• Obliczysz sinus, cosinus i tangens wielokrotności kąta prostego.

• Obliczysz sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta.

• Wyznaczysz miarę kąta, znając wartość jego sinusa, cosinusa lub tangensa.

Oblicz:

a) $\sin 120°$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $120°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Promień wodzący punktupromień wodzący punktuPromień wodzący punktu $M$ jest równy $1$ (nie zastanawiaj się za długo, dlaczego akurat $1$ – równie dobrze mógłby to być dowolny inny punkt). Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\frac{1}{2}, \left|OP\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}\right)$. Zatem $\sin 120°=\frac{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

RviQj9N09Qrrs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na pierwszej i drugiej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem stu dwudziestu stopni (kąt między dodatnią półosią OX a półprostą). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z dodatnią półosią O Y – jest to kąt o mierze trzydziestu stopni. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych minus jedna druga, pierwiastek z trzech drugich. Z punktu M poprowadzony jest poziomy odcinek M P prostopadły do osi Y, przy czym punkt P ma współrzędne zero, pierwiastek z trzech przez dwa, co oznacza, że leży na osi Y. W ten sposób powstaje trójkąt, którego podstawa leży na dodatniej półosi O Y i ma długość pierwiastek z trzech na dwa, czyli taką, jak druga współrzędna punktu M. Jest to bok trójkąta prostokątnego o długości jedna druga, czyli równej pierwszej współrzędnej punktu M. Odcinek O M ma więc długość 1. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 60 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na dodatniej półosi O Y oraz wcześniej wspomniany kąt 30 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus ze stu dwudziestu stopni wynosi pierwiastek z trzech przez dwa podzielić na jeden, czyli pierwiastek z dwóch przez dwa.

b) $\sin 225°$

Spójrzmy na rysunek poniżej. W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $225°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową kwadratu, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{2}$, $\left|OP\right|=\sqrt{2}$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$. Zatem $\sin 225°=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

RxKjX0BbAzzp6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem dwustu dwudziestu pięciu stopni (kąt między dodatnią półosią OX a półprostą, przechodzący przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z ujemną półosią O X – jest to kąt o mierze czterdziestu pięciu stopni. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych minus pierwiastek z dwóch, minus pierwiastek z dwóch. Z punktu M poprowadzony jest pionowy odcinek M P prostopadły do osi X, przy czym punkt P ma współrzędne minus pierwiastek z dwóch, zero, co oznacza, że punkt ten leży na osi X. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa leży na ujemnej półosi O X i ma ona długość pierwiastek z dwóch, czyli taką, jak moduł z pierwszej współrzędnej punktu M, ponieważ odległości z założenia są nieujemne. Odcinek M P to bok trójkąta prostokątnego o długości pierwiastek z dwóch, czyli równej modułowi drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek O M ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 45 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na ujemnej półosi O X oraz wcześniej wspomniany kąt 45 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z dwustu dwudziestu pięciu stopni wynosi minus pierwiastek z dwóch podzielić na dwa.

c) $\sin 330°$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $330°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}, \left|OP\right|=1$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $\sin 330°=-\frac{1}{2}$.

R11Z2ovuMofeO

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem trzystu trzydziestu stopni (kąt między dodatnią półosią OX a półprostą, przechodzący przez pierwszą, drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z ujemną półosią O Y – jest to kąt o mierze sześćdziesięciu stopni. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych pierwiastek z trzech, minus 1. Z punktu M poprowadzony jest poziomy odcinek M P prostopadły do Y, przy czym punkt P ma współrzędne zero, minus 1. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa to odcinek M P od długości pierwiastek z trzech, czyli takiej, jak pierwsza współrzędna punktu M. Odcinek O P jest lewym pionowym bokiem trójkąta prostokątnego o długości 1, czyli równej modułowi drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek O M ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 30 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na ujemnej półosi O X oraz wcześniej wspomniany kąt 60 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z trzystu trzydziestu stopni wynosi minus jedna druga.

Oblicz:

a) $\sin \left(-60°\right)$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-60°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}, \left|OP\right|=1$.

Wobec tego współrzędne punktu M to $\left(1,-\sqrt{3}\right)$. Zatem $\sin \left(-60°\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

R1QSskKmiQv7H

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem minus sześćdziesięciu stopni (kąt między dodatnią półosią OX a półprostą, przechodzący przez czwartą ćwiartkę). Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych 1, minus pierwiastek z trzech. Z punktu M poprowadzony jest pionowy odcinek M P prostopadły do osi X, przy czym punkt P ma współrzędne 1, zero. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa to leżący na osi X odcinek O P od długości 1, czyli takiej, jak pierwsza współrzędna punktu M. Odcinek M P jest prawym pionowym bokiem trójkąta prostokątnego o długości pierwiastek z trzech, czyli równej modułowi drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek M O ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 30 stopni między odcinkiem M O a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na dodatniej półosi O X oraz wcześniej wspomniany kąt 60 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z minus sześćdziesięciu stopni wynosi minus pierwiastek z trzech przez dwa.

b) $\sin \left(-150°\right)$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-150°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=1, \left|OP\right|=\sqrt{3}$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $\sin \left(-150°\right)=-\frac{1}{2}$.

RG36vyEzQReRp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem minus stu pięćdziesięciu stopni (kąt między dodatnią półosią O X a półprostą, przechodzący przez czwartą i trzecią ćwiartkę). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z ujemną półosią O X – jest to kąt o mierze trzydziestu stopni i znajduje się on w trzeciej ćwiartce. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych minus pierwiastek z trzech, minus 1. Z punktu M poprowadzony jest pionowy odcinek M P prostopadły do osi X, przy czym punkt P ma współrzędne minus pierwiastek z trzech, zero, co oznacza, że punkt ten leży na osi X. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa leży na ujemnej półosi O X i ma ona długość pierwiastek z trzech, czyli taką, jak moduł z pierwszej współrzędnej punktu M. Odcinek M P to lewy bok trójkąta prostokątnego o długości 1, czyli równej modułowi drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek O M ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 60 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na ujemnej półosi O X oraz wcześniej wspomniany kąt 30 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z minus stu pięćdziesięciu stopni wynosi minus jedna druga.

c) $\sin \left(-210°\right)$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-210°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=1, \left|OP\right|=\sqrt{3}$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{3},1\right)$. Zatem $\sin \left(-210°\right)=\frac{1}{2}$.

RTDW4se1266xw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na pierwszej i drugiej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem minus dwustu dziesięciu stopni (kąt między dodatnią półosią O X a półprostą przechodzący przez czwartą, trzecią i drugą ćwiartkę układu). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z dodatnią półosią O Y w drugiej ćwiartce – jest to kąt o mierze sześćdziesięciu stopni. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych minus pierwiastek z trzech, 1. Z punktu M poprowadzony jest poziomy odcinek M P prostopadły do osi Y, przy czym punkt P ma współrzędne zero, 1, co oznacza, że leży na osi Y. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa to odcinek M P o długości pierwiastek z trzech, czyli równej modułowi pierwszej współrzędnej punktu M. Odcinek O P jest pionowym prawym bokiem trójkąta prostokątnego o długości 1, czyli równej drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek O M będący przekątną trójkąta ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 30 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na dodatniej półosi O Y oraz wcześniej wspomniany kąt 60 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z minus dwustu dziesięciu stopni wynosi jedna druga.

Istnieją również inne, nieco bardziej “nowoczesne”, definicje funkcji sinus. Jedna z nich wykorzystuje nieskończoną sumę zwaną szeregiem Taylora.

Według tej definicji:

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$

Inna definicja funkcji sinus wykorzystuje iloczyny nieskończone:

$\sin x=x·\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2·1^2}\right)·\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2·2^2}\right)·\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2·3^2}\right)·\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2·4^2}\right)·...$

Niektóre definicje wykorzystują tzw. ułamki łańcuchowe lub równania różniczkowe, ale te zagadnienia są na tyle wymagające, że pominiemy szczegóły.

Wyznaczymy miary wszystkich kątów $\mathrm{\alpha }$, dla których $\mathrm{sin\alpha }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Z definicji funkcji sinus mamy, że $\sin \alpha =\frac{y}{r}$.

W tym przypadku $\frac{y}{r}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ponieważ $r>0$, to $y=-\sqrt{3}k$ i $r=2k$ dla pewnej liczby $k>0$.

Ponieważ możemy wybrać dowolny punkt na drugim ramieniu kąta, więc niech $k=1$. Wówczas punkt $M$ ma drugą współrzędną równą $-\sqrt{3}$ i jego promień wodzący jest równy $2$.

R1PyBjD72mkCL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzone są z niego dwa odcinki, tworzące kąty ostre z ujemną półosią O Y. Odcinek O M 1 znajduje się w trzeciej ćwiartce układu i ma długoś r równą 2. Odcinek O M 2 znajduje się w czwartej ćwiartce układu i również ma długość r równą dwa. Przez punkty M 1 i M 2 linią przerywaną poprowadzona jest pozioma prosta, która jest prostopadła do osi Y i przecina ją w punkcie P o współrzędnych 0, minus pierwiastek z trzech. Odcinek O P leży więc na osi Y i ma długość równą pierwiastek z trzech.

Zauważmy, że są dwa takie punkty: jeden leży w trzeciej, a drugi – w czwartej ćwiartce. Z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć ich odległości od osi $Y$:

${\left|MP\right|}^2+{\left|PO\right|}^2={\left|OM\right|}^2$

${\left|MP\right|}^2+3=4$

${\left|MP\right|}^2=1$

Zatem pierwsza współrzędna punktu $M$ to $1$ lub $-1$. Niech $M_1=\left(-1,-\sqrt{3}\right)$ i $M_2=\left(1,-\sqrt{3}\right)$.

R1V6LNAQOYZNG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzone są z niego dwa odcinki, tworzące kąty ostre z ujemną półosią O Y. Punkt M 1 ma współrzędne minus 1, minus pierwiastek z trzech. Odcinek O M 1 znajduje się w trzeciej ćwiartce układu i ma długoś r równą 2. Punkt M 2 ma współrzędne 1, minus pierwiastek z trzech. Odcinek O M 2 znajduje się w czwartej ćwiartce układu i również ma długość r równą dwa. Przez punkty M 1 i M 2 linią przerywaną poprowadzona jest pozioma prosta, która jest prostopadła do osi Y i przecina ją w punkcie P o współrzędnych 0, minus pierwiastek z trzech. Odcinek O P leży więc na osi Y i ma długość równą pierwiastek z trzech. Na rysunku zaznaczone są także kąty. Kąt między odcinkiem M 1 P a odcinkiem M 1 O wynosi 60 stopni. Kąt między odcinkiem M 1 O a O P wynosi 30 stopni. Kąt między odcinkiem M 2 P a odcinkiem M 2 O wynosi 60 stopni. Kąt między odcinkiem M 2 O a O P wynosi 30 stopni.

Wynika stąd, że każdy z trójkątów $M_{1}PO$ i $M_{2}PO$ jest połową trójkąta równobocznego.

Jednocześnie trójkąt $M_1{M}_{2}O$ jest równoboczny.

Zatem szukane kąty mają miary $180°+60°=240°$ oraz $270°+30°=300°$.

Rs9d64AQiVufL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na pierwszej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego w czwartej ćwiartce półprosta, tworząca kąt 300 stopni z dodatnią półosią O X. Kąt ten przechodzi przez ćwiartkę pierwszą, drugą, trzecią i czwartą. Na półprostej zaznaczony jest punkt M 2. Odcinek O M 2 tworzy z ujemną półosią O Y kąt 30 stopni. Obok zapisane jest: 270 stopni dodać 30 stopni równa się 300 stopni.

R1MzzsbeKdqC8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego w trzeciej ćwiartce półprosta, tworząca kąt 240 stopni z dodatnią półosią O X. Kąt ten przechodzi przez ćwiartkę pierwszą, drugą i trzecią. Na półprostej zaznaczony jest punkt M 1. Odcinek O M 1 tworzy z ujemną półosią O Y kąt 30 stopni. Obok zapisane jest: 180 stopni dodać 60 stopni równa się 240 stopni.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że po obrocie drugiego ramienia kąta o $360°$ w jedną lub w drugą stronę, to ramię znajdzie się w dokładnie tym samym położeniu. Zatem

$\sin {240}^{\circ }=\sin \left({240}^{\circ }+{360}^{\circ }\right)=\sin \left({240}^{\circ }+2\cdot {360}^{\circ }\right)=...$

i

$\sin {240}^{\circ }=\sin \left({240}^{\circ }-{360}^{\circ }\right)=\sin \left({240}^{\circ }-2\cdot {360}^{\circ }\right)=...$.

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $240°+k·360°$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Ponadto

$\sin {300}^{\circ }=\sin \left({300}^{\circ }+{360}^{\circ }\right)=\sin \left({300}^{\circ }+2\cdot {360}^{\circ }\right)=...$

i

$\sin {300}^{\circ }=\sin \left({300}^{\circ }-{360}^{\circ }\right)=\sin \left({300}^{\circ }-2\cdot {360}^{\circ }\right)=...$.

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $300°+k·360°$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Dostaliśmy dwie serie rozwiązań: $240°+k·360°$ oraz $300°+k·360°$, gdzie
$k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Oblicz:

a) $\cos 120°$
b) $\cos 225°$
c) $\cos 330°$

Ad. a)

Ad. a)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $120°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Promień wodzący punktupromień wodzący punktuPromień wodzący punktu $M$ jest równy $1$ (mógłby to być dowolny inny punkt). Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\frac{1}{2}$, $\left|OP\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to$\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Zatem $\cos 120°=\left(\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1}\right)=-\frac{1}{2}$.

R1U3uylEKv9So

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki z osią poziomą X i osią pionową Y. Na układzie zaznaczono trzy punkty: punkt M o współrzędnych $\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, punkt O, który jest początkiem układu współrzędnych, punkt P o współrzędnych $\left(0;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Punkty połączono ze sobą, powstał trójkąt prostokątny M O P. Odcinek M O jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem 120 stopni. Długość odcinka M O wynosi 1, długość odcinka M P wynosi $\frac{1}{2}$, długość odcinka P O wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Zaznaczono kąty w trójkącie: kąt O M P wynosi 60 stopni, kąt M P O jest prosty, kąt P O M wynosi 30 stopni.

Ad. b)

Ad. b)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $225°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową kwadratu, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{2}$, $\left|OP\right|=\sqrt{2}$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$. Zatem $\cos 225°=\frac{-\sqrt{2}}{2}$.

R11yjtxhsveC1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki z osią poziomą X i osią pionową Y. Na układzie zaznaczono trzy punkty M O oraz P, których współrzędne to kolejno: $\left(-\sqrt{2};-\sqrt{2}\right)$, $\left(0;0\right)$, $\left(-\sqrt{2};0\right)$. Połączono odcinki pomiędzy punktami, powstał trójkąt prostokątny o długości obu przyprostokątnych M P oraz P O równym $\sqrt{2}$. Przeciwprostokątna M O ma długość 2. Poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X do odcinka M O, wynosi on 225 stopni. Zaznaczono kąty w trójkącie, kąt P M O jest równy kątowi M O P wynosi 45 stopni, natomiast kąt M P O jest kątem prostym.

Ad. c)

Ad. c)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $330°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}$, $\left|OP\right|=1$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $\cos 330°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

R8MSUfsBIa8g2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych o osi poziomej X i osi pionowej Y. Układ nie posiada podziałki. Na układzie zaznaczono trzy punkty: punkt O, który znajduje się w początku układu współrzędnych, punkt M o współrzędnych $\left(\sqrt{3};-1\right)$, punkt P o współrzędnych $\left(0;-1\right)$. Narysowano odcinki pomiędzy punktami, powstał trójkąt prostokątny M O P. Długość poszczególnych boków wynosi: przyprostokątna O P 1, przyprostokątna P M $\sqrt{3}$, przeciwprostokątna M O 2. Poprowadzono kąt skierowany od dodatniej półosi O X do przeciwprostokątnej M O, wynosi on 330 stopni. Zaznaczono kąty: kąt P O M wynosi 60 stopni, kąt M P O wynosi 90 stopni.

Oblicz:

a) $\cos \left(-60°\right)$
b) $\cos \left(-150°\right)$
c) $\cos \left(-210°\right)$

Ad. a)

Ad. a)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-60°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}$, $\left|OP\right|=1$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(1,-\sqrt{3}\right)$. Zatem $\cos \left(-60°\right)=\frac{1}{2}$.

Rs80Jjd2OLUvx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych o osi poziomej X i osi pionowej Y. Układ nie posiada podziałki. Zaznaczono trzy punkty: punkt O, który znajduje się w początku układu współrzędnych, punkt P o współrzędnych $\left(1;0\right)$, punkt M o współrzędnych $\left(1;-\sqrt{3}\right)$. Utworzono trójkąt prostokątny M O P łącząc punkty: odcinek O P ma długość 1, odcinek P M ma długość $\sqrt{3}$, natomiast odcinek M O ma długość 2. Odcinki O P oraz P M to przyprostokątne, odcinek O M to przeciwprostokątna trójkąta. Zaznaczono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, do odcinka O M. Kąt ten wynosi minus 60 stopni.

Ad. b)

Ad. b)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-150°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=1$, $\left|OP\right|=\sqrt{3}$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $\cos \left(-150°\right)=\frac{-\sqrt{3}}{2}$.

R14Dy4LifZOSB

Ilustracja przedstawia układ współrzędny bez podziałki. Oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. Zaznaczono trzy punkty: Punkt O, który znajduje się w początku układu współrzędnych, punkt P o współrzędnych $\left(-\sqrt{3};0\right)$, punkt M o współrzędnych $\left(-\sqrt{3};-1\right)$. Punkty połączono, tworząc trójkąt prostokątny M O P, o długości boków: przyprostokątna P M ma długość 1, przyprostokątna P O ma długość $\sqrt{3}$, przeciwprostokątna M O ma długość 2. Do przeciwprostokątnej M O poprowadzono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara z dodatniej półosi O X, wynosi on minus 150 stopni. Kąty w trójkącie M O P: przy wierzchołku M kąt wynosi 60 stopni, kąt prosty znajduje się przy wierzchołku P, kąt przy wierzchołku O wynosi 30 stopni.

Ad. c)

Ad. c)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-210°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}$, $\left|OP\right|=1$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $\cos \left(-210°\right)=\frac{-\sqrt{3}}{2}$.

R1IETtEtEBoSJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Oś poziomą oznaczono jako X, oś pionową jako Y. Na układzie zaznaczono trzy punkty: M o współrzędnych $\left(-\sqrt{3};1\right)$, punkt O to początek układu współrzędnych, punkt P ma współrzędne $\left(0;1\right)$. Połączono linie pomiędzy punktami. Tak powstał trójkąt M O P. Dłuższa przyprostokątna M P ma długość $\sqrt{3}$, krótsza przyprostokątna P O ma długość 1, przeciwprostokątna M O ma długość 2. Zaznaczono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, od dodatniej półosi O X do przeciwprostokątnej trójkąta. Kąt ten wynosi minus 210 stopni. Miary kątów przy punktach M O P wynoszą kolejno: 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni.

Podobnie jak dla funkcji sinus, tak dla funkcji cosinus istnieją inne definicje niż poznane dotąd. Jedna z nich wykorzystuje nieskończoną sumę zwaną szeregiem Taylora. Według tej definicji:

$\cos x=1-\frac{x^2}{1·2}+\frac{x^4}{1·2·3·4}-\frac{x^6}{1·2·3·4·5·6}+\dots$

Inna definicja funkcji cosinus wykorzystuje iloczyny nieskończone:

$\cos x=\left(1-\frac{4x^2}{{\pi }^2·1^2}\right)·\left(1-\frac{4x^2}{{\pi }^2·3^2}\right)·\left(1-\frac{4x^2}{{\pi }^2·5^2}\right)·\left(1-\frac{4x^2}{{\pi }^2·7^2}\right)·\dots$

Niektóre definicje wykorzystują tzw. ułamki łańcuchowe lub równania różniczkowe.

Wyznaczymy miary wszystkich kątów $\alpha$, dla których $\cos \alpha =\frac{-\sqrt{3}}{2}$.

Z definicji funkcji cosinus mamy $\cos \alpha =\frac{x}{r}$. 
W tym przypadku $\frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$. Ponieważ $r>0$, to $x=-\sqrt{3}k$ i $r=2k$ dla pewnej liczby $k>0$. 
Ponieważ możemy wybrać dowolny punkt na drugim ramieniu kąta, więc niech $k=1$. 
Wówczas punkt $M$ ma pierwszą współrzędną równą $-\sqrt{3}$ i jego promień wodzący jest równy $2$.

R6IIhWxFALzHr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Układ nie posiada podziałki, oś pionową oznaczono jako Y, oś poziomą oznaczono jako X. Punkt O to początek układu współrzędnych. Z punktu O poprowadzono dwie ukośne półproste, pierwsza znajduje się w drugiej ćwiartce, druga natomiast w trzeciej ćwiartce. Na obu półprostych zaznaczono po jednym punkcie w odległości r równa się 2: na pierwszej punkt $M_1$, na drugiej punkt $M_2$. Oba punkty rzutowano na oś X. Tak powstał punkt P, znajdujący się na osi X. Punkt P jest w odległości $\sqrt{3}$ od punktu O.

Zauważmy, że są dwa takie punkty: jeden leży w drugiej, a drugi – w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć ich odległości od osi $X$:

${\left|MP\right|}^2+{\left|PO\right|}^2={\left|OM\right|}^2$

${\left|MP\right|}^2+3=4$

${\left|MP\right|}^2=1$

Zatem druga współrzędna punktu $M$ to $1$ lub $-1$. $M_1=\left(-\sqrt{3},1\right)$ i $M_2=\left(-\sqrt{3},-1\right)$.

R1Q2d9XsJ8UqC

Ilustracja przedstawia układ współrzędny z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Układ nie posiada podziałki. Punkt O jest początkiem układu współrzędnych. Na układzie zaznaczono dwa punkty $M_1$ o współrzędnych $\left(-\sqrt{3};1\right)$ oraz $M_2$ o współrzędnych $\left(-\sqrt{3};-1\right)$. Poprowadzono dwie ukośne półproste, obie zaczynają się w punkcie O. Pierwsza przechodzi przez punkt $M_1$, druga przechodzi przez punkt $M_2$. Odcinek O $M_1$ jest równy odcinkowi O $M_2$, a on jest równy 2. Punkty $M_1$ oraz $M_2$ rzutowano na oś X. Przy rzutach oznaczono ich długość równą 1. Kąt pomiędzy pierwszą półprostą, a osią X jest równy kątowi pomiędzy drugą półprostą a osią X, wynosi on 30 stopni.

Wynika stąd, że każdy z trójkątów $M_{1}PO$ i $M_{2}PO$ jest połową trójkąta równobocznego. Jednocześnie trójkąt $M_1{M}_{2}O$ jest równoboczny.

Zatem szukane kąty mają miary $180°-30°=150°$ i $180°+30°=210°$.

RBXT0lNRWRfGy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki o osi pionowej Y oraz osi poziomej X. W drugiej ćwiartce narysowano ukośną półprostą zaczynającą się w punkcie O, czyli początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt $M_1$, który rzutowano na oś X. Tak powstał punkt P, znajdujący się na osi X. Punkty $M_1$ O P tworzą trójkąt prostokątny. Kąt P O $M_1$ wynosi 30 stopni. Zaznaczono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej. Znając kąt P O $M_1$, obliczamy że ten kąt wynosi: $180° - 30° = 150°$.

R12YTtQ0vRLZm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki o osi pionowej Y oraz osi poziomej X. W trzeciej ćwiartce narysowano ukośną półprostą od punktu O, czyli początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt $M_2$, następnie rzutowano go na oś X. Rzut na osi X utworzył punkt P. Punkty $M_2$, O, P tworzą trójkąt prostokątny. Kąt trójkąta przy wierzchołku O wynosi 30 stopni. Zaznaczono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, do odcinka O $M_2$, znając kąt przy wierzchołku O, obliczamy jego wartość: $180° + 30° = 210°$.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że po obrocie drugiego ramienia kąta o $360°$ w jedną lub w drugą stronę, ramię znajdzie się w dokładnie tym samym położeniu. Zatem

$\cos 210°=\cos \left(210°+360°\right)=\cos \left(210°+2·360°\right)=\cos \left(210°+3·360°\right)=\dots$

i

$\cos 210°=\cos \left(210°-360°\right)=\cos \left(210°-2·360°\right)=\cos \left(210°-3·360°\right)=\dots$

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $210°+k·360°$, gdzie $k$ należy do zbioru liczb całkowitych. Ponadto

$\cos 150°=\cos \left(150°+360°\right)=\cos \left(150°+2·360°\right)=\cos \left(150°+3·360°\right)=\dots$

i

$\cos 150°=\cos \left(150°-360°\right)=\cos \left(150°-2·360°\right)=\cos \left(150°-3·360°\right)=\dots$

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $150°+k·360°$, gdzie $k$ należy do zbioru liczb całkowitych.

Obliczymy

a) $tg120°$

b) $tg225°$

c) $tg330°$

Rozwiązanie

Ad. a) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $120°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzącypromień wodzący punktupromień wodzący jest równy $1$ (nie zastanawiaj się za długo, dlaczego akurat $1$ - równie dobrze mógłby to być dowolny inny punkt). Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\frac{1}{2}$, $\left|OP\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(\frac{-1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Zatem $tg120°=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}·\left(-\frac{2}{1}\right)=-\sqrt{3}$.

R1dnuOzihj2Fo

Ilustracja przedstawia półprostą o początku w punkcie O, czyli w początku układu współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Półprosta ta znajduje się w drugiej ćwiartce. Z pewnego punktu obranego na dodatniej półosi O X poprowadzono kąt skierowany do półprostej o mierze 120 stopni Na półprostej zaznaczono punkt M, leżący w odległości 1 od punktu O, następnie zrzutowano go na oś . W ten sposób powstał poziomy odcinek M P. Z odcinków O M, M P oraz O P powstał trójkąt prostokątny. Długości boków trójkąta są następujące: O M ma długość 1, M P ma długość , a O P ma długość $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Kąty wewnętrze trójkąta są następujące: Przy wierzchołku O kąt wynosi 30 stopni, przy M to 60 stopni, a przy P mamy kąt prosty.

Ad. b) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze ${225}^{\circ }$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową kwadratu, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{2}$, $\left|OP\right|=\sqrt{2}$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$. Zatem $tg225°=\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=1$.

R1NNumZ0XuYvO

Ilustracja przedstawia półprostą znajdującą się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Półprosta zaczyna się w punkcie O, który jest początkiem układu współrzędnych. Z dodatniej półosi O X poprowadzono kąt skierowany do półprostej o mierze 225 stopni. Na półprostej zaznaczono punkt M o współrzędnych $\left(-\sqrt{2};-\sqrt{2}\right)$, następnie zrzutowano go na oś, przez co powstał pionowy odcinek M P. Z następnujących trzech odcinków: O M o długości 2, M P o długości $\sqrt{2}$ oraz O P o długości $\sqrt{2}$ powstał trójkąt prostokątny. Kąty wewnętrze trójkąta mają następujące miary: Przy wierzchołku O kąt wynosi 45 stopni, przy M to 45 stopni, a przy P mamy kąt prosty.

Ad. c) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze ${330}^{\circ }$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}$, $\left|OP\right|=1$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $tg330°=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

RVtlOEV5D81yL

Ilustracja przedstawia ukośną półprostą w czwartej ćwiartce układu współrzędnych bez podziałki, z pionową osią Y oraz poziomą osią X. Półprosta ma swój początek w punkcie O, ma on współrzędne 0;0. Z dodadniej półosi O X poprowadzono wklęsły kąt skierowany aż do półprostej, wynosi on 330 stopni. Na półprostej zaznaczono punkt M, znajduje się on w odległości równej 2 od punktu O, a następnie rzutowano go na oś. Tak powstał poziomy odcinek M P. Z odcinków M P, P O, O M złożono trójkąt prostokątny, którego kąty wewnętrze wynoszą: przy punkcie M kąt wynosi 30 stopni, przy P 90 stopni, przy O 60 stopni. Długość odcinka O M wynosi 2, a długość odcinka M P wynosi $\sqrt{3}$, natomiast długość odcinka P O wynosi 1

Obliczymy:

a) $tg\left(-60°\right)$

b) $tg\left(-150°\right)$

c) $tg\left(-210°\right)$

Rozwiązanie

Ad. a) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-60°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzącypromień wodzący punktupromień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}$, $\left|OP\right|=1$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(1,-\sqrt{3}\right)$. Zatem $tg(-{60}^{\circ })=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}$.

RRH61rki8ej7J

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych bez podziałki, z pionową osią Y oraz poziomą osią X. Punkt O, jest początkiem układu współrzędnych. Z punktu O, w czwartej ćwiartce poprowadzono ukośną półprostą, zaznaczono również kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, pomiędzy dodatnią półosią O X, a narysowaną półprostą. Kąt ten wynosi minus 60 stopni. Na półprostej zaznaczono punkt M oraz wykonano jego rzutowanie na oś. Tak powstał pionowy odcinek M P. Trzy odcinki: O M o długości 2, M P o długości $\sqrt{3}$ , P O o długości 1 tworzą trójkąt prostokątny, którego kąty wewnętrzne są następujące: Przy punkcie M 30 stopni, przy punkcie O minus 60 stopni, przy punkcie P znajduje się kąt prosty.

Ad. b) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-{150}^{\circ }$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=1$, $\left|OP\right|=\sqrt{3}$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $tg\left(-150°\right)=\frac{-1}{-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

RiL7iu37OsoGC

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych bez podziałki, z pionową osią Y oraz poziomą osią X. Punkt O, to początek układu współrzędnych. Z punktu O, w trzeciej ćwiartce poprowadzono ukośną półprostą, zaznaczono również kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, pomiędzy dodatnią półosią O X, a narysowaną półprostą, wynosi on minus 150 stopni. Na półprostej w odległości równej 2 od punktu O zaznaczono punkt M oraz wykonano jego rzutowanie na oś, przez to powstał pionowy odcinek M P o długości 1. Razem z odcinkiem M P, który pokrywa się z osią X i ma długość długości $\sqrt{3}$ tworzą trójkąt prostokątny O M P, którego kąty wewnętrzne są następujące: Przy punkcie M 60 stopni, przy punkcie O 30 stopni, przy punkcie P znajduje się kąt prosty.

Ad. c) W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-210°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|OP\right|=1$, $\left|MP\right|=\sqrt{3}$. Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{3},1\right)$. Zatem $tg\left(-210°\right)=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

R1eNSPTPkS3pr

Ilustracja przedstawia półprostą ukośną, która rozpoczyna się w punkcie O, czyli początku układu współrzędnych, który nie ma podziałki. Oś pozioma tego układu współrzędnych oznaczona jest jako X, a pionowa jako Y. Półprosta znajduje się w drugiej ćwiartce. Poprowadzono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara aż od dodatniej półosi O X do narysowanej półprostej, wynosi on minus 210 stoni. Punkt M znajduje się na półprostej w odległości równej 2 od punktu O. Rzutowano punkt M na osi, tak powstał poziomy odcinek M P. Trzy odcinki P O, O M, M P o długościach kolejno 1, 2, $\sqrt{3}$ tworzą na układzie współrzędnych trójkąt prostokątny O M P, o kątach wewnętrznych: przy punkcie O 60 stopni, przy punkcie M 30 stopni, przy punkcie P jest kąt prosty.

Istnieją również inne, nieco bardziej “nowoczesne”, definicje funkcji tangens. Jedna z nich wykorzystuje tzw. ułamki łańcuchowe:

$\text{tg}x=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 1-\frac{{\displaystyle x^2}}{{\displaystyle 3-\frac{x^2}{{\displaystyle 5-\frac{{\displaystyle x^2}}{{\displaystyle 7-...}}}}}}}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \frac{3}{x}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \frac{5}{x}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \frac{7}{x}-...}}}}}}}}$.

Użyteczną definicją funkcji tangens jest przedstawienie go jako ilorazu sinusa i cosinusa.

Niektóre definicje wykorzystują tzw. szereg Taylora lub równania różniczkowe, ale te zagadnienia są na tyle wymagające, że pominiemy szczegóły.

Wyznaczymy miary wszystkich kątów $\alpha$, dla których $tg\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rozwiązanie

Z definicji funkcji tangens mamy $tg\alpha =\frac{y}{x}$. W tym przypadku $\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Możemy zauważyć, że $y=-\sqrt{3}k$ i $x=3k$ albo $y=\sqrt{3}k$ i $x=-3k$, dla pewnej liczby $k>0$. Ponieważ możemy wybrać dowolny punkt na drugim ramieniu kąta, więc niech $k=1$. Wówczas punkt $M$ ma współrzędne równe $\left(3;-\sqrt{3}\right)$ albo $\left(-3;\sqrt{3}\right)$.

RcH9BA9Ci6uQr

Ilustracja przedstawia dwa dwuwymiarowe układy współrzędnych bez podziałki o początku współrzędnych w punkcie O, poziomej osi X i pionowej osi Y, zostały narysowane obok siebie. Lewy układ współrzędnych przedstawia półprostą, ktora znajduje się w czwartej ćwiartce oraz zaczyna się w początku układu współrzędnych. Zaznaczono na niej punkt $M_1$ o współrzędnych $\left(3;-\sqrt{3}\right)$, następnie poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do rucho wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Punkt P oznaczono na osi Y, po rzutowaniu punku $M_1$ na oś Y. Prawy układ współrzędnych przedstawia półprostą, ktora znajduje się w drugiej ćwiartce oraz zaczyna się w początku układu współrzędnych. Zaznaczono na niej punkt $M_2$ o współrzędnych $\left(-3;\sqrt{3}\right)$, następnie poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Punkt P oznaczono na osi Y, po rzutowaniu punku $M_2$ na oś Y.

Zauważmy, że są dwa takie punkty: jeden leży w drugiej, a drugi - w czwartej ćwiartce. Z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć ich odległości od początku układu współrzędnych:

${\left|MP\right|}^2+{\left|PO\right|}^2={\left|OM\right|}^2$

${\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2={\left|OM\right|}^2$

${\left|OM\right|}^2=12$

$\left|OM\right|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Zatem odległość punktów $M$ od początku układu współrzędnych jest równa $2\sqrt{3}$. Wynika stąd, że każdy z trójkątów $M_{1}PO$ i $M_{2}PO$ jest połową trójkąta równobocznego.

Rd8iba8BL8MHy

Ilustracja przedstawia dwa dwuwymiarowe układy współrzędnych bez podziałki, narysowane obok siebie. Oba układy mają osie poziome X, osie pionowe Y oraz początek układu współrzędnych oznaczony jako O. Lewy układ współrzędnych przedstawia półprostą, która znajduje się w czwartej ćwiartce oraz zaczyna się w punkcie O. Zaznaczono na niej punkt $M_1$ o współrzędnych $\left(3;-\sqrt{3}\right)$, poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Punkt P znajduje się na osi Y, powstał po rzutowaniu punktu $M_1$ na osie. Kąt pomiędzy odcinkami $P{M}_1$, a $O{M}_1$ wynosi $30°$. Długość odcinka $O{M}_1$ wynosi$2\sqrt{3}$. Prawy układ współrzędnych przedstawia półprostą, ktora znajduje się w drugiej ćwiartce oraz zaczyna się w punkcie O. Zaznaczono na niej punkt $M_2$ o współrzędnych $\left(-3;\sqrt{3}\right)$, następnie poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. . Punkt P znajduje się na osi Y, powstał po rzutowaniu punktu $M_2$ na osie. Kąt pomiędzy odcinkami $P{M}_2$, a $O{M}_2$ wynosi $30°$. Długość odcinka $O{M}_2$ wynosi$2\sqrt{3}$.

Zatem szukane kąty mają miary $90°+60°=150°$ oraz ${270}^{\circ }+{60}^{\circ }={330}^{\circ }$.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że po obrocie drugiego ramienia kąta o ${360}^{\circ }$ w jedną lub w drugą stronę, ramię znajdzie się w dokładnie tym samym położeniu. Zatem $tg240°=tg\left(240°+360°\right)=tg\left(240°+2·360°\right)=tg\left(240°+3·360°\right)=\dots$ i $tg240°=tg\left(240°-360°\right)=tg\left(240°-2·360°\right)=tg\left(240°-3·360°\right)=\dots$

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $240°+k·360°$, gdzie $k$ przebiega zbiór wszystkich liczb całkowitych.

Na podstawie powyższego przykładu możemy wyciągnąć wniosek, że każdy kąt $\alpha$ można zapisać w postaci $\alpha ={\alpha }_0+k·{360}^{\circ }$, gdzie ${\alpha }_0\in \left.⟨0°,360°\right)$ oraz $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Przy czym ${\alpha }_0$ nazywamy miarą główną kąta $\alpha$.

odległość punktu od początku układu współrzędnych

stosunek rzędnej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do promienia wodzącego punktu $M$, definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym

stosunek odciętej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do promienia wodzącego punktu $M$; definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym

stosunek rzędnej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do odciętej punktu $M$; definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym oraz by drugie ramię kąta nie zawierało się w osi $Y$