1. Wzory Viete’a

RRWLfHMLmeqEf

W tym materiale wyprowadzimy i zastosujemy wzory na sumę oraz iloczyn pierwiastków równania kwadratowego.

R1IsxtI0JvpRa1

Rycina przedstawia mężczyznę w średnim wieku, w lokach do ucha, z wąsami i brodą na całą długość szyi. Mężczyzna ma ubiór charakterystyczny dla wieku szesnastego. Na dole ryciny znajduje się podpis Fr. Viete oraz zapisane poniżej po łacinie jego data urodzenie i śmierci, czyli lata 1540 oraz 1603. — Francois Viete
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Wzory te nazwane są wzorami Viete’a od nazwiska ich autora Francois Viete $(1540 - 1603)$ – francuskiego matematyka, z zawodu prawnika. François Viète jako pierwszy posłużył się oznaczeniami literowymi do zapisywania niewiadomych oraz współczynników w równaniach. Dzięki wprowadzeniu oznaczeń literowych w równaniach pojawiła się możliwość opisywania ogólnych własności równań.

Twoje cele

Obliczysz sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego.
Określisz znaki pierwiastków równania kwadratowego.
Obliczysz sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego.

Równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , dla $a \neq 0$ ma pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ \geq 0$ .

Jeżeli $∆ > 0$ to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania:

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}

Jeżeli $∆ = 0$ wtedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie:

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

Wzory Viete’a

Twierdzenie: Wzory Viete’a

Jeżeli równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ i $∆ \geq 0$ , ma pierwiastki $x_{1}$ , $x_{2}$ , to:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

oraz

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Dowód

x_{1} + x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} + \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} \cdot \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{(- b - \sqrt{∆}) (- b + \sqrt{∆})}{4 a^{2}} =

= \frac{b^{2} - ∆}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a}

Przykład 1

Obliczymy sumę i iloczyn pierwiastków równania $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ (jeżeli równanie ma pierwiastki).

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$∆ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15) = 4 + 60 = 64$

$∆ > 0$ zatem równanie ma dwa pierwiastki $x_{1}$ i $x_{2}$ .

Korzystając z wzorów Viete'awzory Viete’awzorów Viete'a obliczymy sumę pierwiastków:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- 2}{1} = - 2$

Obliczymy iloczyn pierwiastków:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 15}{1} = - 15$

Przykład 2

Obliczymy sumę i iloczyn rozwiązań równania $2 x^{2} - 3 x + 7 = 0$ (jeżeli istnieją).

$∆ = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47$

„Delta” jest liczbą ujemną, zatem równanie nie posiada miejsc zerowych.

Poznane wzory wykorzystamy teraz do określenia znaku pierwiastków równania kwadratowego.

Przykład 3

Jeśli równanie kwadratowe $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ma pierwiastki, to określimy ich znaki.

$∆ = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Ponieważ $∆ > 0$ to równanie ma dwa pierwiastki $x_{1}$ , $x_{2}$ .

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$

Ponieważ $x_{1} \cdot x_{2} > 0$ , to możemy wnioskować, że oba pierwiastki $x_{1}$ i $x_{2}$ mają ten sam znak (oba są ujemne lub oba są dodatnie).

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - \frac{- 5}{1} = 5$

Ponieważ $x_{1} + x_{2} > 0$ oraz obie liczby mają ten sam znak, zatem $x_{1}$ i $x_{2}$ są liczbami dodatnimi.

Przykład 4

Określimy znaki pierwiastków równania $x^{2} + x - 12 = 0$ (jeżeli istnieją).

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49 > 0$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 12}{1} = - 12$

Jeżeli iloczyn liczb jest ujemny oznacza to, że liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ mają różne znaki (jedna jest dodatnia, a druga ujemna).

Wniosek:

Liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ są dodatnie gdy:

$x_{1} \cdot x_{2} > 0$

$x_{1} + x_{2} > 0$

Liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ są ujemne gdy:

$x_{1} \cdot x_{2} > 0$

$x_{1} + x_{2} < 0$

Liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ mają różne znaki gdy $x_{1} \cdot x_{2} < 0$ .

Przykład 5

Jeśli równanie $2 x^{2} + 5 x - 4$ ma pierwiastki, to obliczymy sumę ich kwadratów.

$∆ = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 25 + 32 = 57 > 0$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} \cdot x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2} = {(- \frac{b}{a})}^{2} - 2 \frac{c}{a}$

Zatem:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(- \frac{5}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{- 4}{2} = \frac{25}{4} + 4 = 6 \frac{1}{4} + 4 = 10 \frac{1}{4}$

Suma kwadratów pierwiastków równania jest równa $10 \frac{1}{4}$ .

Polecenie 1

Obejrzyj film samouczek przedstawiający wyprowadzenie wzorów Viete’a różnymi metodami.

RpxAOEu6ithBE

Polecenie 2

Uzasadnij, że jeżeli równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek, to wzory Viete’a można zapisać w postaci $2 x_{0} = - \frac{b}{a}$ , ${x_{0}}^{2} = \frac{c}{a}$ .

$∆ = 0$ , czyli $b^{2} - 4 a c = 0$

$b^{2} = 4 a c$

$2 x_{0} = 2 \cdot - \frac{b}{2 a} = - \frac{b}{a}$

${x_{0}}^{2} = {(- \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a}$

Wyznaczanie pierwiastków równania kwadratowego z zastosowaniem wzorów Viete'a

W tym materiale nauczymy się szybkiego obliczania, a właściwie odgadywania pierwiastków równania kwadratowego (które posiada dwa pierwiastki) z zastosowaniem wzorów na sumę i iloczyn tych pierwiastków i .

Będzie to możliwe dla równań kwadratowych , w których i których pierwiastki są liczbami całkowitymi.

Przykład 6

Wyznaczymy pierwiastki równania kwadratowego $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ (jeżeli istnieją).

Najpierw sprawdzimy, czy równanie kwadratowe posiada rozwiązanie.

$∆ = 4^{2} - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 > 0$

„Delta” jest liczbą dodatnią, czyli równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Obliczymy sumę pierwiastków równania.

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

$x_{1} + x_{2} = - 4$

Obliczymy iloczyn pierwiastków równania.

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

$x_{1} \cdot x_{2} = 3$

Czyli $x_{1} + x_{2} = - 4$ , $x_{1} \cdot x_{2} = 3$ .

Odgadywanie pierwiastków możemy rozpocząć od podania takich par liczb całkowitych, których iloczyn jest równy $3$ .

Są to liczby $1$ i $3$ oraz $- 1$ i $- 3$ .

Korzystając z warunku, że suma tych liczb jest równa $(- 4)$ .

Wybieramy liczby $- 1$ i $- 3$ .

Pierwiastki równania kwadratowego to $x = - 3$ , $x = - 1$ .

Przykład 7

Wyznaczymy pierwiastki równania kwadratowego $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

Sprawdzimy najpierw, czy równanie ma pierwiastki.

$∆ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36 > 0$

Równanie ma dwa różne rozwiązania.

$x_{1} + x_{2} = 2$

$x_{1} \cdot x_{2} = - 8$

Ponieważ iloczyn pierwiastków jest ujemny, to znaczy, że pierwiastki mają przeciwne znaki.

Przyjmując, że pierwiastki są liczbami całkowitymi możemy podać pary $- 8$ i $1$ , $- 1$ i $8$ , $- 2$ i $4$ , $- 4$ i $2$ .

Ale suma pierwiastków jest liczbą dodatnią równą $2$ , zatem tylko para $- 2$ i $4$ spełnia oba równania.

Rozwiązaniem równania są liczby $x = - 2$ , $x = 4$ .

Przykład 8

Wyznaczymy współczynniki $b$ i $c$ równania kwadratowego $x^{2} + b x + c = 0$ wiedząc, że rozwiązania $x_{1}$ i $x_{2}$ równania spełniają warunki $x_{1} = 7$ , $x_{1} \cdot x_{2} = - 56$ .

Ponieważ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ , czyli $\frac{c}{a} = - 56$ , $c = - 56$ .

Równanie możemy zapisać w postaci $x^{2} + b x - 56 = 0$ .

Ponieważ $x_{1} = 7$ , czyli $7^{2} + b \cdot 7 - 56 = 0$ .

$49 + 7 b - 56 = 0$

$7 b = 7$

$b = 1$

Współczynniki równania kwadratowego to $b = 1$ i $c = - 56$ .

Przykład 9

Obliczymy rozwiązania równania kwadratowego $x^{2} - m x - 4 = 0$ wiedząc, że rozwiązania są liczbami całkowitymi i parametr $m$ jest liczbą pierwsząliczba pierwszaliczbą pierwszą.

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$∆ = m^{2} - 4 \cdot (- 4) = m^{2} + 16 > 0$

Oznacza to że dla dowolnej liczby $m$ równanie ma dwa różne rozwiązania.

Korzystając ze wzorów Viète’awzory Viete’awzorów Viète’a otrzymujemy:

$x_{1} + x_{2} = m$

$x_{1} \cdot x_{2} = - 4$

Z drugiego warunku możemy ustalić, że ponieważ $x_{1}, x_{2} \in ℤ$ to rozwiązaniami równania mogą być pary liczb $- 4$ i $1$ lub $- 1$ i $4$ .

Ale $x_{1} + x_{2} = m$ , gdzie $m$ jest liczbą pierwszą.

Zatem suma $- 4 + 1 = - 3$ nie spełnia tego warunku.

Sprawdzimy drugą parę liczb.

$4 + (- 1) = 3$

Liczba $3$ jest liczbą pierwszą, zatem rozwiązania równania to $x = 4$ , $x = - 1$ , dla parametru $m = 3$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją przedstawiającą sposób odgadywania pierwiastków równania kwadratowego.

R1XwcO8eFkWtY

Polecenie 4

Odgadnij rozwiązania równania kwadratowego.

a) $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ ,

b) $x^{2} - 7 x - 8 = 0$ ,

c) $x^{2} + x - 42 = 0$ ,

d) $x^{2} + 14 x + 45 = 0$ .

a) $x = - 7$ , $x = 3$ ,

b) $x = - 1$ , $x = 8$ ,

c) $x = - 7$ , $x = 6$ ,

d) $x = - 9$ , $x = - 5$ .

Zależności między pierwiastkami równania kwadratowego

Dzięki wzorom Viete'a możemy, bez obliczenia rozwiązań równania, obliczyć kwadrat różnicy, sumę kwadratów, czy sumę odwrotności pierwiastków. Do przekształceń będziemy wykorzystywać również wzory skróconego mnożenia.

Przykład 10

Korzystając ze wzorów Viète’awzory Viete’awzorów Viète’a obliczymy kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego $x_{1} + 2 x - 15 = 0$ .

Najpierw sprawdzimy znak wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$∆ = 4 - 4 \cdot (- 15) = 64 > 0$

Czyli równania ma dwa różne rozwiązania.

${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} x_{2} =$

$= {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} \cdot x_{2}$

Czyli:

$(- \frac{b}{a})^{2} - 4 \cdot \frac{c}{a} = (- \frac{2}{1})^{2} - 4 \cdot \frac{(- 15)}{1} = 2^{2} + 60 = 64$

Zatem kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy $64$ .

Przykład 11

Korzystając ze wzorów Viète’a obliczymy sumę odwrotności pierwiastków $x_{1}$ , $x_{2}$ równania kwadratowego $x^{2} - 3 \sqrt{5} x - 1 = 0$ .

$x^{2} - 3 \sqrt{5} x - 1 = 0$

$∆ = {(- 3 \sqrt{5})}^{2} - 4 \cdot (- 1) = 45 + 4 = 49 > 0$

Równanie ma dwa rozwiązania (zauważmy, że rozwiązania te są różne od zera).

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2} + x_{1}}{x_{2} \cdot x_{1}} = \frac{- \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = - \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = \frac{- b}{c}$

Czyli $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{- 1} = - 3 \sqrt{5}$

Suma odwrotności pierwiastków równania jest równa $(- 3 \sqrt{5})$ .

Przykład 12

Przekształcimy wyrażenie $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{1}^{2}}$ tak, aby korzystając z wzorów Viete’a obliczyć wartość tego wyrażenia, wiedząc, że $x_{1}$ , $x_{2}$ to pierwiastki równaniapierwiastek równaniapierwiastki równania kwadratowego $\sqrt{2} x^{2} - 5 x + 3 \sqrt{2} = 0$ .

Najpierw przekształcimy wyrażenie określające sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania tak, aby wykorzystać wzory Viete’awzory Viete’awzory Viete’a.

$\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{1}^{2}} = \frac{x_{2}^{2} + x_{2}^{1}}{x_{2}^{1} \cdot x_{2}^{2}} = \frac{x_{2}^{1} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{2}^{1} \cdot x_{2}^{2}} = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{2}^{1} \cdot x_{2}^{2}} = \frac{{(- \frac{b}{a})}^{2} - 2 \cdot \frac{c}{a}}{{(\frac{c}{a})}^{2}}$

$\sqrt{2} x^{2} - 5 x + 3 \sqrt{2} = 0$

$∆ = 25 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 25 - 24 = 1 > 0$

$\frac{{(- \frac{b}{a})}^{2} - 2 \cdot \frac{c}{a}}{{(\frac{c}{a})}^{2}} = \frac{{(\frac{5}{\sqrt{2}})}^{2} - 2 \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{{(\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}} = \frac{\frac{25}{2} - 6}{9} = \frac{\frac{13}{2}}{9} = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{9} = \frac{13}{18}$

Wartość wyrażenia jest równa $\frac{13}{18}$ .

Polecenie 5

Zapoznaj się z filmem samouczkiem przedstawiający zastosowanie wzorów Viete’a do określania związków między pierwiastkami.

RGJ4PDHY5Nlxt

Polecenie 6

Niech $x_{1}$ i $x_{1}$ będą pierwiastkami równania kwadratowego $x^{2} - x - 6 = 0$ . Wyznacz wartości liczbowe wyrażeń:

a) ${(x_{1} - x_{2})}^{2}$

b) $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$

c) $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$

d) $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}}$

a) ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = 25$

b) $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{- 1}{6}$

c) $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 19$

d) $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{13}{36}$

R18tfrqaOQlbo1

Ćwiczenie 1

Połącz równanie z wzorami na sumę i iloczyn rozwiązań równania. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, siedem, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 4. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 5. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, piętnaście, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 4. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 5. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, siedem, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 4. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 5. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, piętnaście, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 4. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 5. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, trzydzieści, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 4. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, piętnaście
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 5. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka

RdJLmYBmCxZwf1

Ćwiczenie 2

R9d592A88agWh2

Ćwiczenie 3

R1QaeC1JOxYXJ2

Ćwiczenie 4

RA2F0zoMaD5lJ2

Ćwiczenie 5

R4TiggqjjLpcj2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Czy można ułożyć równanie kwadratowe tak, aby suma pierwiastków była równa $4$ , a iloczyn $5$ ?

$\frac{- b}{a} = 4 \Rightarrow b = - 4 a$

$\frac{c}{a} = 5 \Rightarrow c = 5 a$

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = {(- 4 a)}^{2} - 4 a \cdot 5 a = 16 a^{2} - 20 a^{2} = - 4 a^{2} < 0$

Zatem nie można ułożyć takiego równania.

Ćwiczenie 8

Korzystając ze wzorów Viete’a oblicz kwadrat różnicy rozwiązań równania kwadratowego $x^{2} + 5 x - 6 = 0$ .

${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} \cdot x_{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} \cdot x_{2} =$

$= {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} \cdot x_{2} = {(- \frac{b}{a})}^{2} - 4 \cdot \frac{c}{a}$

$∆ = {(5)}^{2} - 4 \cdot (- 6) = 25 + 24 = 49 > 0$

${(x_{1} - x_{2})}^{2} = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 6) = 25 + 24 = 49$

R35OaKL7NMLJn1

Ćwiczenie 9

R1EZc0JZnaXzh1

Ćwiczenie 10

R1KKQdxe3sRe01

Ćwiczenie 11

R1CMEZC8FTDhT2

Ćwiczenie 12

Połącz każde z równań z jego rozwiązaniem. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, piętnaście, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, dwa, 2. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, pięć, 3. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, trzy, 4. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, trzy, 5. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, minus, piętnaście, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, dwa, 2. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, pięć, 3. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, trzy, 4. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, trzy, 5. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, dziesięć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, dwa, 2. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, pięć, 3. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, trzy, 4. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, trzy, 5. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, dziesięć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, dwa, 2. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, pięć, 3. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, trzy, 4. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, trzy, 5. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, sześć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, dwa, 2. x, równa się, minus, trzy, x, równa się, pięć, 3. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, trzy, 4. x, równa się, minus, pięć, x, równa się, trzy, 5. x, równa się, minus, dwa, x, równa się, pięć

RmUdQdBwduw2I2

Ćwiczenie 13

Przenieś do pierwszego obszaru równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby o różnych znakach, a do drugiego obszaru równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby o tych samych znakach. Równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby o różnych znakach Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzynaście x, minus, jeden, równa się, zero, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć x, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, równa się, zero, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzynaście x, plus, jeden, równa się, zero, 4. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, zero, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, zero, 6. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, zero Równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby o tych samych znakach Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzynaście x, minus, jeden, równa się, zero, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć x, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, równa się, zero, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzynaście x, plus, jeden, równa się, zero, 4. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, zero, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, zero, 6. minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, zero

R9KPS4WvaD8YU2

Ćwiczenie 14

R1awL8IHUrULx3

Ćwiczenie 15

RWRUEsvAycSjl3

Ćwiczenie 16

Pokaż ćwiczenia:

Rw6c4XC2c1Hkh1

Ćwiczenie 17

R15qRzQlwx7Es1

Ćwiczenie 18

R1WR2y8mGt1ca2

Ćwiczenie 19

RvOf7rBpj41Db2

Ćwiczenie 20

R1X1sGRYYGpOw2

Ćwiczenie 21

R18bRBR9TPMAd2

Ćwiczenie 22

RPbTDNaPYilmK3

Ćwiczenie 23

Ćwiczenie 24

Wiedząc, że $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami równania kwadratowego, przekształć równoważnie wyrażenie $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ tak, aby korzystając z wzorów Viète’a można było obliczyć jego wartość.

$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} \cdot x_{2}} = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}}$

Słownik

wzory Viete’a

jeżeli równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ , ma pierwiastki $x_{1}$ , $x_{2}$ , to:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ oraz $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

liczba pierwsza

taka liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne, jedynkę i samą siebie

pierwiastek równania

każda liczba rzeczywista, która po wstawieniu w miejsce niewiadomej zamienia równanie w zdanie prawdziwe

2. Równania kwadratowe z parametrem, cz. 1

M_R_W10_M6 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem

1. Wzory Viete’a

Wyznaczanie pierwiastków równania kwadratowego z zastosowaniem wzorów Viete'a

Zależności między pierwiastkami równania kwadratowego

Słownik