1. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

R1NtWc9G7whbv

Do tej pory mówiliśmy o funkcjach trygonometrycznych argumentu, który był miarą kąta – stopniową lub łukową. W tej lekcji skupimy się na tym, aby zdefiniować funkcje trygonometryczne liczb rzeczywistych. Okazuje się, że po tym zabiegu można zupełnie “oderwać się” od geometrii oraz miar kątów i czysto analitycznie badać własności funkcji trygonometrycznych takie jak: monotoniczność, okresowość, znak, parzystość, nieparzystość, wykresy oraz ich własności itp. Te z kolei znakomicie sprawdzają się przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

Twoje cele

Wykonasz dzielenie z resztą liczby rzeczywistej przez liczbę rzeczywistą.
Zastosujesz definicje funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej.

Zaczniemy od zdefiniowania dzielenia z resztą liczby rzeczywistej przez liczbę rzeczywistą.

Podzielić z resztą liczbę rzeczywistą $x$ przez liczbę rzeczywistą dodatnią $y$ oznacza przedstawić liczbę $x$ w postaci

x = k \cdot y + r

gdzie:
$k$ – jest liczbą całkowitą,
$r$ – jest liczbą nieujemną mniejszą niż $y$ .

Liczbę $r$ w powyższej definicji nazywamy resztą z dzielenia liczby $x$ przez liczbę $y$ .

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą liczby $\frac{x}{y}$ .

Przykład 1

Wykonamy dzielenie z resztądzielenie z resztą liczby $x$ przez liczbę $y$ , wyznaczając iloraz całkowity $k$ i resztę $r$ :

a) $x = 7$ , $y = \frac{1}{3}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{7}{\frac{1}{3}} = 21$ .

Zatem $k = 21$ . Czyli $7 = 21 \cdot \frac{1}{3} + 0$ .

Stąd reszta z dzielenia liczby $7$ przez liczbę $\frac{1}{3}$ jest równa $0$ .

b) $x = 13$ , $y = \frac{5}{3}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{13}{\frac{5}{3}} = \frac{39}{5} = 7 \frac{4}{5}$ .

Zatem $k = 7$ . Czyli $13 = 7 \cdot \frac{5}{3} + \frac{4}{3}$ .

Stąd reszta z dzielenia liczby $13$ przez liczbę $\frac{5}{3}$ jest równa $\frac{4}{3}$ .

c) $x = 5 \frac{2}{7}$ , $y = 1 \frac{3}{7}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{5 \frac{2}{7}}{1 \frac{3}{7}} = \frac{\frac{37}{7}}{\frac{10}{7}} = \frac{37}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{37}{10} = 3 \frac{7}{10}$ .

Zatem $k = 3$ . Czyli $5 \frac{2}{7} = 3 \cdot 1 \frac{3}{7} + 1$ .

Stąd reszta z dzielenia liczby $5 \frac{2}{7}$ przez liczbę $1 \frac{3}{7}$ jest równa $1$ .

d) $x = - \frac{11}{9}$ , $y = \frac{2}{3}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{- \frac{11}{9}}{\frac{2}{3}} = - \frac{11}{9} \cdot \frac{3}{2} = - \frac{11}{6} = - 1 \frac{5}{6}$ .

Zatem $k = - 2$ . Czyli $- \frac{11}{9} = - 2 \cdot \frac{2}{3} + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $5 \frac{2}{7}$ przez liczbę $1 \frac{3}{7}$ jest równa $r = - \frac{11}{9} + 2 \cdot \frac{2}{3} = - \frac{11}{9} + \frac{4}{3} = - \frac{11}{9} + \frac{12}{9} = \frac{1}{9}$ .

e) $x = - \frac{17 \sqrt{2}}{3}$ , $y = 2 \sqrt{2}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{- \frac{17 \sqrt{2}}{3}}{2 \sqrt{2}} = - \frac{17 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}} = - \frac{17}{6} = - 2 \frac{5}{6}$ .

Zatem $k = - 3$ . Czyli $- \frac{17 \sqrt{2}}{3} = - 3 \cdot 2 \sqrt{2} + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $- \frac{17 \sqrt{2}}{3}$ przez liczbę $2 \sqrt{2}$ jest równa $r = - \frac{17 \sqrt{2}}{3} + 6 \sqrt{2} = - \frac{17 \sqrt{2}}{3} + \frac{18 \sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Ponieważ funkcje trygonometryczne są nierozerwalnie połączone z miarami kątów, najważniejsze będzie dla nas wyznaczanie reszty z dzielenia przez pewne szczególne liczby takie jak $2 π$ oraz $\frac{π}{2}$ .

Przykład 2

Podzielimy z resztą liczbę $x$ przez liczbę $y$ , wyznaczając iloraz całkowity $k$ oraz resztę $r$ .

a) $x = \frac{20 π}{3}$ , $y = 2 π$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{\frac{20 π}{3}}{2 π} = \frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{2 π} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ .

Zatem $k = 3$ . Czyli $\frac{20 π}{3} = 6 \frac{2}{3} \cdot π = 3 \cdot 2 π + \frac{2 π}{3}$ .

Stąd reszta z dzielenia liczby $\frac{20 π}{3}$ przez liczbę $2 π$ jest równa $\frac{2 π}{3}$ .

b) $x = - \frac{20 π}{3}$ , $y = 2 π$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{- \frac{20 π}{3}}{2 π} = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{2 π} = - \frac{10}{3} = - 3 \frac{1}{3}$ .

Zatem $k = - 4$ . Czyli $- \frac{20 π}{3} = - 6 \frac{2}{3} \cdot π = - 4 \cdot 2 π + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $- \frac{20 π}{3}$ przez liczbę $2 π$ jest równa $r = 4 \cdot 2 π - 6 \frac{2}{3} \cdot π = \frac{4 π}{3}$ .

c) $x = \frac{20 π}{3}$ , $y = \frac{π}{2}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{\frac{20 π}{3}}{\frac{π}{2}} = \frac{20 π}{3} \cdot \frac{2}{π} = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}$ .

Zatem $k = 13$ . Czyli $\frac{20 π}{3} = 13 \cdot \frac{π}{2} + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $\frac{20 π}{3}$ przez liczbę $\frac{π}{2}$ jest równa $r = \frac{20 π}{3} - 13 \cdot \frac{π}{2} = \frac{40 π}{6} - \frac{39 π}{6} = \frac{π}{6}$ .

d) $x = - \frac{20 π}{3}$ , $y = \frac{π}{2}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{- \frac{20 π}{3}}{\frac{π}{2}} = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{2}{π} = - \frac{40}{3} = - 13 \frac{1}{3}$ .

Zatem $k = - 14$ . Czyli $- \frac{20 π}{3} = - 14 \cdot \frac{π}{2} + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $- \frac{20 π}{3}$ przez liczbę $\frac{π}{2}$ jest równa $r = - \frac{20 π}{3} + 14 \cdot \frac{π}{2} = - 6 \frac{2}{3} \cdot π + 7 π = \frac{π}{3}$ .

Ważne!

Można zauważyć, że:

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ i dowolnej liczby dodatniej $y$ istnieje dokładnie jedna liczba całkowita $k$ oraz dokładnie jedna liczba $r \in ⟨0, y)$ takie, że $x = k y + r$ .
Każdej liczbie rzeczywistej $x$ można przyporządkować jej resztę z dzielenia przez $2 π$ . Reszta ta jest miarą łukową pewnego kąta z przedziału $⟨0, 2 π)$ .

Wobec powyższego:

sinusem liczby rzeczywistej $x$ nazywamy sinus kąta o mierze łukowej $x_{0}$ , gdzie $x_{0}$ jest resztą z dzielenia liczby $x$ przez $2 π$ ,

cosinusem liczby rzeczywistej $x$ nazywamy cosinus kąta o mierze łukowej $x_{0}$ , gdzie $x_{0}$ jest resztą z dzielenia liczby $x$ przez $2 π$ ,

tangensem liczby rzeczywistej $x$ nazywamy tangens kąta o mierze łukowej $x_{0}$ , gdzie $x_{0}$ jest resztą z dzielenia liczby $x$ przez $2 π$ (o ile tangens istnieje, czyli $x \neq \frac{π}{2} + k \cdot π$ , $k \in ℤ$ ).

Przykład 3

a) $\sin (- \frac{7 π}{4}) = \sin (- 1 \cdot 2 π + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

b) $tg (- \frac{23 π}{6}) = tg (- 2 \cdot 2 π + \frac{π}{6}) = tg \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,

c) $\cos (\frac{19 π}{3}) = \cos (3 \cdot 2 π + \frac{π}{3}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

Przykład 4

Wykażemy, że $\sin \frac{51 π}{5} = \cos \frac{- 117 π}{10}$ .

Podzielimy z resztą liczby $\frac{51 π}{5}$ oraz $\frac{- 117 π}{10}$ przez $2 π$ :

$\frac{51 π}{5} = \frac{50 π + π}{5} = \frac{50 π}{5} + \frac{π}{5} = 10 π + \frac{π}{5} = 5 \cdot 2 π + \frac{π}{5}$

$\frac{- 117 π}{10} = \frac{- 120 π + 3 π}{10} = - \frac{120 π}{10} + \frac{3 π}{10} = - 12 π + \frac{3 π}{10} = - 6 \cdot 2 π + \frac{3 π}{10}$

Zatem:

$\sin \frac{51 π}{5} = \sin (5 \cdot 2 π + \frac{π}{5}) = \sin \frac{π}{5}$

$\cos \frac{- 117 π}{10} = \cos (- 6 \cdot 2 π + \frac{3 π}{10}) = \cos \frac{3 π}{10}$

Zauważmy teraz, że $\frac{π}{5} + \frac{3 π}{10} = \frac{2 π}{10} + \frac{3 π}{10} = \frac{5 π}{10} = \frac{π}{2}$ .

Stąd, na mocy tożsamości $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ , otrzymujemy $\sin \frac{π}{5} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{5}) = \cos \frac{3 π}{10}$ , co kończy dowód.

Polecenie 1

Przeanalizuj informacje zawarte w infografice.

RzpTZ59KCAeyz

Polecenie 2

R1So7TputJaGo

RWJbhmlCBc2Fs1

Ćwiczenie 1

Rcj0lAwoCWF6n1

Ćwiczenie 2

Wyznacz dla każdej pary liczb x i y resztę z dzielenia liczby x przez y. Połącz w pary x i y z odpowiednią resztą z dzielenia. x, równa się, siedem, przecinek, y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka x, równa się, minus, siedem, przecinek, y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka x, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, y, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka x, równa się, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, przecinek, y, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka x, równa się, początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, y, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka x, równa się, minus, początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka

R14yC3owBxYVA2

Ćwiczenie 3

RKiJjxXiWwOtv2

Ćwiczenie 4

REavvL3NhQ9S62

Ćwiczenie 5

RvXZ491BANpsr2

Ćwiczenie 6

R1XYPR6IhiiQu3

Ćwiczenie 7

Połącz w pary wyrażenia, które mają równe wartości. Możesz skorzystać z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. sinus siedem PI Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus nawias, minus, sześć PI, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus początek ułamka, dziewięć PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, minus, początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus początek ułamka, dwadzieścia pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. kosinus nawias, minus, początek ułamka, trzydzieści jeden PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. kosinus nawias, minus, trzy PI, zamknięcie nawiasu sinus nawias, minus, początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus nawias, minus, sześć PI, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus początek ułamka, dziewięć PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, minus, początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus początek ułamka, dwadzieścia pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. kosinus nawias, minus, początek ułamka, trzydzieści jeden PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. kosinus nawias, minus, trzy PI, zamknięcie nawiasu sinus początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus nawias, minus, sześć PI, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus początek ułamka, dziewięć PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, minus, początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus początek ułamka, dwadzieścia pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. kosinus nawias, minus, początek ułamka, trzydzieści jeden PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. kosinus nawias, minus, trzy PI, zamknięcie nawiasu sinus początek ułamka, trzynaście PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus nawias, minus, sześć PI, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus początek ułamka, dziewięć PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, minus, początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus początek ułamka, dwadzieścia pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. kosinus nawias, minus, początek ułamka, trzydzieści jeden PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. kosinus nawias, minus, trzy PI, zamknięcie nawiasu sinus nawias, minus, początek ułamka, siedemnaście PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus nawias, minus, sześć PI, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus początek ułamka, dziewięć PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, minus, początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus początek ułamka, dwadzieścia pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. kosinus nawias, minus, początek ułamka, trzydzieści jeden PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. kosinus nawias, minus, trzy PI, zamknięcie nawiasu sinus początek ułamka, dwadzieścia pięć PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus nawias, minus, sześć PI, zamknięcie nawiasu, 2. kosinus początek ułamka, dziewięć PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, minus, początek ułamka, jedenaście PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. kosinus początek ułamka, dwadzieścia pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. kosinus nawias, minus, początek ułamka, trzydzieści jeden PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 6. kosinus nawias, minus, trzy PI, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 8

Wiedząc, że dziedziną funkcji $f (x) = tg x$ jest zbiór liczb $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ , wyznacz dziedzinę funkcji o wzorze $g (x) = tg (2 x - \frac{π}{3})$ .

Ponieważ argument funkcji tangens musi być różny od każdej z liczb postaci $\frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ , zatem $2 x - \frac{π}{3} \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ .

Wykonajmy kolejne przekształcenia:

$2 x - \frac{π}{3} \neq \frac{π}{2} + k π$ (do obu stron dodajemy $\frac{π}{3}$ )

$2 x \neq \frac{π}{2} + \frac{π}{3} + k π$

$2 x \neq \frac{3 π}{6} + \frac{2 π}{6} + k π$

$2 x \neq \frac{5 π}{6} + k π$ (dzielimy obie strony przez $2$ )

$x \neq \frac{5 π}{12} + k \cdot \frac{π}{2}$

Zatem dziedziną funkcji $g (x) = tg (2 x - \frac{π}{3})$ jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od liczb postaci $\frac{5 π}{12} + k \cdot \frac{π}{2}$ , $k \in ℤ$ , co możemy zapisać $D = ℝ ∖ \{x : x = \frac{5 π}{12} + k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ\}$ .

Słownik

dzielenie z resztą liczb rzeczywistych

podzielić z resztą liczbę rzeczywistą $x$ przez liczbę dodatnią $y$ oznacza przedstawić liczbę $x$ w postaci

x = k \cdot y + r

gdzie:
$k$ – jest liczbą całkowitą,
$r$ – należy do przedziału $⟨0, 2 π)$

iloraz całkowity liczb rzeczywistych x i y

największa liczba całkowita niewiększa niż iloraz $\frac{x}{y}$ ; inaczej: część całkowita ilorazu $\frac{x}{y}$

2. Wykresy funkcji trygonometrycznych

M_R_W12_M2 Wykresy funkcji trygonometrycznych

1. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Słownik