• Wyznaczysz rozwiązania równania spełniające podane warunki w zależności od parametru występującego w równaniu.

• Znajdziesz wszystkie takie wartości rzeczywiste parametru, aby rozwiązania równania spełniały określony warunek.

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^2+\left(2m-1\right)x+2-m=0$ ma dwa różne rozwiązania $x_1$, $x_2$, dla których spełniony jest warunek $\left|x_1-x_2\right|=3$.

Rozpatrzymy następujące warunki:

$\left\{\begin{array}{l}1. a\ne 0\\ 2. \Delta >0\\ 3. \left|x_1-x_2\right|=3\end{array}\right.$

1. $a=1\ne 0$

2. $\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4·1·1\left(2-m\right)=4m^2-4m+1-8+4m=4m^2-7$
$\Delta >0\iff 4m^2-7>0$
$\left(2m-\sqrt{7}\right)\left(2m+\sqrt{7}\right)=0$
$m=\frac{\sqrt{7}}{2}$ lub $m=-\frac{\sqrt{7}}{2}$
$m\in \left(-\infty , -\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{7}}{2}, \infty \right)$

3. $\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1·x_2}$
$\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1·x_2}=\sqrt{{\left(2m-1\right)}^2-4·\left(2-m\right)}=\sqrt{4m^2-7}$
$\sqrt{4m^2-7}=3 |{\left(\right)}^2$
$4m^2-7=9$
$4m^2-16=0 |:4$
$m^2-4=0$
$m=2$ lub $m=-2$
$-2\in \left(-\infty , -\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{7}}{2}, \infty \right)$
$2\in \left(-\infty , -\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{7}}{2}, +\infty \right)$

Zatem równanie ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek $\left|x_1-x_2\right|=3$ dla $m\in \left\{-2,2\right\}$.

Wyznaczymy takie wartości parametru $p$, dla których równanie $x^2-\left(p-1\right)x+2=0$ ma dwa różne rozwiązania $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1^2·x_2+x_1·x_2^2+2x_1·x_2=10$.

Aby były spełnione warunki zadania musimy uwzględnić następujące założenia:

$\left\{\begin{array}{l}1. a\ne 0\\ 2. ∆>0\\ {3. x}_1^2·x_2+x_1·x_2^2-2x_1·x_2=10\end{array}\right.$

1. $a=1\ne 0$

2. $\Delta ={\left[-\left(p-1\right)\right]}^2-4·2=p^2-2p+1-8=p^2-2p-7$
${\Delta }_p={\left(-2\right)}^2-4·\left(-7\right)=4+28=32$
$\sqrt{{\Delta }_p}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
$p_1=\frac{2-4\sqrt{2}}{2}=1-2\sqrt{2}$
$p_2=\frac{2+4\sqrt{2}}{2}=1+2\sqrt{2}$

RQJSXgQtNNuIz

Ilustracja przedstawia poziomą oś $p$ bez podziałki, na której zaznaczone są dwie wartości: mniejsza po lewej stronie wynosi $1-2\sqrt{2}$ oraz większa, po prawo, wynosi $1+2\sqrt{2}$. Oś przecina w dwóch miejscach paraboliczna krzywa z ramionami skierowanymi ku górze i z wierzchołkiem pod osią. Punkty przecięcia oznaczono niezamalowanymi kółkami. Krzywa podzieliła oś na trzy części. Pierwsza część jest po lewej stronie osi i leży na zewnątrz ramion krzywej. Tuż nad osią zaznaczono tę część plusami. Druga część osi to część znajdująca się pomiędzy ramionami krzywej. Ta część nie jest oznaczona. Trzecia część osi to prawa jej część leżąca poza ramionami krzywej, która jest zaznaczona plusami tuż nad osią $p$.

$p\in \left(-\infty ,1-2\sqrt{2}\right)\cup \left(1+2\sqrt{2},\infty \right)$

3. $x_1^2·x_2+x_1·x_2^2+2x_1·x_2=10$
$x_1·x_2\left(x_1+x_2+2\right)=10$
Z wzorów Viete’a otrzymujemy:
$2\left(p-1+2\right)=10$
$2\left(p+1\right)=10$
$p+1=5$
$p=4\in \left(-\infty ,1-2\sqrt{2}\right)\cup \left(1+2\sqrt{2},\infty \right)$

Aby różne rozwiązania równania spełniały warunek $x_1^2·x_2+x_1·x_2^2+2x_1·x_2=10$ parametr $p=4$.

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $z$ wykresy funkcji $y=x^2+\left(z+1\right)x$ oraz $y=z{x}^2+z+5$ przecinają się w jednym punkcie.

Aby obliczyć, dla jakiego $z$ wykresy funkcji przecinają się w jednym punkcie,  musimy rozwiązać równanie.

$x^2+\left(z+1\right)x=z{x}^2+z+5$

$\left(z-1\right)x^2-\left(z+1\right)x+z+5=0$

Równanie ma posiadać jedno rozwiązanie, więc wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być równy zero.

$\Delta ={\left(z+1\right)}^2-4\left(z-1\right)\left(z+5\right)=z^2+2z+1-4\left(z^2+4z-5\right)=$

$=-3z^2-14z+21$

${\Delta }_z=196+252=448$

$\sqrt{{\Delta }_z}=8\sqrt{7}$

$z_1=\frac{14-8\sqrt{7}}{-6}=\frac{-7+4\sqrt{7}}{3}$

$z=\frac{14+8\sqrt{7}}{-6}=\frac{-7-4\sqrt{7}}{3}$

Aby wykresy funkcji przecinały się w jednym punkcie $z=\frac{-7-4\sqrt{7}}{3}$ lub $z=\frac{-7+4\sqrt{7}}{3}$.

Obliczymy, dla jakich wartości parametru z różne rozwiązania $x_1$, $x_2$ równania $x^2-\left(2z+1\right)x+z^2=0$ spełniają warunek $x_1=2x_2$

Rozpatrzymy warunki:

$\left\{\begin{array}{l}1. \Delta >0\\ 2. x_1=2x_2\end{array}\right.$

$\Delta =4z^2+4z+1-4z^2=4z+1$ $\Delta >0\iff 4z+1>0\iff z>-\frac{1}{4}$

2. $x_1=2x_2\Rightarrow x_2=\frac{1}{2}{x}_1$
Czyli $x_1+x_2=x_1+\frac{1}{2}{x}_1=\frac{3}{2}{x}_1$
Korzystając z Wzorów Viète’a, otrzymujemy:
$x_1+x_2=2z+1$
$\frac{3}{2}{x}_1=2z+1$
$x_1=\frac{2}{3}·\left(2z+1\right)$
$2x_2=\frac{2}{3}·\left(2z+1\right)$
$x_2=\frac{1}{3}·\left(2z+1\right)$
$x_1·x_2=z^2$
$x_1·x_2=\frac{2}{3}·\left(2z+1\right)·\frac{1}{3}·\left(2z+1\right)$
Czyli otrzymujemy równanie:
$\frac{2}{9}·{\left(2z+1\right)}^2=z^2$
$2·\left(4z^2+4z+1\right)=9z^2$
$8z^2+8z+2-9z^2=0$
$-z^2+8z+2=0$
$\Delta =64+8=72$
$\sqrt{\Delta }=6\sqrt{2}$
$z_1=\frac{-8-6\sqrt{2}}{-2}=4+3\sqrt{2}$
$z_2=\frac{-8+6\sqrt{2}}{-2}=4-3\sqrt{2}$

Aby rozwiązania równania spełniały warunek $z=4-3\sqrt{2}$ $z=4+3\sqrt{2}$.

Obliczymy,  dla jakich wartości parametru $z$ funkcja $f\left(x\right)=2x^2+\left(z-1\right)x+z$ przyjmuje najmniejszą wartość, która jest liczbą ujemną.

$f\left(x\right)=2x^2+\left(z-1\right)x+z$

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość, gdy współczynnik $a>0$.

Dla funkcji $f$ mamy $a=2>0$ dla $z\in ℝ$.

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, będącej wykresem funkcji.

Czyli $q=\frac{-∆}{4a}$ jest najmniejszą wartością funkcji $f$.

$∆={\left(z-1\right)}^2-4·2·z=z^2-2z+1-8z=z^2-10z+1$

$q=\frac{-\left(z^2-10z+1\right)}{4·2}=\frac{-\left(z^2-10z+1\right)}{8}$

Najmniejsza wartość funkcji $f$ będzie liczbą ujemną dla $\frac{-\left(z^2-10z+1\right)}{8}<0 |·\left(-8\right)$.

$z^2-10z+1>0$

${∆}_z=100-4·1=96$

$\sqrt{{∆}_z}=\sqrt{96}=\sqrt{16·6}=4\sqrt{6}$

$z_1=\frac{10-4\sqrt{6}}{2}=5-2\sqrt{6}$

$z_2=\frac{10+4\sqrt{6}}{2}=5+2\sqrt{6}$

$z\in \left(-\infty , 5-2\sqrt{6}\right)\cup \left(5+2\sqrt{6}, \infty \right)$

Dla jakich wartości parametru $k$ równanie $x^2+\left(k-1\right)x+2k-1=0$ ma dwa rozwiązania takie, że jedno jest sinusem a drugie jest cosinusem tego samego kąta?

Niech $x_1=\sin \alpha$, $x_2=\cos \alpha$.

Rozwiążemy układ warunków:

$\left\{\begin{array}{l}1. ∆\ge 0\\ 2. x_1^2+x_2^2=1\end{array}\right.$

$1$. Wyróżnik trójmianu kwadratowego ma być liczbą nieujemną, ponieważ równanie może mieć podwójny pierwiastek ($\sin \alpha$ i $\cos \alpha$ będą przyjmowały taką samą wartość).
$∆={\left(k-1\right)}^2-4·\left(2k-1\right)=k^2-2k+1-8k+4=k^2-10k+5$
$∆\ge 0\iff k^2-10k+5\ge 0$
${∆}_k={\left(-10\right)}^2-4·5=100-20=80$
$\sqrt{{∆}_k}=4\sqrt{5}$
$k_1=\frac{10-4\sqrt{5}}{2}=5-2\sqrt{5}$
$k_2=\frac{10+4\sqrt{5}}{2}=5+2\sqrt{5}$
$k\in (-\mathrm{\infty },5-2\sqrt{5}>\cup <5+2\sqrt{5},\mathrm{\infty })$

$2$. Aby zachodziły warunki zadania musi być spełniona „jedynka trygonometrycznajedynka trygonometrycznajedynka trygonometryczna”.
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
$x_1^2+x_2^2=1$
${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1·x_2=1$
${\left(k-1\right)}^2-2·\left(2k-1\right)=1$
$k^2-6k+2=0$
$∆=36-4·2=28$
$\sqrt{∆}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
$k_1=\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=3-\sqrt{7}\notin (-\mathrm{\infty },5-2\sqrt{5}>\cup <5+2\sqrt{5},+\mathrm{\infty })$
$k_2=\frac{6+2\sqrt{7}}{2}=3+\sqrt{7}\notin (-\mathrm{\infty },5-2\sqrt{5}>\cup <5+2\sqrt{5},\mathrm{\infty })$

Zatem nie istnieje wartość parametru $k$ dla której równanie ma dwa rozwiązania takie, że jedno jest sinusem a drugie jest cosinusem tego samego kąta.

jeżeli równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$, ma pierwiastki $x_1$, $x_2$, to:

oraz