej. Do latarni zamocowano pręt (w kolorze żółtym), jak na rysunku (bokowi jednej kratki odpowiada 1 m) .

R4rgkYzrZ05PU

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus czterech do ośmiu oraz pionową oś Y od minus sześciu do trzech. Na rysunku zaznaczono także lampę, będącą w kształcie paraboli o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych i z ramionami skierowanymi w dół. Lampa ma dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias jedna druga średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias pięć średnik zero koniec nawiasu, w tym też punkcie lampa posiada żarówkę. Parabola przechodzi przez dwa punkty, pierwszy nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu oraz drugi nawias dwa średnik trzy drugie koniec nawiasu. Na poziomej osi X żółtym kolorem zaznaczono poziomy odcinek łączący oba ramiona lampy w puntach przecięcia się wykresu z osią X.

Wyznaczymy długość pręta, który zamocowano do latarni.

Rozwiązanie:

Możemy przyjąć, że długość pręta jest równa odległości pomiędzy miejscami zerowymi pewnej funkcji kwadratowej, której wykres przedstawiono na rysunku.

Z paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej odczytujemy współrzędne zaznaczonych punktów:

$(1, - 2)$ , $(2, \frac{3}{2})$ oraz $(5, 0)$ .

Jeżeli wykorzystamy postać ogólną wzoru funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , to do wyznaczenia wartości $a$ , $b$ , $c$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} - 2 = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c \\ \frac{3}{2} = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c \\ 0 = a \cdot 5^{2} + b \cdot 5 + c \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 = a + b + c \\ 3 = 8 a + 4 b + 2 c \\ 0 = 25 a + 5 b + c \end{cases}$

Zatem $a = - 1$ , $b = \frac{13}{2}$ , $c = - \frac{15}{2}$ .

Jeżeli $p$ jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem odpowiedniej funkcji kwadratowej oraz $x_{1}$ i $x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej, to:

$p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$

Zatem do wyznaczenia wartości $x_{1}$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{- \frac{13}{2}}{- 2} = \frac{x_{1} + 5}{2}$

$x_{1} = \frac{3}{2}$

Wobec tego szukana długość pręta wynosi:

$5 - \frac{3}{2} = 3, 5$ $[m]$

Przykład 9

Sklep sprzedaje dziennie $16$ zabawek. Zysk ze sprzedaży jednej sztuki wynosi $40 zł$ . Wiadomo, że obniżenie ceny o każde $5 zł$ , powoduje wzrost sprzedaży o $4$ sztuki dziennie. Obliczymy, ile powinna wynosić cena zabawki, aby zysk był największy.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ - liczba obniżek ceny zabawki,

$5 x$ - obniżka $x$ raz ceny zabawki za każdym razem o $5 z ł$

$4 x$ - wielkość opisująca wzrost liczby sprzedanych zabawek po $x$ obniżkach ceny zabawki

Niech funkcja $f$ wyraża dzienny zysk ze sprzedaży.

Zatem:

$f (x) = (40 - 5 x) \cdot (16 + 4 x)$ , gdzie $x \in ⟨ 0, 8 ⟩$

$f (x) = 640 + 160 x - 80 x - 20 x^{2} = - 20 x^{2} + 80 x + 640$

Wykres tej funkcji leży na paraboli o ramionach skierowanych do góry.

Zatem funkcja osiąga wartość największą w punkcie, który jest wierzchołkiem paraboli.

Wobec tego $p = \frac{- 80}{2 \cdot (- 20)} = 2$ .

Zatem należy dwukrotnie obniżyć cenę, aby zysk był największy.

Cena powinna wynosić:

$(40 - 5 \cdot 2) zł = 30 zł$

Przykład 10

Na wykresie przedstawiono zależność drogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym. Drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym określamy wzorem $s (t) = \frac{a \cdot t^{2}}{2}$ , gdzie $s$ oznacza przebytą drogę w czasie $t$ , zaś $a$ – przyspieszenie. Zakładamy, że ciało przed rozpoczęciem ruchu znajdowało się w stanie spoczynku.

R1KSu0IdtPhU2

Ilustracja przedstawia poziomą oś t, w nawiasie jednostka to s, od zera do siedmiu oraz pionową oś s, w nawiasie jednostka to m, od zera do jedenastu. Na rysunku zaznaczono także prawą część paraboli o wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Wykres funkcji posiada ramię skierowane do góry oraz przechodzi przez punkt nawias jeden średnik trzy koniec nawiasu.

a) Na podstawie wykresu wyznaczymy wartość przyspieszenia $a$ .

b) Obliczymy długość drogi, jaką pokonało ciało w czasie $50 s$ .

Rozwiązanie:

a) Zauważmy, że do wykresu funkcji przedstawionego na rysunku należy punkt o współrzędnych $(1, 3)$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$3 = \frac{a \cdot 1^{2}}{2}$

$a = 6 \frac{m}{s^{2}}$

b) Jeżeli $t = 50 s$ , to:

$s (50) = \frac{6 \cdot 50^{2}}{2} = 7500$

W ciągu $50 s$ ciało pokonało drogę długości $7500 m$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z infografiką, na której przedstawiono konstrukcję mostu. Most został zaprojektowany w postaci fragmentu paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ . Wykres funkcji $f$ zaczyna się w punkcie o współrzędnych $(- 8, - 1)$ , a kończy się w punkcie o współrzędnych $(10, - 1)$ . Odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami na osi $X$ wynosi $100 m$ .

Rd86UHud7vxR1

Polecenie 5

Most został zaprojektowany w postaci fragmentu paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ tak, jak na poniższym rysunku.

RdRMhGQfcLb9V

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do dziewięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także most będący w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołku w punkcie nawias dwa średnik dwa. Wykres funkcji posiada dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias minus cztery średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias osiem średnik zero koniec nawiasu.

Na podstawie danych z rysunku, wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe:

$x_{1} = - 4$ oraz $x_{2} = 8$

Do paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ należy punkt o współrzędnych $(2, 2)$ .

Zatem do wyznaczenia wzoru funkcji $f$ wykorzystamy postać iloczynową wzoru funkcji kwadratowej.

$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$

Zatem

$2 = a \cdot (2 + 4) \cdot (2 - 8)$ , czyli $a = - \frac{1}{18}$

Wobec tego funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = - \frac{1}{18} (x + 4) (x - 8) = - \frac{1}{18} x^{2} + \frac{2}{9} x + 1 \frac{7}{9}$ .

RAkrcmZkeRiNB1

Ćwiczenie 1

RX38mdPFWHkVg1

Ćwiczenie 2

R1S7Do8ymZqwR2

Ćwiczenie 3

Dobierz równanie ruchu ciała, wyrzuconego pod kątem alfa z prędkością v, do odpowiednich wartości kąta i prędkości (przyjmij g, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s indeks górny, dwa, koniec ułamka). y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy x, minus, zero kropka dwa x indeks górny, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, trzydzieści indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 2. alfa, równa się, sześćdziesiąt indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dwadzieścia początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 3. alfa, równa się, trzydzieści indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dwadzieścia początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 4. alfa, równa się, sześćdziesiąt indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, x indeks górny, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, trzydzieści indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 2. alfa, równa się, sześćdziesiąt indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dwadzieścia początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 3. alfa, równa się, trzydzieści indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dwadzieścia początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 4. alfa, równa się, sześćdziesiąt indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześćdziesiąt, koniec ułamka, x indeks górny, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, trzydzieści indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 2. alfa, równa się, sześćdziesiąt indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dwadzieścia początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 3. alfa, równa się, trzydzieści indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dwadzieścia początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 4. alfa, równa się, sześćdziesiąt indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, trzydzieści indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 2. alfa, równa się, sześćdziesiąt indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dwadzieścia początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 3. alfa, równa się, trzydzieści indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dwadzieścia początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka, 4. alfa, równa się, sześćdziesiąt indeks górny, ∘, średnik, v, równa się, dziesięć początek ułamka, m, mianownik, s, koniec ułamka

Rgpe0BTkrxNMa2

Ćwiczenie 4

Rpmpk8PgkxSIC2

Ćwiczenie 5

ROQlnZdSmGGuY2

Ćwiczenie 6

RQya83xKdIztY3

Ćwiczenie 7

RGiIpzfKwNuFe3

Ćwiczenie 8

Pokaż ćwiczenia:

R18KXCZVSo0M11

Ćwiczenie 9

RFQmMR7uw26MF1

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

R1B6vvnxEr8jE

Ilustracja przedstawia stos dziewięciu kolorowych klocków ułożonych jeden na drugim w taki sposób, że każdy kolejny klocek wystaje poza klocek na którym leży w lewą stronę. Tę czynność powtórzono dla każdego klocka, a następnie ich lewy dolny róg który wystaje i nie ma podparcia połączono ze sobą tworząc fragment paraboli z ramionami skierowanymi w dół.

RH9OxgvJJVDQk

R7yLp0FPghtDp2

Ćwiczenie 12

RxZykZ5TUopCD2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Pole powierzchni prostokątnego ogródka wynosi $270 m^{2}$ . Oblicz wymiary ogródka, jeżeli różnią się one o $3 m$ .

Narysujmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R10ckoTpI3rQb

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach x odjąć trzy na x.

Jeżeli przez $x$ $[m]$ oznaczymy długość większego boku prostokąta, to $x > 0$ oraz $x - 3 > 0$ , zatem $x > 3$ .

Do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x \cdot (x - 3) = 270$

$x^{2} - 3 x - 270 = 0$

$∆ = 9 + 4 \cdot 270 = 1089$

$x_{1} = \frac{3 - 33}{2} = - 15$

$x_{2} = \frac{3 + 33}{2} = 18$

Ponieważ $x > 3$ , zatem $x = 18$ oraz $x - 3 = 18 - 3 = 15$ .

Ogródek ma wymiary $18 m$ na $15 m$ .

Ćwiczenie 15

W $2020$ roku na uroczystości urodzinowej, ktoś zapytał jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: jeżeli mój wiek sprzed $20$ lat pomnożę przez mój wiek za $34$ lata, to otrzymam rok mojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma jubilat.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – obecny wiek jubilata

Zatem:

$x - 20$ – wiek jubilata sprzed $20$ lat

$x + 34$ – wiek jubilata za $34$ lata

oraz $x > 20$

Wobec tego do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$(x - 20) \cdot (x + 34) = 2020 - x$

$x^{2} + 34 x - 20 x - 680 = 2020 - x$

$x^{2} + 34 x - 20 x - 680 + x - 2020 = 0$

$x^{2} + 15 x - 2700 = 0$

$∆ = 15^{2} - 4 \cdot (- 2700) = 11025$

$\sqrt{∆} = \sqrt{11025} = 105$

$x_{1} = \frac{- 15 - 105}{2} = - 60 < 20$

$x_{2} = \frac{- 15 + 105}{2} = 45 > 20$

Zatem jubilat ma $45$ lat.

Ćwiczenie 16

Z prostokątnego arkusza papieru o nierównoległych bokach długości $40 cm$ i $30 cm$ odcinamy na rogach kwadraty tak, aby po sklejeniu otrzymać otwarte pudełko na prezenty. Oblicz, jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe.

Niech $x$ $[cm]$ będzie długością boku wycinanego kwadratu. Wykonujemy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RZ6hK3nUAafVE

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty, jeden większy o długości boków czterdzieści i trzydzieści oraz mniejszy znajdujący się wewnątrz pierwszego o długości boków czterdzieści odjąć dwa x oraz trzydzieści odjąć dwa x. W narożnikach większego prostokąta namalowano kwadraty o boku równym x, natomiast przekątna tych kwadratów łączy wierzchołek dużego i małego prostokąta, zatem ściany boczne obu figur są od siebie oddalone o odcinek o długości x.

Zauważmy, że $30 - 2 x > 0$ oraz $40 - 2 x > 0$ , zatem $x \in (0, 15)$ .

Wobec tego pole powierzchni bocznej pudełka wynosi:

$P_{b} = 2 \cdot x \cdot (30 - 2 x) + 2 \cdot x \cdot (40 - 2 x)$

$P_{b} = 60 x - 4 x^{2} + 80 x - 4 x^{2} = - 8 x^{2} + 140 x$

Zauważmy, że otrzymaliśmy wzór funkcji, której wykres ma ramiona skierowane do dołu.

Zatem funkcja przyjmuje wartość największą dla punktu, który jest równy pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, na której znajduje się wykres tej funkcji.

Wobec tego

$p = \frac{- 140}{2 \cdot (- 8)} = \frac{140}{16} = \frac{70}{8} = 8 \frac{3}{4} < 15$

Wycinany kwadrat powinien mieć bok długości $8 \frac{3}{4} cm$ .

Słownik

funkcja kwadratowa

funkcję

f (x) = a x^{2} + b x + c

określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych, gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym $a \neq 0$ , nazywamy funkcją kwadratową

wykres funkcji kwadratowej

wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ dla $x \in ℝ$ , gdzie $a \neq 0$ jest krzywa zwana parabolą

2. Interpretacja zagadnień geometrycznych z zastosowaniem funkcji kwadratowej

4. Badanie funkcji kwadratowej - zadania optymalizacyjne

3. Interpretacja zagadnień praktycznych z zastosowaniem funkcji kwadratowej

Słownik