2. Okrąg wpisany w trójkąt

RPXIBbjM6WAKU

Mamy zakupić narożną szafkę w kształcie graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny. Jakie mają być minimalne rozmiary podstawy tej szafki, żeby zmieściły się w niej okrągłe półmiski o średnicy $40 cm$ ?

Pytanie powyższe sprowadza się do problemu znalezienia najmniejszego trójkąta spełniającego określone wymagania, w którym zmieści się dany okrąg. W języku planimetrii jest to problem opisania trójkąta na okręgu.

W bieżącym materiale poznamy własności okręgu wpisanego w trójkąt. Przeanalizujemy szczególne przypadki trójkąta i zastanowimy się, czy w dowolny trójkąt można wpisać okrąg. Niekiedy zamiennie będziemy używali pojęcia koła wpisanego w trójkąt (szczególnie w zadaniach dotyczących pól powierzchni). Intuicyjnie to jest takie samo zagadnienie – wówczas brzeg koła, czyli okrąg jest styczny do każdego boku.

Twoje cele

Podasz własności okręgu wpisanego w trójkąt.
Wyznaczysz środek okręgu wpisanego w dowolny trójkąt.
Wyznaczysz wzory na długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty szczególne.
Wykorzystasz własności okręgu wpisanego w trójkąt w zadaniach geometrycznych.

okrąg wpisany w trójkąt

Definicja: okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta.

Rf7VWjMqtFYm4

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w który wpisano okrąg, środek okręgu I leży na przecięciu przerywanych prostych, w których zawierają się wysokości trójkątów. Punkty styczne trójkąta i okręgu są następujące: na boku BC leży punkt D, na boku AC leży punkt E, na boku AB leży punkt F. Odcinki: DI, EI i FI są podpisane literą r.

Odcinki łączące środek okręgu wpisanego z punktami styczności znajdującymi się na bokach trójkąta są do tych boków prostopadłe i są promieniami tego okręgu.

Czasem używa się także pojęcia koła wpisanego w trójkąt – jest to koło, zawarte w trójkącie i którego brzeg jest styczny do wszystkich boków wielokąta.

W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Pokażemy, że dwusieczne kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt:

RRxjQhEcJyF14

Przypomnijmy, że dwusieczna kątadwusieczna kątadwusieczna kąta jest zawarta w osi symetrii kąta, a więc jest zbiorem punktów równoodległych od ramion tego kąta.

Rozważmy punkt przecięcia dwusiecznych kątów $B A C$ i $A B C$ - nazwijmy go $I$ .
Ponieważ punkt $I$ leży na dwusiecznej kąta w trójkąciedwusieczna kąta w trójkąciedwusiecznej kąta w trójkącie $B A C$ , to jest on równoodległy od boków $A B$ i $A C$ , czyli $|I F| = |I E|$ . Podobnie, ponieważ leży też na dwusiecznej kąta $A B C$ to jest on równoodległy od boków $A B$ i $B C$ (czyli $|I F| = |I D|$ ). Z równości $|I F| = |I E|$ oraz $|I F| = |I D|$ wynika, że $|I E| = |I D|$ , czyli, ze punkt $I$ jest równoodległy od ramion $C A$ i $C B$ , więc leży na dwusiecznej kąta $A C B$ .

Zatem dwusieczne kątów przecinają się w punkcie $I$ . Odcinki $I D$ , $I E$ , $I F$ są równej długości, nazwijmy ją $r$ . Odcinki te są również prostopadłe do boków, więc okrąg o środku w punkcie $I$ i promieniu $r$ jest styczny do każdego z boków trójkąta.

Pole trójkąta opisanego na okręgu o promieniu $r$

R7EBmpnZ2q3BE

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w który wpisano okrąg, środek okręgu zaznaczono literą I. Punkty styczne trójkąta i okręgu są następujące: na boku BC leży punkt D, na boku AC leży punkt E, na boku AB leży punkt F. Odcinki: DI, EI i FI są podpisane literą r. Bok BC podpisano literą a, bok AC podpisano literą b, bok AB podpisano literą c. W trójkącie A B C zaznaczono trzy trójkąty: AIC, AIB oraz BIC.

Widzimy, że pole trójkąta $A B C$ jest sumą pól trzech zaznaczonych trójkątów. Zatem:

$P = P_{Δ A B I} + P_{Δ B C I} + P_{Δ C A I} = \frac{1}{2} c \cdot r + \frac{1}{2} a \cdot r + \frac{1}{2} b \cdot r = \frac{1}{2} (a + b + c) \cdot r$ .

$P = p \cdot r$ , gdzie $p$ to połowa obwodu.

Ważne!

Powyższy wzór jest prawdziwy dla dowolnego wielokąta opisanego na okręgu o promieniu $r$ .

Przykład 1

Wyznaczymy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równobocznytrójkąt równobocznytrójkąt równoboczny o boku długości $a$ .

R1XWHq7KURIQC

Rozwiązanie

W trójkącie równobocznymtrójkąt równobocznytrójkącie równobocznym proste zawierające dwusieczne pokrywają się z prostymi zawierającymi środkowe, więc punkt przecięcia dwusiecznych dzieli odcinki dwusiecznychdwusieczna kąta w trójkąciedwusiecznych w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołka trójkąta.

Jednocześnie, w trójkącie równobocznymtrójkąt równobocznytrójkącie równobocznym proste zawierające dwusieczne pokrywają się z prostymi zawierającymi wysokość, więc łatwo wyznaczyć ich długości.

Otrzymujemy:

$r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramiennytrójkąt równoramiennytrójkąt równoramienny o podstawie długości $|A B| = a$ i ramionach długości $|B C| = |C A| = b$ .

Rozwiązanie

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R1Z4DeWlAXTMt

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w który wpisano okrąg, środek okręgu zaznaczono literą I. Na boku BC zaznaczono punkt E. Na boku AB zaznaczono punkt D. Odcinek CD jest wysokością i podpisano go literą h. Odcinek ID podpisano literą r, odcinek IE również podpisano literą r. Bok AB podpisano literą a, boki AC oraz BC podpisano literą b.

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość wysokości trójkąta:

$h = \sqrt{b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{4 b^{2} - a^{2}}}{2}$ .

Mamy długości wszystkich boków i wysokości, zatem możemy obliczyć połowę obwodu i pole trójkąta, a więc i długość promienia okręgu wpisanego:

$P = p r$

$\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} (a + 2 b) r$

$r = \frac{a h}{a + 2 b} = \frac{a \frac{\sqrt{4 b^{2} - a^{2}}}{2}}{a + 2 b} = \frac{a \sqrt{4 b^{2} - a^{2}}}{2 a + 4 b}$ .

Uwaga! Gdy zauważymy, że trójkąt $I C E$ jest podobny do „połowy” trójkąta równoramiennegotrójkąt równoramiennytrójkąta równoramiennego $A B C$ i zapiszemy odpowiednią proporcję boków, np.:

$\frac{r}{\frac{a}{2}} = \frac{h - r}{b}$ ,

to po przekształceniu również otrzymujemy

$r = \frac{a h}{a + 2 b}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy teraz dwoma sposobami wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątnytrójkąt prostokątnytrójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ .

Rozwiązanie

Sposób 1:

Wiemy, z twierdzenia Pitagorasa, że $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Możemy więc obliczyć pole i obwód trójkąta, czyli korzystając ze wzoru $P = p \cdot r$ , otrzymujemy:

$r = \frac{P}{p} = \frac{\frac{1}{2} a b}{\frac{1}{2} (a + b + c)} = \frac{a b}{a + b + c}$ .

Sposób 2:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R192ZTOMsqk6g

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, w który wpisano okrąg, środek okręgu zaznaczono literą I. AB jest przeciwprostokątną. Punkty styczne trójkąta i okręgu są następujące: na boku BC leży punkt D, na boku AC leży punkt E, na boku AB leży punkt F. Odcinki: DI, EI i FI są podpisane literą r. Odcinki CD o CE mają długość r. Odcinek AE ma długość b minus r, odcinek BD ma długość a minus r, odcinek FB ma długość a minus r, a odcinek AF ma długość b minus r.

Z twierdzenia o odcinkach stycznych $|C E| = |C D|$ , ponadto kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty oraz proste $I E$ i $I D$ są prostopadłe do przyprostokątnych. Zatem czworokąt $C E I D$ jest kwadratem o boku długości $r$ . Podobnie, z twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy $|B F| = |B D| = a - r$ oraz $|A F| = |A E| = b - r$ . Wiemy, że $|A F| + |F B| = c$ , zatem:

$a - r + b - r = c$

$2 r = a + b - c$

$r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Sprawdzimy teraz, że wzory z pierwszego i drugiego sposobu wyznaczają tę samą wartość. W tym celu przekształcimy równoważnie równość:

$\frac{a + b - c}{2} = \frac{a b}{a + b + c}$

$(a + b - c) (a + b + c) = 2 a b$

${(a + b)}^{2} - c^{2} = 2 a b$

$a^{2} + b^{2} + 2 a b^{2} - c^{2} = 2 a b$

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Ostatnia równość jest oczywiście prawdziwa w przypadku trójkąta prostokątnegotrójkąt prostokątnytrójkąta prostokątnego, więc tym samym wykazaliśmy, że wzory z pierwszego i drugiego sposobu wyznaczają tę samą wartość.

Na koniec dwa ciekawe przykłady związane z zagadnieniem okręgu wpisanego w trójkąt.

Przykład 4

Przez środek $I$ okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ poprowadzono prostą równoległą do boku $A B$ , która przecina boki $C A$ i $C B$ odpowiednio w punktach $E$ i $D$ . Wykażemy, że: $|E D| = |E A| + |D B|$ .

R1Rwbqk4oFmyA

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, na boku AC zaznaczono punkt D, na boku BC zaznaczono punkt D. W trójkącie zaznaczono odcinek ED, na którym leży punkt I. Odcinki AE, ED oraz Db zaznaczono kolorem.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R101p09w4J4YU

Środek okręgu wpisanego $I$ leży w punkcie przecięcia dwusiecznych, stąd wnioskujemy równość miar kątów: $|∢ E A I| = |∢ I A B|$ oraz $|∢ D B I| = |∢ I B A|$ . Wiemy, z założeń zadania, że proste $E D$ i $A B$ są równoległe, więc mamy też równość kątów naprzemianległych: $|∢ I A B| = |∢ A I E|$ oraz $|∢ I B A| = |∢ B I D|$ . Z poprzednich równości otrzymujemy równość kątów $|∢ E A I| = |∢ E I A|$ oraz $|∢ D B I| = |∢ D I B|$ . Trójkąty $A E I$ i $B D I$ są zatem równoramienne.

$|E D| = |E I| + |I D| = |A E| + |D B|$ .

Przykład 5

W trójkąt prostokątnytrójkąt prostokątnytrójkąt prostokątny $A B C$ o przyprostokątnych długości $|A C| = 3$ i $|B C| = 4$ wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków $A B$ i $B C$ , a drugi do boków $A C$ i $B C$ .

RHfAfxp82W6U3

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, w którym znajdują się dwa styczne do siebie okręgi. Jeden okrąg jest styczny do boków AC i BC, a drugi jest styczny do boków AB i BC.

Obliczymy długość promienia tych okręgów.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1OYNJ7Z5grTK

Połączmy środek $P$ jednego z okręgów z wierzchołkami. Otrzymujemy trzy trójkąty. Suma pól tych trójkątów to pole trójkąta $A B C$ :

$P_{Δ A B C} = P_{Δ A B P} + P_{Δ B C P} + P_{Δ C A P}$

$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 r$

$6 = \frac{5}{2} r + 2 r + \frac{9}{2} r$

$6 = 9 r$

$r = \frac{2}{3}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z symulacją interaktywną. Przedstawiono w niej okrąg wpisany w trójkąt prostokątny. Za pomocą suwaków możesz zmieniać długości przyprostokątnych trójkąta.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu, który dotyczy okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

RdGVmDbGiEShk

Polecenie 2

Ustaw długości przyprostokątnych tak, aby były liczbami naturalnymi. Dla przyjętych wartości oblicz długość promienia okręgu wpisanego. Sprawdź swoje obliczenia za pomocą przycisku „Pokaż długość promienia $r$ ”.

R1YmwaXzV0MCy

Trójkąt opisany na okręgu

Definicja: Trójkąt opisany na okręgu

Trójkąt opisany na okręgu, jest to trójkąt, którego wszystkie boki są styczne do danego okręgu.

Trójkąt jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy ten okrąg jest wpisany w ten trójkąt.

W przypadku okręgu wpisanego w trójkąt, zwykle dany jest trójkąt i trzeba wpisać weń okrąg. Dla każdego trójkąta istnieje dokładnie jeden okrąg wpisany.

Natomiast w przypadku trójkąta opisanego, zwykle to okrąg jest dany i trzeba zbudować trójkąt tak, żeby ten okrąg był wpisany w trójkąt. Okazuje się, że na danym okręgu można opisać nieskończenie wiele trójkątów, a dokładniej dowolny trójkąt z dokładnością do podobieństwapodobieństwo figurpodobieństwa.

Twierdzenie o trójkącie opisanym na okręgu

Twierdzenie: Twierdzenie o trójkącie opisanym na okręgu

Dany jest okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ oraz trójkąt $A' B' C'$ . Wówczas na tym okręgu możemy opisać trójkąt $A B C$ podobny do trójkąta $A' B' C'$ .

Dowód

Opiszemy jak skonstruować trójkąt $A B C$ podobny do trójkąta $A' B' C'$ .

Zaczynamy od skonstruowania okręgu wpisanego w trójkąt $A' B' C'$ i przyjmijmy że promień tego okręgu wynosi $r'$ .

Wówczas okrąg jest podobny do danego okręgu w skali $k = \frac{r'}{r}$ . Przekształcamy figurę będącą trójkątem z wpisanym okręgiem na figurę podobną w skali $k_{1} = \frac{r}{r'}$ .

Nazywamy wierzchołki skonstruowanego trójkąta (odpowiednio) $A$ , $B$ , $C$ .

Przykład 6

Okrąg wpisany w trójkąt egipski (trójkąt o bokach $3$ , $4$ , $5$ ) ma promień równy $1$ . Wyznaczymy długości boków trójkąta podobnegocechy podobieństwa trójkątówtrójkąta podobnego do trójkąta egipskiego opisanego na okręgu o promieniu $r$ .

Z powyższego twierdzenia skala podobieństwa wynosi $k = \frac{r}{1} = r$ . Stąd trójkąt podobny do trójkąta egipskiego opisany na okręgu o promieniu $r$ ma boki długości $3 r$ , $4 r$ , $5 r$ .

Prosta styczna do okręgu to prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Własności prostych stycznych do okręgu

Własność: Własności prostych stycznych do okręgu

Rd5W8MpU6uMVD

Grafika przedstawia okrąg o środku O oraz styczne do tego okręgu przecinające się w punkcie A. Styczne stykają się z okręgiem w punktach E i D. Promienie okręgu tworzą odcinki OE i OD. Zaznaczone są również kąty proste AEO i ADO oraz zaznaczony na niebiesko jest kąt EAD. Od punktu przecięcia stycznych A do środka okręgu O poprowadzona jest przerywana linia.

Z dowolnego punktu $A$ leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dokładnie dwie proste styczne do okręgu.
Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą styczną jest prostopadły do tej prostej.
Jeśli z punktu $A$ leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzimy proste styczne do okręgu w punktach $D$ i $E$ , to trójkąty $A O D$ i $A O E$ są przystającymi trójkątami prostokątnymi. Stąd odcinki $A D$ i $A E$ mają równe długości. Odcinki te nazywamy odcinkami stycznymi. Natomiast półprosta $A O$ jest dwusieczną kąta $D A E$ .

Własność odcinków stycznych w trójkącie opisanym na okręgu

Własność: Własność odcinków stycznych w trójkącie opisanym na okręgu

RojF3CNHtd2wN

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC w który wpisany jest niebieski okrąg o środku S. Promienie okręgu o długości r w punktach styku dzielą boki trójkąta na odcinki. Bok AB o długości c jest podzielony na odcinki AD i DB , bok BC o długości a jest podzielony na odcinki BE i EC a bok AC o długości b jest podzielony na odcinki AF i FC. Zielone odcinki FC i EC mają długość u , niebieskie odcinki DB i BE mają długość v a różowe odcinki AD i AF mają długość w.

Niech $D$ , $E$ , $F$ będą punktami styczności okręgu z bokami trójkąta. Wtedy przy oznaczeniach z rysunku:

$|C E| = |C F| = u = \frac{a + b - c}{2}$ ,

$|B D| = |B E| = v = \frac{a + c - b}{2}$ ,

$|A D| = |A F| = w = \frac{b + c - a}{2}$

Przykład 7

Mamy zakupić narożną szafkę w kształcie graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny taki, że stosunek długości przyprostokątnych jest $3:4$ . Wyznaczymy minimalne rozmiary podstawy tej szafki tak, żeby zmieściły się w niej okrągłe półmiski o średnicy $40 cm$ .

RgEpkp4ujlPQJ

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym ACB, w który wpisany jest okrąg o środku O . Okrąg styka się z trójkątem w punkcie D na boku AB , tworząc odcinki AD i DB , w punkcie E na boku CB tworząc odcinki CE i EB oraz w punkcie F na boku AC tworząc odcinki AF i FC . Promienie okręgu tworzą odcinki OE i OF o długości 20. Punkty OECF tworzą kwadrat.

Ponieważ stosunek długości przyprostokątnych jest $3:4$ , to niech $|C B| = 3 x$ , $|C A| = 4 x$ . Wtedy $|A B| = 5 x$ .

Korzystając z własności odcinków stycznych dostajemy

$5 x = 3 x - 20 + 4 x - 20 = 7 x - 40$

$2 x = 40$

$x = 20$

Ostatecznie, wymiary szafki wynoszą $60 cm$ , $80 cm$ , $100 cm$ .

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt

Twierdzenie: Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $a$ , $b$ , $c$ i polu $P$ wynosi $r = \frac{2 P}{a + b + c}$ .

Przykład 8

Wyznaczymy długości boków trójkąta opisanego na okręgu o promieniu $r = 10$ , jeżeli wiadomo, że stosunek boków tego trójkąta wynosi $7:9:12$ .

Wyznaczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $7$ , $9$ , $12$ . Promień tego okręgu wyznaczymy ze wzoru wynosi $r' = \frac{2 P}{a + b + c}$ .

Pole wyznaczamy ze wzoru Herona $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{14 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2} = 14 \sqrt{5}$ .

Stąd $r' = \frac{2 \cdot 14 \sqrt{5}}{28} = \sqrt{5}$ .

Wyznaczamy skalę podobieństwa $k = \frac{r}{r'} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5}$ .

Ostatecznie, trójkąt opisany na okręgu o promieniu $r = 10$ , którego stosunek boków wynosi $7:9:12$ , ma boki długości $14 \sqrt{5}$ , $18 \sqrt{5}$ , $24 \sqrt{5}$ .

Kąty w trójkącie opisanym na okręgu

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $A B C$ opisany na okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ . Punkty $D$ , $E$ , $F$ są punktami styczności. Tym samym kolorem oznaczone są kąty trójkąta i odpowiadające im kąty środkowe w okręgu.

RnePVrtg1gQK3

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, gdzie kąt ABC podpisano literą beta i oznaczono na różowo , kąt BCA podpisano literą gamma i oznaczono na niebiesko i kąt CAB podpisano literą alfa i oznaczono na zielono. W trójkąt ten wpisany jest okrąg o środku O który jest styczny z trójkątem ABC w punkcie D na boku AB , punkcie E na boku BC oraz punkcie F na boku AC. W okręgu zaznaczono również promienie o długości r które dochodzą do punków styku. Punkty styku są jednoczenie wierzchołkami trójkąta DEF wpisanego w okrąg. Kąt DOF oznaczony jest na zielono , DOE na różowo oraz FOE na niebiesko.

Wówczas kąty środkowe mają miary:

Kąt $D O F$ ma miarę $∢ D O F = 360 ° - 2 \cdot 90 ° - α = 180 ° - α$ , bo suma miar kątów w czworokącie wynosi $360 °$ oraz promienie okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do boków.
Analogicznie, $∢ D O E = 180 ° - β$ i $∢ E O F = 180 ° - γ$ .

Powyższa własność prowadzi do konstrukcji trójkąta opisanego na podstawie określenia punktów styczności:

Konstrukcja trójkąta opisanego na podstawie określenia punktów styczności

Własność: Konstrukcja trójkąta opisanego na podstawie określenia punktów styczności

Jeżeli na okręgu zaznaczone są trzy punkty $D$ , $E$ , $F$ takie, że kąty środkowe oparte na cięciwach $D E$ , $E F$ , $F D$ mają miary mniejsze od $180 °$ , to trójkąt, którego wierzchołkami są punkty przecięcia stycznych do okręgu w punktach $D$ , $E$ , $F$ , jest trójkątem opisanym na tym okręgu. Ponadto, każdy trójkąt opisany na okręgu można otrzymać w ten sposób.

Przykład 9

Pokażemy, że jeśli kąty środkowe oparte na cięciwach $D E$ , $E F$ , $F D$ mają miary równe $120 °$ , to trójkąt opisany na okręgu, styczny do tego okręgu w punktach $D$ , $E$ , $F$ jest trójkątem równobocznym.

Przy oznaczeniach z powyższego rysunku:

RnePVrtg1gQK3

$∢ D O F = 180 ° - α$ , więc $α = 180 ° - 120 ° = 60 °$ . Analogicznie pozostałe kąty.

Stąd trójkąt opisany na okręgu jest równoboczny.

Kąty w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu i trójkąta opisanego na okręgu

Rozważmy trójkąt $D E F$ , gdzie punkty $D$ , $E$ , $F$ są punktami styczności okręgu i trójkąta opisanego na okręgu.

R1IwtepPn6BgP

Wówczas kąty trójkąta $D E F$ mają miary:

$∢ D E F = \frac{1}{2} ∢ D O F = 90 ° - \frac{α}{2}$ , bo jest to kąt wpisany w okrąg oparty na tej samej cięciwiekąt wpisany w okrąg oparty na tej samej cięciwie co kąt środkowykąt środkowy $D O F$ .

Analogicznie, $∢ D F E = 90 ° - \frac{β}{2}$ i $∢ E D F = 90 ° - \frac{γ}{2}$ .

Wniosek:

Trójkąt $D E F$ , gdzie punkty $D$ , $E$ , $F$ są punktami styczności okręgu i trójkąta opisanego na okręgu jest trójkątem ostrokątnym. Ponadto, każdy trójkąt ostrokątny $D E F$ wpisany w okrąg wyznacza trójkąt opisany na tym okręgu taki, że punkty $D$ , $E$ , $F$ są punktami styczności okręgu i tego trójkąta.

Przykład 10

W okrąg wpisany jest trójkąt $D E F$ o kątach $50 °$ , $60 °$ , $70 °$ . Wyznaczymy kąty trójkąta opisanego na tym okręgu takiego, że punkty $D$ , $E$ , $F$ są punktami styczności okręgu i tego trójkąta.

Niech $α$ , $β$ , $γ$ oznaczają kąty tego trójkąta. Wtedy $50 ° = 90 ° - \frac{α}{2}$ , więc $α = 2 \cdot 90 ° - 2 \cdot 50 ° = 180 ° - 100 ° = 80 °$ oraz $β = 180 ° - 2 \cdot 60 ° = 60 °$ oraz $γ = 180 ° - 2 \cdot 70 ° = 40 °$ .

Zatem trójkąt ten ma kąty $40 °$ , $60 °$ , $80 °$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją, starając się przyswoić treści w niej zawarte. Możesz wracać do niej wielokrotnie.

R9QplzbOg8FAG

Polecenie 4

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

RchrqMIIq8XPi

RavEQmOtrhi6J

RchrqMIIq8XPi

RavEQmOtrhi6J

RQ5y5jYi2FhF9

R8XZzLDan1eFh

RQ5y5jYi2FhF9

R8XZzLDan1eFh

Polecenie 5

RLfojnbeVmd9o

R1Ku5ooiwfSRu1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

Przyjmijmy, że przyprostokątne trójkąta to $a$ i $b$ , a przeciwprostokątna $c$ . Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna, więc promień okręgu opisanego jest równy $R = \frac{c}{2}$ .

Przypomnijmy wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny $r = \frac{a + b - c}{2}$ . Otrzymujemy więc:

$R + r = \frac{a + b - c}{2} + \frac{c}{2} = \frac{a + b}{2}$ .

Ćwiczenie 3

W trójkąt równoboczny o boku $a$ wpisano trzy przystające okręgi styczne zewnętrznie oraz styczne do boków trójkąta (rysunek). Wyznacz długość promienia tych okręgów.

RYsxNVmATNpvh

Na ilustracji znajduje się trójkąt równoboczny o bokach długości a . W trójkąt są wpisane trzy okręgi z których każdy jest styczny do dwóch boków trójkąta i pozostałych okręgów. W lewym dolnym okręgu jest zaznaczony promień o długości r dochodzący do punktu styku okręgu z trójkątem.

RkKJA6LRgAsiL

Zauważmy, że środek okręgu wpisanego w kąt (stycznego do jego ramion) leży na dwusiecznej tego kąta. Ponadto promień tego okręgu, poprowadzony do punktu styczności z ramieniem jest prostopadły do tego ramienia.

Z powyższych obserwacji wnioskujemy, że zaznaczone na rysunku trójkąty to trójkąty o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Możemy zatem skorzystać z własności trójkąta równobocznego lub funkcji trygonometrycznych i otrzymujemy:

$a = r \sqrt{3} + 2 r + r \sqrt{3}$

$r (2 + 2 \sqrt{3}) = a$

$r = \frac{a}{2 + 2 \sqrt{3}} = \frac{a (2 - 2 \sqrt{3})}{4 - 12} = \frac{2 a (1 - \sqrt{3})}{- 8} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} a$ .

Ćwiczenie 4

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ , w którym kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty. W trójkącie tym poprowadzono wysokość $C D$ . Wykaż że $|C D| = r + r_{1} + r_{2}$ , gdzie $r$ , $r_{1}$ , $r_{2}$ są odpowiednio długościami promieni okręgów wpisanych w trójkąty $A B C$ , $A D C$ i $D B C$ .

R1GGhxrjV81yq

Ilustracja przedstawia trójkąt prostkątny ABC o kącie prostym ACB w który wpisany przerywaną linią jest okrąg o promieniu r . Wysokość h opuszczona z punktu C dzieli odcinek AB na odcinki AD i DB , tym samym dzieląc trójkąt ABC na trójkąty prostokątne ADC i CDB o kątach prostych odpowiednio ADC i CDB . W oba mniejsze trójkąty wpisane są okręgi o zaznaczonych promieniach , odpowiednio r1 w trójkącie ADC i r2 w trójkącie CDB .

Wysokość $C D$ podzieliła trójkąt $A B C$ na dwa trójkąty prostokątne. Skorzystamy trzykrotnie ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

$r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Otrzymujemy:

$r + r_{1} + r_{2} = \frac{|A C| + |B C| - |A B|}{2} + \frac{|A D| + |D C| - |A C|}{2} + \frac{|B D| + |D C| - |B C|}{2}$ .

$r + r_{1} + r_{2} = \frac{|A C| + |B C| - |A B| + |A D| + |D C| - |A C| + |B D| + |D C| - |B C|}{2}$

$r + r_{1} + r_{2} = \frac{|A D| + |B D| - |A B| + 2 |D C|}{2} = \frac{|A B| - |A B| + 2 |D C|}{2} = |D C|$ .

Ostatnia równość potwierdza tezę zadania.

Ćwiczenie 5

Prosta przechodząca przez środek okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ przecięła boki $A C$ i $B C$ w punktach odpowiednio $D$ i $E$ . Prosta ta podzieliła obwód tego trójkąta na połowy. Przyjmijmy, że pole trójkąta $D E C$ jest równe $S_{1}$ , natomiast pole czworokąta $A B E D$ jest równe $S_{2}$ .

RToagyKh5AagF

Grafika przedstawia trójkąt ABC . Punkt D dzieli bok AC na odcinki AD i DC a punkt E bok BC na odcinki BE i EC . Punkty D i E połączone są przerywaną linią na której leży punkt I . Dzieli ona trójkąt ABC na trójkąt CDE oraz wielobok ABED o polach opisany odpowiednio S1 i S2.

R12C5OE0NbqMH

Ćwiczenie 6

W trójkąt prostokątny $A B C$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ i wysokości $C D$ wpisano okrąg o promieniu $r$ (rysunek). Okrąg ten jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie $E$ . Niech $P$ oznacza pole trójkąta $A B C$ .

RT2ATdfCp3lJ7

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym ACB w który wpisany przerywaną linią jest okrąg o promieniu oznaczonym na zielono, stykającym się z trójkątem w punkcie E i dzielącym bok AB na odcinki AE oraz EB . Wysokość h opuszczona z punktu C dzieli odcinek EB na odcinki ED i DB. W mniejszym trójkącie BCD kątem prostym jest CDB.

RR2w0XiFNUbqp

Ćwiczenie 7

Okrąg wpisany w trójkąt $A B C$ o bokach długości $|A B| = 5$ , $|A C| = 7$ , $|B C| = 6$ , jest styczny do boków $A C$ i $B C$ w punktach $D$ i $E$ . Oblicz pole trójkąta $D E C$ .

R6sqovKXX437Q

Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisano okrąg o środku I. Bok AB ma długość 5 , bok BC długość 6 a bok AC długość siedem. Punkty styku okręgu z trójkątem dzielą boki trójkąta na odcinki. Punkt F dzieli bok AB na odcinki AF i BF , punkt E bok BC na odcinki BE i EC a punkt D bok AC na odcinki AD i DC . Trójkąt CDE zaznaczono na niebiesko.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1eHZN2y51Kuo

Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisano okrąg o środku I. Bok AB ma długość 5 , bok BC długość 6 a bok AC długość 7 . Punkty styku okręgu z trójkątem dzielą boki trójkąta na odcinki . Punkt F dzieli bok AB na odcinki AF i BF , punkt E bok BC na odcinki BE i EC a punkt D bok AC na odcinki AD i DC . Trójkąt CDE zaznaczono na niebiesko. Odcinki AD i AF mają długość x , BF i BE długość y a CD i CE długość z.

Z układu równań:

$\{\begin{cases} x + y = 5 \\ y + z = 6 \\ z + x = 7 \end{cases}$

po dodaniu stronami otrzymujemy:

$2 (x + y + z) = 18$

$x + y + z = 9$ .

Możemy obliczyć długość odcinków:

$|C D| = |C E| = z = x + y + z - (x + y) = 9 - 5 = 4$ .

Znając długości boków $C D$ i $C E$ do obliczenia pola trójkąta $D E C$ wystarczy wyznaczyć sinus kąta przy wierzchołku $C$ .

Skorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A B C$ :

$5^{2} = 6^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos α$

$84 \cos α = 60$

$\cos α = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$ .

Z jedynki trygonometrycznej (kąt $A C B$ jest ostry) otrzymujemy: $\sin α = \sqrt{1 - {(\cos α)}^{2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$ .

Zatem szukane pole trójkąta:

$P_{Δ C D E} = \frac{1}{2} | C D | \cdot | C E | \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{7} = \frac{16 \sqrt{6}}{7}$ .

Ćwiczenie 8

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $5$ i $8$ jest równy $\sqrt{3}$ , a obwód tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1ZVj8IzaK38V

Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisany został okrąg o środku I . Bok AB ma długość 8 , bok BC długość x a bok AC długość pięć.

Wyznaczmy połowę obwodu: $p = \frac{5 + 8 + x}{2} = \frac{13 + x}{2}$ .

Korzystając ze wzoru Herona

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ oraz wzoru $P = p r$

otrzymujemy: $\sqrt{\frac{13 + x}{2} (\frac{13 + x}{2} - 8) (\frac{13 + x}{2} - 5) (\frac{13 + x}{2} - x)} = \frac{13 + x}{2} \sqrt{3}$ .

Popodnosimy obie strony równości do kwadratu:

$\frac{13 + x}{2} (\frac{13 + x}{2} - 8) (\frac{13 + x}{2} - 5) (\frac{13 + x}{2} - x) = {(\frac{13 + x}{2})}^{2} \cdot 3$

$\frac{x - 3}{2} \cdot \frac{x + 3}{2} \cdot \frac{13 - x}{2} = \frac{13 + x}{2} \cdot 3$

$(x - 3) (x + 3) (13 - x) = (13 + x) \cdot 12$ .

Wiemy, że obwód trójkąta $A B C$ równy $13 + x$ jest liczbą całkowitą, czyli $x$ jest liczbą całkowitą. Musimy więc wyznaczyć rozwiązanie ostatniego równania w zbiorze liczb całkowitych. Warto też zauważyć, że z nierówności trójkąta, długość $x$ musi być większa od $3$ i mniejsza od $13$ .

Wystarczy więc sprawdzić, która z liczb $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ jest rozwiązaniem równania:

$(x - 3) (x + 3) (13 - x) = 12 (13 + x)$

$x^{3} - 13 x^{2} + 3 x + 273 = 0$ .

Ponieważ wyraz wolny $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$ , a pierwiastek całkowity wielomianu o współczynnikach całkowitych jest dzielnikiem wyrazu wolnego, to wystarczy sprawdzić rozwiązanie dla $x = 7$ :

$7^{3} - 13 \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 + 273 = 7 (49 - 91 + 3 + 39) = 7 \cdot 0 = 0$ .

Długość trzeciego boku jest równa $7$ .

RVfAVGbKBPpcc1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiony jest okrąg i trójkąt $A B C$ opisany na tym okręgu. Jeżeli dwa kąty trójkąta $A B C$ mają miary $90 °$ i $60 °$ oraz przeciwprostokątna $A B$ ma długość $20$ , to:

R3UFVfjbRL4Ua

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC o kątach ABC równym beta oznaczonym na różowo , BCA równym gamma oznaczonym na niebiesko i CAB równym alfa oznaczonym na zielono. Wpisany jest w niego okrąg o środku O który jest styczny z trójkątem ABC w punkcie D na boku AB , punkcie E na boku BC oraz punkcie F na boku AC. W okręgu zaznaczono również promienie o długości r które dochodzą do punków styku. Punkty styku są jednoczenie wierzchołkami trójkąta DEF wpisanego w okrąg.

R4HuKtMz0B2Hl

RedipfSBOFh0R2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Jakie warunki powinny spełniać kąty środkowe oparte na cięciwach $D E$ , $E F$ , $F D$ , żeby trójkąt $A B C$ opisany na okręgu ośrodku $O$ i promieniu $r$ był prostokątny?

R1RMsyJh9GWlY

Załóżmy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że $α = 90 °$ . Wtedy kąt $D O F$ jest kątem środkowym opartym na cięciwie $D F$ i ma miarę $180 ° - 90 ° = 90 °$ .

Ponieważ suma miar wszystkich trzech kątów środkowych wynosi $360 °$

to $∢ D O E + ∢ E O F = 360 ° - 90 ° = 270 °$ .

Pozostałe kąty mają miary $∢ D O E = 180 ° - β$ , $∢ E O F = 180 ° - γ$ i ponieważ $β$ , $γ > 0$ ,

to $∢ D O E < 180 °$ oraz $∢ E O F < 180 °$ .

Stąd trójkąt $A B C$ opisany na okręgu opisanym na trójkącie $D E F$ jest prostokątny, jeśli jeden z kątów środkowych opartych na cięciwach $D E$ , $E F$ , $F D$ jest prosty, a pozostałe dwa są wypukłe.

Ćwiczenie 13

Na okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ opisano trójkąt równoramienny taki, że odległość środka okręgu od wierzchołka przy ramionach tego trójkąta jest równa średnicy okręgu. Pokaż, że trójkąt ten jest równoboczny.

RwYNQCZOT6GYf

Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisany jest okrąg o środku O. Okrąg styka się z trójkątem w punkcie D na boku AB , tworząc odcinki AD i DB , w punkcie E na boku CB tworząc odcinki CE i EB oraz w punkcie F na boku AC tworząc odcinki AF i FC . W okręgu zaznaczono również promienie o długości r które dochodzą do punków styku D i E oraz wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka B do punktu F. Oznaczono kąt prosty ADO. Punkty styku są jednoczenie wierzchołkami trójkąta DEF wpisanego w okrąg.

Rozważmy trójkąt $B D O$ . Jest to trójkąt prostokątny, bo $D O$ jest promieniem okręgu. Przyprostokątna $D O$ ma długość $r$ , a przeciwprostokątna $B O$ ma długość $2 r$ . Stąd kąt $D B O$ ma miarę $30 °$ . Ponieważ środek okręgu leży na dwusiecznej kąta $A B C$ , to kąt $D B E$ ma miarę $2 \cdot 30 ° = 60 °$ . Z założenia, że trójkąt jest równoramienny wynika, że jest to trójkąt równoboczny.

Ćwiczenie 14

Na okręgu o promieniu $10$ opisano trójkąt równoramienny o podstawie $30$ . Następnie poprowadzono odcinek $D E$ styczny do okręgu i równoległy do podstawy trójkąta. W powstały trójkąt $C D E$ wpisano okrąg. Wyznacz promień tego okręgu.

R8sy8xpDGbK6F

Na ilustracji przedstawiony jest trójkąt ABC z podstawą AB o długości 30 . Na boku AC znajduje się punkt D dzielący bok na odcinki AD i DC , na boku CB jest punkt E dzielący bok na odcinki CE i EB a na boku AB punkt N dzielący bok na odcinki AN i NB . Linia DE równoległa do podstawy trójkąta AB , dzieli trójkąt ABC na trójkąt CED oraz trapez ABED . W trójkąt CED i trapez wpisane są okręgi , w trapezie jest to okrąg o środku O. Odcinek ON będący promieniem okręgu ma długość 10 . Na odcinku AD znajduje się punkt M do którego również dochodzi promień oznaczony linią przerywaną . Również linią przerywaną oznaczony jest odcinek OC przechodzący przez środek okręgu wpisanego w trójkąt DCE.

Niech $M$ będzie punktem styczności okręgu i boku $A C$ . Wtedy trójkąty $A N C$ i $C M O$ są podobne na mocy cechy $kkk$ oraz $|A M| = |A N| = 15$ . Niech $x = |O C|$ , $y = |C M|$ .

Z podobieństwa trójkątów wynika, że $\frac{10}{15} = \frac{x}{y + 15} = \frac{y}{x + 10}$ .

Stąd:

$\{\begin{cases} 10 y + 150 = 15 x \\ 10 x + 100 = 15 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 y + 30 = 3 x \\ 2 x + 20 = 3 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 6 x - 4 y = 60 \\ - 6 x + 9 y = 60 \end{cases}$

$5 y = 120$ , więc $y = 24$

$2 x = 3 \cdot 24 - 20 = 72 - 20 = 52$ , więc $x = 26$ .

Teraz zauważamy, że trójkąty $A B C$ i $D E C$ są podobne na mocy cechy $kkk$ .

Wyznaczymy stosunek ich wysokości $k = \frac{x - 10}{x + 10} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ .

Niech $r'$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $D E C$ . Wtedy $\frac{r'}{10} = k = \frac{4}{9}$ .

Stąd $r' = \frac{40}{9}$ .

Ćwiczenie 15

Na rysunku trójkąt $A B C$ jest wpisany w okrąg zielony. Na tym okręgu opisano trójkąt $D E F$ tak, żeby punkty $A$ , $B$ , $C$ były punktami styczności. Następnie opisano okrąg niebieski na trójkącie $D E F$ i opisano trójkąt $G H I$ na tym okręgu tak, żeby punkty $D$ , $E$ , $F$ były punktami styczności. Wyznacz kąty trójkątów $D E F$ i $A B C$ , jeżeli trójkąt $G H I$ ma kąty $120 °$ , $40 °$ , $20 °$ .

R1RHsoePaMr32

Grafika przedstawia niebieski trójkąt ABC wpisany w okrąg o kolorze zielonym . Przez punkty A B i C przechodzą styczne które tworzą opisany na zielonym okręgu trójkąt o wierzchołkach DEF . Trójkąt DEF jest jednocześnie wpisany w niebieski okrąg. Na niebieskim okręgu opisano ciemnoniebieski trójkąt o wierzchołkach GHI który jest styczny do niebieskiego okręgu w punktach D, E i F.

Jeżeli kąt trójkąta $G H I$ ma miarę $120 °$ , to odpowiadający mu kąt trójkąta $D E F$ ma miarę $90 ° - \frac{120 °}{2} = 30 °$ , a temu kątowi odpowiada kąt w trójkącie $A B C$ o mierze $90 ° - \frac{30 °}{2} = 75 °$ .

Analogicznie, kątowi $40 °$ odpowiada kąt $90 ° - \frac{40 °}{2} = 70 °$ , a temu kątowi odpowiada kąt $90 ° - \frac{70 °}{2} = 55 °$ .

Analogicznie, kątowi $20 °$ odpowiada kąt $90 ° - \frac{20 °}{2} = 80 °$ , a temu kątowi odpowiada kąt $90 ° - \frac{80 °}{2} = 50 °$ .

Trójkąt $D E F$ ma kąty $30 °$ , $70 °$ , $80 °$ , a trójkąt $A B C$ ma kąty $75 °$ , $55 °$ , $50 °$ .

Ćwiczenie 16

Na rysunku trójkąt $A B C$ jest wpisany w okrąg zielony. Na tym okręgu opisano trójkąt $D E F$ tak, żeby punkty $A$ , $B$ , $C$ były punktami styczności. Następnie opisano okrąg niebieski na trójkącie $D E F$ i opisano trójkąt $G H I$ na tym okręgu tak, żeby punkty $D$ , $E$ , $F$ były punktami styczności. Jakie warunki muszą spełniać kąty trójkąta $A B C$ , żeby opisana konstrukcja była możliwa?

R1RHsoePaMr32

Kąty trójkąta mają oczywiście miary mniejsze od $180 °$ . Niech $α$ oznacza kąt $I G H$ . Wtedy kąt $D E F$ ma miarę $90 ° - \frac{α}{2}$ i w konsekwencji kąt $A B C$ ma miarę $90 ° - \frac{90 ° - \frac{α}{2}}{2} = 90 ° - 45 ° + \frac{α}{4} = 45 ° + \frac{α}{4}$ .

Ponieważ $0 < α < 180 °$ , to kąt $A B C$ ma miarę większą od $45 °$ i mniejszą od $45 ° + \frac{180 °}{4} = 90 °$ .

Stąd wynika, że kąty trójkąta $A B C$ muszą mieć miary z zakresu od $45 °$ do $90 °$ i sumować się do $180 °$ .

Słownik

trójkąt równoboczny

trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość. Jest to szczególny przypadek trójkąta równoramiennego. Jest przykładem wielokąta foremnego

trójkąt równoramienny

trójkąt o (co najmniej) dwóch bokach równej długości. Te dwa boki nazywane są ramionami trójkąta, trzeci bok podstawą. Kąty przy podstawie są przystające a ich miara jest mniejsza od miary kąta prostego

trójkąt prostokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną

dwusieczna kąta

zbiór punktów płaszczyzny leżących w równej odległości od ramion kąta płaskiego

dwusieczna kąta w trójkącie

odcinek będący częścią wspólną dwusiecznej kąta trójkąta i trójkąta

podobieństwo figur

dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo o skali $k > 0$ , które przekształca jedną figurę w drugą.

cechy podobieństwa trójkątów

warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne

kąt środkowy okręgu o środku

O

oparty na cięciwie

A B

kąt środkowy okręgu o środku

O

oparty na cięciwie

A B

kąt $A O B$ oparty na łuku $A B$ znajdujący się wewnątrz okręgu

kąt wpisany okręgu o środku

O

oparty na cięciwie

A B

kąt wpisany okręgu o środku

O

oparty na cięciwie

A B

kąt $A P B$ , gdzie $P$ jest punktem na okręgu leżącym po tej samej stronie cięciwy $A B$ co środek okręgu

1. Okrąg opisany na trójkącie

3.* Wybrane konstrukcje geometryczne (DODATEK)