6. Wybrane wzory redukcyjne

R1Q0usmgr6PJw

R1Fl4z8qNpyNl1

Portret przedstawia oblicze dojrzałego mężczyzny o ciemnych kędzierzawych włosach z grzywką. Mężczyzna ma na sobie czerwony płaszcz. — Źródło: dostępny w internecie: By nieznany - Kopernikus-Gemaelde, Domena publiczna, wikimedia.

Mikołaj Kopernik (1473–1543) znany jest jako astronom, który „wstrzymał Słońce, a ruszył Ziemię”. Ale Kopernik to też matematyk. Swoje rozważania dotyczące różnych dziedzin matematyki – trygonometrii, geometrii, algebry zamieścił w swych głównych pracach astronomicznych. Dzieło „O obrotach sfer niebieskich” (trzy rozdziały pierwszej księgi tego dzieła to trygonometria) zostało wydane 21 marca 1543 i według legendy dotarło ono do Kopernika w ostatnim dniu jego życia.

Twoje cele

Zastosujesz wybrane wzory redukcyjne do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.
Zastosujesz wybrane wzory redukcyjne do przekształcania wyrażeń trygonometrycznych.
Zastosujesz wybrane wzory redukcyjne do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych.

W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach $α$ oraz $π - α$ , gdzie $α \in (0; \frac{π}{2})$ . Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze $α$ jest ostry (drugie ramię leży w I ćwiartce układu), kąt o mierze $π - α$ jest rozwarty (drugie ramię leży w II ćwiartce układu).

RNFZFNllYmFyq

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma X zaznaczona jest od minus 6 do 7, natomiast oś pionowa od minus 2 do pięć. Na układ naniesiono ukośną półprostą. Półprosta zawarta jest w pierwszej ćwiartce oraz zaczyna się w punkcie O, czyli początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt A o współrzędnych x;y, następnie rzutowano go na obie osie. Odcinek O A ma długość r. W ten sposób otrzymaliśmy punkt P1, znajdujący się na osi X. Zaznaczono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Wykonano odbicie symetryczne półprostej względem osi Y, otrzymano punkty A prim o współrzędnych minus x;y oraz punkt P1. Zaznaczono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od ujemnej półosi O X, do półprostej otrzymanej z odbicia. Ten kąt również wynosi alfa. Poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z dodatniej półosi O X do półprostej otrzymanej z odbicia, wynosi on π - α.

Na drugim ramieniu kąta $α$ wybieramy punkt $A$ o współrzędnych $(x; y)$ i promieniu wodzącym $r$ . Na drugim ramieniu kąta o mierze $π - α$ wybieramy taki punkt $A'$ , którego promień wodzący jest również równy $r$ . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt $A^{'} O P_{2}$ ma miarę $α$ , zaś trójkąty prostokątne $A^{'} O P_{2}$ oraz $A O P_{1}$ są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu $A'$ są równe $(- x; y)$ .

Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą poniższe równości.

$\sin α = \frac{y}{r}$	$\sin (π - α) = \frac{y}{r}$
$\cos α = \frac{x}{r}$	$\cos (π - α) = \frac{- x}{r} = - \frac{x}{r}$
$tg α = \frac{y}{x}$	$tg (π - α) = \frac{y}{- x} = - \frac{y}{x}$

Otrzymujemy zatem równości:

$\sin (π - α) = \sin α$ ,

$\cos (π - α) = - \cos α$ ,

$tg (π - α) = - tg α$ .

Chociaż powyższy dowód został przeprowadzony dla kąta ostrego $α$ , to wzory redukcyjnewzory redukcyjne pozostają prawdziwe dla kąta o dowolnej mierze, dla którego określona jest funkcja tangens.

Przykład 1

Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych.

a) $\sin \frac{2 π}{3} = \sin (π - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos \frac{5 π}{6} = \cos (π - \frac{π}{6}) = - \cos \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

c) $tg \frac{3 π}{4} = tg (π - \frac{π}{4}) = - tg \frac{π}{4} = - 1$

Polecenie 1

Przeanalizuj wyprowadzenie wzorów redukcyjnych dla kątów $π - α$ .

Rq3RwnPzZmO9b

R7NN3mrdDHVL4

R1LXMHE6XYZ0q

R8Da912Ja8qmN

RmjfDiAngJcXq

RaTOLoemW3RGC

RhCd9gwqyw3b4

RAiqzlRmzA84v

RZFqEeGF9yGpw

RPvNB8M3BU215

Rcpm50766ufZB

RPSvhnjubHxDW

RXoVQIEKEFc3l

Polecenie 2

Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach.

RxJWnYywL21Zr

sinus sto trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 2. minus, kosinus sześćdziesiąt stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus sześćdziesiąt stopni, 5. minus, kosinus czterdzieści stopni, 6. sinus pięćdziesiąt stopni, 7. minus, kosinus siedemdziesiąt stopni, 8. sinus siedemdziesiąt stopni sinus sto czterdzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 2. minus, kosinus sześćdziesiąt stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus sześćdziesiąt stopni, 5. minus, kosinus czterdzieści stopni, 6. sinus pięćdziesiąt stopni, 7. minus, kosinus siedemdziesiąt stopni, 8. sinus siedemdziesiąt stopni kosinus sto trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 2. minus, kosinus sześćdziesiąt stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus sześćdziesiąt stopni, 5. minus, kosinus czterdzieści stopni, 6. sinus pięćdziesiąt stopni, 7. minus, kosinus siedemdziesiąt stopni, 8. sinus siedemdziesiąt stopni kosinus sto czterdzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 2. minus, kosinus sześćdziesiąt stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus sześćdziesiąt stopni, 5. minus, kosinus czterdzieści stopni, 6. sinus pięćdziesiąt stopni, 7. minus, kosinus siedemdziesiąt stopni, 8. sinus siedemdziesiąt stopni sinus sto dwadzieścia stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 2. minus, kosinus sześćdziesiąt stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus sześćdziesiąt stopni, 5. minus, kosinus czterdzieści stopni, 6. sinus pięćdziesiąt stopni, 7. minus, kosinus siedemdziesiąt stopni, 8. sinus siedemdziesiąt stopni sinus sto dziesięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 2. minus, kosinus sześćdziesiąt stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus sześćdziesiąt stopni, 5. minus, kosinus czterdzieści stopni, 6. sinus pięćdziesiąt stopni, 7. minus, kosinus siedemdziesiąt stopni, 8. sinus siedemdziesiąt stopni kosinus sto dwadzieścia stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 2. minus, kosinus sześćdziesiąt stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus sześćdziesiąt stopni, 5. minus, kosinus czterdzieści stopni, 6. sinus pięćdziesiąt stopni, 7. minus, kosinus siedemdziesiąt stopni, 8. sinus siedemdziesiąt stopni kosinus sto dziesięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 2. minus, kosinus sześćdziesiąt stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus sześćdziesiąt stopni, 5. minus, kosinus czterdzieści stopni, 6. sinus pięćdziesiąt stopni, 7. minus, kosinus siedemdziesiąt stopni, 8. sinus siedemdziesiąt stopni

W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach $α$ oraz $π + α$ , gdzie $α \in (0; \frac{π}{2})$ .

Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze $α$ jest ostry (drugie ramię leży w $I$ ćwiartce układu), kąt o mierze $π + α$ jest wklęsły (drugie ramię leży w $III$ ćwiartce układu).

RvsJkDuM3AcuV

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma została oznaczona jako X, znajdują się na niej liczby od minus 6 do siedmiu. Na osi pionowej Y znajdują się liczby od minus 4 do cztery. Początek układu współrzędnych oznaczono jako O. W pierwszej ćwiartce narysowano ukośną półprostą zaczynającą się w punkcie O, poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X do półprostej. Kąt ten oznaczono jako alfa. W odległości r od punktu O zaznaczono na półprostej punkt A o współrzędnych x;y oraz rzutowano go na oś X. Otrzymano punkt P1 leżący na osi X. Wykonano odbicie półprostej względem początku układu współrzędnych, otrzymano punkty A prim o współrzędnych minus x; minus y oraz punkt P2. Poprowadzono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od półprostej do ujemnej półosi O X. Poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, do półprostej otrzymanej z odbicia. Kąt ten ma wartość π + α.

Na drugim ramieniu kąta wybieramy punkt $A$ o współrzędnych $(x; y)$ i promieniu wodzącym $r$ . Na drugim ramieniu kąta o mierze $π + α$ wybieramy taki punkt $A'$ , którego promień wodzący jest również równy $r$ . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt $A' O P_{2}$ ma miarę $α$ , zaś trójkąty prostokątne $A O P_{1}$ oraz $A' O P_{2}$ są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu $A'$ są równe $(- x; - y)$ .

Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą następujące równości:

$\sin α = \frac{y}{r}$	$\sin (π + α) = \frac{- y}{r} = - \frac{y}{r}$
$\cos α = \frac{x}{r}$	$\cos (π + α) = \frac{- x}{r} = - \frac{x}{r}$
$tg α = \frac{y}{x}$	$tg (π + α) = \frac{- y}{- x} = \frac{y}{x}$

Otrzymujemy zatem następujące równości:

$\sin (π + α) = - \sin α$ ,

$\cos (π + α) = - \cos α$ ,

$tg (π + α) = tg α$ dla $x \neq \frac{π}{2} + k \cdot π, k \in ℤ$ .

Powyższe tożsamości można uzyskać, stosując wzory redukcyjne dla kątów $π - α$ . Zauważmy, że $α = - (- α)$ . Wówczas $\sin (π + α) = \sin (π - (- α))$ .

Przykład 2

Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych.

a) $\sin \frac{4 π}{3} = \sin (π + \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos \frac{7 π}{6} = \cos (π + \frac{π}{6}) = - \cos \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

c) $tg \frac{5 π}{4} = tg (π + \frac{π}{4}) = tg \frac{π}{4} = 1$

Polecenie 3

Przeanalizuj wyprowadzenie wzorów redukcyjnych dla kątów $π + α$ .

R1ITEbFyDnfD2

Rq7O8tzgY6RIo

R1IevCdJA64Gh

R18Sx16xhVJ4V

RWeFiZfXIQJsR

R1bHMtB2HAkSF

REKokEanOOo2y

R1XEz3AV0hBNG

Ru0b8MNdLf5ml

Rp1p18L2rfeeG

RxpXbTFzW3vNI

R1RdEFc98dUj6

R1XQhhfDi05fq

Polecenie 4

Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach.

R1eVWOXDP8jbd

sinus dwieście trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. sinus czterdzieści stopni, 2. minus, kosinus dwadzieścia stopni, 3. minus, sinus osiemdziesiąt stopni, 4. kosinus czterdzieści stopni, 5. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus dwadzieścia stopni, 7. minus, sinus pięćdziesiąt stopni, 8. minus, kosinus osiemdziesiąt stopni minus, sinus dwieście dwadzieścia stopni Możliwe odpowiedzi: 1. sinus czterdzieści stopni, 2. minus, kosinus dwadzieścia stopni, 3. minus, sinus osiemdziesiąt stopni, 4. kosinus czterdzieści stopni, 5. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus dwadzieścia stopni, 7. minus, sinus pięćdziesiąt stopni, 8. minus, kosinus osiemdziesiąt stopni kosinus dwieście trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. sinus czterdzieści stopni, 2. minus, kosinus dwadzieścia stopni, 3. minus, sinus osiemdziesiąt stopni, 4. kosinus czterdzieści stopni, 5. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus dwadzieścia stopni, 7. minus, sinus pięćdziesiąt stopni, 8. minus, kosinus osiemdziesiąt stopni minus, kosinus dwieście dwadzieścia stopni Możliwe odpowiedzi: 1. sinus czterdzieści stopni, 2. minus, kosinus dwadzieścia stopni, 3. minus, sinus osiemdziesiąt stopni, 4. kosinus czterdzieści stopni, 5. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus dwadzieścia stopni, 7. minus, sinus pięćdziesiąt stopni, 8. minus, kosinus osiemdziesiąt stopni sinus dwieście stopni Możliwe odpowiedzi: 1. sinus czterdzieści stopni, 2. minus, kosinus dwadzieścia stopni, 3. minus, sinus osiemdziesiąt stopni, 4. kosinus czterdzieści stopni, 5. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus dwadzieścia stopni, 7. minus, sinus pięćdziesiąt stopni, 8. minus, kosinus osiemdziesiąt stopni sinus dwieście sześćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. sinus czterdzieści stopni, 2. minus, kosinus dwadzieścia stopni, 3. minus, sinus osiemdziesiąt stopni, 4. kosinus czterdzieści stopni, 5. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus dwadzieścia stopni, 7. minus, sinus pięćdziesiąt stopni, 8. minus, kosinus osiemdziesiąt stopni kosinus dwieście stopni Możliwe odpowiedzi: 1. sinus czterdzieści stopni, 2. minus, kosinus dwadzieścia stopni, 3. minus, sinus osiemdziesiąt stopni, 4. kosinus czterdzieści stopni, 5. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus dwadzieścia stopni, 7. minus, sinus pięćdziesiąt stopni, 8. minus, kosinus osiemdziesiąt stopni kosinus dwieście sześćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. sinus czterdzieści stopni, 2. minus, kosinus dwadzieścia stopni, 3. minus, sinus osiemdziesiąt stopni, 4. kosinus czterdzieści stopni, 5. minus, kosinus pięćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus dwadzieścia stopni, 7. minus, sinus pięćdziesiąt stopni, 8. minus, kosinus osiemdziesiąt stopni

W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach $α$ oraz $2 π - α$ , gdzie $α \in (0, \frac{π}{2})$ . Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze $α$ jest ostry (drugie ramię leży w $I$ ćwiartce układu), kąt o mierze $2 π - α$ jest wklęsły (drugie ramię leży w $IV$ ćwiartce układu).

RDQUGlrKWlMBz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych. Przez prostą przebiega punkt A o współrzędnych x;y. Druga przebiegająca przez czwartą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych stanowi on r długość prostej. Przez prostą przebiega punkt A prim o współrzędnych x;-y stanowi on r długość prostej . Punkty A i A prim się łączą tworząc przerywana prostą. Prosta przecina się z osią X w punkcie P. Kąt między prostymi a osią X ma wielkość alfa. Kąt wypukły między tymi prostymi ma wielkość 2π-α

Na drugim ramieniu kąta $α$ wybieramy punkt $A$ o współrzędnych $(x, y)$ i promieniu wodzącym $r$ . Na drugim ramieniu kąta o mierze $2 π - α$ wybieramy taki punkt $A'$ , którego promień wodzący jest również równy $r$ . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt $A' O P$ ma miarę $α$ , zaś trójkąty prostokątne $A' O P$ oraz $A O P$ są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu $A'$ są równe $(x, - y)$ .

Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą następujące równości:

$\sin α = \frac{y}{r}$	$\sin (2 π - α) = \frac{- y}{r} = - \frac{y}{r}$
$\cos α = \frac{x}{r}$	$\cos (2 π - α) = \frac{x}{r}$
$tg α = \frac{y}{x}$	$tg (2 π - α) = \frac{- y}{x} = - \frac{y}{x}$

Otrzymujemy zatem równości:

\sin (2 π - α) = - \sin α

\cos (2 π - α) = \cos α

tg (2 π - α) = - tg α

Przykład 3

Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych:

$\sin \frac{5 π}{3} = \sin (2 π - \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$\cos \frac{11 π}{6} = \cos (2 π - \frac{π}{6}) = \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$tg \frac{7 π}{4} = tg (2 π - \frac{π}{4}) = - tg \frac{π}{4} = - 1$ .

Polecenie 5

Przeanalizuj wyprowadzenie wzorów redukcyjnych dla kątów $2 π - α$ .

RVsw6Xhu0ZyEB

R1WtgTLZvUI8x

RpKSUFXIdDs2E

RJDRRqPeh9h58

R1DeJfrX6rvX2

Rw9aRMNjCbuNT

R10lcvpT4Y2GC

R15sEkamiNDxT

R1OzHQFMbLedf

R1ZifJbNdGTAN

RVxOe1L4YzvE3

RQ48tSKD2AITK

RegDGAIij5B4x

Polecenie 6

RAFFtGoyE4LqW

Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach. sinus trzysta czterdzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sinus dwadzieścia stopni, 2. kosinus czterdzieści stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus trzydzieści stopni, 5. minus, sinus sześćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus czterdzieści stopni, 7. kosinus dwadzieścia stopni, 8. minus, sinus pięćdziesiąt stopni sinus trzysta dwadzieścia stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sinus dwadzieścia stopni, 2. kosinus czterdzieści stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus trzydzieści stopni, 5. minus, sinus sześćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus czterdzieści stopni, 7. kosinus dwadzieścia stopni, 8. minus, sinus pięćdziesiąt stopni kosinus trzysta czterdzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sinus dwadzieścia stopni, 2. kosinus czterdzieści stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus trzydzieści stopni, 5. minus, sinus sześćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus czterdzieści stopni, 7. kosinus dwadzieścia stopni, 8. minus, sinus pięćdziesiąt stopni kosinus trzysta dwadzieścia stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sinus dwadzieścia stopni, 2. kosinus czterdzieści stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus trzydzieści stopni, 5. minus, sinus sześćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus czterdzieści stopni, 7. kosinus dwadzieścia stopni, 8. minus, sinus pięćdziesiąt stopni sinus trzysta stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sinus dwadzieścia stopni, 2. kosinus czterdzieści stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus trzydzieści stopni, 5. minus, sinus sześćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus czterdzieści stopni, 7. kosinus dwadzieścia stopni, 8. minus, sinus pięćdziesiąt stopni sinus trzysta dziesięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sinus dwadzieścia stopni, 2. kosinus czterdzieści stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus trzydzieści stopni, 5. minus, sinus sześćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus czterdzieści stopni, 7. kosinus dwadzieścia stopni, 8. minus, sinus pięćdziesiąt stopni kosinus trzysta stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sinus dwadzieścia stopni, 2. kosinus czterdzieści stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus trzydzieści stopni, 5. minus, sinus sześćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus czterdzieści stopni, 7. kosinus dwadzieścia stopni, 8. minus, sinus pięćdziesiąt stopni kosinus trzysta dziesięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. minus, sinus dwadzieścia stopni, 2. kosinus czterdzieści stopni, 3. sinus czterdzieści stopni, 4. sinus trzydzieści stopni, 5. minus, sinus sześćdziesiąt stopni, 6. minus, sinus czterdzieści stopni, 7. kosinus dwadzieścia stopni, 8. minus, sinus pięćdziesiąt stopni

Zajmijmy się teraz udowodnieniem poniższego twierdzenia.

o wzorach redukcyjnych dla kątów

Twierdzenie: o wzorach redukcyjnych dla kątów

Dla dowolnego kąta $α$ zachodzą równości:

$\sin (\frac{π}{2} + α) = \cos α$

$\cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α$

$tg (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{tg α}$ , o ile $tg α \neq 0$ .

Przeanalizujmy dwa dowody omawianego twierdzenia. Oba wykorzystują wzory dla kątów $\frac{π}{2} - α$ :

$\sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α$

$\cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α$

$tg (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{tg α}$ , o ile $tg α \neq 0$ .

Dowód. Rozważmy kąty $(\frac{π}{2} - α) i (\frac{π}{2} + α)$ i umieśćmy je w układzie współrzędnych. Dla przejrzystości zapisu oznaczmy kąt $(\frac{π}{2} - α)$ jako $β$ . Wówczas $\frac{π}{2} = α + β$ stąd $β = \frac{π}{2} - α$ . Punkt $P (x (\frac{π}{2} - α) i (\frac{π}{2} + α), y)$ jest dowolnym punktem leżącym na końcowym ramieniu kąta skierowanego $β$ natomiast punkt $P (x', y')$ leży na końcowym ramieniu kąta skierowanego $(\frac{π}{2} + α)$ .

RzraV8ClMmVK0

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Środek układu jest zaznaczony literą O. Na płaszczyźnie zaznaczone są 2 punkty P oraz P prim. Punkt P prim znajduje się po lewej stronie osi y, natomiast punkt P po prawej. Współrzędne punktu P prim: x';y'. Współrzędne punktu P x;y. Przez każdy z punktów przechodzi linia zaczynając się w środku układu współrzędnych. Pomiędzy osią x a linią biegnąca do punktu P zaznaczony jest kąt ostry, beta. Pomiędzy osią x a linią biegnącą do punktu P’ zaznaczony został kąt rozwarty. Ma on miarę dwa alfa plus beta.

Zauważmy, że:

$(β + α) + α = \frac{π}{2} + α$
punkty $P (x, y)$ i $P (x', y')$ są symetryczne względem osi $Y$ . Zatem $x' = - x$ a $y = y'$ . $(β + α) + α = \frac{π}{2} + α$

Otrzymujemy zatem następujące równości:

$\sin (\frac{π}{2} + α) = \frac{y'}{r} = \frac{y}{r} = \sin β = \sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α$

$\cos (\frac{π}{2} + α) = \frac{x'}{r} = \frac{- x}{r} = - \cos β = - \cos (\frac{π}{2} - α) = - \sin α$

$tg (\frac{π}{2} + α) = \frac{y}{x} = \frac{y}{- x} = tg β = - tg (\frac{π}{2} - α) = - \frac{1}{tg α}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\frac{5 π}{6}$ .
Wykorzystamy wyprowadzone powyżej wzory.

$\sin \frac{5 π}{6} = \sin \frac{3 π + 2 π}{6} = \sin (\frac{3 π}{6} + \frac{2 π}{6}) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{3}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
$\cos \frac{5 π}{6} = \cos (\frac{π}{2} + \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$
$tg \frac{5 π}{6} = tg (\frac{π}{2} + \frac{π}{3}) = - \frac{1}{tg \frac{π}{3}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Polecenie 7

Zapoznaj się z poniższą animacją i rozwiąż zadania.

R1015bERGzq0h

Polecenie 8

Wykorzystując wzory redukcyjne dla kątów $\frac{π}{2} + α$ oblicz wartość wyrażenia:

$\frac{\sin \frac{2 π}{3} \cdot \cos^{2} \frac{5 π}{6}}{tg \frac{3 π}{4} : tg \frac{2 π}{3}}$

$\sin \frac{2 π}{3} = \sin \frac{4 π}{6} = \sin (\frac{3 π + π}{6}) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{6}) = \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{5 π}{6} = \cos (\frac{3 π + 2 π}{6}) = \cos (\frac{π}{2} + \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$tg \frac{3 π}{4} = tg (\frac{2 π + π}{4}) = tg (\frac{π}{2} + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{tg \frac{π}{4}} = - 1$

$tg \frac{2 π}{3} = tg \frac{4 π}{6} = tg (\frac{3 π + π}{6}) = tg (\frac{π}{2} + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{tg \frac{π}{6}} = - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = - \sqrt{3}$

$\frac{\sin \frac{2 π}{3} \cdot \cos^{2} \frac{5 π}{6}}{tg \frac{3 π}{4} : tg \frac{2 π}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}{(- 1) : (- \sqrt{3})} = \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \sqrt{3} = \frac{9}{8}$

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi $\frac{9}{8}$ .

Polecenie 9

Doprowadź do prostszej postaci:

$\frac{1 - \sin^{2} (\frac{π}{2} + α)}{\cos (\frac{π}{2} + α) \cdot \cos (\frac{π}{2} - α)}$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (\frac{π}{2} + α)}{\cos (\frac{π}{2} + α) \cdot \cos (\frac{π}{2} - α)} = \frac{1 - \cos^{2} α}{- \sin α \cdot \sin α} = \frac{1 - \cos^{2} α}{- \sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α}{- \sin^{2} α} = - 1$

$1 - \cos^{2} α = \sin^{2} α$ ,

ponieważ $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Wyprowadzimy teraz wzory redukcyjne dla kątów $\frac{3 π}{2} - α$ .

Wykorzystując definicje funkcji trygonometrycznych oraz wzory redukcyjne dla kątów $\frac{π}{2} + α$ , udowodnimy poniższe twierdzenie.

wzory redukcyjne dla kąta

(\frac{3 π}{2} - α)

Twierdzenie: wzory redukcyjne dla kąta

(\frac{3 π}{2} - α)

Dla dowolnego kąta $α$ :

$\sin (\frac{3 π}{2} - α) = - \cos α$ ,

$\cos (\frac{3 π}{2} - α) = - \sin α$ ,

$tg (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{1}{tg α}$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ ,

Dowód

Dla dowolnego kąta $α$ prawdziwe są zależności:

$\sin (\frac{π}{2} + α) = \cos α$ ,

$\cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α$ ,

$tg (\frac{π}{2} + α) = - \frac{1}{tg α}$ ,

Rozważmy kąty: $(\frac{3 π}{2} - α)$ i $(\frac{π}{2} + α)$ . Oznaczmy kąt $(\frac{π}{2} + α)$ przez $β$ .

RlkuhPcYclbvC

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. W drugiej ćwiartce układu zaznaczono punkt P=x, y. Z początku układu współrzędnych poprowadzono półprostą przebiegającą przez punkt P. Od dodatniej półosi OX poprowadzono strzałkę biegnącą po łuku do półprostej. Strzałka zatoczyła kąt beta, który jest kątem rozwartym. W trzeciej ćwiartce układu zaznaczono punkt P’=x’, y’. Z początku układu współrzędnych poprowadzono półprostą przebiegającą przez punkt P prim. Od dodatniej półosi OX poprowadzono strzałkę biegnącą po łuku do półprostej przechodzącej przez punkt P prim. Strzałka zatoczyła kąt wypukły, czyli większy, niż pi. Między tą półprostą a ujemną półosią OY zaznaczono strzałkę biegnącą po łuku. Strzałka wyznacza kąt ostry alfa.

β = \frac{π}{2} + α

Zauważmy, że punkty $P (x, y)$ i $P' (x', y')$ są symetryczne względem osi $Y$ .

Zatem $x' = x$ , natomiast $y' = - y$ . Stąd:

$\sin (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{y'}{r} = \frac{- y}{r} = - \sin β = - \sin (\frac{π}{2} + α) = - \cos α$

$\cos (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{x'}{r} = \frac{x}{r} = \cos β = \cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α$

$tg (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{y'}{x'} = \frac{- y}{x} = - tg β = - tg (\frac{π}{2} + α) = \frac{1}{tg α}$

Przykład 5

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\frac{4 π}{3}$ .

Wykorzystamy wyprowadzone powyżej wzory.

$I$ sposób

Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla kątów $\frac{3 π}{2} - α$ otrzymujemy:

$\sin \frac{4 π}{3} = \sin \frac{8 π}{6} = \sin \frac{9 π - π}{6} = \sin (\frac{9 π}{6} - \frac{π}{6}) = \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = - \cos \frac{π}{6} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{4 π}{3} = \cos \frac{8 π}{6} = \cos \frac{9 π - π}{6} = \cos (\frac{9 π}{6} - \frac{π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = - \sin \frac{π}{6} = \frac{- 1}{2}$

$tg \frac{4 π}{3} = tg (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{tg \frac{π}{6}} = \sqrt{3}$

$II$ sposób

Możemy również wykorzystać wzory redukcyjnewzory redukcyjnewzory redukcyjne dla kątów $π + α$ .

$\sin \frac{4 π}{3} = \sin \frac{3 π + π}{3} = \sin (π + \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{4 π}{3} = \cos \frac{3 π + π}{3} = \cos (π + \frac{π}{3}) = - \cos \frac{π}{3} = \frac{- 1}{2}$

$tg \frac{4 π}{3} = tg (π + \frac{π}{3}) =$

Polecenie 10

Zapoznaj się z metodą wyprowadzenia wzorów redukcyjnych dla kątów $\frac{3 π}{2} - α$ zaprezentowaną w animacji. Wykorzystaj wyprowadzone wzory w zadaniach. Swoje rozwiązania porównaj z odpowiedziami.

RQsyKMdDGXKsT

Polecenie 11

Wykorzystując wzory redukcyjne dla kątów $\frac{3 π}{2} - α$ , oblicz wartość wyrażenia:

$\frac{\sin \frac{7 π}{6} - 4 \cos^{2} \frac{4 π}{3}}{- 2 {tg}^{2} \frac{5 π}{4}}$ .

Mamy: $\sin \frac{7 π}{6} = \sin (\frac{9 π - 2 π}{6}) = \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{6}) = - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$

$\cos \frac{4 π}{3} = \cos \frac{8 π}{6} = \cos (\frac{9 π - π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = - \sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$

$tg \frac{5 π}{4} = tg (\frac{6 π - π}{4}) = tg (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}) = ctg \frac{π}{4} = 1$

Zatem: $\frac{\sin \frac{7 π}{6} - 4 \cos^{2} \frac{4 π}{3}}{- 2 {tg}^{2} \frac{5 π}{4}} = \frac{- \frac{1}{2} - 4 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1^{2}} = \frac{- \frac{1}{2} - 1}{- 2} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2} = \frac{3}{4}$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $\frac{3}{4}$ .

Polecenie 12

Sprawdź, czy prawdziwa jest równość:

$(\frac{- 1}{\cos (\frac{3 π}{2} - α)} + tg (\frac{3 π}{2} - α)) (1 + \sin (\frac{3 π}{2} - α)) = \sin α$ .

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę. Wykorzystamy związki:

$\frac{1}{tg α} = \frac{\cos α}{\sin α}$ i $1 - \cos^{2} α = \sin^{2} α$

oraz wzór skróconego mnożenia: $((a + b) \cdot a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

$L = (\frac{- 1}{\cos (\frac{3 π}{2} - α)} + tg (\frac{3 π}{2} - α)) (1 + \sin (\frac{3 π}{2} - α)) =$

$= (\frac{- 1}{- \sin α} + \frac{1}{tg α}) (1 - \cos α) = (\frac{1}{\sin α} + \frac{\cos α}{\sin α}) (1 - \cos α) =$

$= \frac{1 + \cos α}{\sin α} (1 - \cos α) = \frac{(1 + \cos α) (1 - \cos α)}{\sin α} = \frac{1^{2} - \cos^{2} α}{\sin α} = \frac{\sin^{2} α}{\sin α} = \sin α = P$

Ponieważ przekształcając lewą stronę równości, doprowadziliśmy do strony prawej, więc równość jest prawdziwa.

Podsumowanie.

Zestawienie wzorów redukcyjnych związanych z kątem półpełnym przedstawia poniższa tabela (wzory redukcyjne dla przesunięć o kąty $π$ i $2 π$ ).

	$π - α$	$π + α$	$2 π + α$	$2 π - α$
$\sin$	$\sin α$	$- \sin α$	$\sin α$	$- \sin α$
$\cos$	$- \cos α$	$- \cos α$	$\cos α$	$\cos α$
$tg$	$- tg α$	$tg α$	$tg α$	$- tg α$

Wzory redukcyjne dla kątów: $\frac{π}{2} \pm α$ , $\frac{3 π}{2} \pm α$

$β$	$\frac{π}{2} - α$	$\frac{π}{2} + α$	$\frac{3 π}{2} - α$	$\frac{3 π}{2} + α$
$\sin β$	$+ \cos α$	$+ \cos α$	$- \cos α$	$- \cos α$
$\cos β$	$+ \sin α$	$- \sin α$	$- \sin α$	$+ \sin α$
$tg β$	$+ \frac{1}{tg α}$	$- \frac{1}{tg α}$	$+ \frac{1}{tg α}$	$- \frac{1}{tg α}$

R12nV5OOUDLt71

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wyrażenie trygonometryczne i jego wartość. sinus początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden sinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden sinus początek ułamka, trzy PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden kosinus początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden kosinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden kosinus początek ułamka, trzy PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden tangens początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden tangens początek ułamka, pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden tangens początek ułamka, trzy PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden

ROmKDDyRDrlhY1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Wykaż, że jeśli $α, β, γ$ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to zachodzi równość $\cos \frac{α}{2} = \sin \frac{β + γ}{2}$ .

Zaczniemy od przekształcenia lewej strony tezy. Z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynika równość:

$\cos \frac{α}{2} = \cos \frac{π - (β + γ)}{2}$ .

Z rozdzielności dzielenia względem odejmowania mamy

$\cos \frac{π - (β + γ)}{2} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{β + γ}{2})$ .

Ze wzoru $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ otrzymujemy $\cos (\frac{π}{2} - \frac{β + γ}{2}) = \sin \frac{β + γ}{2}$ , co kończy dowód.

R1Ws8kY1jUueQ2

Ćwiczenie 4

Oblicz wartość wyrażenia początek ułamka, sinus nawias, sto sześćdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, siedemdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka dla x, nie równa się, dwadzieścia stopni, plus, k, razy, sto osiemdziesiąt stopni, przecinek, k, należy do, liczby całkowite.
Uporządkuj poniższe wyrażenia, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. równa się, początek ułamka, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, siedemdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 2. równa się, początek ułamka, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 3. początek ułamka, sinus nawias, sto sześćdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, siedemdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 4. równa się, początek ułamka, sinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, siedemdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 5. równa się, minus, dwa, 6. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 7. równa się, początek ułamka, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się

RG7QCPuLvEWx22

Ćwiczenie 5

Porównaj liczby. Wpisz znak mniejszy niż, przecinek, większy niż lub równa się. sinus początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się sinus początek ułamka, siedem PI, mianownik, osiem, koniec ułamka
sinus początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się sinus początek ułamka, osiem PI, mianownik, dziewięć, koniec ułamka
sinus początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się sinus początek ułamka, sześć PI, mianownik, siedem, koniec ułamka
kosinus początek ułamka, PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się kosinus początek ułamka, PI, mianownik, dziewięć, koniec ułamka
kosinus początek ułamka, osiem PI, mianownik, dziewięć, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się kosinus początek ułamka, PI, mianownik, dziewięć, koniec ułamka
kosinus początek ułamka, PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się kosinus nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu
tangens początek ułamka, PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się tangens początek ułamka, dwanaście PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka
tangens początek ułamka, PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się minus, tangens początek ułamka, dziewięć PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka
tangens początek ułamka, PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się minus, tangens nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 6

Wykaż, że jeśli tylko $x \neq k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ$ , to wyrażenie

$tg (π - x) \cdot \frac{- 2 \cos (π - x) + 3 \cos (2 π - x) + \sin (\frac{π}{2} - x)}{\sin (- x) + 2 \sin (π - x)}$

przyjmuje stałą wartość niezależnie od wartości $x$ .

Przekształcimy poszczególne wyrażenia trygonometryczne wchodzące w skład rozważanego wyrażenia.

Wzory redukcyjne:

$tg (π - x) = - tg x$ ,

$\cos (π - x) = - \cos x$ .

Z okresowości funkcji cosinus i parzystości funkcji cosinus: $\cos (2 π - x) = \cos (- x) = \cos x$ .

Z tożsamości trygonometrycznych:

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ ,

$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Z nieparzystości funkcji sinus:

$\sin (- x) = - \sin x$ ,

$\sin (π - x) = \sin x$ .

Wobec powyższego mamy:

$tg (π - x) \cdot \frac{- 2 \cos (π - x) + 3 \cos (2 π - x) + \sin (\frac{π}{2} - x)}{\sin (- x) + 2 \sin (π - x)} =$

$= - tg x \cdot \frac{2 \cos x + 3 \cos x + \cos x}{- \sin x + 2 \sin x} =$

$= - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{6 \cos x}{\sin x} = - 6$ ,

co kończy dowód.

Ćwiczenie 7

Aby przekształcić wyrażenie $\sin (\frac{π}{2} + x)$ , możemy postąpić następująco:

$\sin (\frac{π}{2} + x) = \sin (π - \frac{π}{2} + x) = \sin (π - (\frac{π}{2} - x))$ .

Na mocy wzoru redukcyjnego $\sin (π - α) = \sin α$ , gdzie $α = \frac{π}{2} - x$ , mamy:

$\sin (π - (\frac{π}{2} - x)) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

Na mocy odpowiedniego wzoru redukcyjnego:

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ .

Zatem mamy, że

$\sin (\frac{π}{2} + x) = \cos x$ .

Rozwiąż poniższy test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Rhi6t2gg5AeLh

RZzChLsB7jLjO3

Ćwiczenie 8

R15OY4UOqu0yt3

Ćwiczenie 9

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Liczba kosinus sto sześćdziesiąt stopni jest równa:
minus, sinus siedemdziesiąt stopni minus, kosinus dwadzieścia stopni minus, sinus dwadzieścia stopni

Wiadomo, że kosinus trzydzieści pięć stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek osiem jeden dziewięć. Wówczas:
sinus trzydzieści pięć stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek pięć siedem cztery kosinus sto czterdzieści pięć stopni, w przybliżeniu równe, minus, zero przecinek osiem jeden dziewięć sinus sto czterdzieści pięć stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek pięć siedem cztery

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.
sinus początek ułamka, PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, większy niż, sinus początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka sinus początek ułamka, PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, mniejszy niż, sinus początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka sinus początek ułamka, PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, równa się, sinus początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.
sinus dwa, większy niż, kosinus dwa sinus dwa, mniejszy niż, kosinus dwa sinus dwa, równa się, kosinus dwa

Wyrażenie kosinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, razy, sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu jest dla każdej liczby x równe:
minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, sinus x, razy, kosinus x

Wyrażenie kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, x, zamknięcie nawiasu, razy, sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu jest dla każdej liczby x równe:
minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, sinus x, razy, kosinus x

R14bm6jXWmdMb1

Ćwiczenie 10

Połącz w pary wyrażenie trygonometryczne i jego wartość. minus, sinus początek ułamka, cztery PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka sinus początek ułamka, siedem PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka minus, sinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka minus, kosinus początek ułamka, cztery PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka kosinus początek ułamka, siedem PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka kosinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka tangens początek ułamka, cztery PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka tangens początek ułamka, siedem PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka tangens początek ułamka, pięć PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. jeden, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka

ReiRiA3dqsGyM1

Ćwiczenie 11

Korzystając z tablic trygonometrycznych, dopasuj wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów o podanych miarach. sinus początek ułamka, osiem PI, mianownik, siedem, koniec ułamka, w przybliżeniu równe1. minus, zero przecinek dziewięć zero jeden, 2. zero przecinek cztery osiem dwa, 3. minus, zero przecinek cztery trzy cztery, 4. jeden przecinek trzy siedem sześć, 5. minus, zero przecinek pięć osiem osiem, 6. minus, zero przecinek osiem zero dziewięć
kosinus początek ułamka, osiem PI, mianownik, siedem, koniec ułamka, w przybliżeniu równe1. minus, zero przecinek dziewięć zero jeden, 2. zero przecinek cztery osiem dwa, 3. minus, zero przecinek cztery trzy cztery, 4. jeden przecinek trzy siedem sześć, 5. minus, zero przecinek pięć osiem osiem, 6. minus, zero przecinek osiem zero dziewięć
tangens początek ułamka, osiem PI, mianownik, siedem, koniec ułamka, w przybliżeniu równe1. minus, zero przecinek dziewięć zero jeden, 2. zero przecinek cztery osiem dwa, 3. minus, zero przecinek cztery trzy cztery, 4. jeden przecinek trzy siedem sześć, 5. minus, zero przecinek pięć osiem osiem, 6. minus, zero przecinek osiem zero dziewięć
sinus początek ułamka, trzynaście PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, w przybliżeniu równe1. minus, zero przecinek dziewięć zero jeden, 2. zero przecinek cztery osiem dwa, 3. minus, zero przecinek cztery trzy cztery, 4. jeden przecinek trzy siedem sześć, 5. minus, zero przecinek pięć osiem osiem, 6. minus, zero przecinek osiem zero dziewięć
kosinus początek ułamka, trzynaście PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, w przybliżeniu równe1. minus, zero przecinek dziewięć zero jeden, 2. zero przecinek cztery osiem dwa, 3. minus, zero przecinek cztery trzy cztery, 4. jeden przecinek trzy siedem sześć, 5. minus, zero przecinek pięć osiem osiem, 6. minus, zero przecinek osiem zero dziewięć
tangens początek ułamka, trzynaście PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, w przybliżeniu równe1. minus, zero przecinek dziewięć zero jeden, 2. zero przecinek cztery osiem dwa, 3. minus, zero przecinek cztery trzy cztery, 4. jeden przecinek trzy siedem sześć, 5. minus, zero przecinek pięć osiem osiem, 6. minus, zero przecinek osiem zero dziewięć

RcXggWULYR4KN2

Ćwiczenie 12

RqfcV5LdRY0BR2

Ćwiczenie 13

R8niR6a1AWS2U2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wykaż, że jeśli tylko $x \neq k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ$ , to wyrażenie

$\frac{1}{tg (π + x)} \cdot \frac{- 3 \sin (π + x) + 2 \sin (2 π + x) + 4 \cos (\frac{π}{2} - x)}{3 \cos (- x) + 2 \cos (π + x)}$

przyjmuje stałą wartość niezależnie od wartości $x$ .

Przekształcimy poszczególne wyrażenia trygonometryczne wchodzące w skład rozważanego wyrażenia.

Ze wzorów redukcyjnych:

$tg (π + x) = tg x$ ,

$\cos (π + x) = - \cos x$ ,

$\sin (π + x) = - \sin x$ .

Z okresowości funkcji sinus:

$\sin (2 π + x) = \sin x$ .

Z podstawowych tożsamości trygonometrycznych:

$\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ ,

$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Z parzystości funkcji cosinus:

$\cos (- x) = \cos x$ .

Wobec powyższego mamy:

$\frac{1}{tg (π + x)} \cdot \frac{- 3 \sin (π + x) + 2 \sin (2 π + x) + 4 \cos (\frac{π}{2} - x)}{3 \cos (- x) + 2 \cos (π + x)} =$

$= \frac{1}{tg x} \cdot \frac{3 \sin x + 2 \sin x + 4 \sin x}{3 \cos x - 2 \cos x} =$

$= \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{9 \sin x}{\cos x} = 9$ ,

co kończy dowód.

Ćwiczenie 16

Aby przekształcić wyrażenie $\sin (\frac{3 π}{2} - x)$ , możemy postąpić następująco: $\sin (\frac{3 π}{2} - x) = \sin (π + \frac{π}{2} - x) = \sin (π + (\frac{π}{2} - x))$ .

Na mocy wzoru redukcyjnego $\sin (π + α) = - \sin α$ , przyjmując, że $α = \frac{π}{2} - x$ , prawdą jest, że $\sin (π + (\frac{π}{2} - x)) = - \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

Na mocy wzoru redukcyjnego mamy, że $- \sin (\frac{π}{2} - x) = - \cos x$ .

Zatem $\sin (\frac{3 π}{2} - x) = - \cos x$ .

Na podstawie powyższego rozumowania rozwiąż test umieszczony poniżej. Wskaż poprawne odpowiedzi.

RnpK5ya2F8IFX

RJi33ksqNO9lD3

Ćwiczenie 17

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Liczba kosinus dwieście pięć stopni jest równa:
minus, sinus dwadzieścia pięć stopni minus, kosinus dwadzieścia pięć stopni minus, sinus sześćdziesiąt pięć stopni

Wiadomo, że kosinus piętnaście stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek dwa pięć dziewięć. Wówczas:
sinus piętnaście stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek dwa pięć dziewięć kosinus sto dziewięćdziesiąt pięć stopni, w przybliżeniu równe, minus, zero przecinek dziewięć sześć sześć sinus sto dziewięćdziesiąt pięć stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek dwa pięć dziewięć

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.
sinus początek ułamka, osiemnaście PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, większy niż, kosinus początek ułamka, osiemnaście PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka sinus początek ułamka, osiemnaście PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, równa się, kosinus początek ułamka, osiemnaście PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka sinus początek ułamka, osiemnaście PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, mniejszy niż, kosinus początek ułamka, osiemnaście PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka

Wskaż wyrażenia tożsamościowo równe wyrażeniu sinus x.
sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu minus, sinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu minus, sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu

Wyrażenie kosinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, razy, sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu jest dla każdej liczby x równe:
minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, sinus x, razy, kosinus x

Wyrażenie kosinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, razy, sinus nawias, początek ułamka, trzy PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu jest dla każdej liczby x równe:
sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x sinus x, razy, kosinus x

RtdUULIxa0zFK1

Ćwiczenie 18

Połącz w pary wyrażenie trygonometryczne i jego wartość. sinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka sinus początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka sinus początek ułamka, siedem PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka kosinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka kosinus początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka kosinus początek ułamka, siedem PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka tangens początek ułamka, pięć PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka tangens początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka tangens początek ułamka, siedem PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. minus, jeden, 7. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka

RaMuqePdHDd6C1

Ćwiczenie 19

Korzystając z tablic trygonometrycznych wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów o podanych miarach. Podaj wyniki z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Wstaw w tekst podane wartości. Wyrażenie trygonometryczne sinus początek ułamka, dwanaście PI, mianownik, siedem, koniec ułamka ma wartość 1. nawias, minus, zero przecinek trzy dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, zero przecinek siedem pięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu, 4. zero przecinek dziewięć pięć, 5. zero przecinek siedem osiem, 6. nawias, minus, zero przecinek siedem osiem, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, minus, zero przecinek trzy jeden, zamknięcie nawiasu, 8. zero przecinek sześć dwa.
Wyrażenie trygonometryczne kosinus początek ułamka, dwanaście PI, mianownik, siedem, koniec ułamka ma wartość 1. nawias, minus, zero przecinek trzy dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, zero przecinek siedem pięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu, 4. zero przecinek dziewięć pięć, 5. zero przecinek siedem osiem, 6. nawias, minus, zero przecinek siedem osiem, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, minus, zero przecinek trzy jeden, zamknięcie nawiasu, 8. zero przecinek sześć dwa.
Wyrażenie trygonometryczne tangens początek ułamka, dwanaście PI, mianownik, siedem, koniec ułamka ma wartość 1. nawias, minus, zero przecinek trzy dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, zero przecinek siedem pięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu, 4. zero przecinek dziewięć pięć, 5. zero przecinek siedem osiem, 6. nawias, minus, zero przecinek siedem osiem, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, minus, zero przecinek trzy jeden, zamknięcie nawiasu, 8. zero przecinek sześć dwa.
Wyrażenie trygonometryczne sinus początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka ma wartość 1. nawias, minus, zero przecinek trzy dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, zero przecinek siedem pięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu, 4. zero przecinek dziewięć pięć, 5. zero przecinek siedem osiem, 6. nawias, minus, zero przecinek siedem osiem, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, minus, zero przecinek trzy jeden, zamknięcie nawiasu, 8. zero przecinek sześć dwa.
Wyrażenie trygonometryczne kosinus początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka ma wartość 1. nawias, minus, zero przecinek trzy dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, zero przecinek siedem pięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu, 4. zero przecinek dziewięć pięć, 5. zero przecinek siedem osiem, 6. nawias, minus, zero przecinek siedem osiem, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, minus, zero przecinek trzy jeden, zamknięcie nawiasu, 8. zero przecinek sześć dwa.
Wyrażenie trygonometryczne tangens początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka ma wartość 1. nawias, minus, zero przecinek trzy dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, zero przecinek siedem pięć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu, 4. zero przecinek dziewięć pięć, 5. zero przecinek siedem osiem, 6. nawias, minus, zero przecinek siedem osiem, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, minus, zero przecinek trzy jeden, zamknięcie nawiasu, 8. zero przecinek sześć dwa.

REna9OLv5CtLy2

Ćwiczenie 20

Przyporządkuj podane wyrażenia tak, aby były tożsamościowo równe tym znajdującym się w nagłówkach. Przeciągnij do odpowiedniej grupy. sinus x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 3. tangens nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 5. tangens nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 6. tangens nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 7. sinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 8. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 9. sinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 10. tangens nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 11. tangens nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 12. sinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 13. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 14. sinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 15. początek ułamka, sinus x, mianownik, kosinus x, koniec ułamka, 16. kosinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 17. kosinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 18. kosinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu minus, sinus x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 3. tangens nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 5. tangens nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 6. tangens nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 7. sinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 8. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 9. sinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 10. tangens nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 11. tangens nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 12. sinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 13. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 14. sinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 15. początek ułamka, sinus x, mianownik, kosinus x, koniec ułamka, 16. kosinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 17. kosinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 18. kosinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu kosinus x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 3. tangens nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 5. tangens nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 6. tangens nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 7. sinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 8. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 9. sinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 10. tangens nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 11. tangens nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 12. sinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 13. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 14. sinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 15. początek ułamka, sinus x, mianownik, kosinus x, koniec ułamka, 16. kosinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 17. kosinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 18. kosinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu minus, kosinus x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 3. tangens nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 5. tangens nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 6. tangens nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 7. sinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 8. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 9. sinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 10. tangens nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 11. tangens nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 12. sinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 13. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 14. sinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 15. początek ułamka, sinus x, mianownik, kosinus x, koniec ułamka, 16. kosinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 17. kosinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 18. kosinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu tangens x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 3. tangens nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 5. tangens nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 6. tangens nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 7. sinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 8. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 9. sinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 10. tangens nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 11. tangens nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 12. sinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 13. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 14. sinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 15. początek ułamka, sinus x, mianownik, kosinus x, koniec ułamka, 16. kosinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 17. kosinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 18. kosinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu minus, tangens x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 3. tangens nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 5. tangens nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 6. tangens nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 7. sinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 8. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 9. sinus nawias, minus, x, zamknięcie nawiasu, 10. tangens nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 11. tangens nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 12. sinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 13. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, 14. sinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 15. początek ułamka, sinus x, mianownik, kosinus x, koniec ułamka, 16. kosinus nawias, dwa PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, 17. kosinus nawias, PI, plus, x, zamknięcie nawiasu, 18. kosinus nawias, dwa PI, plus, x, zamknięcie nawiasu

R1bU09dCpmdLi2

Ćwiczenie 21

Oblicz wartość wyrażenia początek ułamka, dwa sinus nawias, dwieście pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, pięć sinus nawias, trzysta trzydzieści pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, trzysta osiemdziesiąt pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto pięćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka dla x, nie równa się, minus, dwadzieścia pięć stopni, plus, k, razy, sto osiemdziesiąt stopni, gdzie k, należy do, liczby całkowite.
Uporządkuj poniższe wyrażenia, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, pięć sinus nawias, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, trzysta osiemdziesiąt pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto pięćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 2. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, pięć sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 3. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, pięć sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 4. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, pięć sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, trzysta sześćdziesiąt stopni, plus, nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto pięćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 5. równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, pięć sinus nawias, trzysta trzydzieści pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, trzysta osiemdziesiąt pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto pięćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 7. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, pięć sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 8. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, pięć sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto pięćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 9. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, pięć sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, trzysta osiemdziesiąt pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto pięćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 10. równa się, początek ułamka, dwa sinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, plus, nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, plus, pięć sinus nawias, trzysta trzydzieści pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, trzysta osiemdziesiąt pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto pięćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 11. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, pięć sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 12. początek ułamka, dwa sinus nawias, dwieście pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, pięć sinus nawias, trzysta trzydzieści pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, trzysta osiemdziesiąt pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy sinus nawias, sto pięćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, kosinus nawias, sześćdziesiąt pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 13. równa się, początek ułamka, minus, osiem sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy sinus nawias, dwadzieścia pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się

Ćwiczenie 22

Uporządkuj podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

R6Xmnn7Hv5A9j

Podpowiedź 1:
$\cos \frac{9 π}{26} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{13}) = \sin \frac{2 π}{13}$

Podpowiedź 2:
$\sin \frac{10 π}{13} = \sin (π - \frac{3 π}{13}) = \sin \frac{3 π}{13}$

Podpowiedź 3:
$- \sin \frac{17 π}{13} = - \sin (π + \frac{4 π}{13}) = \sin \frac{4 π}{13}$

Podpowiedź 4:
$- \sin \frac{21 π}{13} = - \sin (2 π - \frac{5 π}{13}) = \sin \frac{5 π}{13}$

Podpowiedź 5:
$\sin \frac{32 π}{13} = \sin (2 π + \frac{6 π}{13}) = \sin \frac{6 π}{13}$

Ćwiczenie 23

Wykaż, że jeśli tylko $x \neq k \cdot \frac{π}{2}$ , $k \in ℤ$ , to wyrażenie $tg (2 π - x) \cdot \frac{3 \cos (- x) + 2 \cos (π + x) + \cos (π - x)}{- 3 \sin (2 π + x) + \sin (2 π - x) + 5 \cos (\frac{π}{2} - x)}$ przyjmuje stałą wartość niezależnie od wartości $x$ .

Przekształcimy poszczególne wyrażenia trygonometryczne wchodzące w skład rozważanego wyrażenia:

$tg (2 π - x) = - tg x$ (wzór redukcyjny)

$\sin (2 π + x) = \sin x$ (z okresowości funkcji sinus)

$\sin (2 π - x) = - \sin x$ (wzór redukcyjny)

$\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ (podstawowa tożsamość trygonometryczna/wzór redukcyjny)

$\cos (- x) = \cos x$ (z parzystości funkcji sinus)

$\cos (π + x) = - \cos x$ (wzór redukcyjny)

$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ (podstawowa tożsamość trygonometryczna)

$\cos (π - x) = - \cos x$ (wzór redukcyjny)

Wobec powyższego mamy:

$tg (2 π - x) \cdot \frac{3 \cos (- x) + 2 \cos (π + x) + \cos (π - x)}{- 3 \sin (2 π + x) + \sin (2 π - x) + 5 \cos (\frac{π}{2} - x)} =$

$= - tg x \cdot \frac{3 \cos x - 2 \cos x - \cos x}{- 3 \sin x - \sin x + 5 \sin x} = 0$ .

Co kończy dowód.

Ćwiczenie 24

Aby przekształcić wyrażenie $\sin (\frac{3 π}{2} + x)$ możemy postąpić następująco:

$\sin (\frac{3 π}{2} + x) = \sin (2 π - \frac{π}{2} + x) = \sin (2 π - (\frac{π}{2} - x))$

$\sin (2 π - (\frac{π}{2} - x)) = - \sin (\frac{π}{2} - x)$ – na mocy wzoru redukcyjnego $\sin (2 π - α) = - \sin α$ ,

gdzie:
$α = \frac{π}{2} - x$
$- \sin (\frac{π}{2} - x) = - \cos x$ – na mocy wzoru redukcyjnego

Zatem $\sin (\frac{3 π}{2} + x) = - \cos x$ .

RdsTV0IKHskMi

R1BJyQAa8r5lD3

Ćwiczenie 25

R1Z7oIUl3tllq1

Ćwiczenie 26

RfhMOONjEHfnM1

Ćwiczenie 27

R1ElNxqfyfw7c1

Ćwiczenie 28

R1GaALumk9V3r2

Ćwiczenie 29

RJvx5JvrejHkl2

Ćwiczenie 30

RkI1xji9YjTHB2

Ćwiczenie 31

R1eW6qArZQd8r3

Ćwiczenie 32

R1du5HPlwNHZO3

Ćwiczenie 33

RfASgflSEYV6O3

Ćwiczenie 34

R1XUNxw0kQIms1

Ćwiczenie 35

RNbZCZvIaZgqt1

Ćwiczenie 36

R1DHE4iWaRMni2

Ćwiczenie 37

RZcn7AVX7D2Hx2

Ćwiczenie 38

R1P32AHjPsiFz2

Ćwiczenie 39

R14muvWdgtUHe2

Ćwiczenie 40

R1Gp9WpeZf1v73

Ćwiczenie 41

RJCRZOQEkaZ4c3

Ćwiczenie 42

Słownik

wzory redukcyjne

zestaw wzorów pozwalających redukować argumenty funkcji trygonometrycznych do miar z przedziału $(0; \frac{π}{2})$ w celu wyliczenia wartości tych funkcji

jedynka trygonometryczna

tożsamość trygonometryczna, która orzeka, że suma kwadratu sinusa dowolnego argumentu i kwadratu cosinusa dowolnego argumentu jest równa $1$ ; zwana też trygonometryczną wersją twierdzenia Pitagorasa

5. Podstawowe tożsamości trygonometryczne

M_R_W12_M1 Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

6. Wybrane wzory redukcyjne

Słownik