5. Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych

RBuuB9acUJXXh

Równania kwadratowe bardzo często wykorzystuje się jako narzędzie do rozwiązywania problemów z innych dziedzin wiedzy.

W tym materiale zajmiemy się rozwiązywaniem zadań tekstowych prowadzących do zapisywania i rozwiązywania równań kwadratowych. S

Twoje cele

Zapiszesz i rozwiążesz równanie kwadratowe opisujące zależności między danymi.
Ustalisz współczynniki równania kwadratowego tak, aby opisywały sytuację przedstawioną w zadaniu.
Dobierzesz równanie do treści zadania.

Zadania tekstowe prowadzące do rozwiązania równania kwadratowego będziemy rozwiązywać w następujących etapach:

analiza zadania,
równanie i jego rozwiązanie,
sprawdzenie rozwiązania równania z warunkami zadania,
zapisanie odpowiedzi.

Szczególną uwagę zwrócimy na odrzucenie rozwiązań równania kwadratowego, które nie mogą spełniać warunków zadania.

Przykład 1

Obliczymy, ile metrów kwadratowych siatki potrzeba na ogrodzenie prostokątnej działki o polu równym $384 m^{2}$ , której jeden bok jest o $8 m$ dłuższy od drugiego.

Niech:

$x$ - oznacza długość krótszego boku prostokątnej działki,

$x + 8$ – długość dłuższego boku prostokątnej działki,

$384 m^{2}$ - pole działki.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację w zadaniu:

$x (x + 8) = 384$

$x^{2} + 8 x - 384 = 0$

$Δ = 64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 384) = 64 + 1536 = 1600$

$\sqrt{Δ} = 40$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{- 8 - 40}{2}$

$x_{1} = - 24$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- 8 + 40}{2}$

$x_{2} = 16$

Czyli krótszy bok działki ma długość $16 m$ .

Obwód działki jest równy $2 \cdot 16 + 2 \cdot 24 = 32 + 48 = 80$ metrów.

Przykład 2

Wokół trawnika o wymiarach $5 m \times 8 m$ zbudowano chodnik o szerokości $x m$ . Jaka jest szerokość chodnika, jeżeli jego pole powierzchni jest równe $30 m^{2}$ ?

Niech:

$5 m \cdot 8 m$ – pole powierzchni trawnika,

$x$ – szerokość chodnika,

$30 m^{2}$ – pole powierzchni chodnika,

$(5 + 2 x) \cdot (8 + 2 x)$ – pole powierzchni prostokąta, ograniczającego trawnik wraz z chodnikiem.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu:

$(5 + 2 x) \cdot (8 + 2 x) - 5 \cdot 8 = 30$ .

$40 + 10 x + 16 x + 4 x^{2} - 40 = 30$

$4 x^{2} + 26 x - 30 = 0$

$2 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

$Δ = 13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15) = 169 + 120 = 289$

$\sqrt{Δ} = 17$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{- 13 - 17}{2 \cdot 2}$

$x_{1} = - \frac{15}{2}$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- 13 + 17}{2 \cdot 2}$

$x_{2} = 1$

Szerokość chodnika to $1 m$ .

Przykład 3

Znajdziemy dwie liczby, których iloczyn jest równy $6$ , a suma jest równa $3 \sqrt{3}$ .

Niech:

$x$ - oznacza pierwszą liczbę,

$3 \sqrt{3} - x$ - drugą liczbę.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu:

$x (3 \sqrt{3} - x) = 6$ .

$3 \sqrt{3} x - x^{2} = 6$

$- x^{2} + 3 \sqrt{3} x - 6 = 0$

$Δ = {(3 \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6) = 27 - 24 = 3$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{3}$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{- 3 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

$x_{1} = 2 \sqrt{3}$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- 3 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

$x_{2} = \sqrt{3}$

$y_{1} = 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ , $y_{2} = 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Liczby spełniające warunki zadania to $\sqrt{3}$ i $2 \sqrt{3}$ .

Przykład 4

Obliczymy ile boków ma wielokąt wypukły, który ma $90$ przekątnych. Liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie wypukłym obliczamy ze wzoru $\frac{n (n - 3)}{2}$ , gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta wypukłego, przy czym $n \in N$ i $n > 3$ .

Możemy zapisać równanie: $\frac{n (n - 3)}{2} = 90$ .

$n (n - 3) = 180$

$n^{2} - 3 n - 180 = 0$

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- 180) = 9 + 720 = 729$

$\sqrt{Δ} = 27$

$n_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$n_{1} = \frac{3 - 27}{2}$

$n_{1} = - 12$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$n_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$n_{2} = \frac{3 + 37}{2}$

$n_{2} = 15$

Piętnastokąt wypukły ma $90$ przekątnych.

Przykład 5

Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg o promieniu $\sqrt{13}$ . Obliczymy długości przyprostokątnych tego trójkąta wiedząc, że suma długości przyprostokątnych jest równa $10$ .

Niech:

$x$ – oznacza długość pierwszej przyprostokątnej,

$10 - x$ – długość drugiej przyprostokątnej.

Ponieważ przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącieokrąg opisany na trójkącieokręgu opisanego na tym trójkącie, więc ma długość $2 \sqrt{13}$ . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać równanie:

$x^{2} + {(10 - x)}^{2} = {(2 \sqrt{13})}^{2}$

$x^{2} + 100 - 20 x + x^{2} = 52$

$2 x^{2} - 20 x + 48 = 0$

$x^{2} - 10 x + 24 = 0$

$Δ = {(- 10)}^{2} - 4 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$

$\sqrt{Δ} = 2$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{10 - 2}{2}$

$x_{1} = 4$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{10 + 2}{2}$

$x_{2} = 6$

Zatem $y_{1} = 10 - 4 = 6$ , $y_{2} = 10 - 6 = 4$ .

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są równe $4$ i $6$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj infografikę i zapoznaj się ze sposobem rozwiązania zadania o liczbach, które sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego.

RGxp8tigq6qLc

Problem: Naturalna liczba dwucyfrowa ma na miejscu dziesiątek cyfrę 8. Jeżeli tę liczbę pomnożymy przez liczbę utworzoną z tych samych cyfr, lecz zapisanych w odwrotnej kolejności, to otrzymamy iloczyn równy 1458. Oblicz tę liczbę. Analiza zadania: cyfra jedności szukanej liczby to x, cyfra dziesiątek szukanej liczby to 8, wyrażenie algebraiczne opisujące szukaną liczbę to osiem, razy, dziesięć, plus, x, wyrażenie algebraiczne opisujące liczbę po przestawieniu cyfry jedności i cyfry dziesiątek to dziesięć, razy, x, plus, osiem. Zapiszemy równanie opisujące warunki zadania i rozwiążemy je. nawias, osiem, razy, dziesięć, plus, x, zamknięcie nawiasu, nawias, dziesięć, razy, x, plus, osiem, zamknięcie nawiasu, równa się, tysiąc czterysta pięćdziesiąt osiem Wymnażamy wewnątrz nawiasów. nawias, osiemdziesiąt, plus, x, zamknięcie nawiasu, nawias, dziesięć x, plus, osiem, zamknięcie nawiasu, równa się, tysiąc czterysta pięćdziesiąt osiem Wymnażamy nawiasy. osiemset x, plus, sześćset czterdzieści, plus, dziesięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, równa się, tysiąc czterysta pięćdziesiąt osiem Porządkujemy wielomian, przyrównując go do zera. dziesięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiemset osiem x, minus, osiemset osiemnaście, równa się, zero Dzielimy obie strony równania przez 2. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, czterysta cztery x, minus, czterysta dziewięć, równa się, zero Obliczamy wyznacznik trójmianu kwadratowego. DELTA, równa się, czterysta cztery indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, razy, pięć, razy, nawias, minus, czterysta dziewięć, zamknięcie nawiasu, równa się, sto sześćdziesiąt trzy tysiące dwieście szesnaście, plus, osiem tysięcy sto osiemdziesiąt, równa się, sto siedemdziesiąt jeden tysięcy trzysta dziewięćdziesiąt sześć Pierwiastek z trójmianu kwadratowego wynosi: pierwiastek kwadratowy z DELTA koniec pierwiastka, równa się, czterysta czternaście Obliczamy teraz dwa miejsca zerowe. Pierwsze miejsce zerowe obliczymy ze znanego wzoru postaci x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, b, minus, pierwiastek kwadratowy z DELTA koniec pierwiastka, mianownik, dwa a, koniec ułamka. Mamy więc po podstawieniu x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, czterysta cztery, minus, czterysta czternaście, mianownik, dwa, razy, pięć, koniec ułamka. Po uproszczeniu ułamka, otrzymujemy x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, czterysta dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka. Teraz zajmiemy się obliczeniem drugiego miejsca zerowego, korzystając ze wzoru: x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, b, plus, pierwiastek kwadratowy z DELTA koniec pierwiastka, mianownik, dwa a, koniec ułamka. Po podstawieniu danych do wzoru, otrzymujemy x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, czterysta cztery, plus, czterysta czternaście, mianownik, dwa, razy, pięć, koniec ułamka Po uproszczeniu ułamka, otrzymujemy x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden. Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania, więc je odrzucamy. Zatem cyfra jedności to jeden. Odpowiedź: Szukana liczba to 81.

Polecenie 2

Naturalna liczba dwucyfrowa ma na miejscu dziesiątek cyfrę $2$ . Jeżeli tę liczbę pomnożymy przez liczbę utworzoną z tych samych cyfr, lecz zapisanych w odwrotnej kolejności, to otrzymamy iloczyn równy $736$ . Znajdź tę liczbę.

$x$ – cyfra jedności szukanej liczby

$(20 + x) (10 x + 2) = 736$

$10 x^{2} + 202 x - 696 = 0$

$x_{1} = - \frac{116}{5}$ , $x_{2} = 3$

Szukana liczba to $23$ .

Przykład 6

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystychliczba nieparzystaliczb nieparzystych naturalnych jest równa $515$ . Wyznaczymy te liczby.

Zapiszemy i rozwiążemy równanie opisujące powyższą sytuację.

${(2 n + 1)}^{2} + {(2 n + 3)}^{2} + {(2 n + 5)}^{2} = 515$ dla $n \in ℕ$

$4 n^{2} + 4 n + 1 + 4 n^{2} + 12 n + 9 + 4 n^{2} + 20 n + 25 = 515$

$12 n^{2} + 36 n = 480$

$n^{2} + 3 n - 40 = 0$

$∆ = 3^{2} + 40 \cdot 4 = 169 \Rightarrow \sqrt{∆} = 13$

$n_{1} = \frac{- 3 - 13}{2} = - 8 \notin ℕ$

$n_{2} = \frac{- 3 + 13}{2} = 5 \in ℕ$

$2 n + 1 = 11$

$2 n + 3 = 13$

$2 n + 5 = 15$

Szukane liczby to $11$ , $13$ , $15$ .

Przykład 7

Wyznaczymy cztery kolejne liczby naturalne takie, że różnica kwadratów czwartej i trzeciej liczby jest o $124$ mniejsza od sumy kwadratów pierwszej i drugiej liczby.

Kolejne liczby naturalne to: $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ dla $n \in ℕ$ .

Zatem: ${(n + 3)}^{2} - {(n + 2)}^{2} + 124 = n^{2} + {(n + 1)}^{2}$ .

$n^{2} + 6 n + 9 - n^{2} - 4 n - 4 + 124 = n^{2} + n^{2} + 2 n + 1$

$2 n^{2} = 128$

$n^{2} = 64$

$n = 8 \in ℕ$ lub $n = - 8 \notin ℕ$

Zatem cztery kolejne liczby naturalne to $8$ , $9$ , $10$ , $11$ .

Przykład 8

Liczbę $5$ przedstawimy w postaci sumy dwóch liczb tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Niech:
$x$ – pierwsza liczba,
$5 - x$ – druga liczba.

Zapiszemy funkcję $f$ określającą sumę kwadratów liczb.

$f (x) = x^{2} + {(5 - x)}^{2} = x^{2} + 25 - 10 x + x^{2} = 2 x^{2} - 10 x + 25$

Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej przyjmowana jest dla

$x_{} = \frac{- b}{2 a}$ .

$x_{} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Aby suma kwadratów składników była najmniejsza, liczbę $5$ przedstawiliśmy w postaci $\frac{5}{2} + \frac{5}{2}$ .

Przykład 9

Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa $10$ . Jeżeli tę liczbę pomnożymy przez liczbę dwucyfrową, która powstała z tych samych cyfr co pierwsza liczba, ale zapisanych w odwrotnej kolejności to otrzymamy $2701$ . Wyznaczymy tę liczbę.

Niech:
$x$ – cyfra jedności początkowej liczby, $x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ $10 - x$ – cyfra dziesiątek początkowej liczby,
$(10 - x) \cdot 10 + x$ – początkowa liczba,
$10 x + (10 - x)$ – liczba o cyfrach zapisanych w odwrotnej kolejności.

Zapiszemy równanie:

$[(10 - x) \cdot 10 + x] \cdot [10 x + (10 - x)] = 2701$ .

$(100 - 10 x + x) (10 x + 10 - x) = 2701$

$(100 - 9 x) (9 x + 10) = 2701$

$900 x + 1000 - 81 x^{2} - 90 x - 2701 = 0$

$- 81 x^{2} + 810 x - 1701 = 0$

$x^{2} - 10 x + 21 = 0$

$∆ = 100 - 84 = 16 \Rightarrow \sqrt{∆} = 4$

$x_{1} = \frac{10 - 4}{2} = 3$

$x_{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$

$y_{1} = 10 - x_{1}$

$y_{1} = 10 - 3$

$y_{1} = 7$

$y_{2} = 10 - x_{2}$

$y_{2} = 10 - 7$

$y_{2} = 3$

Liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania to $37$ i $73$ .

Przykład 10

Dane są liczby $a$ i $b$ takie, że $2 a - b = 3$ . Dla jakich wartości $a$ i $b$ iloczyn tych liczb przyjmuje najmniejszą wartość?

$2 a - b = 3$

$b = 2 a - 3$

$a \cdot b = a \cdot (2 a - 3) = 2 a^{2} - 3 a$

Czyli funkcja zmiennej $a$ opisująca iloczyn liczb spełniających warunki zadania to:

$f (a) = 2 a^{2} - 3 a$ , $a \in R$ .

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość w punkcie $a_{w}$ .

$a_{w} = \frac{- b}{2 a}$

$a_{w} = \frac{3}{4}$

$b = 2 \cdot \frac{3}{4} - 3 = \frac{3}{2} - 3 = - 1 \frac{1}{2}$

Zatem $a = \frac{3}{4}$ , $b = - 1 \frac{1}{2}$ .

Polecenie 3

Przeanalizuj infografikę i zapoznaj się ze sposobem rozwiązania zadania o liczbach.

RKYfkCR3ZlBxA

Ilustracja interaktywna . Treść zadania. W trzycyfrowej liczbie naturalnej cyfra setek jest taka sama jak cyfra dziesiątek, zaś cyfra jedności jest o 1 mniejsza od cyfry dziesiątek. Jeżeli od liczby trzycyfrowej odejmiemy kwadrat sumy cyfr tej liczby, to otrzymamy 196. Wyznacz liczbę trzycyfową. 1. {audio}Zajmiemy się teraz obliczeniem cyfry setek, dziesiątek i jedności liczby trzycyfrowej spełniającej dane warunki., 2. Jako x oznaczymy cyfrę setek szukanej liczby, x, należy do, nawias klamrowy, dwa przecinek trzy, przecinek, cztery przecinek pięć, przecinek, sześć przecinek siedem, przecinek, osiem przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. Jako x oznaczymy także cyfrę dziesiątek szukanej liczby, 4. Jako x‑1 oznaczymy cyfrę jedności szukanej liczby, 5. sto x, plus, dziesięć x, plus, x, minus, jeden to szukana liczba trzycyfrowa, 6. x, plus, x, plus, x, minus, jeden to suma cyfr szukanej liczby, Zapiszemy równanie opisujące sytuację w zadaniu. sto x, plus, dziesięć x, plus, x, minus, jeden, minus, nawias, x, plus, x, plus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt sześć Upraszczamy zapis, dodając do siebie wyrazy podobne i otrzymujemy: sto x, plus, dziesięć x, plus, x, minus, jeden, minus, nawias, x, plus, x, plus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt sześć. Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy i odejmujemy od obu stron liczbę 196, otrzymując sto jedenaście x, minus, jeden, minus, dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, minus, jeden, minus, sto dziewięćdziesiąt sześć, równa się, zero. Upraszczamy, redukując wyrazy podobne i otrzymujemy trójmian kwadratowy. minus, dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto siedemnaście x, minus, sto dziewięćdziesiąt osiem, równa się, zero Dzielimy obie strony przez (-9), otrzymując następujący trójmian kwadratowy: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, plus, dwadzieścia dwa, równa się, zero. Następnie obliczamy wyróżnik uzyskanego trójmianu kwadratowego. DELTA, równa się, sto sześćdziesiąt dziewięć, minus, cztery, razy, dwadzieścia dwa, równa się, sto sześćdziesiąt dziewięć, minus, osiemdziesiąt osiem, równa się, osiemdziesiąt jeden implikuje pierwiastek kwadratowy z DELTA koniec pierwiastka, równa się, dziewięć. Mamy następujące rozwiązania. Pierwsze to: x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, trzynaście, minus, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwa 7. {audio}Cyfra jedności to dwa. Cyfra dziesiątek to również dwa. Cyfra setek to jeden., Drugie rozwiązanie to: x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, trzynaście, plus, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, jedenaście, przy czym 8. {audio}jedenaście nie spełnia warunków zadania, bo nie jest cyfrą. Odpowiedź: Szukana liczba to 221.

Polecenie 4

R19wo7b8YPMdf

Polecenie 5

Zapoznaj się z animacją i przeanalizuj sposoby rozwiązywania zadań geometrycznych prowadzących do rozwiązania równania kwadratowego.

RpkPZrKbaPwYA

MAT267 - Równania kwadratowe w zadaniach z geometrii.mp4

Polecenie 6

RFfZjxrdS7V80

Przykład 11

Obliczymy, ile boków ma wielokąt wypukły w którym liczba przekątnych jest o $75$ większa od liczby jego boków.

Niech:
$n$ – liczba boków wielokąta,
$\frac{n (n - 3)}{2}$ – liczba przekątnych wielokąta.

Zapiszemy równanie:

$\frac{n (n - 3)}{2} - 75 = n$

$n^{2} - 3 n - 150 = 2 n$

$n^{2} - 5 n - 150 = 0$

$∆ = 25 + 4 \cdot 150 = 25 + 600 = 625 \Rightarrow \sqrt{∆} = 25$

$n_{1} = \frac{5 - 25}{2} = - 10 < 0$ – nie spełnia warunków zadania

$n_{2} = \frac{5 + 25}{2} = 15$

Wielokąt ma $15$ boków.

Przykład 12

Prostokątny obraz bez ramy ma wymiary $75 cm \times 35 cm$ , natomiast wraz z ramą powierzchnia obrazu jest równa $3444 {cm}^{2}$ . Obliczymy szerokość ramy obrazu.

Niech:
$\frac{1}{2} x$ – szerokość ramy.

Wówczas: $(x + 75) (x + 35) = 3444$ .

$x^{2} + 35 x + 75 x + 2625 = 3444$

$x^{2} + 110 x - 819 = 0$

$∆ = 12100 - 4 (- 819) - 15376 \Rightarrow \sqrt{∆} = 124$

$x_{1} = \frac{- 110 - 124}{2} = \frac{- 234}{2} = - 117 < 0$

$x_{2} = \frac{- 110 + 124}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Rama ma szerokość $3, 5 c m$ .

Polecenie 7

Przeanalizuj infografikę i zapoznaj się ze sposobem rozwiązania zadania.

R1RsG2bI7UnPy

Grafika przedstawia kartkę papieru na której rozwiązane zostało zadanie o następującej treści: Za pewną liczbę takich samych długopisów Kasia zapłaciła 50 złotych. Gdyby cena jednego długopisu była o 50 groszy niższa, to za tę samą kwotę Kasia mogłaby kupić o 4 długopisów więcej. Oblicz cenę jednego długopisu i liczbę długopisów zakupionych przez Kasię. Rozwiązanie należy rozpocząć od określenia zmiennych x i y. Zatem x to liczba długopisów, a y to cena jednego długopisu w złotówkach. Następnie zapiszemy układ równań opisujący zależności liczby długopisów od ceny za jeden długopis. Układ równań jest następujący: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, razy, y, równa się, pięćdziesiąt, koniec równania, drugie równanie, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, y, minus, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt, koniec równania, koniec układu równań. Kolejno z pierwszego równania wyznaczymy zmienną y i podstawimy do drugiego równania. Zmienna y ma wartość y, równa się, początek ułamka, pięćdziesiąt, mianownik, x, koniec ułamka. Po tej operacji otrzymaliśmy równanie z jedną niewiadomą x. Równanie ma postać nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, pięćdziesiąt, mianownik, minus, zero przecinek pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt. Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy pięćdziesiąt, minus, zero przecinek pięć x, plus, początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt, mianownik, x, koniec ułamka, minus, dwa przecinek pięć, równa się, pięćdziesiąt. Natomiast po przeniesieniu wartości na jedną stronę mamy minus, zero przecinek pięć x, plus, początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt, mianownik, x, koniec ułamka, minus, dwa przecinek pięć, równa się, zero. W kolejnym kroku równanie przekształciliśmy równoważnie do równania kwadratowego i ma ono postać minus, zero przecinek pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwieście pięćdziesiąt, minus, dwa przecinek pięć x, równa się, zero. Następnie zapisujemy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, pięćset, równa się, zero. Teraz obliczamy deltę DELTA, równa się, dwadzieścia pięć, plus, dwa tysiące, równa się, dwa tysiące dwadzieścia pięć, kolejno pierwiastek z delty pierwiastek kwadratowy z dwa tysiące dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, równa się, czterdzieści pięć. I ostatecznie obliczamy pierwiastki równania. Pierwszy pierwiastek ma postać x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, pięć, minus, czterdzieści pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, czyli x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwadzieścia pięć. Liczba ujemna nie spełnia warunków zadania. Drugi pierwiastek ma postać x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, pięć, plus, czterdzieści pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, czyli x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwadzieścia. Jest to liczba długopisów kupionych przez Kasię, natomiast y indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięćdziesiąt, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, równa się, dwa przecinek pięć zero to cena jednego długopisu. Odpowiedź brzmi: Kasia zakupiła długopisów w cenie 2,50 złotego za sztukę.

Polecenie 8

Za pewną liczbę takich samych piłek Julia zapłaciła $72 zł$ . Gdyby cena jednej piłki była o $1, 20 zł$ wyższa, to za tę samą kwotę Julia mogłaby kupić o $10$ piłek mniej. Oblicz cenę jednej piłki i liczbę piłek zakupionych przez Julię.

$x$ – liczba piłek,

$y$ – cena jednej piłki w $zł$ .

$x \cdot y = 72$

$(x - 10) (y + 1, 2) = 72$

Julia kupiła $30$ piłek po $2, 40 zł$ za jedną sztukę.

R1SWQi5GgTBUX1

Ćwiczenie 1

RIvf4o2FdP0AN1

Ćwiczenie 2

RFWltU0PtvBdU2

Ćwiczenie 3

Riy9RbALREZGy2

Ćwiczenie 4

R10GHrSrs8Ozh2

Ćwiczenie 5

RwnfQQTeh0zl42

Ćwiczenie 6

RmzKqZO99P6kP3

Ćwiczenie 7

RfUgX0NWcAm8i3

Ćwiczenie 8

R1EQEwLvFE4I01

Ćwiczenie 9

R1MyUNHHqQDJE1

Ćwiczenie 10

RYnh56oykd2Gd2

Ćwiczenie 11

R1SWwBagEcZOa2

Ćwiczenie 12

RItyI7c3GtRkV2

Ćwiczenie 13

RZUBa18lJfFQe2

Ćwiczenie 14

REdDgCMvZ5P0f3

Ćwiczenie 15

R15oT0DgO8oYc2

Ćwiczenie 16

R1117cdkhZ3l52

Ćwiczenie 17

RWdfXFuV4DqHv2

Ćwiczenie 18

RQWsF83ncPS7Y3

Ćwiczenie 19

RigWfzufdZzLI1

Ćwiczenie 20

R1VVVg7DRqlHy2

Ćwiczenie 21

ROGS60B40K3uU2

Ćwiczenie 22

RdIZQzTuEDVt82

Ćwiczenie 23

Rx02Dj5M9uYI93

Ćwiczenie 24

Ćwiczenie 25

Czy istnieje prostokąt, którego obwód jest równy $24$ , a pole $40$ ?

$x$ , $y$ – długości boków prostokąta

$2 x + 2 y = 24$

$x + y = 12 \Rightarrow y = 12 - x$

$x \cdot y = 40$

$x (12 - x) = 40$

$12 x - x^{2} = 40$

$- x^{2} + 12 x - 40 = 0$

$Δ = 12^{2} - 4 \cdot 40 = 144 - 160 = - 16 < 0$

Nie istnieje prostokąt spełniający warunki zadania.

Ćwiczenie 26

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długość $25 cm$ , a promień $r$ okręgu wpisanego w trójkąt jest równy $3 cm$ .

$c = 25$ cm, $r = 3 cm$

$a$ , $b$ – przyprostokątne trójkąta prostokątnego (długości w cm)

$r = \frac{a + b - c}{2}$

$3 = \frac{a + b - 25}{2}$

$6 = a + b - 25$

$a + b = 31 \Rightarrow b = 31 - a$

Korzystając z twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

$a^{2} + {(31 - a)}^{2} = 25^{2}$

$a^{2} + 961 - 62 a + a^{2} = 625$

$2 a^{2} - 62 a + 336 = 0$

$a^{2} - 31 a + 168 = 0$

$Δ = {(31)}^{2} - 4 \cdot 168 = 961 - 672 = 289 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 17$

$a_{1} = \frac{31 - 17}{2}$

$a_{1} = 7 \Rightarrow b_{1} = 31 - 7$

$b_{1} = 24$

$a_{2} = \frac{31 + 17}{2}$

$a_{2} = 24 \Rightarrow b_{2} = 31 - 24$

$b_{2} = 7$

$P = \frac{7 \cdot 24}{2}$

$P = 84$

Czyli przyprostokątne trójkąta prostokątnego $A B C$ to $7 cm$ i $24 cm$ , a pole jest równe $84 {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 27

Suma cyfr pewnej trzycyfrowej liczby jest równa $8$ , zaś suma kwadratów jej cyfr jest równa $30$ . Jeżeli w szukanej liczbie zamienimy cyfrę setek z cyfrą dziesiątek, a cyfrę jedności zostawimy bez zmian, to otrzymana liczba będzie o $90$ większa od początkowej liczby. Wyznacz początkową liczbę.

$x$ – cyfra setek,
$y$ – cyfra dziesiątek,
$z$ – cyfra jedności,
$100 x + 10 y + z$ – liczba początkowa,
$100 y + 10 x + z$ – liczba po zamianie cyfry setek z cyfrą dziesiątek,
$x + y + z$ – suma cyfr liczby trzycyfrowej,
$x^{2} + y^{2} + z^{2}$ – suma kwadratów cyfr liczby początkowej.

Zapiszemy i rozwiążemy układ równań opisujący sytuację w zadaniu.

$\{\begin{cases} x + y + z = 8 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 30 \\ 100 y + 10 x + z - (100 x + 10 y + z) = 90 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y + z = 8 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 30 \\ - 90 x + 90 y = 90 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1 + x \\ x + 1 + x + z = 8 \\ x^{2} + {(1 + x)}^{2} + z^{2} = 30 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1 + x \\ z = 7 - 2 x \\ x^{2} + {(1 + x)}^{2} + {(7 - 2 x)}^{2} = 30 \end{cases}$

Zajmiemy się teraz rozwiązaniem ostatniego równania. $x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ $x^{2} + 1 + 2 x + x^{2} + 49 - 28 x + 4 x^{2} - 30 = 0$

$6 x^{2} - 26 x + 20 = 0$

$3 x^{2} - 13 x + 10 = 0$

$∆ = 169 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49 \Rightarrow \sqrt{∆} = 7$

$x_{1} = \frac{13 - 7}{6} = 1$

$x_{2} = \frac{13 + 7}{6} = \frac{10}{3}$ – nie spełnia warunków zadanie, bo nie jest cyfrą

$1$ – cyfra setek,
$2$ – cyfra dziesiątek,
$5$ – cyfra jedności.

Odpowiedź: Szukana liczba to $125$ .

Słownik

okrąg opisany na trójkącie

okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki trójkąta

liczba nieparzysta

liczba postaci $2 n + 1$ dla dowolnego $n \in Z$

4. Równania kwadratowe z wartością bezwzględną

M_R_W10_M4 Równania kwadratowe

5. Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych

Słownik