3. Równania prowadzące do równań kwadratowych

R1CfVb3pxAVkn

Rozwiązywanie równań kwadratowych jest bardzo ważnym i często używanym algorytmem w matematyce. Do rozwiązania odpowiedniego równania kwadratowego sprowadza się wiele problemów z różnych dziedzin nauki. Również w rozwiązywaniu równań wielomianowych wyższych stopni często możemy wykorzystać metody rozwiązywania równania kwadratowego.

Twoje cele

Rozpoznasz i rozwiążesz równanie dwukwadratowe.
Rozwiążesz równanie wyższego stopnia lub równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka, które sprowadzisz do równania dwukwadratowego lub równania kwadratowego.

Równanie dwukwadratowe to równanie postaci $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ .

Aby rozwiązać równanie dwukwadratowerównanie dwukwadratowerównanie dwukwadratowe, należy wykonać podstawienie $x^{2} = t$ , gdzie $t ⩾ 0$ . Wtedy otrzymujemy równanie kwadratowe $a t^{2} + b t + c = 0$ , które możemy rozwiązać znanymi metodami.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $x^{4} - 4 = 0$ .

Równanie możemy przedstawić w postaci ${(x^{2})}^{2} - 4 = 0$ .

Zastosujemy podstawienie $x^{2} = t$ , gdzie $t ⩾ 0$ .

Wówczas otrzymujemy równanie $t^{2} - 4 = 0$ .

$(t - 2) (t + 2) = 0$

$(t - 2) = 0$ lub $(t + 2) = 0$

$t = 2$ lub $t = - 2$

Rozwiązanie $t = - 2 < 0$ , zatem nie spełnia warunków zadania.

$t = 2$

$x^{2} = 2$

$x = \sqrt{2}$ lub $x = - \sqrt{2}$

Rozwiązaniem równania są liczby $- \sqrt{2}$ , $\sqrt{2}$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $x^{4} + 16 = 0$ .

Równanie możemy przedstawić w postaci ${(x^{2})}^{2} + 16 = 0$ .

Zastosujemy podstawienie $x^{2} = p$ , gdzie $p ⩾ 0$ .

Wówczas otrzymujemy równanie $p^{2} + 16 = 0$ .

$p^{2} = - 16$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ $p$ ma być liczbą nieujemną. Zatem równanie $p^{2} + 16 = 0$ nie posiada rozwiązań. Równanie $x^{4} + 16 = 0$ również nie posiada rozwiązań. Jest to równanie sprzeczne.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $x^{4} + 16 x^{2} = 0$ .

Równanie możemy przedstawić w postaci ${(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} = 0$ .

Zastosujemy podstawienie $x^{2} = t$ , gdzie $t ⩾ 0$ .

Wówczas otrzymujemy równanie $t^{2} + 16 t = 0$ .

$t (t + 16) = 0$

$t = 0$ lub $(t + 16) = 0$

$t = 0$ lub $t = - 16$

Równanie $t = - 16$ jest równaniem sprzecznym.

$t = 0$

$x^{2} = 0$

$x = 0$

Rozwiązaniem równania jest liczba $0$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $x^{4} - 5 x^{2} = 0$ .

Równanie możemy przedstawić w postaci ${(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} = 0$ .

Zastosujemy podstawienie $x^{2} = z$ , gdzie $z ⩾ 0$ .

Wówczas otrzymujemy równanie $z^{2} - 5 z = 0$ .

$z (z - 5) = 0$

$z = 0$ lub $(z - 5) = 0$

$z = 0$ lub $z = 5$

$z = 0$

$x^{2} = 0$

$x = 0$

$z = 5$

$x^{2} = 5$

$x = \sqrt{5}$ lub $x = - \sqrt{5}$

Rozwiązaniem równania są liczby $- \sqrt{5}$ , $0$ , $\sqrt{5}$ .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$ .

Równanie możemy przedstawić w postaci ${(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 6 = 0$ .

Zastosujemy podstawienie $x^{2} = z$ , gdzie $z ⩾ 0$ .

Wówczas otrzymujemy równanie $z^{2} - 5 z + 6 = 0$ .

Rozwiążemy równanie metodą grupowania wyrazów i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

$z^{2} - 2 z - 3 z + 6 = 0$

$z (z - 2) - 3 (z - 2) = 0$

$(z - 2) (z - 3) = 0$

$z - 2 = 0$ lub $z - 3 = 0$

$z = 2$ lub $z = 3$

$z = 2$

$x^{2} = 2$

$x = \sqrt{2}$ lub $x = - \sqrt{2}$

$z = 3$

$x^{2} = 3$

$x = \sqrt{3}$ lub $x = - \sqrt{3}$

Rozwiązaniem równania są liczby $- \sqrt{3}$ , $- \sqrt{2}$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ .

Polecenie 1

Poniżej przedstawiony jest schemat interaktywny przedstawiający klasyfikację równań czwartego stopnia na równania dwukwadratowe i inne.

Wprowadź dowolne zmienne $a$ , $b$ , $c$ , $d$ i $e$ . Myszką możesz przesunąć schemat, aby zobaczyć przebieg całego algorytmu.

RcndEaqafIBAo1

Polecenie 2

RcE5MmwiAh4Rs

Polecenie 3

W poniższym schemacie przygotuj algorytm przedstawiający klasyfikację równań czwartego stopnia postaci $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0$ na równania dwukwadratowe i inne.

Przygotuj algorytm w języku PHP przedstawiający klasyfikację równań czwartego stopnia postaci $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0$ na równania dwukwadratowe i inne.

RChH0UsnlhGDr

Przykładowe rozwiązanie.

R182ao2gj2n5i1

Aby rozwiązać równanie wielomianowe $a x^{6} + b x^{3} + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ będziemy stosować podstawienie $x^{3} = z$ i następnie rozwiązywać równanie kwadratowe postaci

a z^{2} + b z + c = 0

Do rozwiązania równania typu $x - 3 \sqrt{x} + 2 = 0$ , dla $x \geq 0$ wykorzystamy podstawienie $z = \sqrt{x}$ i $z \geq 0$ i otrzymamy równanie kwadratowe postaci

z^{2} - 3 z + 2 = 0

Przykład 6

Rozwiążemy równanie ${(\frac{x^{2} - 2}{2})}^{2} - x^{2} + 3 = - \frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} + 4}{4} - x^{2} + 3 = - \frac{1}{4}$

$x^{4} - 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} + 12 = - 1$

$x^{4} - 8 x^{2} + 17 = 0$

Podstawimy $x^{2} = z$ i $z \geq 0$ .

$z^{2} - 8 z + 17 = 0$

$Δ = 64 - 4 \cdot 17 = 64 - 68 = - 4$

Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, więc równanie $z^{2} - 8 z + 17 = 0$ nie posiada rozwiązania.

Zatem równanie dwukwadratowerównanie dwukwadratowerównanie dwukwadratowe $x^{4} - 8 x^{2} + 17 = 0$ również nie posiada rozwiązania.

Przykład 7

Rozwiążemy równanie $x - 5 \sqrt{x} + 6 = 0$ .

$x - 5 \sqrt{x} + 6 = 0$

Zakładamy że $x \geq 0$ .

Podstawimy $z = \sqrt{x}$ i $z \geq 0$ .

$z^{2} - 5 z + 6 = 0$

$Δ = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$\sqrt{Δ} = 1$

$z_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

$z_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Wrócimy teraz do niewiadomej $x$ .

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

$\sqrt{x} = 3$

$x = 9$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = 4$ , $x = 9$ .

Przykład 8

Rozwiążemy równanie ${(x^{2} - 4 x)}^{2} + 7 \cdot (x^{2} - 4 x) + 12 = 0$ , stosując odpowiednie podstawienie.

${(x^{2} - 4 x)}^{2} + 7 \cdot (x^{2} - 4 x) + 12 = 0$

Postawiamy $t = x^{2} - 4 x$ .

$t^{2} + 7 t + 12 = 0$

$Δ = 7^{2} - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

$\sqrt{Δ} = 1$

$t_{1 =} \frac{- 7 - 1}{2} = - 4$

$t_{2 =} \frac{- 7 + 1}{2} = - 3$

Dla $t = - 4$ otrzymujemy :

$x^{2} - 4 x = - 4$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x = 2$

Dla $t = - 3$ otrzymujemy :

$x^{2} - 4 x = - 3$

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

$Δ = 16 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$\sqrt{Δ} = 2$

$x_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_{1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ .

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $x - 3 \sqrt{x + 2} = - 4$ .

Aby istniał $\sqrt{x + 2}$ założymy, że $x + 2 \geq 0$ , $x \geq - 2$ .

Zapiszemy równanie w postaci $x + 2 - 3 \sqrt{x + 2} = - 4 + 2$ .

$x + 2 - 3 \sqrt{x + 2} + 2 = 0$

Podstawimy $\sqrt{x + 2} = t$ , $t \geq 0$ .

Otrzymamy równanie $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ .

$Δ = 9 - 4 \cdot 2 = 1$

$\sqrt{Δ} = 1$

$t_{1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$

$t_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Wracamy do podstawienia $\sqrt{x + 2} = t$ .

$\sqrt{x + 2} = 1$

$x + 2 = 1$

$x = - 1 \in ⟨- 2, \infty)$

$\sqrt{x + 2} = 2$

$x + 2 = 4$

$x = 2 \in ⟨ - 2, \infty)$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = - 1$ , $x = 2$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z infografiką przedstawiającą rozwiązanie równania szóstego stopnia.

R1A0LmvVjiDAW1

Ilustracja. Rozwiązywanie równania szóstego stopnia. Rozwiążamy równanie x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, szesnaście, równa się, zero. Wprowadzimy pomocniczą niewiadomą t. Ponieważ t, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, więc zmienna t może być dowolną liczbą rzeczywistą. t, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, przecinek, t, należy do, liczby rzeczywiste Otrzymujemy wtedy równanie kwadratowe ze zmienną t. Równanie rozwiążemy obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki. t indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć t, minus, szesnaście, równa się, zero Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego powyższego równania. DELTA, równa się, trzydzieści sześć, plus, cztery, razy, szesnaście, równa się, sto Obliczamy pierwiastek trójmianu. pierwiastek kwadratowy z DELTA koniec pierwiastka, równa się, dziesięć Obliczamy dwa miejsca zerowe. Pierwsze: t indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć, minus, dziesięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, minus, dwa. Drugie miejsce zerowe: t indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć, plus, dziesięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, osiem. Otrzymaliśmy dwa rozwiązania równania kwadratowego ze zmienną t. Wracając do podstawienia t, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego obliczymy rozwiązania równania. Dla pierwszego miejsca zerowego mamy: x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, minus, dwa Obie strony równania pierwiastkujemy. x, równa się, pierwiastek sześcienny z minus, dwa koniec pierwiastka. Dla drugiego miejsca zerowego mamy: x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, osiem. Po pierwiastkowaniu obu stron równania, otrzymujemy x, równa się, dwa. Odpowiedź: Rozwiązaniem równania są liczby x, równa się, pierwiastek sześcienny z minus, dwa koniec pierwiastka, x, równa się, dwa.

Polecenie 5

Rozwiąż równanie:

a) $x^{6} - 9 x^{3} + 8 = 0$ ,

b) $x^{8} - 15 x^{4} - 16 = 0$ .

a) $x = 1$ , $x = 2$ ,

b) $x = - 2$ , $x = 2$ .

R1MUpRy1e5jf51

Ćwiczenie 1

RrbVTNCyMMtKx1

Ćwiczenie 2

RcogVGPM0U9dK2

Ćwiczenie 3

R17dE13aagzNj2

Ćwiczenie 4

RaOn06Z2WkBIa2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary równanie z rozwiązaniem. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, x, równa się, zero, x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, zero, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, zero, 6. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, zero, x, równa się, jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, x, równa się, zero, x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, zero, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, zero, 6. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, zero, x, równa się, jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, x, równa się, zero, x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, zero, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, zero, 6. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, zero, x, równa się, jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, jeden, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, x, równa się, zero, x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, zero, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, zero, 6. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, zero, x, równa się, jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, x, równa się, zero, x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, zero, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, zero, 6. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, zero, x, równa się, jeden dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, x, równa się, zero, x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, zero, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, zero, 6. x, równa się, minus, jeden, x, równa się, zero, x, równa się, jeden

R1RJImBvTT4lY2

Ćwiczenie 6

RL9jSqsPm326p3

Ćwiczenie 7

R1POBocKJp34U3

Ćwiczenie 8

RIu5HBoOm2AA51

Ćwiczenie 9

Połącz równanie dwukwadratowe ze zbiorem rozwiązań. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, x, równa się, trzy, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, cztery, x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, x, równa się, cztery, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści sześć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, x, równa się, trzy, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, cztery, x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, x, równa się, cztery, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści sześć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, x, równa się, trzy, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, cztery, x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, x, równa się, cztery, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzynaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści sześć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, x, równa się, trzy, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, cztery, x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, x, równa się, cztery, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści sześć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, x, równa się, trzy, 2. brak rozwiązań, 3. x, równa się, minus, cztery, x, równa się, minus, jeden, x, równa się, jeden, x, równa się, cztery, 4. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, dwa, 5. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, trzy

R10EYUq0FliBf1

Ćwiczenie 10

RS5CLbUZaoWVm2

Ćwiczenie 11

R1WK91fVsYint2

Ćwiczenie 12

R1Sze8Fr54Fga2

Ćwiczenie 13

Przeciągnij równanie do odpowiedniego okienka. Jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście, równa się, zero, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści sześć, równa się, zero, 3. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 7. minus, cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, zero, 8. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści sześć, równa się, zero, 9. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Dwa rozwiązania Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście, równa się, zero, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści sześć, równa się, zero, 3. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 7. minus, cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, zero, 8. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści sześć, równa się, zero, 9. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Cztery rozwiązania Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście, równa się, zero, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści sześć, równa się, zero, 3. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, równa się, zero, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 5. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 7. minus, cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, zero, 8. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści sześć, równa się, zero, 9. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero

R13yNsiVXtDZb2

Ćwiczenie 14

R1cG0Cln5LKaE3

Ćwiczenie 15

Rjmmirqq8eYWC3

Ćwiczenie 16

R1TcZ74qddUMr1

Ćwiczenie 17

R6opLuA8HXwUh1

Ćwiczenie 18

RLeHtgNbV22Ap2

Ćwiczenie 19

RfhjlBmXlyACp2

Ćwiczenie 20

R1D9NQyJcVGeC2

Ćwiczenie 21

R13HHxqaZOdM02

Ćwiczenie 22

R1FImUb5YTZXp3

Ćwiczenie 23

Ćwiczenie 24

Sprawdź czy liczba $\sqrt{4 - \sqrt{2}}$ jest rozwiązaniem równania $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ?

$x^{2} = t$ , $t \geq 0$

$t^{2} - 13 t + 36 = 0$

$Δ = 169 - 144 = 25$

$\sqrt{Δ} = 5$

$t_{1} = \frac{13 - 5}{2} = 4$

$t_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$

$x^{2} = 4$

$x = 2$ lub $x = - 2$

$x^{2} = 9$

$x = 3$ lub $x = - 3$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = - 3$ , $x = - 2$ , $x = 2$ , $x = 3$ .

Liczba $\sqrt{4 - \sqrt{2}}$ nie jest rozwiązaniem równania.

Słownik

równanie dwukwadratowe

równanie postaci $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$

2. Równania kwadratowe

4. Równania kwadratowe z wartością bezwzględną

3. Równania prowadzące do równań kwadratowych

Słownik