5. Podstawowe tożsamości trygonometryczne - M_R_W12_M1 Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

R1GBZngH1h6EW

Po raz pierwszy sinus w znanej dziś formie zdefiniował hinduski matematyk i astronom Aryabhata ( $476$ – $550$ $r. n. e.$ ). W jego pracach nazywany był „połową cięciwy”. Nazwa sinus pojawiła się w $XII$ wieku w wyniku błędnego tłumaczenia i w języku łacińskim oznacza „zatokę”.

W tym materiale wykorzystamy związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta do rozwiązywania zadań. W szczególności zajmiemy się tożsamościami trygonometrycznymi.

Twoje cele

poznasz różne zastosowania związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta;
wykorzystasz poznane wzory do przekształcania wyrażeń i dowodzenia tożsamości;
przeanalizujesz zadania oraz wybierzesz najefektywniejszą metodę prowadzącą do ich rozwiązania.

Tożsamością trygonometryczną nazywamy pewną określoną zależność między funkcjami trygonometrycznymi. Dodajmy, że każde użyte w tożsamości wyrażenie musi mieć sens.

Tożsamości wykorzystujemy przy przekształcaniu równań lub wzorów do innej równoważnej postaci, która jest prostsza lub lepiej nadaje się do wyciągania interesujących nas wniosków.

Aby udowodnić tożsamośćtożsamość trygonometrycznatożsamość, przekształcamy jedną stronę tożsamości, starając się sprowadzić ją do postaci, którą ma druga strona. Można również przekształcać obie strony, doprowadzając je do tej samej postaci.

Przedstawimy teraz podstawowe tożsamości trygonometrycznetożsamość trygonometrycznatożsamości trygonometryczne i ich dowody.

o jedynce trygonometrycznej

Twierdzenie: o jedynce trygonometrycznej

Dla dowolnego kąta $α \in ℝ$ zachodzi tożsamośćtożsamośćtożsamość zwana jedynką trygonometryczną: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Dla każdego kąta $α \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , zachodzi tożsamość: $t g α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Dowód

Przyjmijmy, że punkt $P \neq (0, 0)$ o współrzędnych $(x, y)$ leży na ramieniu końcowym kąta o mierze $α$ . Niech $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Wówczas $\sin α = \frac{y}{r}$ , $\cos α = \frac{x}{r}$ i $tg α = \frac{y}{x}$ .

R1HYoR3tnAcWE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Poziomą oś X oznaczono w przedziale -5;6. Oznaczono dwie proste, jedna przebiega bezpośrednio po osi X a druga jest malejąca i kończy się w punkcie 0;0. Proste tworzą kąt alfa. Na drugiej prostej zaznaczono punkt P o współrzędnych x;y

Korzystając z definicji sinusa i cosinusa dowolnego kąta $α$ zapiszmy: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{y}{r})}^{2} + {(\frac{x}{r})}^{2} = \frac{x^{2} + y^{2}}{r^{2}}$ . Korzystając z tego, że $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ otrzymujemy: $\frac{x^{2} + y^{2}}{r^{2}} = \frac{r^{2}}{r^{2}} = 1$ , co kończy dowód.
Korzystając z definicji sinusa i cosinusa dowolnego kąta $α$ zapiszmy: $\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}} = \frac{y}{x} = t g α$ . przy założeniu , że $α \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 1

Obliczyć $tg α$ , jeżeli $\cos α = - 0, 6$ i $90 ° < α < 180 °$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z tożsamości: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Wówczas $\sin^{2} α + (- 0, 6)^{2} = 1$ .

Kąt $α$ jest kątem II ćwiartki, zatem $\sin α > 0$ .

Wobec tego: $\sin α = \sqrt{1 - (- 0, 6)^{2}} = \sqrt{1 - 0, 36} = \sqrt{0, 64} = 0, 8.$

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α} =$ $\frac{0, 8}{- 0, 6} = - \frac{4}{3}$ .

Przykład 2

Obliczyć $\sin α$ i $\cos α$ , jeżeli wiadomo, że $tg α = - \frac{3}{4}$ oraz $270 ° < α < 360 °$ .

Rozwiązanie:

Skorzystajmy z tożsamości: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ i $tg α = \frac{\sin x}{\cos α}$ . Wówczas $tg α = - \frac{3}{4}$ , czyli $\frac{\sin α}{\cos α} = - \frac{3}{4}$ , a zatem $\sin α = - \frac{3}{4} \cos α$ .

Podstawiając do tożsamości: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ otrzymujemy ${(- \frac{3}{4} \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ .

Ponieważ $270 ° < α < 360 °$ , więc $\cos α$ przyjmuje wartość dodatnią.

To oznacza, że $\cos α = \frac{1}{\sqrt{1 + {(- \frac{3}{4})}^{2}}} = \frac{4}{5}$ .

Ponieważ $270 ° < α < 360 °$ , więc $\sin α$ przyjmuje wartość ujemną. Wobec tego $\sin α = - \sqrt{1 - \cos^{2} α}$ , czyli

$\sin α = - \sqrt{1 - {(\frac{4}{5})}^{2}} = - \frac{3}{5}$ .

Przykład 3

Uprość wyrażenie: $\frac{2 \sin^{2} α - 1}{\sin α - \cos α}$ .

Rozwiązanie:

$\frac{2 \sin^{2} α - 1}{\sin α - \cos α} = \frac{\sin^{2} α + \sin^{2} α - 1}{\sin α - \cos α} =$

$= \frac{\sin^{2} α - \cos^{2} α}{\sin α - \cos α} = \frac{(\sin α + \cos α) (\sin α - \cos α)}{\sin α - \cos α} =$

$= \sin α + \cos α$ , przy założeniu, że $\sin α \neq \cos α$ .

Przykład 4

Uprość wyrażenie: $(a \sin α + b \cos α)^{2} + (a \cos α - b \sin α)^{2}$ .

Rozwiązanie:

$(a \sin α + b \cos α)^{2} + (a \cos α - b \sin α)^{2} =$

$= a^{2} \sin^{2} α + 2 a b \cdot \sin α \cdot \cos α + b^{2} \cos^{2} α +$

$+ a^{2} \cos^{2} α - 2 a b \cdot \cos α \cdot \sin α + b^{2} \sin^{2} α =$

$= a^{2} (\sin^{2} α + \cos^{2} α) + b^{2} (\cos^{2} α + \sin^{2} α) = a^{2} + b^{2}$

Przykład 5

Wiedząc, że $\sin α + \cos α = \frac{1}{3}$ oblicz:

a) $\sin α \cdot \cos α$

Ponieważ $\sin α + \cos α = \frac{1}{3}$ , więc $(\sin α + \cos α)^{2} = \frac{1}{9}$ .
A zatem $\sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \sin α \cdot \cos α = \frac{1}{9}$ .
Wobec tego $\sin α \cdot \cos α = - \frac{4}{9}$ .

b) $\sin α - \cos α$

$| \sin α - \cos α | = \sqrt{(\sin α - \cos α)^{2}} =$
$= \sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α - 2 \sin α \cdot \cos α} = \sqrt{1 - 2 (- \frac{4}{9})} = \sqrt{\frac{17}{9}}$
Zatem wyrażenie $\sin α - \cos α$ może przyjmować dwie wartości: $\sqrt{\frac{17}{9}}$ lub $- \sqrt{\frac{17}{9}}$ .

c) $tg α + \frac{1}{tg α}$

$tg α + \frac{1}{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin α \cos α} = \frac{1}{- \frac{4}{9}} = - \frac{9}{4}$

d) $\sin^{3} α + \cos^{3} α$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:
$\sin^{3} α + \cos^{3} α = (\sin α + \cos α) (\sin^{2} α - \sin α \cos α + \cos^{2} α) =$
$= \frac{1}{3} (1 - (- \frac{4}{9})) = \frac{13}{27}$

e) $\sin^{4} α + \cos^{4} α$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę kwadratów:
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = {(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{2} - 2 \sin^{2} α \cos^{2} α =$
$= 1 - 2 \cdot {(- \frac{4}{9})}^{2} = 1 - \frac{32}{81} = \frac{49}{81}$ .

Przykład 6

Wykażemy, że dla każdego kąta $α$ prawdziwa jest równość:

${(\sin α + \cos α)}^{2} + (\sin α - \cos α^{2}) = 2$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ oraz ${(a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b$ .

Podstawiamy wartości do powyższych wzorów.

${(\sin α + \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$

${(\sin α - \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + \cos^{2} α - 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$

Teraz przekształcamy lewą stronę równości:

$L = {(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\sin α - \cos α)}^{2} =$

$= \sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \cdot \sin α \cdot \cos α + \sin^{2} α + \cos^{2} α - 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$

Po redukcji wyrażeń podobnych otrzymujemy stronę prawą równania.

$L = 2 \cdot \sin^{2} α + 2 \cdot \cos^{2} α = 2 \cdot \underset{\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1}{\underset{⏟}{(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}} = 2 \cdot 1 = 2 = P$ .

To kończy dowód.

Przykład 7

Sprawdzimy, czy równość $\frac{1 - \sin α}{\cos α} = \frac{\cos α}{1 + \sin α}$ jest prawdziwa.

Rozwiązanie

Zakładamy, że: $\cos α \neq 0$ i $1 + \sin α \neq 0$ .

Teraz oznaczamy strony równania.

$L = \frac{1 - \sin α}{\cos α}$

$P = \frac{\cos α}{1 + \sin α}$

Jeżeli równość jest prawdziwa, to $L = P$ , więc $L - P = 0$ , czyli: $\frac{1 - \sin α}{\cos α} - \frac{\cos α}{1 + \sin α} = 0$ .

Będziemy teraz przekształcać lewą stronę wyrażenia celem sprawdzenia, czy otrzymamy wartość zero.

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ , który przygotuje nam oba ułamki do sprowadzenia ich do wspólnego mianownika.

Ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy następującą równość:

$(1 - \sin α) (1 + \sin α) = 1 - \sin^{2} α$ .

Równość tę podstawiamy do równania wyjściowego.

$\frac{1 - sinα}{cosα} - \frac{cosα}{1 + sinα} = \frac{(1 - sinα) (1 + sinα)}{cosα (1 + sinα)} - \frac{cosα \cdot cosα}{(1 + sinα) cosα} =$

$= \frac{1 - \sin^{2} α}{\cos α (1 + \sin α)} - \frac{\cos^{2} α}{(1 + \sin α) \cos α}$

$\frac{1 - \sin^{2} α - \cos^{2} α}{cosα (1 + sinα)} = \frac{1 - \overset{\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1}{\overset{⏞}{(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}}}{cosα (1 + sinα)} = \frac{1 - 1}{cosα (1 + sinα)} = \frac{0}{cosα (1 + sinα)} = 0$

Ponieważ $L - P = 0$ , to wykazaliśmy, że $L = P$ , więc równość $\frac{1 - \sin α}{\cos α} = \frac{\cos α}{1 + \sin α}$ jest prawdziwa.

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem prezentującym zastosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta do dowodzenia tożsamości. Udowodnij przykładowe tożsamości i porównaj z odpowiedziami.

Ruf981uI8Fkbp

Polecenie 2

Udowodnij tożsamości:

a) $\frac{1}{\cos α} - \cos α = \sin α \cdot tg α$ ,

b) $\frac{\cos α - \cos^{3} α}{\sin^{3} α - \sin α} = - tg α$ .

$\frac{1}{\cos α} - \cos α = \sin α \cdot tg α$

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę.

Wykorzystamy związki:

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ i $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

oraz $1 - \cos^{2} α = \sin^{2} α$ .

Założenie: $\cos α \neq 0$ .

$L = \frac{1}{\cos α} - \cos α = \frac{1}{\cos α} - \frac{\cos^{2} α}{\cos α} = \frac{1 - \cos^{2} α}{\cos α} = \frac{\sin^{2} α}{\cos α} =$

$= \sin α \cdot \frac{\sin α}{\cos α} = \sin α \cdot tg α = P$

To kończy dowód.

$\frac{\cos α - \cos^{3} α}{\sin^{3} α - \sin α} = - tg α$

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę.

Wykorzystamy związki:

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ i $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

oraz $1 - \cos^{2} α = \sin^{2} α$ .

Założenia: $\sin α \neq 0$ i $\sin^{2} α - 1 \neq 0$ .

$L = \frac{\cos α - \cos^{3} α}{\sin^{3} α - \sin α} = \frac{\cos α (1 - \cos^{2} α)}{\sin α (\sin^{2} α - 1)} = \frac{\cos α \cdot \sin^{2} α}{\sin α (\sin^{2} α - 1)} =$

$= \frac{\cos α \cdot \sin α}{\sin^{2} α - 1} = \frac{\cos α \cdot \sin α}{\sin^{2} α - (\sin^{2} α + \cos^{2} α)} =$

$= \frac{\cos α \cdot \sin α}{\sin^{2} α - \sin^{2} α - \cos^{2} α} = \frac{\cos α \cdot \sin α}{- \cos^{2} α} = \frac{- \sin α}{\cos α} = - tg α = P$

To kończy dowód.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją i rozwiąż zadania.

R6R4IfG7VQXzb

Polecenie 4

Oblicz $\frac{\cos α - 2 \sin α}{4 \sin α - \cos α}$ , jeżeli $tg α = 3$ .

Ponieważ $tg α = 3$ , więc $\cos α \neq 0$ .

Podzielmy licznik i mianownik przez $\cos α$ .

$\frac{\cos α - 2 \sin α}{4 \sin α - \cos α} = \frac{1 - 2 tg α}{4 tg α - 1} = - \frac{5}{11}$ .

Polecenie 5

Oblicz $\frac{\sqrt{1 - 2 \sin α \cos α}}{\sqrt{1 + 2 \sin α \cos α}}$ , jeżeli $\sin α = 2 \cos α$ .

Zauważmy, że z równania $\sin α = 2 \cos α$ wynika, że $\sin α \neq 0$ i $\cos α \neq 0$ i $tg α = 2$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 \sin α \cos α}}{\sqrt{1 + 2 \sin α \cos α}} = \frac{\sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α - 2 \sin α \cos α}}{\sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \sin α \cos α}} =$

$\frac{\sqrt{(\sin α - \cos α)^{2}}}{\sqrt{(\sin α + \cos α)^{2}}} = \frac{| \sin α - \cos α |}{| \sin α + \cos α |}$ .

Dzielimy licznik i mianownik przez $| \cos α |$ i otrzymujemy:

$\frac{| tg α - 1 |}{| tg α + 1 |} = \frac{| 2 - 1 |}{| 2 + 1 |} = \frac{1}{3}$ .

Przykład 8

Udowodnimy, że równanie ${tg}^{2} x \cdot \frac{\cos x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\cos x}$ jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od określenia dziedziny równania. Do dziedziny równania należą takie liczby rzeczywiste $x$ , że $tg x$ ma sens, $\cos x \neq 0$ i $\cos x \neq 1$ .

Zatem dziedziną równania jest zbiór takich liczb rzeczywistych $x$ , że $x \neq \frac{π}{2} + k π$ i $x \neq k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozpoczniemy przekształcanie lewej strony, gdyż wygląda na bardziej skomplikowaną i będzie można uprościć jej postać.

Najpierw wykorzystamy tożsamość trygonometryczną $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ :

$L = {tg}^{2} x \cdot \frac{\cos x}{1 - \cos x} = \frac{\sin^{2} x \cos x}{\cos^{2} x - \cos^{3} x} = \frac{\sin^{2} x}{\cos x - \cos^{2} x}$

następnie wykorzystamy jedynkę trygonometryczną:

$= \frac{1 - \cos^{2} x}{\cos x - \cos^{2} x} = \frac{(1 - \cos x) (1 + \cos x)}{\cos x (1 - \cos x)} = \frac{1 + \cos x}{\cos x} = P$ .

Zatem wykorzystując dwie podstawowe tożsamości trygonometryczne przekształciliśmy lewą stronę równania w taki sposób, że otrzymaliśmy stronę prawą tego równania, co oznacza, że równość jest tożsamością.

Przykład 9

Udowodnimy, że równanie $\frac{{sin}^{6} α - {cos}^{6} α}{(1 - sin α \cdot cos α) (sin α - cos α)} = (sin α + cos α) (1 + sin α \cdot cos α)$ jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Zapiszmy założenia:

$\sin α \neq \cos α$ skąd wynika, że $α \neq \frac{π}{4} + π k$ , dla $k \in ℤ$ .
$\sin α \cdot \cos α \neq 1$ , które zachodzi dla dowolnej liczby rzeczywistej $α$ .

Ostatecznie zatem $α \neq \frac{π}{4} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wykorzystajmy wzór skróconego mnożenia: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

$L = \frac{\sin^{6} α - \cos^{6} α}{(1 - \sin α \cdot \cos α) (\sin α - \cos α)} = \frac{(\sin^{3} α - \cos^{3} α) (\sin^{3} α + \cos^{3} α)}{(\cos^{2} α - \sin α \cos α + \sin^{2} α) (\sin α - \cos α)}$ .

Teraz skorzystajmy ze wzorów skróconego mnożenia na różnicę sześcianów $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ i $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ :

$\frac{\sin^{3} α - \cos^{3} α}{\sin α - \cos α} = \frac{(\sin α - \cos α) (\sin^{2} α + \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α)}{\sin α - \cos α} =$ $= \sin^{2} α + \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α = 1 + \sin α \cdot \cos α$ ,
$\frac{\sin^{3} α + \cos^{3} α}{\sin^{2} α - \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α} =$

$= \frac{(\sin α + \cos α) (\sin^{2} α - \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α)}{\sin^{2} α - \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α} = \cos α + \cos α$ .

A zatem lewa strona równania po przekształceniach jest równa:

$L = (\sin α + \cos α) (1 + \sin α \cdot \cos α) = P$ , co kończy dowód tożsamości.

Przykład 10

Sprawdź, czy równanie: $(\frac{1}{\sin x} + tg x) : (\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{tg x}) = \frac{\frac{7}{4} + \cos x - 2 \cos^{2} x}{\frac{1}{2} + 2 \sin x - \sin^{2} x}$ jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Najpierw spróbujemy sprawdzić, czy dla wybranych charakterystycznych wartości $α$ równość zachodzi.

Wybierzmy wartość: $α = \frac{π}{6}$ . Wówczas:

$L = (\frac{1}{\sin \frac{π}{6}} + tg \frac{π}{6}) : (\frac{1}{\cos \frac{π}{6}} + \frac{1}{tg \frac{π}{6}}) = \frac{2 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}} = \frac{6 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} = \frac{2 \sqrt{3} + 1}{5}$

oraz

$P = \frac{\frac{7}{4} + \cos \frac{π}{6} - 2 \cos^{2} \frac{π}{6}}{\frac{1}{2} + 2 \sin \frac{π}{6} - \sin^{2} \frac{π}{6}} = \frac{\frac{7}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{2 \sqrt{3} + 1}{5}$ .

W takim razie podstawienie $α = \frac{π}{6}$ nie daje rozstrzygnięcia, czy równość jest tożsamością, czy nie jest.

Wybierzmy inną wartość: $α = \frac{π}{4}$ . Wówczas:

$L = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = 1$ .

$P = \frac{\frac{7}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \sqrt{2} - \frac{1}{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{1}{2}$ .

Oznacza to, że $L \neq P$ , a zatem równość nie jest tożsamością.

W przypadku przykładu 3. okazało się, że równość nie jest tożsamością. Udowodniliśmy to, korzystając z kontrprzykładu, czyli takiej wartości zmiennej, dla której równość nie zachodzi.

Polecenie 6

Zapoznaj się z animacją, a następnie w oparciu o nią wykonaj polecenia.

RpbKeAWoGHyhq

Polecenie 7

Udowodnimy, że dla każdej takiej liczby rzeczywistej $α$ , że $| \sin α | \neq 1$ zachodzi tożsamość: $\sqrt{\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}} + \sqrt{\frac{1 + \sin α}{1 - \sin α}} = \frac{2}{| \cos α |}$ .

Sprowadźmy lewą stronę równości do wspólnego mianownika:

$L = \frac{1 - \sin α + 1 + \sin α}{\sqrt{(1 - \sin α)} \sqrt{(1 + \sin α)}} = \frac{2}{\sqrt{\cos^{2} α}} = \frac{2}{| \cos α |} = P$ ,

co kończy dowód tożsamości.

Polecenie 8

Udowodnij tożsamość

$\frac{\sqrt{1 + \cos α} - \sqrt{1 - \cos α}}{\sqrt{1 + \cos α} + \sqrt{1 - \cos α}} = \frac{\cos α}{1 + | \sin α |}$ .

Zapiszmy założenie: $\sqrt{1 + \cos α} + \sqrt{1 - \cos α} \neq 0$ .

$\frac{\sqrt{1 + \cos α} - \sqrt{1 - \cos α}}{\sqrt{1 + \cos α} + \sqrt{1 - \cos α}} = \frac{1 + \cos α - 1 + \cos α}{1 + \cos α + 2 \sqrt{1 - \cos^{2} α} + 1 - \cos α} =$

$\frac{2 \cos α}{2 + 2 | \sin α |} = \frac{\cos α}{1 + | \sin α |}$ ,

co kończy dowód.

RmjIbpv3GA5yj1

Ćwiczenie 1

RywaobGLjQ5SK1

Ćwiczenie 2

R6QhfYEc6cDBj2

Ćwiczenie 3

R19FBnybpojF32

Ćwiczenie 4

Rbe9KqPX91Wqs2

Ćwiczenie 5

R4I5SVt5UKbUM2

Ćwiczenie 6

R1Z5u8JeDN3Bm3

Ćwiczenie 7

R1F19xL1C9zJ33

Ćwiczenie 8

RAY7vhuVPiywv1

Ćwiczenie 9

R1DRFvNkYPkD51

Ćwiczenie 10

RCA03GLXJcElj2

Ćwiczenie 11

R1Xj33Piv86Y02

Ćwiczenie 12

R65GyEuZxyfsc2

Ćwiczenie 13

R1MEGIlX2NYM52

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Uprość wyrażenie $\sin^{4} α + \cos^{2} α + \cos^{2} α \sin^{2} α$ .

$\sin^{4} α + \cos^{2} α + \cos^{2} α \sin^{2} α =$

$= (\sin^{4} α + \cos^{2} α \sin^{2} α) + \cos^{2} α =$

$\sin^{2} α (\sin^{2} α + \cos^{2} α) + \cos^{2} α =$

$= \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

Ćwiczenie 16

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{\cos^{3} α - \sin^{3} α}{1 + \cos α \cdot \sin α}$ , jeżeli $\sin α - \cos α = \frac{1}{2}$ .

Skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

i zapiszmy

$\cos^{3} α - \sin^{3} α = (\cos α - \sin α) (\cos^{2} α + \sin α \cos α + \sin^{2} α) =$

$= (\cos α - \sin α) (1 + \sin α \cos α)$ .

Zatem ułamek ma postać:

$\frac{(\cos α - \sin α) (1 + \sin α \cos α)}{1 + \cos α \cdot \sin α} = \cos α - \sin α = - \frac{1}{2}$ .

R10o8Alz0tSUi1

Ćwiczenie 17

RPbuJxZwadaQp1

Ćwiczenie 18

RPKu6qU2koJHb2

Ćwiczenie 19

R1Ys1ffYF5yZP2

Ćwiczenie 20

R51HFvp4mYU6S2

Ćwiczenie 21

RthS7r4IzGuNa2

Ćwiczenie 22

tożsamości Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, mianownik, jeden, minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, plus, tangens alfa, razy, kotangens alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, plus, tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, równa się, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, 3. początek ułamka, jeden, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, mianownik, jeden, minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, minus, tangens alfa, razy, kotangens alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, kosinus alfa, plus, sinus alfa, mianownik, kosinus alfa, minus, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, plus, tangens alfa, mianownik, jeden, minus, tangens alfa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, minus, tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, równa się, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, 6. początek ułamka, tangens alfa sinus alfa, mianownik, tangens alfa, plus, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tangens alfa, plus, sinus alfa, mianownik, tangens alfa sinus alfa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, kosinus alfa, plus, sinus alfa, mianownik, kosinus alfa, minus, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, minus, tangens alfa, mianownik, jeden, plus, tangens alfa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, tangens alfa sinus alfa, mianownik, tangens alfa, plus, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tangens alfa, minus, sinus alfa, mianownik, tangens alfa sinus alfa, koniec ułamka równania nie będące tożsamościami Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, mianownik, jeden, minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, plus, tangens alfa, razy, kotangens alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, plus, tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, równa się, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, 3. początek ułamka, jeden, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, mianownik, jeden, minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, minus, tangens alfa, razy, kotangens alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, kosinus alfa, plus, sinus alfa, mianownik, kosinus alfa, minus, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, plus, tangens alfa, mianownik, jeden, minus, tangens alfa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, koniec ułamka, minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, minus, tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, równa się, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, 6. początek ułamka, tangens alfa sinus alfa, mianownik, tangens alfa, plus, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tangens alfa, plus, sinus alfa, mianownik, tangens alfa sinus alfa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, kosinus alfa, plus, sinus alfa, mianownik, kosinus alfa, minus, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, minus, tangens alfa, mianownik, jeden, plus, tangens alfa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, tangens alfa sinus alfa, mianownik, tangens alfa, plus, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tangens alfa, minus, sinus alfa, mianownik, tangens alfa sinus alfa, koniec ułamka

Ćwiczenie 23

Udowodnij tożsamość $\sin^{4} α + \cos^{4} α - \sin^{6} α - \cos^{6} α = \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α$ .

$\sin^{4} α + \cos^{4} α - \sin^{6} α - \cos^{6} α =$

$= \sin^{4} α + \cos^{4} α - (\sin^{2} α + \cos^{2} α) (\sin^{4} α - \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α + \cos^{4} α) =$

$= \sin^{4} α + \cos^{4} α - \sin^{4} α + \sin^{2} α \cos^{2} α - \cos^{4} α =$

$= \sin^{2} α \cdot \cos^{2} α$ .

Ćwiczenie 24

Sprawdź, czy poniższe równanie jest tożsamością:

$\frac{\sin^{2} α - \cos^{2} α}{1 + 2 \sin α \cdot \cos α} = \frac{tg α + 1}{tg α - 1}$ .

Uzasadnimy, że równanie nie jest tożsamością.

Zauważmy, że $α \neq \frac{π}{4}$ .

Podstawmy $α = \frac{π}{6}$ .

Wówczas lewa strona równania przyjmuje wartość:

$\frac{\sin^{2} \frac{π}{6} - \cos^{2} \frac{π}{6}}{1 + 2 \sin \frac{π}{6} \cdot \cos \frac{π}{6}} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{3}{4}}{1 + 2 \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} - 2$ .

Prawa strona równania po podstawieniu $α = \frac{π}{6}$ przyjmuje wartość:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{\frac{1}{\sqrt{3}} - 1} = - \sqrt{3} - 2$ .

Ponieważ $\sqrt{3} - 2 \neq - \sqrt{3} - 2$ , więc równanie nie jest tożsamością.

Słownik

tożsamość trygonometryczna

pewna określona zależność między funkcjami trygonometrycznymi; każde użyte w tożsamości wyrażenie musi mieć sens

tożsamość

równanie, które jest spełnione dla dowolnej wartości zmiennej lub zmiennych, dla których równanie ma sens

4. Sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta płaskiego

6. Wybrane wzory redukcyjne

Słownik