1. Okrąg opisany na trójkącie

RUyZZQjXsIjG8

Pewna sieć komórkowa planuje postawienie masztu w równej odległości od trzech ustalonych miejscowości. W którym punkcie należy umieścić ten maszt, aby był spełniony ten warunek? Do rozwiązania tego problemu pomocna będzie wiedza na temat wyznaczania środka okręgu opisanego na dowolnym trójkącie. W materiale przeanalizujemy, gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie.

Twoje cele

Określisz położenie środka okręgu opisanego na trójkącie.
Uzasadnisz, że na każdym trójkącie można opisać okrąg.
Wyznaczysz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie.
Wykorzystasz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Przypomnijmy definicję symetralnej odcinkasymetralna odcinkasymetralnej odcinka.

Symetralna odcinka

Definicja: Symetralna odcinka

Symetralna niezerowego odcinka to prosta prostopadła do danego odcinka, przechodząca przez środek tego odcinka.

Jak wiadomo, symetralna odcinka jest miejscem geometrycznym punktów równoodległych od jego końców.

o punktach równoodległych od symetralnej odcinka

Twierdzenie: o punktach równoodległych od symetralnej odcinka

Niech $X$ i $Y$ będą różnymi punktami. Punkt $P$ leży na symetralnej odcinka $X Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|X P| = |Y P|$ .

R1cXL1H4TzFSb

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach X Y P, przez punkt P poprowadzono pionową prostą, punkt przecięcia się prostej z bokiem XY podpisano literą M.

o przecięciu symetralnych trzech boków trójkąta

Twierdzenie: o przecięciu symetralnych trzech boków trójkąta

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest równoodległy od jego wierzchołków.

R1aeja8qvTyAL

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C, przez każdy z boków poprowadzono symetralną , symetralną boku AB podpisano literą k, symetralną boku BC podpisano literą l. Punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt ten połączono liniami przerywanymi z wierzchołkami trójkąta.

Dowód

Niech $△ A B C$ będzie dowolnym trójkątem. Niech $k$ i $l$ będą symetralnymi boków $A B$ i $B C$ . Niech też $S$ będzie punktem wspólnym tych prostych. Taki punkt istnieje i jest jedyny.

Wówczas na mocy poprzedniego twierdzenia mamy $|A S| = |B S| = |C S|$ . Zatem, znów na mocy tego twierdzenia, punkt $S$ należy do symetralnej odcinka $C A$ .

Wniosek

Dla każdego trójkąta istnieje dokładnie jeden okrągokrągokrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta (okrąg opisany na trójkącie).

R1b2U7cNzKpMJ

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C wpisany w okrąg. Przez każdy z boków poprowadzono symetralną, punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt S leży wewnątrz trójkąta.

Zdefiniujmy pojęcie okręguokrągokręgu opisanego na trójkącie.

Okrąg opisany na trójkącie

Definicja: Okrąg opisany na trójkącie

Mówimy, że okrąg jest opisany na trójkącie, jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta należą do tego okręgu.

Wynika z tego, że jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie, to trójkąt jest wpisany w okrąg.

Ważne!

Promień okręgu opisanego na trójkącie oznaczamy $R$ .

$R$ – jest odległością środka okręgu od wierzchołków trójkąta.

Przeanalizujmy, gdzie położony jest środek okręgu w zależności od rodzaju trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie ostrokątnym. Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie ostrokątnym, to środek okręgu leży wewnątrz trójkąta.

R1ONBzFb5pwjT

Wynika to z faktu, że symetralne boków trójkąta ostrokątnego przecinają się w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym. Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie prostokątnym, to środek okręgu leży w punkcie, który dzieli przeciwprostokątną trójkąta na dwa odcinki równej długości.

R1BZ923kj9Uh1

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C wpisany w okrąg. Kąt BAC jest kątem prostym. Przez każdy z boków poprowadzono symetralną, punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt S leży na przeciwprostokątnej.

Wynika to z faktu, że symetralne boków trójkąta prostokątnego przecinają się w punkcie będącym środkiem przeciwprostokątnej trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie rozwartokątnym. Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie rozwartokątnym, to środek okręgu leży na zewnątrz tego trójkąta.

RA2DH1oLEiIYs

Ilustracja przedstawia trójkąt rozwartokątny A B C wpisany w okrąg. Kąt BAC jest kątem rozwartym. Przez każdy z boków poprowadzono symetralną, punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt S leży poza trójkatem.

Wynika to z faktu, że symetralne boków trójkąta rozwartokątnego przecinają się w punkcie leżącym na zewnątrz trójkąta.

Przykład 1

Skonstruujemy okrąg opisany na trójkącie o boku długości $4$ , jeżeli promień tego okręgu ma długość $6$ .

Rozwiązanie

Niech dany będzie bok $A B$ długości $4$ trójkąta $A B C$ .

R1QxM4isDCYy5

Ilustracja przedstawia trójkąt rozwartokątny A B C, w którym wierzchołek B jest wierzchołkiem kąta rozwartego oraz boki AC i BC narysowano liniami przerywanymi. Bok AB ma długość cztery.

Na boku $A B$ budujemy trójkąt równoramienny o ramieniu długości $6$ (będą $2$ takie trójkąty).

R1RdgXu3dIqAH

Jeden z punktów $D$ lub $E$ będzie środkiem szukanego okręgu (leży na symetralnej boku $A B$ i jest oddalony od punktów $A$ i $B$ o $6$ )

Szkicujmy okrąg o promieniu długości $6$ i środku w punkcie, który jest wierzchołkiem trójkąta (będą dwa takie okręgi).

R1S6YUevt2zQY

Jeden z powstałych okręgów przechodzi przez trzeci wierzchołek trójkąta $A B C$ , okrąg ten spełnia warunki zadania.

Przykład 2

Obliczymy pole trójkąta równoramiennego przedstawionego na rysunku, jeżeli promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $6$ .

R1TYQiGi5cfp2

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny wpisany w okrąg, najdłuższy poziomy bok ma długość osiem.

Rozwiązanie

Dorysujmy promienie okręgu oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

Rd85LXe15Otlf

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny wpisany w okrąg, w trójkącie zaznaczono jego wysokość h, która podzieliła podstawę na dwie części o długości cztery. Na rysunku dorysowano promienie o długości sześć. Odcinek od środka okręgu do spodka wysokości trójkąta podpisano literą x.

Wobec tego długość odcinka $x$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + 4^{2} = 6^{2}$

$x^{2} = 20$ , czyli $x = 2 \sqrt{5}$ .

Zatem wysokość trójkąta jest równa:

$h = 6 - 2 \sqrt{5}$ .

Pole trójkąta wynosi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (6 - 2 \sqrt{5}) = 24 - 8 \sqrt{5}$ .

Przykład 3

Obliczymy długość wysokości trójkąta prostokątnego wychodzącej z wierzchołka kąta prostego, jeśli promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $6$ , a jedna z przyprostokątnych ma długość $4 \sqrt{6}$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R163MYdl0Hn4s

Ilustracja przedstawia trójkąt prosotkątny A B C,gdzie kąt BAC jest kątem prostym, bok AC podpisano literą a, bok AB podpisano b=46, bok BC podpisano literą c. Z wierzchołka A na bok BC opuszczono wysokość h, jej spodek podpisano literą E. Z wierzchołka A poprowadzono promień r=6, punkt przecięcia się promienia z bokiem c podpisano literą D.

Odcinek $A D$ jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym $A B C$ , zatem $c = |B C| = 12$ . Wyznaczamy długość przyprostokątnej $a$ :

$a^{2} = 12^{2} - {(4 \sqrt{6})}^{2}$

$a^{2} = 48$

$a = 4 \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że:

$\frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h$

Stąd:

$h = 4 \sqrt{2}$

Polecenie 1

Przeanalizuj działanie apletu. Za każdym razem określ położenie środka okręgu opisanego na trójkącie, w zależności od wybranego rodzaju trójkąta.

RCD0qFtgrUmJL

Polecenie 2

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę $40 °$ . Określ położenie środka okręgu opisanego na tym trójkącie.

Ponieważ jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę $40 °$ , zatem musimy przeanalizować dwa przypadki:

gdy podany kąt jest kątem w wierzchołku trójkąta:
R15O0KaNCJ1eG
Wówczas miara $α$ jest równa:
$α = (180 ° - 40 °) : 2 = 70 °$
Trójkąt jest ostrokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta.

gdy podany kąt jest kątem przy podstawie trójkąta:
RIzKlaFUQSQSa
Wówczas miara $α$ jest równa:
$α = 180 ° - 2 \cdot 40 ° = 100 °$ .
Trójkąt jest rozwartokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na zewnątrz tego trójkąta.

Przykład 4

Trójkąt $A B C$ jest trójkątem równoramiennym. Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś $D$ – spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ na podstawę $A B$ . Obliczymy długość promienia tego okręgu, jeśli:

a) $|C D| = 5$ i $|A B| = 4$ ,

b) $|C D| = 3$ i $|A B| = 8$ .

Rozwiązanie

a) Skoro $|C D| = 5$ i $|A B| = 4$ , to trójkąt $A B C$ jest trójkątem ostrokątnym:

RD4sbZEnwnnh7

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, który jest wpisany w okrąg. Z wierzchołka C linią przerywaną poprowadzono wysokość, spodek wysokości podpisano literą D. Odcinek AD oraz BD ma długość 2. Środek okręgu podpisano literą O, leży on na wysokości CD. Odcinek AO podpisano literą R.

Zwróćmy uwagę, że $|O D| = |C D| - |C O| = 5 - R$

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $A D O$ , otrzymujemy:

$R^{2} = {(5 - R)}^{2} + 2^{2}$

$R^{2} = 25 - 10 R + R^{2} + 4$

$10 R = 29$

$R = 2, 9$

b) Skoro $|C D| = 3$ i $|A B| = 8$ , to trójkąt $A B C$ jest trójkątem rozwartokątnym:

RHyoH4e4GQjKW

Z ilustracji graficznej widzimy, że $|O C| = R$ , zaś $|O D| = R - 3$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego $A D O$ otrzymujemy:

$R^{2} = {(R - 3)}^{2} + 4^{2}$

$R^{2} = R^{2} - 6 R + 9 + 16$

$6 R = 25$

$R = 4 \frac{1}{6}$

Przykład 5

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:

a) równoramiennym o przyprostokątnej długości $6 cm$ ,

b) o przyprostokątnych długości $15 cm$ i $8 cm$ .

Rozwiązanie

a) Skoro mamy trójkąt prostokątny, to wiemy już, że środek okręgu opisanego na trójkącieokrąg opisany na trójkącieokręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej, zatem długość promienia tego okręgu równa jest połowie długości przeciwprostokątnej.

$R = \frac{1}{2} c$ , gdzie $c$ jest długością przeciwprostokątnej.

Na początek przypomnijmy sobie zależności, jakie są charakterystyczne dla trójkąta prostokątnego równoramiennego.

RbIehrkwMkYur

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, który jest wpisany w okrąg. Odcinki AC i BC mają długość a, przeciwprostokątna AB ma długość a2. Na odcinku AB leży punkt O będący środkiem okręgu.

Nasze przyprostokątne są długości $6 cm$ , zatem przeciwprostokątna jest długości $6 \sqrt{2} cm$ .

$R = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} [cm]$

b) Wiemy, że potrzebujemy długości przeciwprostokątnej, zatem stosujemy twierdzenie Pitagorasa, by ją obliczyć.

Załóżmy, że nasza przeciwprostokątna, to $c$ , wówczas otrzymujemy:

$c^{2} = 15^{2} + 8^{2}$

$c^{2} = 225 + 64$

$c^{2} = 289$

$c = 17 [cm]$

Znając długość przeciwprostokątnej, obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie

$R = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8, 5 [cm]$ .

długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

Własność: długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

W trójkącie równobocznym symetralnesymetralnasymetralne zawierają wysokości tego trójkąta, które przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka.

R = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Przykład 6

Obliczymy długość promienia koła opisanego na trójkącie równobocznym o polu $36 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Na początek korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego $P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ obliczymy długość boku trójkąta.

$36 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$a^{2} = 144$

$a = 12$

Mając długość boku, bez problemu obliczymy $R$ .

$R = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}$

Przykład 7

Wyznaczymy miarę kąta $α$ z rysunku.

R1OhGZdPb4JlY

Ilustracja przedstawia trójkąt wpisany w okrąg. Jeden z kątów trójkąta podpisano literą alfa. Z pozostałych dwóch kątów poprowadzono odcinki do środka okręgu, odcinki te podpisano literą r. Pomiędzy bokiem trójkąta a odcinkiem wychodzącym z tego samego wierzchołka do środka okręgu ma miarę 25 stopni.

Rozwiązanie

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku.

R1BxuLLpZtKND

Zauważmy, że trójkąt o kątach $25 °, β$ oraz bokach długości $r$ jest równoramienny, zatem:

$β = 180 ° - 2 \cdot 25 ° = 130 °$

Ponieważ $α$ jest kątem wpisanym, a $β$ kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt $α$ , to z własności kątów wpisanych i środkowych w kolewłasności kątów wpisanych i środkowych w kole mamy

$β = 2 α$ , czyli $α = \frac{1}{2} β$

Zatem $α = \frac{1}{2} \cdot 130 ° = 65 °$ .

Przykład 8

Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $A B C$ . Kąt $A C O$ jest cztery razy większy od kąta $B A O$ , a miara kąta $C B O$ jest o $12 °$ większa od miary kąta $A B O$ . Obliczymy miary kątów trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Narysujmy okrąg o środku w punkcie $O$ opisany na trójkącie $A B C$ i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RurpYUa52k6Yt

Ilustracja przedstawia trójkąt A b C wpisany w okrąg, środek okręgu podpisano literą O. Z każdego z wierzchołków poprowadzono odcinek do punktu O.

Niech $|∢ B A O| = α$ .

Wobec tego $|∢ A C O| = 4 α$ .

Zauważmy, że trójkąty $A B O$ , $B C O$ oraz $A C O$ są równoramienne.

Zatem:

$|∢ A C O| = |∢ C A O| = 4 α$

$|∢ B A O| = |∢ A B O| = α$

$|∢ B C O| = |∢ C B O| = α + 12 °$

Wobec faktu, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180 °$ , by wyznaczyć wartość $α$ , rozwiązujemy równanie:

$4 α + 4 α + α + α + α + 12 ° + α + 12 ° = 180 °$

$12 α = 156 °$

$α = 13 °$

Zatem miary kątów trójkąta $A B C$ wynoszą:

$|∢ B A C| = 13 ° + 52 ° = 65 °$

$|∢ A C B| = 52 ° + 25 ° = 77 °$

$|∢ A B C| = 13 ° + 25 ° = 38 °$

Przykład 9

Pokażemy, że odległość wierzchołka trójkąta $A B C$ od ortocentrumortocentrumortocentrum jest dwa razy dłuższa od odległości środka okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ od środka przeciwległego boku.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1DL71ATlUJlA

Ilustracja przedstawia okrąg A b C, który jest wpisany w trójkąt. Przez wierzchołek A oraz B poprowadzono proste, w których zawierają się wysokości. Punkt przecięcia się tych prostych zaznaczono literą O. W trójkącie dla boku BC i AC poprowadzono proste zawierające symetralne, punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt przecięcia się symetralnej boku AC z tym bokiem podpisano literą M. Punkt przecięcia się symetralnej boku BC z tym bokiem podpisano literą K. Na boku AB zaznaczono punkt N. W trójkącie A B C zaznaczono trójkąt A O C oraz trójkąt K S N.

gdzie $O$ oznacza ortocentrum trójkąta $A B C$ , zaś $S$ – środek okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ .

Zauważmy, że trójkąty $A C O$ i $K N S$ są podobne, gdyż $A O ∥ S K$ , $C O ∥ S N$ oraz $A C ∥ K N$ , co oznacza, że: $|∢ C O A| = |∢ K S N|$ , $|∢ A C O| = |∢ K N S|$ i $|∢ O A C| = |∢ S K N|$ . Ponieważ odcinek $K N$ jest odcinkiem środkowym trójkąta $A B C$ , to skala tego podobieństwa wynosi $\frac{1}{2}$ .

To oznacza, że: $|S K| = \frac{1}{2} |A O|$ co należało udowodnić.

Polecenie 3

Trójkąt, którego boki są liniami środkowymi, nazywamy trójkątem środkowym. Uruchom symulację i obserwuj zależność długości promienia okręgu opisanego na trójkącie środkowym $D E F$ od długości promienia okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ .

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu, w którym przedstawiono trójkąt, którego boki są liniami środkowymi. Jest to trójkąt środkowy D E F. Zwróć szczególną uwagę na zależność długości promienia okręgu opisanego na trójkącie środkowy D E F od długości promienia okręgu opisanego na trójkącie A B C.

RiyUtXFRFzdiM

Polecenie 4

Jaka jest zależność między długościami promieni okręgów opisanych na trójkącie i jego trójkącie środkowym? Odpowiedź uzasadnij.

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie jest $2$ razy większa niż długość promienia okręgu opisanego na jego trójkącie środkowym.

Trójkąt środkowy $D E F$ jest trójkątem podobnym do trójkąta $A B C$ w skali $k = \frac{1}{2}$ .

Zatem $P_{∆ D E F} = \frac{1}{4} P_{∆ A B C}$ .

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych długościach boków i promieniu okręgu na nim opisanego.

Niech $a, b, c$ oznaczają długości boków trójkąta $A B C$ , zaś $R$ – długość promienia okręgu na nim opisanego.

Zatem w trójkącie $D E F$ boki mają długości: $\frac{1}{2} a; \frac{1}{2} b, \frac{1}{2} c$ . Oznaczmy przez $R_{1}$ długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Wtedy:

$R_{1} = \frac{\frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2} b \cdot \frac{1}{2} c}{4 P_{∆ D E F}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{a b c}{4 \cdot \frac{1}{4} P_{∆ A B C}} = \frac{1}{8} \cdot 4 \cdot \frac{a b c}{4 \cdot P_{∆ A B C}} = \frac{1}{2} R$ .

Przeanalizujemy jeszcze raz własności okręgu opisanego na trójkącie.

R152iGZDSHcXS

Przykład 10

Wykorzystując własności kątów wpisanych udowodnimy, że pole trójkąta o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ wpisanego w okrąg o promieniu $R$ wyraża się wzorem:

P = \frac{a b c}{4 R}

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R17uGZbRyJ3xw

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, który został wpisany w okrąg o środku O. Z wierzchołka A przez punkt O poprowadzono odcinek, którego koniec leży na okręgu i jest podpisany literą E. Z wierzchołka A na bok BC opuszczono wysokość h, której spodek podpisano literą D. Odcinek AB podpisano literą c. Odcinek BC podpisano literą a. Odcinek AC podpisano literą b. Odcinek AO podpisano literą R. Kąt BAC podpisano literą alfa. Kąt CBA podpisano literą beta. Kąt EC podpisano literą gamma. Wierzchołki A C E tworzą trójkąt.

Trójkąt $A B C$ o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R$ . Odcinek $A D$ jest wysokością trójkąta, a odcinek $A E$ jest średnicą okręgu. Kąty $A B C$ oraz $A E C$ są kątami wpisanymi, opartymi na tym samym łuku, zatem mają takie same miary. Stąd trójkąty $A B D$ i $A E C$ są podobne, czyli: $\frac{h}{c} = \frac{b}{2 R}$ , zatem $h = \frac{b c}{2 R}$ .

P = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \cdot \frac{b c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R}

Warto przypomnieć wzór Herona, który pozwala obliczyć pole dowolnego trójkąta, gdy znamy długości wszystkich jego boków.

Jeżeli $0 < a \leq b \leq c$ są długościami boków trójkąta oraz $p = \frac{a + b + c}{2}$ , to pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru:

P_{△} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Przykład 11

Obliczymy pole trójkąta wpisanego w okrąg,trójkąt wpisany w okrągtrójkąta wpisanego w okrąg, którego boki są długości: $4 cm$ , $13 cm$ i $15 cm$ , wiedząc, że promień tego okręgu jest równy $8, 125 cm$ .

Rozwiązanie

$I$ sposób:

Korzystając ze wzoru $P = \frac{a b c}{4 R}$ , otrzymujemy:

$P = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 8, 125} = \frac{780}{32, 5} = 24 [{cm}^{2}]$

$II$ sposób:

R18FMZ5fFV2v5

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Bok AB ma długość 4, bok AC ma długość 15, a bok BC ma długość trzynaście.

Korzystając ze wzoru Herona najpierw obliczymy $p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = 16 [cm]$ .

Zatem pole tego trójkąta jest równe:

$P_{△} = \sqrt{16 (16 - 4) (16 - 13) (16 - 15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} =$

$= 4 \cdot 6 = 24 [{cm}^{2}]$ .

Przykład 12

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkąciepromienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie $8 cm$ i ramieniu długości $4 \sqrt{5} cm$ .

Rozwiązanie

Sprawdzimy jakim trójkątem jest trójkąt o podanych długościach, by poprawnie wykonać rysunek pomocniczy:

${(4 \sqrt{5})}^{2} + 8^{2} > {(4 \sqrt{5})}^{2}$ , zatem jest to trójkąt ostrokątny, środek okręgu opisanego na nim leży wewnątrz trójkąta.

$I$ sposób:

R1EjElf6D8oyO

Ilustracja przedstawia trójkąt wpisany w okrąg. Środek okręgu podpisano literą O. Punk o leży na wysokości trójkąta opuszczonej na bok o długości osiem. Pozostałe boki trójkąta mają długość 45.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość trójkąta opuszczoną na podstawę:

$h^{2} + 4^{2} = {(4 \sqrt{5})}^{2}$

$h^{2} + 16 = 80$

$h^{2} = 64$

$h = 8 [cm]$

Możemy już obliczyć pole tego trójkąta

$P = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32 [{cm}^{2}]$

Przekształcając poznany wzór $P = \frac{a b c}{4 R}$ , obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie

$R = \frac{a b c}{4 P}$

$R = \frac{4 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5} \cdot 8}{4 \cdot 32} = 5 [cm]$

$II$ sposób:

RgxwrX92Lnqj4

Zauważmy, że mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $h - R = 8 - R$ , $4$ oraz przeciwprostokątnej $R$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy

${(8 - R)}^{2} + 4^{2} = R^{2}$

$64 - 16 R + R^{2} + 16 = R^{2}$

$80 = 16 R$

$R = 5 [cm]$

Polecenie 5

Prześledź zależność między długością boku a sinusem kąta leżącego naprzeciw tego boku, a następnie wykonaj poniższe polecenia. Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta w poniższej symulacji interaktywnej samodzielnie decydujesz, jakiemu trójkątowi się przyglądasz.

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji. Prześledź zależność między długością boku a sinusem kąta leżącego naprzeciw tego boku, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

RRSyglAP5h29l

Polecenie 6

Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ , jeśli $|B C| = 4$ , $|∢ B A C| = 60 °$ .

Sporządzamy rysunek pomocniczy

R15YfoyLygHhS

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Bok BO ma długość 4, kąt BCA ma miarę α=60°.

Z twierdzenia sinusów wiemy, że $\frac{4}{\sin 60 °} = 2 R$ .

$R = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Polecenie 7

Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta $A B C$ , jeżeli $|A B| = \sqrt{6}$ , $|B C| = 3$ , $|∢ B A C| = 60 °$ .

R1Rpf9ZhL4NWb

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Bok BO ma długość 3, kąt BCA ma miarę α=60°. Bok AB ma miarę 6.

Korzystając z twierdzenia sinusów dostajemy prawdziwą równość:

$\frac{3}{\sin 60 °} = \frac{\sqrt{6}}{\sin γ}$

Zatem $\sin γ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Z powyższego wynika, że $γ = 45 °$ lub $γ = 135 °$ .

Analizując warunki zadania: przypadek drugi, czyli $γ = 135 °$ odrzucamy, gdyż $α + β + γ = 180 °$ , a suma $60 ° + 135 ° > 180 °$ .

$β = 180 ° - (60 ° + 45 °) = 75 °$

$γ = 45 °$ .

Polecenie 8

W trójkącie $A B C$ , wpisanym w okrąg o promieniu $6 cm$ , dane są miary dwóch kątów: $α = 30 °$ , $β = 45 °$ . Oblicz obwód tego trójkąta.

Wyznaczymy miarę trzeciego kąta: $γ = 180 ° - 45 ° - 30 ° = 105 °$ . Nasz trójkąt jest trójkątem rozwartokątnym.

Aby obliczyć długości boków tego trójkąta zastosujemy twierdzenie sinusów:

$\frac{a}{\sin 30 °} = 12$

$a = 6 cm$

$\frac{b}{\sin 45 °} = 12$

$b = 6 \sqrt{2} cm$

$\frac{c}{\sin 105 °} = 12$

$\sin 105 ° = \sin (45 ° + 60 °) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

lub odczytanie z tablic wartości przybliżonej $\sin 105 ° \approx 0, 97$

$c = 3 (\sqrt{2} + \sqrt{6}) cm$

$c \approx 11, 64 cm$ .

$L = 3 (2 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) cm$

$L \approx 26, 08 cm$ .

RUcMlq6dxS2fu1

Ćwiczenie 1

RbCYu1eoIBwd51

Ćwiczenie 2

R14dTZMvSR4ya1

Ćwiczenie 3

RAms2j1Pg7YOl1

Ćwiczenie 4

R1P2P8ovtbEmv2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach $12$ i $6$ oraz kącie między nimi o mierze $120 °$ .

R15uaqOpGFmsc

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w którym kąt CAB jest równy α=120°, bok AB jest równy 6, bok AC jest równy 12, a bok BC jest podpisany literą x.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

Z twierdzenia cosinusów:

$x^{2} = 12^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \cos 120 °$

$x^{2} = 144 + 36 + 72$

$x^{2} = 252$

$x = 6 \sqrt{7}$

Z twierdzenia sinusów: $\frac{6 \sqrt{7}}{\sin 120 °} = 2 R$ , zatem: $R = \frac{6 \sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2} = 2 \sqrt{21}$ .

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach $12$ i $6$ oraz kącie między nimi o mierze $120 °$ wynosi $R = 2 \sqrt{21}$ .

Ćwiczenie 7

Wiadomo, że jeden z kątów w trójkącie równoramiennym ma miarę $70 °$ . Określ położenie środka okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozpatrzmy dwa przypadki:

gdy podany kąt jest kątem przy wierzchołku trójkąta równoramiennego:
R64QpKmE9xnOJ
Wówczas miara kąta $α$ wynosi:
$α = (180 ° - 70 °) : 2 = 55 °$ .
Zatem trójkąt jest ostrokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta.

gdy podany kąt jest kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego:
RWNzxDCEJKXdq
Wówczas miara kąta $α$ wynosi:
$α = 180 ° - 2 \cdot 70 ° = 40 °$ .
Zatem trójkąt jest ostrokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta.

Ćwiczenie 8

Oblicz obwód koła opisanego na trójkącie prostokątnym o krótszej przyprostokątnej długości $6 cm$ i kącie ostrym o mierze $60 °$ .

W rozwiązaniu przyda nam się rysunek pomocniczy.

Skoro krótsza przyprostokątna ma długość $6 cm$ , to leży naprzeciw kąta o mierze $30^{0}$ .

RZBWBFEZq1bcF

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość sześć. Kąt przy tej przyprostokątnej ma miarę 60 stopni, a drugi z kątów ostrych ma miarę 30 stopni.

Potrzebujemy długości przeciwprostokątnej, która jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, zatem przeciwprostokątna jest długości $12 cm$ .

Obliczyć mamy obwód koła, więc skorzystamy z faktu, że $L = dπ$ , gdzie $d$ jest średnicą tego koła.

Przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą koła, zatem $d = 12 cm$ i wówczas $L = 12 π c m$ .

$L = 12 π cm$

Ćwiczenie 9

R1ABGxXHz60rI

RsRsAPAI0uuJq

R19yuNz9yKZri1

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

R17MjbEKSfbRZ

R1ZtUOQisfi7C

R1JDx2sDkK7Gh1

Ćwiczenie 12

R1BKrVhNXVX0s2

Ćwiczenie 13

Rb4J0G3hNc80F2

Ćwiczenie 14

RBl3QufdFpz422

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Odcinek $A C$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ . Punkt $B$ leży na tym okręgu. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeżeli wiadomo, że $2 α - β = 60 °$ .

R1DWJ7DbzO2j5

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C wpisany w okrąg, każdy z boków został przedłużony poza krawędź okręgu. Kąt BAC podpisano literą alfa. Kąt BCA podpisano literą beta. Środek okręgu O leży na boku AC.

Zauważmy, że okrąg o środku w punkcie $O$ jest opisany na trójkącie $A B C$ . Ponieważ odcinek $A C$ jest średnicą tego okręgu, zatem trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

Wobec tego do wyznaczenia miar kątów $α$ i $β$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 α - β = 60 ° \\ α + β = 90 ° \end{cases}$ .

Zatem $α = 50 °$ oraz $β = 40 °$ .

Ćwiczenie 17

Na trójkącie o bokach $\sqrt{10}$ , $\sqrt{13}$ , $\sqrt{23}$ opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Sprawdzamy jakim trójkątem jest trójkąt o podanych długościach boków, porównując sumę kwadratów dwóch krótszych boków z kwadratem długości najdłuższego boku

${\sqrt{10}}^{2} + {\sqrt{13}}^{2} = 10 + 13 = 23 = {\sqrt{23}}^{2}$

Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, zatem $R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{23}$

$R = \frac{\sqrt{23}}{2}$

Ćwiczenie 18

Punkt $O$ jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Oblicz długość promienia $R$ okręgu i pole tego trójkąta.

R1PkGGjWJVddT

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C wpisany w okrąg. Środek okręgu podpisano literą O, punkt ten leży na wysokości opuszczonej z wierzchołka B na odcinek AC, spodek tej wysokości podpisano literą E. Punkt leżący na przecięciu przedłużenia tej wysokości i okręgu podpisano literą D. Odcinek AB , ma długość 43, odcinek AE ma długość cztery.

Stosując twierdzenie Pitagorasa obliczymy wysokość $|BE|$

${| B E |}^{2} + 4^{2} = {(4 \sqrt{3})}^{2}$

${| B E |}^{2} + 16 = 48$

$|B E| = 4 \sqrt{2}$

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $O E A$ otrzymujemy:

${(4 \sqrt{2} - R)}^{2} + 4^{2} = R^{2}$

$32 - 8 \sqrt{2} R + R^{2} + 16 = R^{2}$

$8 \sqrt{2} R = 48$

$R = 3 \sqrt{2}$

$P_{△} = \frac{8 \cdot 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{32 \sqrt{2}}{2} = 16 \sqrt{2}$

$R = 3 \sqrt{2}$

$P_{△} = 16 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 19

R12P9BrxriCdp

R1VXiXNFO8hkp

R1HrX4nzgIln71

Ćwiczenie 20

RiPcO0JWA6udR2

Ćwiczenie 21

RFABnUIBkg8C82

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Oblicz obwód okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o ramionach długości $12$ i kącie między nimi o mierze $30 °$ .

Zauważmy, że miary kątów przy podstawie wynoszą $75 °$ .
Zatem: $R = \frac{12}{2 \cdot \sin 75 °} = \frac{6}{\sin 75 °}$
Wyznaczmy wartość sinusa kąta $75 °$ :
$\sin 75 ° = \sin (30 ° + 45 °) = \sin 30 ° \cdot \cos 45 ° + \sin 45 ° \cdot \cos 30 ° = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Zatem:
$R = \frac{6}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}} = \frac{24}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 6 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Ćwiczenie 24

Oblicz długości pozostałych boków i miary kątów trójkąta $A B C$ , jeżeli $b = 20$ , $c = 20 \sqrt{3}$ , $γ = 120 °$ . Kąt $γ$ leży naprzeciw boku $c$ .

Korzystając z twierdzenia sinusów mamy:

$\frac{20}{\sin β} = \frac{20 \sqrt{3}}{\sin 120 °}$

$\sin 120 ° = \sin (180 ° - 60 °) = \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{20}{\sin β} = \frac{20 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$20 \sqrt{3} \sin β = 10 \sqrt{3}$

$\sin β = \frac{1}{2}$

$β = 30^{\circ}$

$α = 180 ° - (120 ° + 30 °) = 30 °$

$α = β = 30 °$ , zatem trójkąt jest równoramienny.

$a = 20$ .

Ćwiczenie 25

W trójkącie $A B C$ dane są: $|A C| = 15 \sqrt{2}$ , $|∢ B A C| = 65 °$ , $|∢ A C B| = 70 °$ . Oblicz długość promienia okręgu, w który wpisano ten trójkąt.

Znając miary dwóch kątów trójkąta, obliczymy miarę kąta trzeciego $|∢ A B C| = 180 ° - (65 ° + 70 °) = 45 °$

Korzystając z twierdzenia sinusów otrzymujemy:

$\frac{|A C|}{\sin |∢ A B C|} = 2 R$

$\frac{15 \sqrt{2}}{\sin 45 °} = 2 R$

$\frac{15 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 R$

$15 \sqrt{2} = \sqrt{2} R$

$R = 15$ .

Ćwiczenie 26

Na trójkącie, którego $2$ boki mają długości: $12$ i $4 \sqrt{6}$ opisano okręg o promieniu długości $4 \sqrt{3}$ . Wyznacz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Przyjmijmy, że naprzeciw boku o długości $12$ leży kąt $α$ .

Zatem: $\frac{12}{\sin α} = 8 \sqrt{3}$ .

Zatem: $\sin α = \frac{12}{8 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , co daje: $α = 60 °$ lub $α = 120 °$ .

Niech $c$ oznacza długość trzeciego boku. Z twierdzenia cosinusów:

$12^{2} = c^{2} + {(4 \sqrt{6})}^{2} - 2 \cdot 4 \sqrt{6} \cdot c \cdot \cos 60 °$

lub

$12^{2} = c^{2} + {(4 \sqrt{6})}^{2} - 2 \cdot 4 \sqrt{6} \cdot c \cdot \cos 120 °$

Stąd:

$c^{2} - 4 \sqrt{6} c - 48 = 0$ lub $c^{2} + 4 \sqrt{6} c - 48 = 0$

W obu przypadkach: $Δ = 96 + 192 = 288$ , co daje: $\sqrt{Δ} = 12 \sqrt{2}$ oraz:

$c_{1} = 2 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2} < 0$
$c_{2} = 2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$

lub

$c_{3} = - 2 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2} < 0$
$c_{4} = - 2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ .

Trzeci bok trójkąta ma długość $2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ lub $- 2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 27

Trójkąt równoramienny, którego wysokość opuszczona na podstawę ma długość $12$ wpisano w koło o średnicy $\frac{100}{3}$ . Wyznacz długość podstawy tego trójkąta.

Przyjmnij oznaczenie jak na rysunku:

R6JItEcB8FQ7K

Ilustracja przedstawia trójkąt, w którym narysowano wysokość o długości 12, dzieli ona jeden bok na dwa odcinki o długości a. Drugi bok ma długość b.

Zauważmy, że: $a^{2} + 12^{2} = b^{2}$ oraz $\frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot 12 = \frac{2 a \cdot b \cdot b}{4 R}$ , gdzie $R = \frac{50}{3}$ .
Mamy zatem:
$b^{2} = a^{2} + 144$ i $6 = \frac{b^{2}}{\frac{200}{3}}$
Stąd: $a^{2} + 144 = 400$ , czyli $a^{2} = 256$ , co daje: $a = 16$ .

Zatem podstawa tego trójkąta ma długość $32$ .

Słownik

symetralna odcinka

prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek

okrąg

zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu nazywanego środkiem o odległość nazywaną promieniem

twierdzenie cosinusów

w dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi

ortocentrum

punkt przecięcia wysokości trójkąta

symetralna

symetralna boku to prosta prostopadła do tego boku, przechodząca przez jego środek; istotną własnością symetralnej jest fakt, że punkt leżący na niej jest równooddalony od końców tego odcinka

okrąg opisany na trójkącie

okrąg jest opisany na trójkącie, jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu; wówczas powiemy, że trójkąt jest wpisany w okrąg

własności kątów wpisanych i środkowych w kole

miara kąta środkowego jest dwa razy większa niż miara kąta wpisanego opartego na tym samym łuku
miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są równe

trójkąt wpisany w okrąg

trójkąt jest wpisany w okrąg, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu; mówimy wówczas, że okrąg jest opisany na trójkącie; promień takiego okręgu oznaczamy przez $R$

promień okręgu opisanego na trójkącie

jest to długość odcinka łączącego środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem trójkąta, oznaczamy go przez $R$

2. Okrąg wpisany w trójkąt

M_R_W11_M2 Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie

1. Okrąg opisany na trójkącie

Słownik