2. Równania kwadratowe z parametrem, cz. 1

RBbBxnrGbDXWC

W tym materiale Zajmiemy się dyskusją nad liczbą rozwiązań równania kwadratowego z parametrem oraz będziemy wyznaczać rozwiązania równania kwadratowego w zależności od parametru.

Twoje cele

Obliczysz wartość parametru, dla którego rozwiązaniem jest podana liczba.
Zbadasz liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od parametru występującego w równaniu.
Znajdziesz wszystkie takie wartości rzeczywiste parametru, aby rozwiązania równania kwadratowego spełniały określony warunek.

Przykład 1

Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru $k$ , dla których jednym z rozwiązań równania kwadratowego $3 k x^{2} - (k + 1) \cdot x = 0$ z niewiadomą $x$ jest liczba $(- 2)$ .

Do równania podstawimy w miejsce $x$ liczbę $(- 2)$ .

$3 k {(- 2)}^{2} - (k + 1) \cdot (- 2) = 0$

$12 k + 2 k + 2 = 0$

$14 k = - 2$

$k = - \frac{1}{7}$

Aby jednym z rozwiązań równania niezupełnego $3 k \cdot x^{2} - (k + 1) \cdot x = 0$ była liczba $(- 2)$ parametr

$k = - \frac{1}{7}$ .

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru $k$ równanie $x^{2} - 2 k^{2} x - x = 0$ z niewiadomą $x$ ma dwa rozwiązania, z których jedno jest równe $0$ , a drugie jest liczbą dodatnią?

Najpierw uporządkujemy i zapiszemy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej.

$x^{2} - (2 k^{2} + 1) x = 0$

$x [x - (2 k^{2} + 1)] = 0$

$x = 0$ lub $x = 2 k^{2} + 1$

Wyrażenie $2 k^{2} + 1 > 0$ dla dowolnego $k \in ℝ$ .

Warunki zadania są spełnione dla $k \in ℝ$ .

Liczba rozwiązań równania kwadratowego zupełnego jest uzależniona od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego, zwanego deltą.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Rozważmy równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to równanie ma dwa pierwiastki:
$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .
Jeżeli $∆ = 0$ , to równanie ma jeden pierwiastek, nazwany podwójnym pierwiastkiem:
$x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
Jeżeli $∆ < 0$ , to równanie nie ma pierwiastków.

Dlatego w rozwiązywaniu zadań dotyczących analizy liczby rozwiązań równania rozpatrujemy znak wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Przykład 3

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie kwadratowe zupełnerównanie kwadratowe zupełnerównanie kwadratowe zupełne $x^{2} + (2 m - 4) x + m^{2} = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie

Aby równanie kwadratowe miało dokładnie jedno rozwiązanie, musi być spełniony warunek $∆ = 0$ .

Zauważmy, że:

$a = 1$ , $b = 2 m - 4$ , $c = m^{2}$

Ponieważ: $∆ = b^{2} - 4 a c$ , to:

$∆ = {(2 m - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m^{2} = 4 m^{2} - 16 m + 16 - 4 m^{2} = - 16 m + 16$

$∆ = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $- 16 m + 16 = 0$ . Zatem: $- 16 m = - 16$ , co daje: $m = 1$

Aby równanie miało jedno rozwiązanie $m = 1$ .

Przykład 4

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $\frac{1}{4} x^{2} + 3 m x + 3 \cdot (3 m^{2} - 1) = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie

Aby równanie kwadratowe miało co najmniej jedno rozwiązanie (tzn. jedno rozwiązanie lub dwa rozwiązania), musi być spełniony warunek $∆ \geq 0$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$ , zatem:

$∆ = {(3 m)}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 3 (3 m^{2} - 1) = 9 m^{2} - 9 m^{2} + 3 = 3$

Oczywiście $3 \geq 0$ dla dowolnego $m \in ℝ$ .

Równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie dla dowolnego $m \in ℝ$ .

Przykład 5

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $k$ równanie $x^{2} + 2 k x + 1 = 0$ nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Rozwiązanie

Równanie nie posiada rozwiązań, jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego, zwany deltą, przyjmuje ujemną wartość.

$∆ = {(2 k)}^{2} - 4 \cdot 1 = 4 k^{2} - 4$

$4 \cdot (k^{2} - 1) < 0$

$k^{2} - 1 < 0$

$(k - 1) (k + 1) < 0$

$k < 1$ i $k > - 1$

Równanie nie posiada rozwiązań dla $k \in (- 1, 1)$ .

Przykład 6

Wyznaczymy takie wartości parametru $m$ , dla których równanie kwadratowe $(m - 2) x^{2} + 2 m x + (m + 3) = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Najpierw ustalimy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie jest kwadratowe.

Aby równanie było kwadratowe: $m - 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq 2$ .

Aby równanie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste $∆ > 0$ .

Wyznaczymy wyrównik trójmianu:

$∆ = {(2 m)}^{2} - 4 \cdot (m - 2) (m + 3) = 4 m^{2} - 4 \cdot (m^{2} + 3 m - 2 m - 6) =$

Zatem:

$= 4 m^{2} - 4 m^{2} - 4 m + 24 = - 4 m + 24$

$- 4 m + 24 > 0$

$- 4 m > - 24$

$m < 6$

Czyli $\{\begin{cases} m \in ℝ ∖ \{2\} \\ m \in (- \infty, 6) \end{cases}$ .

Zatem, aby równanie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste, musi zachodzić warunek $m \in (- \infty, 2) \cup (2, 6)$ .

Przykład 7

Ustalimy liczbę pierwiastków równania $z x^{2} - 4 x - 1 = 0$ w zależności od parametru $z$ .

Rozwiązanie

1. Jeżeli $z = 0$ równanie jest liniowe. Obliczymy teraz rozwiązanie tego równania.
$0 \cdot x^{2} - 4 x - 1 = 0$
$- 4 x = 1$
$x = - \frac{1}{4}$
Czyli dla $z = 0$ równanie liniowe ma jedno rozwiązanie.

2. Jeżeli $z \in ℝ ∖ \{0\}$ równanie jest kwadratowe.
$z x^{2} - 4 x - 1 = 0$
$∆ = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot z \cdot (- 1) = 16 + 4 z$ .

Aby równanie kwadratowe miało dwa rozwiązania $∆ > 0$ .
$16 + 4 z > 0$
$4 z > - 16$
$z > - 4$
$z \in (- 4, 0) \cup (0, \infty)$ .
Aby równanie kwadratowe miało jedno rozwiązanie $∆ = 0$ , czyli $z = - 4$ .
Aby równanie kwadratowe nie posiadało rozwiązań $∆ < 0$ , czyli $z < - 4$ .
$z \in (- \infty, - 4)$ .

Odpowiedź:

Równanie $z x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ma:

dwa rozwiązania dla $z \in (- 4, 0) \cup (0, \infty)$ ,

jedno rozwiązanie dla $z \in \{- 4, 0\}$ ,

nie posiada rozwiązań dla $z \in (- \infty, - 4)$ .

Przykład 8

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $(m + 3) x^{2} + 2 x + (m - 2) = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie

Dla $m + 3 = 0$ , czyli $m = - 3$ , równanie jest liniowe.
$2 x + (- 3 - 2) = 0$
$2 x - 5 = 0$
$2 x = 5$
$x = \frac{5}{2}$
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jeżeli $m \neq - 3$ , to otrzymujemy równanie kwadratowe, które ma jedno rozwiązanie, jeżeli $∆ = 0$ .
$(m + 3) x^{2} + 2 x + (m - 2) = 0$
$∆ = 4 - 4 \cdot (m + 3) (m - 2) = 4 - 4 \cdot (m^{2} - 2 m + 3 m - 6) =$
$= 4 - 4 m^{2} - 4 m + 24 = - 4 m^{2} - 4 m + 28$
$∆ = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $- 4 m^{2} - 4 m + 28 = 0 | : (- 4)$
$m^{2} + m - 7 = 0$
$∆_{m} = 1 - 4 \cdot (- 7) = 29 \Rightarrow \sqrt{∆_{m}} = \sqrt{29}$
$m_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{29}}{2}$
$m_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{29}}{2}$
Równanie ma jedno rozwiązanie dla $m \in \{- 3, \frac{- 1 - \sqrt{29}}{2}, \frac{- 1 + \sqrt{29}}{2}\}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się galerią zdjęć i przeanalizuj sposób przeprowadzenia dyskusji istnienia i liczby rozwiązań równania w zależności od parametru $m$ .

R1Ax3g9yneJQE

RPpfxPEjHXb6U

RFATuxJAwCJLf

R13SzLTlJTjW2

RYjRgNNnbNGFG

Polecenie 2

Określ liczbę pierwiastków równania $m x^{2} - 2 = 0$ w zależności od parametru $m$ .

Dla $m \in (- \infty, 0⟩$ równanie $m x^{2} - 2 = 0$ nie posiada rzeczywistych rozwiązań, dla $m \in (0, + \infty)$ równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Aby pierwiastki równania kwadratowego zupełnegorównanie kwadratowe zupełnerównania kwadratowego zupełnego były określonego znaku, dodajemy jeszcze warunki związane ze wzorami Viete’a.

Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki jednakowych znaków wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:

$\{\begin{cases} 1 . ∆ \geq 0 \\ 2 . x_{1} \cdot x_{2} > 0 \end{cases}$ .

Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki różnych znaków wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:

$\{\begin{cases} 1 . ∆ > 0 \\ 2 . x_{1} \cdot x_{2} < 0 \end{cases}$ .

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

$\{\begin{cases} 2 . ∆ > 0 \\ 3 . x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ 4 . x_{1} + x_{2} < 0 \end{cases}$ .

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki dodatnie wtedy i tylko wtedy gdy, spełnione są warunki:

$\{\begin{cases} 2 . ∆ > 0 \\ 3 . x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ 4 . x_{1} + x_{2} > 0 \end{cases}$ .

Przykład 9

Wyznaczymy takie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 m = 0$ ma dwa pierwiastki jednakowych znaków.

Rozwiązanie

Aby równanie kwadratowe posiadało dwa pierwiastki jednakowych znaków muszą być spełnione następujące warunki:

$\{\begin{cases} 1 . ∆ \geq 0 \\ 2 . x_{1} \cdot x_{2} > 0 \end{cases}$

1. Wyróżnik trójmianu kwadratowego ma być liczbą nieujemną, ponieważ równanie może mieć „pierwiastek podwójny”.
$∆ = {(- 2 m)}^{2} - 4 \cdot (m^{2} - 2 m) = 4 m^{2} - 4 m^{2} + 8 m = 8 m$

$8 m \geq 0$

$m \geq 0$

$m \in ⟨0, + \infty)$

2. Teraz rozważymy warunek $x_{1} \cdot x_{2} > 0$
Z wzorów Viète’a wiemy, że $x_{1} \cdot x_{1} = \frac{c}{a}$
Czyli $\frac{c}{a} > 0$
$m^{2} - 2 m > 0$
$m (m - 2) > 0$
$m < 0$ lub $m > 2$
$m \in (- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$
Liczby $m$ , muszą spełniać warunki $1$ i $2$ .
Zatem $m \in (2, + \infty)$ .

Przykład 10

Sprawdziamy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $2 x^{2} + 2 m x + \frac{1}{2} \cdot (m^{2} - 4 m) = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie.

Rozwiązanie

Warunki zadania:

$\{\begin{cases} 1 . ∆ > 0 \\ {2 . x}_{1} + x_{2} > 0 \\ {3 . x}_{1} \cdot x_{2} > 0 \end{cases}$

1. $∆ = 4 m^{2} - 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (m^{2} - 4 m) = 4 m^{2} - 4 m^{2} + 16 m = 16 m$
$∆ > 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $16 m > 0$ , zatem: $m > 0$

2. $- \frac{b}{a} > 0$
$\frac{- 2 m}{2} > 0$
$m < 0$

3. $\frac{c}{a} > 0$
$\frac{\frac{1}{2} \cdot (m^{2} - 4 m)}{2} > 0$
$m^{2} - 4 m > 0$
$m (m - 4) > 0$
$m < 0$ lub $m > 4$

Przedstawimy na osi liczbowej część wspólną warunków $(1)$ , $(2)$ , $(3)$ .

R668mizaPi3GD

Grafika przedstawia poziomą oś m. Na osi zaznaczone zostały dwa punkty: zero i cztery. Na osi zaznaczone zostały również przedziały. Kolorem fioletowym zaznaczono przedział od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Kolorem niebieskim zaznaczono dwa przedziały pierwszy z nich jest prawostronnie otwarty od minus nieskończoności do zera, a drugi jest lewostronnie otwarty od czterech do plus nieskończoności.

$m \in \emptyset$

Nie istnieje taka wartość parametru $m$ , dla której równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie.

Przykład 11

Wyznaczymy takie wartości parametru $m$ , dla których suma odwrotności dwóch pierwiastków równania $m x^{2} + (m - 1) x + 3 = 0$ jest równa $1$ .

Rozwiązanie

Równanie musi spełniać warunki:

1. $a \neq 0$

2. $∆ \geq 0$

3. $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$

$a \neq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m \neq 0$
$∆ = {(m - 1)}^{2} - 4 \cdot m \cdot 3 = m^{2} - 2 m + 1 - 12 m = m^{2} - 14 m + 1$
$m^{2} - 14 m + 1 \geq 0$
$∆_{m} = {(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 = 196 - 4 = 192$
$\sqrt{∆_{m}} = 8 \sqrt{3}$
$m_{1} = \frac{14 - 8 \sqrt{3}}{2} = 7 - 4 \sqrt{3}$
$m_{2} = \frac{14 + 8 \sqrt{3}}{2} = 7 + 4 \sqrt{3}$
$m \in (- \infty, 7 - 4 \sqrt{3}⟩ \cup ⟨7 + 4 \sqrt{3}, \infty)$ .
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2} + x_{1}}{x_{1} \cdot x_{2}} = \frac{\frac{- b}{a}}{\frac{c}{a}} = - \frac{b}{c}$
$\frac{- (m - 1)}{3} = 1$
$m - 1 = - 3$
$m = - 2$ .

Uwzględniając rozwiązane warunków $(1)$ , $(2)$ i $(3)$ otrzymujemy: dla $m = - 2$ suma odwrotności pierwiastków równania jest równa $1$ .

Przykład 12

Wyznaczymy wartości parametru $p$ , dla których równanie $(1 - p) x^{2} - 2 p x + p + 3 = 0$ ma dwa różne pierwiastki ujemne.

Rozwiązanie

Równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

$\{\begin{cases} 1 . a \neq 0 \\ 2 . ∆ > 0 \\ {3 . x}_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ 4 . x_{1} + x_{2} < 0 \end{cases}$ .

$a = 1 - p$
$1 - p \neq 0$
$p \neq 1$ .
$∆ = {(- 2 p)}^{2} - 4 \cdot (1 - p) (p + 3) = 4 p^{2} - 4 \cdot (p + 3 - p^{2} - 3 p) =$
$= 4 p^{2} + 8 p - 12 + 4 p^{2} = 8 p^{2} + 8 p - 12$
$∆ > 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $8 p^{2} + 8 p - 12 > 0$
$2 p^{2} + 2 p - 3 > 0$
$∆_{p} = 4 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 4 + 24 = 28$
$\sqrt{∆_{p}} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$
$p_{1} = \frac{- 2 - 2 \sqrt{7}}{4} = \frac{- 1 - \sqrt{7}}{2}$
$p_{2} = \frac{- 2 + 2 \sqrt{7}}{4} = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{2}$
$p \in (- \infty, \frac{- 1 - \sqrt{7}}{2}) \cup (\frac{- 1 + \sqrt{7}}{2}, \infty)$ .
$x_{1} \cdot x_{2} > 0$
$\frac{p + 3}{1 - p} > 0 | \cdot {(1 - p)}^{2}$ , $p \neq 1$
$(p + 3) (1 - p) > 0$
$p = - 3 \lor p = 1$
$p \in (- 3, 1)$ .
$x_{1} + x_{2} < 0$
$\frac{2 p}{1 - p} < 0 | \cdot {(1 - p)}^{2}$
$2 p (1 - p) < 0$
$p = 0$ lub $p = 1$
$p \in (- \infty, 0) \cup (1, \infty)$ .

Znajdujemy część wspólną zbioru rozwiązań $(1)$ , $(2)$ , $(3)$ , $(4)$ .

Rua0Fpx4JSMfc

Ilustracja przedstawia poziomą oś p z zaznaczonymi na niej następującymi liczbami od lewej: -3, -1-72, -1, 0, -1+72, 1. Na osi zaznaczono następujące przedziały: -∞,-1-72, -∞,0, -3, 1, -1+72,+∞, 1, +∞.

Ostatecznie: $p \in (- 3, \frac{- 1 - \sqrt{7}}{2})$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z filmem i przeanalizuj sposób przeprowadzenia dyskusji istnienia i liczby rozwiązań równania kwadratowego w zależności od parametru $m$ oraz obliczania, dla jakich wartości parametru równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania ujemne.

R1Qk2nONlmgOa

Polecenie 4

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^{2} - m x + 6 - \frac{5}{4} m = 0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne?

${\begin{cases} Δ > 0 \\ x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ x_{1} + x_{2} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m \in (- \infty, - 8) \cup (3, \infty) \\ m \in (- \infty, 4 \frac{4}{5}) \\ m \in (- \infty, 0) \end{cases}$

Zatem $m \in (- \infty, - 8)$ .

Polecenie 5

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych i przeanalizuj przedstawiony w niej sposób przeprowadzenia dyskusji istnienia i liczby rozwiązań równania kwadratowego w zależności od parametru $k$ oraz pokazującą wzór i wykres funkcji $f (k)$ przyporządkowującej parametrowi $k$ liczbę rozwiązań równania.

RjGc6KAZil8nB

R1FTaNSaxLOQt

R1b7XeWxO37Q4

Ilustracja trzecia. Określimy liczbę pierwiastków równania nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero w zależności od wartości parametru k. Zbadamy, dla jakiej wartości parametru k równanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie posiada rozwiązań. Przypadek drugi. Dla k, nie równa się, trzy równanie jest kwadratowe. Liczba rozwiązań równania zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego, który obliczymy. nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero Wyróżnik trójmianu jest naastępujący: DELTA, równa się, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery k, plus, cztery, minus, cztery k, plus, dwanaście, równa się, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem k, plus, szesnaście Zatem wyróżnik trójmianu kwadratowego wynosi DELTA, równa się, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem k, plus, szesnaście. Możemy go przedstawić również jako kwadrat różnicy, czyli DELTA, równa się, nawias, k, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Rozważmy teraz trzy przpadki dla k. Przypadek pierwszy: nawias, k, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero dla k, nie równa się, cztery. Dla k, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni, czyli równanie ma dwa rozwiązania. Przypadek drugi: nawias, k, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero dla k, równa się, cztery. Dla k, należy do, nawias klamrowy, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego równanie ma jedno rozwiązanie. Przypadek trzeci: nawias, k, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mniejszy niż, zero dla k, należy do, zbiór pusty. Równanie zawsze będzie posiadało rozwiązanie lub rozwiązania.

RdV0OPRPwaVxA

RIQeQkihZvetL

Polecenie 6

Dla jakich wartości parametru $k$ równanie $(k^{2} - 1) x^{2} + (2 k - 1) x + 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania?

Aby równanie było kwadratowe $k^{2} - 1 \neq 0$ .

$k \neq - 1$ i $k \neq 1$

$∆ = {(2 k - 1)}^{2} - 4 \cdot (k^{2} - 1) = 4 k^{2} - 4 k + 1 - 4 k^{2} + 4 = - 4 k + 5$

$- 4 k + 5 > 0$

$k < \frac{5}{4}$

Aby równanie miało dwa różne rozwiązania $k \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \frac{5}{4})$ .

RUoZV70L456Im1

Ćwiczenie 1

R1UIn0OTCcZqn1

Ćwiczenie 2

R1Nn77f3iE7iN2

Ćwiczenie 3

R53O3Aufbh4wL2

Ćwiczenie 4

R1ai6Ebe63e802

Ćwiczenie 5

RDzcIbaIdfpDK2

Ćwiczenie 6

Pokaż ćwiczenia:

Ru3ldYmGR6nEa1

Ćwiczenie 7

Rlx3Hc7yltp4K1

Ćwiczenie 8

R9gvcQito12OL2

Ćwiczenie 9

R2DRMREeQ2KM52

Ćwiczenie 10

Rf7r0yC4J9b3i2

Ćwiczenie 11

R1CnzLmHdSxPY2

Ćwiczenie 12

R1A3PsyuQ5MCv3

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Wyznacz takie wartości parametru $m$ , dla których różne pierwiastki $x_{1} \neq 0, x_{2} \neq 0$ równania $- 2 x^{2} + (m - 2) x - 1 = 0$ spełniają warunek $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 0$ .

$- 2 x^{2} + (m - 2) x - 1 = 0$

$\{\begin{cases} ∆ > 0 \\ \frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 0 \end{cases}$

$∆ = {(m - 2)}^{2} - 4 \cdot 2 = m^{2} - 4 m + 4 - 8 = m^{2} - 4 m - 4$

$m^{2} - 4 m - 4 > 0$

$∆_{m} = {(- 4)}^{2} + 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32$

$\sqrt{∆_{m}} = 4 \sqrt{2}$

$m_{1} = \frac{4 - 4 \sqrt{2}}{2} = 2 - 2 \sqrt{2}$

$m_{2} = \frac{4 + 4 \sqrt{2}}{2} = 2 + 2 \sqrt{2}$

$m \in (- \infty, 2 - 2 \sqrt{2}) \cup (2 + 2 \sqrt{2}, \infty)$

$\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{x_{2}^{2} + x_{1}^{2}}{x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2}} = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 \cdot x_{1} \cdot x_{2}}{{(x_{1} \cdot x_{2})}^{2}}$

$\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 0$

$\frac{{(\frac{m - 2}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2}} = 0$

$\frac{m^{2} - 4 m + 4 - 4}{4 \cdot \frac{1}{4}} = 0$

$(m^{2} - 4 m) = 0$

$m (m - 4) = 0$

$m = 0$ lub $m = 4$

$m = 0 \notin (- \infty, 2 - 2 \sqrt{2}) \cup (2 + 2 \sqrt{2}, \infty)$

$m = 4 \notin (- \infty, 2 - 2 \sqrt{2}) \cup (2 + 2 \sqrt{2}, \infty)$

Nie istnieje taki parametr $m$ , aby pierwiastki równania spełniały warunek $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 0 .$

Uwaga:

Lewa strona równości, którą mają spełniać pierwiastki równania przyjmuje zawsze wartości dodatnie, zatem nie może być zerem. Można było więc od razu stwierdzić, że nie istnieją liczby m spełniające warunki zadania.

Pokaż ćwiczenia:

R1XhoXyJcKUTd1

Ćwiczenie 15

R1Ab7spjkitw21

Ćwiczenie 16

RSms5jrMzNUYd2

Ćwiczenie 17

RKil0Tf5KasSM2

Ćwiczenie 18

RUdyz3JiknNUt2

Ćwiczenie 19

RLfV2mW42ZeAn2

Ćwiczenie 20

RY00583xgJ6fY3

Ćwiczenie 21

Dla jakich wartości parametru p równanie nawias, p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, jeden, równa się, zero ma dwa różne pierwiastki dodatnie? Połącz warunek z rozwiązaniem. a, nie równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. p, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. p, należy do, nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. p, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu DELTA, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. p, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. p, należy do, nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. p, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. p, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. p, należy do, nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. p, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. p, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. p, należy do, nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. p, należy do, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 22

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $|x^{2} - 4| = m^{2} + 2$ ma dwa różne rozwiązania?

$|x^{2} - 4| = m^{2} + 2$

$x^{2} - 4 = m^{2} + 2$ lub $x^{2} - 4 = - m^{2} - 2$

$x^{2} = m^{2} + 6$ lub $x^{2} = 2 - m^{2}$

Równanie $x^{2} = m^{2} + 6$ ma dwa różne rozwiązania dla $m \in ℝ$ , zatem równanie $x^{2} = 2 - m^{2}$ musi być sprzeczne.

$2 - m^{2} < 0$

$(\sqrt{2} - m) (\sqrt{2} + m) < 0$

$m \in (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Aby równanie miało dwa różne rozwiązania $m \in (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ .

Słownik

równanie kwadratowe niezupełne

równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , dla $a \neq 0$ , $b = 0$ lub $c = 0$

równanie kwadratowe zupełne

równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , dla $a \neq 0$ , $b \neq 0$ , $c \neq 0$

1. Wzory Viete’a

3. Równania kwadratowe z parametrem, cz. 2

2. Równania kwadratowe z parametrem, cz. 1

Słownik