• Przeprowadzisz analizę nierówności kwadratowej niezupełnej z parametrem.

• Wyznaczysz założenia, jakie muszą być spełnione, aby zbiór rozwiązań nierówności spełniał określony warunek.

• Obliczysz, dla jakich wartości parametru nierówność kwadratowa jest sprzeczna lub prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.

Obliczymy dla jakich wartości parametru $m$ zbiorem rozwiązań nierówności $2x^2+m^2-3>0$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Aby zbiorem rozwiązań nierówności $2x^2+m^2-3>0$ był $\mathrm{ℝ}$ - zbiór liczb rzeczywistych - wykres funkcji $f\left(x\right)=2x^2+m^2-3$ musi  w układzie współrzędnych znajdować się  powyżej osi $X$.

Czyli $m^2-3>0$

$\left(m-\sqrt{3}\right)\left(m+\sqrt{3}\right)>0$

$m\in \left(-\infty , -\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3}, \infty \right)$.

Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$ dla których zbiorem rozwiązań poniższej  nierówności kwadratowej niezupełnej z niewiadomą $x$ jest zbiór $\left(\mathrm{0,} 1\right)$.

$-x^2+\left(2m-3\right)x>0$

Rozwiązanie

Obliczymy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=-x^2+\left(2m-3\right)x$.

$-x^2+(2m-3)x=0$

$x\left[-x+\left(2m-3\right)\right]=0$

$x=0$ lub $x=2m-3$

Szkicujemy parabolę przechodzącą przez wyznaczone punkty. Ramiona paraboli skierowane są do dołu, bo współczynnik przy $x^2$ jest ujemny. Pierwiastek $x=2m-3>0$.

R8NPHobqV2wtP

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 oraz liczba większa od zera zapisana w postaci 2 m odjąć 3. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie 2 odjąć 3. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Zatem $2m-3=1$

$2m=4$

$m=2$

Aby zbiorem rozwiązań nierówności był zbiór $\left(0, 1\right)$, parametr $m=2$.

Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f\left(x\right)=\sqrt{\left(2m-1\right)x^2+1}$ jest określona dla każdej liczby $x\in \mathrm{ℝ}$?

Rozwiązanie

Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem musi być nieujemne, zatem musi  być spełniony warunek $\left(2m-1\right)x^2+1\ge 0$.

Czyli $2m-1\ge 0$

$2m\ge 1$

$m\ge \frac{1}{2}$

$m\in \left.⟨\frac{1}{2}, \infty \right)$

Aby funkcja $f$ była określona dla $x\in \mathrm{ℝ}$, $m\in \left.⟨\frac{1}{2}, \infty \right)$.

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $p$ nierówność   $p{x}^2+2p+4>0$ nie ma rozwiązań.

Rozwiązanie

Aby nierówność kwadratowa $p{x}^2+2p+4>0$ nie posiadała rozwiązań muszą być spełnione warunki:

$\left\{\begin{array}{l}1. p<0\\ 2. 2p+4<0\end{array}\right.$

1. $p\in \left(-\infty , 0\right)$

2. $2p+4<0$
   $2p<-4$
   $p<-2$
   $p\in \left(-\infty , -2\right)$

Uwzględniając koniunkcję warunków $\left(1\right)$ i $\left(2\right)$ otrzymujemy, że $p\in \left(-\infty , -2\right)$.

Jeżeli współczynnik przy $x^2$ będzie równy zero:

$p=0$

$4\ge 0$

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$. Czyli liczba $0$ nie spełnia warunków zadania.

Nierówność nie posiada rozwiązań dla $p\in \left(-\infty , -2\right)$.

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $k$ nierówność kwadratowa zupełnanierówność kwadratowa zupełnanierówność kwadratowa zupełna $k{x}^2+5x+1<0$ nie posiada rozwiązań.

Rozwiązanie

Dla $k\ne 0$ nierówność $k{x}^2+5x+1<0$ jest nierównością kwadratową zupełną.

Aby nierówność nie posiadała rozwiązań wykres funkcji$f\left(x\right)=k{x}^2+5x+1$ musi znajdować się powyżej osi $X$.

Czyli $\left\{\begin{array}{l}1. k>0\\ 2. ∆\le 0\end{array}\right.$.

1. $k\in \left(0,\infty \right)$

2. $∆=5^2-4k=25-4k$
   $25-4k\le 0$
   $-4k\le -25$
   $k\ge \frac{25}{4}$

Uwzględniając koniunkcję warunków (1) i (2)

RZuHWqLX1y7ZE

Ilustracja przedstawia poziomą oś k z zaznaczonymi liczbami: 0 niezamalowanym kółkiem oraz $\frac{25}{4}$ zamalowanym kółkiem. Na osi zaznaczono dwa przedziały otwarty od zera do plus nieskończoności oraz lewostronnie domknięty od $\frac{25}{4}$ do plus nieskończoności.

$k\in \left.⟨\frac{25}{4},\infty \right)$.

Dana jest funkcja $f\left(x\right)=x^2+bx+c$. Obliczymy współczynniki $b$ i $c$, jeżeli wiadomo, że zbiorem rozwiązań nierówności $f\left(x\right)<0$ jest przedział $\left(1,3\right)$.

Rozwiązanie

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o ramionach skierowanych do góry, bo współczynnik przy $x^2$ jest dodatni. Miejsca zerowe funkcji to $x=1$, $x=3$.

R8rIKJ0QrIvEx

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: 1 i 3 . Przez liczby poprowadzono wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do jeden wykres znajduje się nad osią, w punkcie 1 przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 3.

Zapiszemy wzór funkcji $f\left(x\right)$ w postaci iloczynowej.

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)$

$f\left(x\right)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3$

Czyli $b=-4$, $c=3$.

Aby zbiorem rozwiązań nierówności był przedział $\left(1,3\right)$ współczynnik $b=-4$, współczynnik $c=3$.

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $k$ nierówność $(x-2k)(x-k-2)\le 0$ jest spełniona przez każdą liczbę należącą do przedziału $⟨1,2⟩$.

Rozwiązanie

$(x-2k)(x-k-2)\le 0$

Miejsce zerowe funkcji $f\left(x\right)=(x-2k)(x-k-2)$ to $x=2k \vee x=k+2$. Zatem $x\in ⟨2k,k+2⟩$ lub $⟨k+2,2k⟩$.

Aby nierówność była spełniona przez każdą liczbę $x\in ⟨1, 2⟩$:

$⟨1,2⟩\subset ⟨2k,k+2⟩$ lub $⟨1,2⟩\subset ⟨k+2,2k⟩$

$1\ge 2k\wedge 2\le k+2$ lub $1\ge k+2 \wedge 2\le 2k$

$k\le \frac{1}{2}\wedge k\ge 0$ lub $k\le -1 \wedge k\ge 1$

$k\in ⟨0,\frac{1}{2}⟩$ lub sprzeczność.

Nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę $x\in ⟨1,2⟩$ dla $k\in ⟨0,\frac{1}{2}⟩$.

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+\left(m-2\right)x+4}$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, czyli $x^2+\left(m-2\right)x+4\ge 0$.

Zatem $∆\le 0$.

$∆={\left(m-2\right)}^2-4·4=m^2-4m+4-16=m^2-4m-12$

$m^2-4m-12\le 0$

${∆}_m=16+4·12=16+48=64$

$\sqrt{{∆}_m}=8$

$m_1=\frac{4-8}{2}=-2$

$m_2=\frac{4+8}{2}=6$

R1QB5yT2J0aHs

Rysunek przedstawia poziomą oś m z zaznaczonymi na niej liczbami: minus 2 i 6 . Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus dwa przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 6. Część znajdującą się pod wykresem oznaczono minusami między wykresem a osią.

$m\in ⟨-2,6⟩$.

Dla $m\in ⟨-2,6⟩$ dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Dla jakich wartości parametru $p$ dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{p{x}^2+px+4}$ jest zbiór liczb rzeczywistych?

Rozwiązanie

Wyrażenie $p{x}^2+px+4$ musi być różne od zera.

1. Dla $p=0$ otrzymujemy $4\ne 0$.

Jest to prawda dla $x\in \mathrm{ℝ}$.

2. Dla $p\ne 0$ otrzymujemy $p{x}^2+px+4\ne 0$.

Aby równanie kwadratowe $p{x}^2+px+4=0$ nie posiadało miejsc zerowych $∆<0$.

$∆=p^2-16p$

$p^2-16p<0$

$p\left(p-16\right)<0$

$p=0\vee p=16$

$p\in \left(0,16\right)$

Uwzględniając $\left(1\right)$ lub $\left(2\right)$: $p\in \left.⟨0,\mathrm{16}\right)$.

Aby dziedziną funkcji był zbiór liczb rzeczywistych parametr $p\in \left.⟨0,\mathrm{16}\right)$.

Dla jakich wartości parametru $k$ zbiór rozwiązań nierówności $\left(k+2\right)x^2+x+4>0$ jest niepustym przedziałem ograniczonym?

Rozwiązanie

1. Rozpatrzymy najpierw warunek $k+2=0$.

$k=-2$

Wtedy mamy:

$x+4>0$

$x>-4$

$x\in \left(-4,\infty \right)$

Nie otrzymaliśmy przedziału ograniczonego, czyli $k=-2$ nie spełnia warunków zadania.

2. Jeżeli $k+2\ne 0\Rightarrow k\ne -2$ otrzymujemy wtedy nierówność kwadratową. Aby zbiorem rozwiązań był przedział ograniczony muszą zachodzić warunki:

$\left\{\begin{array}{l}1. a<0\\ 2. ∆>0\end{array}\right.$

1. $k+2<0$

$k<-2$

$k\in \left(-\infty ,-2\right)$

2. $∆=1-16\left(k+2\right)>0$

$1-16k-32>0$

$-16k>31$

$k<-\frac{31}{16}$

Uwzględniając koniunkcję $\left(1\right)$ i $\left(2\right)$: $k\in \left(-\infty ,-2\right)$.

Dla jakich wartości parametru $m$ zbiór rozwiązań nierówności $x^2-4x+3<0$ zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności $-x^2+\left(m-3\right)x+1>0$?

Rozwiązanie

Najpierw rozwiążemy nierówność $x^2-4x+3<0$.

$∆=16-4·3=4$

$\sqrt{∆}=2$

$x_1=\frac{4-2}{2}=1$

$x_2=\frac{4+2}{2}=3$

$x\in \left(1,3\right)$

Czyli funkcja  $f\left(x\right)=-x^2+\left(m-3\right)x+1$ musi przyjmować wartości dodatnie w przedziale $\left(1,3\right)$. Ramiona paraboli, bedącej wykresem funkcji,  skierowane są do dołu i  wartości funkcji  mają być nieujemne na końcach przedziału $\left(1,3\right)$.

Czyli:

$\left\{\begin{array}{l}1.f\left(1\right)\ge 0\\ 2.f\left(3\right)\ge 0\end{array}\right.\wedge ∆>0$

$∆=\left(m-3\right){}^2+4=m^2-6m+9+4=m^2-6m+13$

$m^2-6m+13>0$

$m\in \mathrm{ℝ}$

1. $-1+\left(m-3\right)+1\ge 0$

$m-3\ge 0$

$m\ge 3$

2. $-9+\left(m-3\right)·3+1\ge 0$

$3\left(m-3\right)\ge 8$

$3m-9\ge 8$

$3m\ge 17$

$m\ge \frac{17}{3}$

Czyli z $\left(1\right)$ i $\left(2\right)$: $m\in \left.⟨5\frac{2}{3},\infty \right)$

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $p$ nierówność kwadratowa $2x^2+\left(p-3\right)x+p^2\ge 0$ jest prawdziwa dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ramiona paraboli skierowane są do góry. Aby parabola przyjmowała wartości nieujemne wyróżnik trójmianu kwadratowego $∆\le 0$.

$∆={\left(p-3\right)}^2-4·2p^2=p^2-6p+9-8p^2=-7p^2-6p+9$

$-7p^2-6p+9\le 0$

${∆}_p=36+4·7·9=36+252=288=12\sqrt{2}$

$p_1=\frac{6-12\sqrt{2}}{-14}=\frac{6\sqrt{2}-3}{7}$

$p_2=\frac{6+12\sqrt{2}}{-14}=\frac{-3-6\sqrt{2}}{7}$

$p\in \left(-\infty ,\frac{-3-6\sqrt{2}}{7}\right.⟩\cup \left.⟨\frac{-3+6\sqrt{2}}{7},\infty \right)$

nierówność, w której wszystkie współczynniki są różne od zera