4. Równania kwadratowe z wartością bezwzględną

R1QYSHWn3NFgU

W tym materiale zajmiemy się rozwiązywaniem równań kwadratowych z wartością bezwzględną. W rozwiązaniach będziemy korzystać z definicji wartości bezwzględnej oraz z własności wartości bezwzględnej.

Rozważając przypadki, ustalimy najpierw rozwiązania odpowiednich równań. Po rozważeniu wszystkich przypadków zapiszemy, jaka jest suma rozwiązań otrzymanych z każdego warunku. Wspomniana suma będzie rozwiązaniem równania z wartością bezwzględną.

Twoje cele

Rozwiążesz równania kwadratowe z wartością bezwzględną lub dwiema wartościami bezwzględnymi.
Udoskonalisz umiejętności rozwiązywania równań kwadratowych z wartością bezwzględną.

Pamiętasz?

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie, które można sprowadzić do postaci

a x^{2} + b x + c = 0,

gdzie:
$a$ , $b$ i $c$ – są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Postać $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdy $a \neq 0$ nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równania, w których współczynniki $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli $b = 0$ i $c = 0$ to równanie kwadratowe $a x^{2} = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie $x = 0$ .

Z definicji wartości bezwzględnej mamy $|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}$ .

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + 1| = 0$ .

Wyrażenie $x^{2} + 1 > 0$ dla dowolnego $x \in ℝ$ , czyli równanie $|x^{2} + 1| = 0$ nie posiada rozwiązania.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 4 x| = x^{2} - 4 x$ .

Wiemy, że $|a| = a$ dla $a \geq 0$ .

Czyli $x^{2} - 4 x \geq 0$

$x (x - 4) \geq 0$

$x = 0 \lor x = 4$

R6YBXRDkG1gNt

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do sześciu, przy czym wyróżniono dwie liczby: 0 i 4. Poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 4. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem, a fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Rozwiązanie równania: $x \in (- \infty, 0⟩ \cup ⟨4, \infty)$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 1| = |3 - x^{2}|$ .

Aby rozwiązać równanie skorzystamy z własności $|a| = |b| \Leftrightarrow a = b$ lub $a = - b$ .

Czyli $x^{2} - 1 = 3 - x^{2}$ lub $x^{2} - 1 = - (3 - x^{2})$ .

Rozwiążemy równanie $x^{2} - 1 = 3 - x^{2}$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

$(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) = 0$

$x = \sqrt{2}$ lub $x = - \sqrt{2}$

Rozwiążemy równanie $x^{2} - 1 = - (3 - x^{2})$ .

$x^{2} - 1 = - 3 + x^{2}$

$1 \neq - 3$ – sprzeczność

Rozwiązaniem równania są liczby $x = - \sqrt{2}$ , $x = \sqrt{2}$ .

Przykład 4

Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru $k$ , dla których rozwiązaniem równania kwadratowego niezupełnego $|k^{2} x^{2} - 1| = 2$ z niewiadomą $x$ jest liczba $(- 1)$ .

Do równania podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $(- 1)$ .

$|k^{2} {(- 1)}^{2} - 1| = 2$

$|k^{2} - 1| = 2$

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej.

Jeżeli $a > 0$ to $|x| = a \Leftrightarrow x = a$ lub $x = - a$ .

Otrzymujemy alternatywę równań:

$k^{2} - 1 = 2 \lor k^{2} - 1 = - 2$

$k^{2} - 3 = 0 \lor k^{2} + 1 = 0$ – sprzeczność, bo $k^{2} + 1 > 0$ dla $k \in ℝ$

$k = \sqrt{3} \lor k = - \sqrt{3}$

Dla $k = - \sqrt{3}$ , $k = \sqrt{3}$ rozwiązaniem równania jest liczba $(- 1)$ .

Przykład 5

Obliczymy, kiedy równanie $|x^{2} + 2 x| = 1 - m$ jest sprzeczne.

Aby równanie nie posiadało rozwiązania wyrażenie $1 - m < 0$ .

$- m < - 1$

$m > 1$

Równanie jest sprzeczne dla $m \in (1, \infty)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych pokazującą sposób rozwiązywania równania kwadratowego niezupełnego z wartością bezwzględną.

R1MPxwcMFppC6

RjdZwcdoaY78I

Ilustracja druga. Naszkicujemy wykresy funkcji kwadratowych: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć oraz g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery. Na podstawie wykresów funkcji wyznaczymy przedziały liczbowe, w których rozpatrzymy równanie z wartościami bezwzględnymi. Przedstawmy graficzną interpretację koniunkcji. Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus czterech do czterech, przy czym wyróżniono cztery liczby: minus 3, minus 2, 2 i 3. Przez pary punktów poprowadzono dwa wykresy wielomianów w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wykres pierwszy przedstawia funkcję f: od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus 3 przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 3. Wykres drugi przedstawia funkcję g: od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus 2 przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 2. Fragmenty nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem, a fragmenty pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem. Z rysunku wynika, że: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, większy równy, zero oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, większy równy, zero dla x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu ostrego suma zbiorów nawias ostry trzy, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, mniejszy niż, zero oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, mniejszy niż, zero oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, większy równy, zero dla x, należy do, nawias, minus, trzy, przecinek, dwa zamknięcie nawiasu ostrego suma zbiorów nawias ostry dwa, przecinek, trzy zamknięcie nawiasu.

R8LHa9xrTEj1I

RyKpOUOorxHAM

R1RrP8h9zpusW

Polecenie 2

Rozwiąż równanie $|x^{2} - 1| + |x^{2} - 16| = 25$ .

$x = - \sqrt{21}$ , $x = \sqrt{21}$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + 3 x| = 4$ .

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej.

Jeżeli $a > 0$ , to $|x| = a \Leftrightarrow x = - a \lor x = a$ .

Otrzymujemy alternatywę równań.

$x^{2} + 3 x = 4$ lub $x^{2} + 3 x = - 4$

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$ lub $x^{2} + 3 x + 4 = 0$

$Δ = 9 + 16 = 25$ lub $Δ = 9 - 16 < 0$ (brak rozwiązań)

$\sqrt{Δ} = 5$

$x_{1} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4$

$x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = - 4$ , $x = 1$ .

Przykład 7

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + x + 5| = 0$ .

Rozważymy funkcję kwadratową $f (x) = x^{2} + x + 5$ .

Funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych, bo $Δ < 0$ .

Ponieważ współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni ramiona paraboli skierowane są do góry.

Czyli funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in ℝ$ , bo wykres znajduje się powyżej osi $X$ .

Zatem równanie $|x^{2} + x + 5| = 0$ nie posiada rozwiązań.

Przykład 8

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + 2 x| = |1 + 4 x - x^{2}|$ .

Aby rozwiązać równanie skorzystamy z własności, że $|a| = |b| \Leftrightarrow a = b$ lub $a = - b$ .

Czyli $x^{2} + 2 x = 1 + 4 x - x^{2}$ lub $x^{2} + 2 x = - (1 + 4 x - x^{2})$ .

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem równania $x^{2} + 2 x = 1 + 4 x - x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

$Δ = 4 + 8 = 12$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

$x_{1} = \frac{2 - 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$x_{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Teraz rozwiążemy równanie $x^{2} + 2 x = - (1 + 4 x - x^{2})$ .

$x^{2} + 2 x = - 1 - 4 x + x^{2}$

$6 x = - 1$

$x = - \frac{1}{6}$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ , $x = - \frac{1}{6}$ , $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 4 x - 5| = x^{2} - 4 x - 5$ .

Wiemy, że $|x| = x$ dla $x \geq 0$ .

Czyli $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ .

$Δ = 16 + 20 = 36$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{36} = 6$

$x_{1} = \frac{4 - 6}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$x \in (- \infty, - 1⟩ \cup ⟨5, \infty)$

Równanie spełniają wszystkie liczby $x \in (- \infty, - 1⟩ \cup ⟨5, \infty)$ .

Przykład 10

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $|x^{2} + 2 x + 3| + |x^{2} + 2 x - 3| = m$ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$|x^{2} + 2 x + 3| = x^{2} + 2 x + 3$ dla $x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ , $x \in ℝ$ , bo $Δ < 0$ .

$|x^{2} + 2 x - 3| = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 3 & dla x^{2} + 2 x - 3 \geq 0, x \in (- \infty, - 3⟩ \cup ⟨1, \infty) \\ - (x^{2} + 2 x - 3) & dla x^{2} + 2 x - 3 < 0, x \in (- 3, 1) \end{cases}$

Czyli rozważymy alternatywę dwóch przypadków.

$x \in (- \infty, - 3⟩ \cup ⟨1, \infty)$
$x^{2} + 2 x + 3 + x^{2} + 2 x - 3 = m$
$2 x^{2} + 4 x - m = 0$
Równanie kwadratowe z niewiadomą $x$ i parametrem $m$ może mieć dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie może być sprzeczne.

$x \in (- 3, 1)$
$x^{2} + 2 x + 3 - x^{2} - 2 x + 3 = m$
$m = 6$
Równanie będzie miało nieskończenie wiele rozwiązań dla $m = 6$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych pokazującą sposób rozwiązywania równania kwadratowego niezupełnego z wartością bezwzględną.

RE7RHXavyUpPx

RxTuKC5bErI9G

Ilustracja druga, część dalsza rozwiązania. Naszkicujemy wykres funkcji liniowej f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, minus, jeden oraz g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa. Rysunek. Na poziomej prostej x przedstawionej od minus dwóch do jeden narysowano wykresy funkcji f i g. Wykres funkcji g jest parabolą o wierzchołku znajdującym się pod osią x i o ramionach skierowanych do góry. Jej miejscami zerowymi są punkty minus 2 i minus jeden. Część osi x na lewo od punktu minus dwa, gdzie parabola leży na osią, zaznaczono plusami, odcinek osi od minus dwóch do minus jeden, gdzie parabola znajduje się pod osią, oznaczono minusami i część osi na prawo od minus jeden oznaczono plusami, gdyż w tej części parabola znajduje się na osią x. Wykres funkcji f jest z kolei ukośną prostą przechodzącą przez punkt jeden. Na lewo od punktu jeden zaznaczono minusami fakt, iż wykres znajduje się pod osią x, na prawo od punktu jeden plusami oznaczono fakt, iż wykres funkcji znajduje się nad osią x. Dalsza część rozwiązania. Na podstawie wykresów funkcji wyznaczymy przedziały liczbowe, w których rozpatrzymy równanie z wartościami bezwzględnymi. Mamy tu trzy następujące przypadki. Przypadek pierwszy: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, większy równy, zero oraz x, minus, jeden, większy równy, zero, przecinek, x, należy do, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. Przypadek drugi: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, mniejszy niż, zero oraz x, minus, jeden, mniejszy niż, zero, przecinek, x, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Przypadek trzeci: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, większy równy, zero oraz x, minus, jeden, mniejszy niż, zero, przecinek, x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, minus, jeden przecinek jeden, zamknięcie nawiasu

R1VcopehzazAc

RBFTHHnlgDhgy

Ro30qeEnxx2ma

Polecenie 4

Rozwiąż równanie $|x + 2| + |x^{2} + 4 x + 3| = 1$ .

$x = - 3$ , $x = - 2$ , $x = - 1$ .

Ra8mzD8csstDG1

Ćwiczenie 1

R1VRTQCmgZvDM1

Ćwiczenie 2

R1Gzz6kXpRj7U21

Ćwiczenie 3

RlxgkqlewP1tP2

Ćwiczenie 4

RRlWhMhpdSPmy2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary równania i liczby, które je spełniają. wartość bezwzględna z, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden oraz, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, oraz zero, 2. zero oraz początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, oraz zero oraz początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, jeden oraz zero oraz początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka wartość bezwzględna z, trzy x, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden oraz, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, oraz zero, 2. zero oraz początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, oraz zero oraz początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, jeden oraz zero oraz początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka wartość bezwzględna z, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, koniec wartości bezwzględnej, równa się, x, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden oraz, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, oraz zero, 2. zero oraz początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, oraz zero oraz początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, jeden oraz zero oraz początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka wartość bezwzględna z, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden oraz, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, oraz zero, 2. zero oraz początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, oraz zero oraz początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, jeden oraz zero oraz początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka

R1I2hYGx6EIrF2

Ćwiczenie 6

RKM3gVknebbSJ31

Ćwiczenie 7

R147rR07t7hi73

Ćwiczenie 8

RLKtBbJfIXFjs1

Ćwiczenie 9

R1eB3ApoUuTAB1

Ćwiczenie 10

Rte34wIe5u6mt2

Ćwiczenie 11

R1OyuDbLW3pVk2

Ćwiczenie 12

R8Iqe5ym1Jybr2

Ćwiczenie 13

R1NHjnyfAJ6MP2

Ćwiczenie 14

Połącz w pary równania i liczby, które je spełniają. wartość bezwzględna z, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pięć, minus, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, jeden, 2. początek ułamka, minus, siedem, minus, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, pięć, minus, dwa, początek ułamka, minus, siedem, plus, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, dwa, pięć, początek ułamka, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, pięć, minus, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden wartość bezwzględna z, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, siedem x, plus, sześć, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pięć, minus, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, jeden, 2. początek ułamka, minus, siedem, minus, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, pięć, minus, dwa, początek ułamka, minus, siedem, plus, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, dwa, pięć, początek ułamka, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, pięć, minus, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden wartość bezwzględna z, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, plus, sześć, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pięć, minus, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, jeden, 2. początek ułamka, minus, siedem, minus, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, pięć, minus, dwa, początek ułamka, minus, siedem, plus, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, dwa, pięć, początek ułamka, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, pięć, minus, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden wartość bezwzględna z, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, dwanaście, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pięć, minus, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, jeden, 2. początek ułamka, minus, siedem, minus, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, pięć, minus, dwa, początek ułamka, minus, siedem, plus, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, dwa, pięć, początek ułamka, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, pięć, minus, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

RVg2u8Cx37dOt31

Ćwiczenie 15

Rkivnsxr6HVeP3

Ćwiczenie 16

Słownik

wartość bezwzględna liczby

x

wartość bezwzględna liczby

x

|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

3. Równania prowadzące do równań kwadratowych

5. Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych

4. Równania kwadratowe z wartością bezwzględną

Słownik