2. Wykresy funkcji trygonometrycznych

R1WxK8SDDjus2

Znasz już podstawowe własności funkcji: $y = \sin x$ , $y = \cos x$ , $y = tg x$ , w szczególności związane z obliczaniem ich wartości, czyli wzory redukcyjne. W tym temacie wykorzystamy je do konstrukcji wykresów wspomnianych funkcji trygonometrycznych oraz do opisu ich dalszych własności.

Twoje cele

Nauczysz się rysować wykresy funkcji $y = \sin x$ , $y = \cos x$ i $y = tg x$ oraz opisywać ich własności.
Dowiesz się, jak wykorzystać wykresy funkcji $y = \sin x$ , $y = \cos x$ i $y = tg x$ do rozwiązywania zadań.

Wykres funkcji sinus

Rozpoczniemy od wykreślenia wykresu funkcji $y = \sin x$ .

Konstrukcja wykresu funkcji $y = \sin x$ w przedziale $⟨0, \frac{π}{2}⟩$ .

Zaznaczmy w układzie współrzędnych okrąg o promieniu $1$ . Niech będzie to okrąg o równaniu ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ . Jego środkiem jest punkt $C (- 2, 0)$ . Niech punkt $D$ ma współrzędne $(- 1, 0)$ . Jeżeli przez leżący na danym okręgu punkt $A$ poprowadzimy prostą prostopadłą do osi $X$ , to przetnie ona tę oś w punkcie $E$ . Niech $a$ oznacza miarę kąta $D C A$ mierzoną w radianachradianradianach.

Punkt $B$ ma współrzędne $(a, \sin a)$ . Prosta przechodząca przez punkt $B$ i prostopadła do osi $X$ przecina tę oś w punkcie $F (a, 0)$ .

Otwórzmy aplet, aby obserwować całą konstrukcję.

R1Ty114AHox41

Zauważamy, że druga współrzędna punktu $A$ to $\sin a$ . Zatem odcinki $A E$ i $B F$ mają tę samą długość równą $\sin a$ . Punkt $B$ ma współrzędne $(a, \sin a)$ . Wobec tego punkt $B$ leży na wykresie funkcji $y = \sin a$ . Poruszający się punkt $B$ wyznacza wykres funkcji $y = \sin a$ .

Zastosowaliśmy miarę kąta z przedziału $⟨0, \frac{π}{2}⟩$ . Zatem w tym przedziale otrzymaliśmy wykres funkcji $y = \sin a$ .

Konstrukcja wykresu funkcji $y = \sin x$ w przedziale $⟨\frac{π}{2}, π⟩$ .

Teraz skonstruujemy wykres $y = \sin a$ dla $a \in ⟨\frac{π}{2}, π⟩$ . W tym celu wykorzystamy wzór redukcyjny: $\sin (π - a) = \sin a$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ .

Wzór redukcyjny $\sin (π - a) = \sin a$ opisuje własność: osią symetrii wykresuoś symetrii wykresuosią symetrii wykresu funkcji $y = \sin a$ jest prosta o równaniu $x = \frac{π}{2}$ . Dlaczego tak się dzieje?

Rc3gNM13VZIAa

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych, oś pozioma widoczna jest w przedziale 0;π. Zaznaczono na nim fragment wykresu sinus. Wykres ma pagórkowaty kształt. Zaczyna się w początku układu współrzędnych, biegnie do swojego maksimum w punkcie π2;1. Dalej wartości funkcji maleją aż osiągną miejsce zerowe o współrzędnych π;0. Przy maksimum wykres jest zaokrąglony. Na płaszczyźnie narysowano także pionową prostą o x=π2, która dzieli fragment wykresu funkcji sinus na pół. Obie części wykresu funkcji sinus są do siebie symetryczne względem pionowej osi.

Ważne!

Jeżeli dane dwa punkty $P (x_{1}, y_{1})$ i $Q (x_{2}, y_{2})$ są symetryczne względem prostej $k$ o równaniu $x = b$ , to ich drugie współrzędne $y_{1}$ i $y_{2}$ są równe. Środek odcinka $P Q$ znajduje się na prostej $k$ . Zatem $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = b$ , czyli $x_{2} = 2 b - x_{1}$ .

Otrzymaliśmy wykres funkcji $y = \sin a$ w przedziale $⟨0, π⟩$ .

Konstrukcja wykresu funkcji $y = \sin a$ w przedziale $⟨- π, π⟩$ .

Skorzystamy z kolejnego wzoru charakterystycznego dla funkcji sinus: dla każdej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi równość: $\sin (- a) = - \sin a$ . Własność ta oznacza, że wykres funkcji $y = \sin x$ jest symetrycznyśrodek symetrii wykresusymetryczny względem początku układu współrzędnych. Oznacza to także, że funkcja sinus jest funkcją nieparzystą.

RNjVF0MoQ5dK1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, pozioma oś X zaznaczona w przedziale -π;π. Zaznaczono na nim funkcje sinus. Miejsca zerowe funkcji to -π, 0 oraz π. Rysunek przedstawia pełny cykl czy też przebieg funkcji.

Zatem otrzymaliśmy wykres $y = \sin a$ w przedziale $⟨- π, π⟩$ .

Konstrukcja wykresu funkcji $y = \sin a$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Aby skonstruować wykres funkcji $y = \sin x$ dla $x \in ℝ$ , skorzystamy z kolejnej własności funkcji sinus: $\sin (a + 2 π) = \sin a$ , dla każdej liczby $a \in ℝ$ . Własność ta oznacza, że wykres funkcji sinus przesunięty o $(- 2 π)$ jest tym samym wykresem. Zatem funkcja sinus jest funkcją okresową o okresie $T = 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ i $k \neq 0$ .

Przykład 1

Opiszmy własności funkcji $y = \sin x$ , gdy $x \in ℝ$ .

Funkcja sinus jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = 2 π$ .
Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest przedział $⟨- 1, 1⟩$ .
Wartość największą równą 1 funkcja osiąga dla argumentów: $x = \frac{π}{2} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Wartość najmniejszą równą -1 funkcja osiąga dla argumentów: $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Miejscami zerowymi są argumenty: $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $⟨- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja jest malejąca w przedziałach: $⟨\frac{π}{2} + 2 k π, \frac{3 π}{2} + 2 k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 2

Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji $y = \sin x$ , gdy $x \in ℝ$ .

Osią symetriioś symetrii wykresuOsią symetrii wykresu jest każda prosta o równaniu $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Środkiem symetriiśrodek symetrii wykresuŚrodkiem symetrii wykresu jest każdy punkt o współrzędnych $(k π, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 3

Podamy okres zasadniczy każdej z poniższych funkcji.

Funkcja $y = 2 \sin x$ ma okres zasadniczy $T = 2 π$ , gdyż $2 \sin (x + 2 π) = 2 \sin x$ .
Funkcja $y = \sin (2 x)$ ma okres zasadniczy $T = π$ , gdyż $\sin 2 (π + x) = \sin (2 π + 2 x) = \sin (2 x)$ .
Funkcja $y = |\sin x|$ ma okres zasadniczy $T = π$ , gdyż $|\sin (π + x)| = |- \sin x| = |\sin x|$ .

Przykład 4

Która wartość jest większa: $\sin \frac{π}{7}$ czy $\sin \frac{4 π}{27}$ ?

Zauważmy, że $\frac{π}{7} \in ⟨0, \frac{π}{2}⟩$ i $\frac{4 π}{27} \in ⟨0, \frac{π}{2}⟩$ .

Zauważmy także, że $\frac{π}{7} < \frac{4 π}{27}$ . Ponieważ funkcja sinus w tym przedziale jest rosnąca, zachodzi zatem nierówność: $\sin \frac{π}{7}$ < $\sin \frac{π}{7} < \sin \frac{4 π}{27}$ .

Polecenie 1

Funkcja $y = \sin a x$ , gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą różną od $0$ , jest funkcją okresową, gdyż $\sin (a (x + \frac{2 π}{a})) = \sin (a x + 2 π) = \sin (a x)$ i okresem tej funkcji jest $T = \frac{2 π}{a}$ .

A czy funkcja $y = \sin a x + \sin b x$ , gdzie $a$ , $b \neq 0$ jest funkcją okresową?

Zapoznaj się z poniższą symulacją interaktywną i spróbuj postawić hipotezę dla liczb $a$ , $b \in ℤ$ .

RjKYZgnGKQW2z

Polecenie 2

Uzasadnij, że funkcja $y = \sin x + \sin 2 x$ jest funkcją okresową.

Szukamy takiej liczby $T \neq 0$ , aby dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodził warunek: $\sin (x + T) + \sin (2 (x + T)) = \sin x + \sin 2 x$ .

$\sin (x + 2 π) + \sin (2 x + 2 \cdot 2 π) = \sin x + \sin 2 x$ . Równość zajdzie na przykład dla $T = 2 π$ .

Polecenie 3

Uzasadnij, że $y = \sin 6 x + \sin 4 x$ jest okresowa.

Szukamy takiej liczby $T \neq 0$ , aby dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodził warunek: $\sin (6 (x + T)) + \sin (4 (x + T)) = \sin 6 x + \sin 4 x$ .

$\sin (6 x + 6 t) + \sin (4 x + 4 t) = \sin 6 x + \sin 4 x$ . Dobieramy takie $T \neq 0$ , aby $6 T$ i $4 T$ były wielokrotnościami $2 π$ . Równość zajdzie na przykład dla $T = π$ .

Polecenie 4

Uzasadnij, że $y = \sin (a x) + \sin (b x)$ , gdzie $a$ , $b \in ℕ_{+}$ jest funkcją okresową.

Szukamy takiej liczby $T \neq 0$ , aby dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodził warunek: $\sin (a (x + T)) + \sin (b (x + T)) = \sin (a x) + \sin (b x)$ .

$\sin (a x + a T) + \sin (b x + b T) = \sin a x + \sin b x$ . Dobieramy takie $T \neq 0$ , aby $a T$ i $b T$ były wielokrotnościami $2 π$ . Równość zajdzie dla $T = \frac{2 π}{NWD (a, b)}$ .

Wykres funkcji cosinus

Przejdziemy teraz do konstrukcji wykresu funkcji $y = \cos x$ , gdzie $x \in ℝ$ .

W tym celu wykorzystamy wzór redukcyjny: $\cos x = - \sin (\frac{3 π}{2} - x) = \sin (x - \frac{3 π}{2})$ , który jest prawdziwy dla dowolnej liczby $x \in ℝ$ .

Równość $\cos x = \sin (x - \frac{3 π}{2})$ oznacza, że aby otrzymać wykres funkcji $y = \cos x$ wystarczy przesunąć wykres funkcji $y = \sin x$ o wektor $\vec{w} = [\frac{3 π}{2}, 0]$ .

Zobacz na poniższym rysunku, jak w wyniku przesunięcia z wykresu funkcji $y = \sin x$ powstaje wykres funkcji $y = \cos x$ .

Rn5QsligcHlzx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale 0;3π oraz pionową osią Y w przedziale -1;1 . Na zielono zaznaczony jest na płaszczyźnie wykres funkcji cosinus, a na niebiesko sinus. Na płaszczyźnie zaznaczony jest również poziomy wektor przesunięcia opisany jako w→=3π2,0 i jest on zaczepiony w kilku miejscach wykresów tak, że mamy łącznie pięć takich samych wektorów o różnych punktach zaczepienia. Wektor ten pokazuje, że funkcja sinus przesunięta o 3π2 w prawo, da funkcję cosinus. Najwyżej położony wektor zaczepiony jest w punkcie π2;1, który jest maksimum funkcji sinus. Koniec wektora jest po prawej stronie na maksimum funkcji cosinus w punkcie 2π;1. Kolejne punkty zaczepienia wektora znajdują się również na wykresie funkcji sinus, a ich końce na wykresie funkcji cosinus. Jeden z identycznych wektorów leży także na osi X, pokazując przesunięcie z punktu π;0 należącego do wykresu funkcji sinus do punktu 5π2;0 leżącego na wykresie funkcji cosinus. Ostatni z identycznych wektorów zaczepiony jest w punkcie 3π2;-1, a jego koniec leży w punkcie 3π;-1.

o własnościach funkcji cosinus

Twierdzenie: o własnościach funkcji cosinus

Na podstawie własności funkcji sinus oraz obserwacji wykresu funkcji cosinus możemy opisać wszystkie własności funkcji $y = \cos x$ .

Funkcja cosinus jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = 2 π$ , gdyż dla każdej liczby $x \in ℝ$ zachodzi równość $\cos (x + 2 π) = \cos x$ .

Funkcja cosinus jest funkcją parzystą, gdyż dla każdego $x \in ℝ$ zachodzi równość $\cos (- x) = \cos x$ .

Zbiorem wartości funkcji cosinus jest przedział $⟨- 1, 1⟩$ .

Wartość największą równą $1$ funkcja cosinus osiąga dla argumentów: $x = 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wartość najmniejszą równą $(- 1)$ funkcja osiąga dla argumentów: $x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Miejscami zerowymi funkcji cosinus są argumenty: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $⟨- π + 2 k π, 2 k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja jest malejąca w przedziałach: $⟨2 k π, π + 2 k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji cosinus:

o własnościach geometrycznych wykresu funkcji cosinus

Twierdzenie: o własnościach geometrycznych wykresu funkcji cosinus

1. Osią symetrii wykresu funkcjioś symetrii wykresu funkcjiOsią symetrii wykresu funkcji cosinus jest każda prosta o równaniu $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

2. Środkiem symetrii wykresu funkcjiśrodek symetrii wykresu funkcjiŚrodkiem symetrii wykresu funkcji cosinus jest każdy punkt o współrzędnych $(\frac{π}{2} + k π, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Dowód

1. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującej faktu dotyczącego osi symetrii wykresu funkcji:

Prosta $x = a$ jest osią symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem w przypadku funkcji cosinus chcemy wykazać, że dla dowolnej liczby $x \in ℝ$ zachodzi równość: $\cos x = \cos (2 k π - x)$ .

Najpierw skorzystamy z zależności $\cos (- x) = \cos x$ . Zatem

$\cos (2 k π - x) = \cos (x - 2 k π)$

a następnie wykorzystamy okresowość funkcji cosinus:

$\cos (x - 2 k π) = \cos x$ .

Ostatecznie otrzymujemy:

$\cos (2 k π - x) = \cos (x - 2 k π) = \cos x$ ,

co kończy dowód.

2. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującego warunku istnienia środka symetrii wykresu funkcji:

Punkt o współrzędnych $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość:

$2 b - f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy sprawdzić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość:

$2 \cdot 0 - \cos x = \cos (2 \cdot (\frac{π}{2} + k π) - x)$ .

czyli

$- \cos x = \cos (π + 2 k π - x)$ .

Najpierw skorzystamy z okresowości funkcji cosinus: $\cos (π + 2 k π - x) = \cos (π - x)$ , a następnie ze wzoru redukcyjnego: $\cos (π - x) = - \cos (x)$ .

Zatem mamy:

$\cos (2 \cdot (\frac{π}{2} + k π) - x) = \cos (π + 2 k π - x) = \cos (π - x) = - \cos (x)$ ,

co kończy dowód.

Przykład 5

Podamy okres zasadniczy funkcji:

$y = 3 \cos x$

$y = \cos 4 x$

$y = |\cos x|$

$y = \cos (x + 2)$

Rozwiązanie:

Okresem zasadniczym funkcji $y = 3 \cos x$ jest $T = 2 π$ , gdyż $3 \cos (2 π + x) = 3 \cos x$ .

Okresem zasadniczym funkcji $y = \cos 4 x$ jest $T = \frac{π}{2}$ , gdyż $\cos 4 (\frac{π}{2} + x) = \cos (2 π + 4 x) = \cos 4 x$ .

Okresem zasadniczym funkcji $y = |\cos x|$ jest $T = π$ , gdyż $|\cos (π + x)| = |- \cos x| = |\cos x|$ .

Okresem zasadniczym funkcji $y = \cos (x + 2)$ jest $T = 2 π$ , gdyż $\cos ((2 π + x) + 2) = \cos (2 π + x + 2) = \cos (x + 2)$ .

Przykład 6

Podamy miejsca zerowe funkcji:

$y = 3 \cos x$

$y = \cos 4 x$

$y = |\cos x|$

$y = \cos (x + 2)$

Rozwiązanie:

Równanie $3 \cos x = 0$ ma takie same rozwiązania jak równanie $\cos x = 0$ , a zatem miejscami zerowymi funkcji $y = 3 \cos x$ są: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązaniami równania $\cos 4 x = 0$ są wszystkie liczby $x$ , dla których $4 x = \frac{π}{2} + k π$ , czyli $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Równanie $|\cos x| = 0$ ma takie same rozwiązania jak równanie $\cos x = 0$ , a zatem miejscami zerowymi funkcji $y = |\cos x|$ są: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązaniami równania $\cos (x + 2) = 0$ są wszystkie liczby $x + 2 = \frac{π}{2} + k π$ , czyli $x = \frac{π}{2} - 2 + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 7

Która wartość jest większa: $\cos (- \frac{π}{9})$ czy $\cos \frac{3 π}{28}$ ?

Rozwiązanie:

Korzystając z parzystości funkcji cosinus mamy: $\cos (- \frac{π}{9}) = \cos \frac{π}{9}$ .

Zauważmy, że $\frac{π}{9} \in ⟨0, \frac{π}{2}⟩$ oraz $\frac{3 π}{28} \in ⟨0, \frac{π}{2}⟩$ . Ponadto $\frac{π}{9} > \frac{3 π}{28}$ . Ponieważ funkcja cosinus w przedziale $⟨0, \frac{π}{2}⟩$ jest malejąca, zatem $\cos \frac{π}{9} < \cos \frac{3 π}{28}$ .

Przykład 8

Podamy zbiory wartości funkcji:

$y = 2 \cos (x - 1)$

$y = 3 |\cos (2 x + 1)| + 2$

Rozwiązanie:

Ponieważ liczba $x - 1$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zatem zbiorem wartości funkcji $y = \cos (x - 1)$ jest przedział $⟨- 1, 1⟩$ . Wobec tego zbiorem wartości funkcji $y = 2 \cos (x - 1)$ jest przedział $⟨- 2, 2⟩$ .

Ponieważ liczba $2 x + 1$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zatem zbiorem wartości funkcji $y = \cos (2 x + 1)$ jest przedział $⟨- 1, 1⟩$ . Wobec tego zbiorem wartości funkcji $y = |\cos (2 x + 1)|$ jest przedział $⟨0, 1⟩$ . W konsekwencji zbiorem wartości funkcji $y = 3 |\cos (2 x + 1)| + 2$ jest przedział $⟨2, 5⟩$ .

Już wiesz, że funkcja $y = \cos a x$ , gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą różną od $0$ , jest funkcją okresową. Jej okres zasadniczy jest równy $T = \frac{2 π}{a}$ .

Wynika to z dwóch faktów:

$\cos (a (x + \frac{2 π}{a})) = \cos (a x + 2 π) = \cos a x$ , czyli liczba $\frac{2 π}{a}$ jest okresem funkcji $y = \cos a x$ ,

jeżeli liczba $t$ ma taką własność, że $0 < t < \frac{2 π}{a}$ , to $\cos (a (x + t)) = \cos (a x + a t) \neq \cos a x$ , gdyż okresem zasadniczym funkcji cosinus jest liczba $2 π$ , która jest większa od liczby $a t$ , ponieważ $0 < t < \frac{2 π}{a}$ .

Zatem liczba $T = \frac{2 π}{a}$ jest okresem zasadniczym $y = \cos a x$ .

Polecenie 5

Czy funkcja $y = \cos a x + \cos b x$ jest okresowa, gdzie $a, b \neq 0$ ? Jaki jest jej okres zasadniczy?

Obejrzyj poniższą symulację interaktywną i spróbuj postawić hipotezę dla liczb $a, b \in ℤ$ .

Czy funkcja $y = \cos a x + \cos b x$ jest okresowa, gdzie $a, b \neq 0$ ? Jaki jest jej okres zasadniczy? Spróbuj postawić hipotezę dla liczb $a, b \in ℤ$ .

RlEDDxoesBEF8

RXrnY2ZUVggFQ

Polecenie 6

Uzasadnij, że okresem zasadniczym funkcji $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ jest $T = 2 π$ .

Zauważ, że funkcja $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ dla argumentu $0$ przyjmuje wartość $2$ . Funkcja $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ przyjmuje wartość $2$ tylko wtedy, gdy każda z funkcji $y = \cos 3 x$ i $y = \cos 2 x$ przyjmuje wartość $1$ dla tego samego argumentu.

Funkcja $y = \cos 3 x$ przyjmuje wartość $1$ dla argumentów: $\frac{2 π}{3} k$ , gdzie $k \in ℤ$ . Funkcja $y = \cos 2 x$ przyjmuje wartość $1$ dla argumentów: $\frac{2 π}{2} k$ , gdzie $k \in ℤ$ . Zatem funkcja $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ przyjmuje wartość $2$ dla argumentów $2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Pozostaje sprawdzić, że $T = 2 π$ jest istotnie okresem funkcji $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ .

Polecenie 7

Uzasadnij, że $y = \cos a x + \cos b x$ , gdzie $a, b \in ℕ_{+}$ jest funkcją okresową i podaj jej okres zasadniczy.

Zauważ, że funkcja $y = \cos a x + \cos b x$ dla argumentu $0$ przyjmuje wartość $2$ . Funkcja $y = \cos a x + \cos b x$ przyjmuje wartość $2$ tylko wtedy, gdy każda z funkcji $y = \cos a x$ i $y = \cos b x$ przyjmuje wartość $1$ dla tego samego argumentu.

Okresem zasadniczym funkcji $y = \cos a x + \cos b x$ , gdzie $a, b \in ℕ_{+}$ jest $T = \frac{2 π}{N W D (a, b)}$ .

Funkcja $y = \cos a x$ przyjmuje wartość $1$ dla argumentów: $\frac{2 π}{a} k$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja $y = \cos b x$ przyjmuje wartość $1$ dla argumentów: $\frac{2 π}{b} l$ , gdzie $l \in ℤ$ .
Szukamy teraz najmniejszych dodatnich liczb naturalnych $m$ , $n$ , aby $m \frac{2 π}{a} = n \frac{2 π}{b}$ . Szukamy zatem liczb spełniających równanie: $\frac{m}{n} = \frac{a}{b}$ .
Liczby $m$ , $n$ będą najmniejsze, gdy ułamek $\frac{a}{b}$ sprowadzimy do postaci ułamka nieskracalnego, czyli skrócimy go przez największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ . Wobec tego poszukiwane liczby to: $m = \frac{a}{N W D (a, b)}$ i $n = \frac{b}{N W D (a, b)}$ .
Stąd wynika, że funkcje $y = \cos a x$ i $y = \cos b x$ przyjmują jednocześnie wartość $1$ dla $x = m \frac{2 π}{a} = \frac{a}{N W D (a, b)} \cdot \frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{N W D (a, b)}$ i jest to najmniejszy argument dodatni o tej własności. Zatem wystarczy sprawdzić tylko, że $T = \frac{2 π}{N W D (a, b)}$ jest istotnie okresem zasadniczym funkcji $y = \cos a x + \cos b x$ .

Wykres funkcji tangens

Przechodzimy teraz do narysowania wykresu funkcji $y = tg x$ .

Wykres funkcji $y = tg a$ w przedziale $(0, \frac{π}{2})$

Zaznaczmy w układzie współrzędnych okrąg o promieniu $1$ . Niech będzie to okrąg o równaniu ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ . Jego środkiem jest punkt $C = (- 2, 0)$ . Niech punkt $D$ ma współrzędne $(- 1, 0)$ . Przez punkt $D$ poprowadźmy prostą $m$ prostopadłą do osi $X$ . Jeżeli przez leżący na danym okręgu punkt $A$ oraz przez punkt $C$ poprowadzimy prostą, to przetnie ona prostą $m$ w punkcie $E$ . Niech $a$ oznacza miarę kąta ostrego $D C A$ mierzoną w radianachradianradianach.

Punkt $B$ ma współrzędne $(a, tg a)$ . Prosta przechodząca przez punkt $B$ i prostopadła do osi $X$ przecina tę w punkcie $F = (a, 0)$ .

Zauważamy, że druga współrzędna punktu $E$ to $tg a$ . Zatem odcinki $D E$ i $B F$ mają tę samą długość równą $tg a$ . Ponieważ punkt $B$ ma współrzędne $(a, tg a)$ , a zatem punkt $B$ leży na wykresie funkcji $y = tg a$ . Poruszający się punkt $B$ wyznacza wykres funkcji $y = tg a$ w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

Otwórzmy aplet, aby obserwować całą konstrukcję.

R3TnEwaDwEv2r

Wykres funkcji $y = tg a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

W poprzednim punkcie otrzymaliśmy wykres funkcji $y = tg a$ w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

Teraz skonstruujemy wykres $y = tg a$ dla $a \in (- \frac{π}{2}, 0⟩$ . W tym celu wykorzystamy wzór: $tg (- a) = - tg a$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wzór $tg (- a) = - tg a$ opisuje własność: środkiem symetrii wykresu funkcji $y = tg a$ jest punkt $(0, 0)$ . Oznacza to także, że funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.

R1C2bL5F6LWOV

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale -π2;π2 oraz z pionową osią Y w przedziale -1,6;2, przy czy na osi X współrzędne zaznaczone są co dwie dziesiąte. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens, przy czym jego fragment nad osią X jest koloru niebieskiego, a pod osią X pomarańczowego. Asymptoty pionowe zaznaczone są liniami przerywanymi w punktach granicznych przedziału X

Wykres funkcji $y = tg a$ w całej dziedzinie

Zatem otrzymaliśmy wykres $y = tg a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Chcemy teraz skonstruować wykres funkcji $y = tg a$ dla $a \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . W tym celu skorzystamy z kolejnej własności funkcji tangens: $tg (a + π) = tg a$ , dla $a \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Własność ta oznacza, że wykres funkcji tangens powtarza się co $π$ . Zatem funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ . Zwróćmy uwagę na to, że okres nie może byc mniejszy niż $π$ , gdyż funkcja w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ o długości $π$ jest rosnąca.

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji $y = tg x$ w dziedzinie.

RpHgNH2bY1Khw

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale -3π;4π oraz z pionową osią Y w przedziale -5;5. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens, asymptoty pionowe zaznaczone są liniami przerywanymi

Na podstawie wykresu opiszemy własności funkcji tangens.

o własnościach funkcji tangens

Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens

Opiszmy własności funkcji $y = tg x$ , gdy $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ .
Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.
Miejscami zerowymi funkcji tangens są argumenty: $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja tangens jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja tangens nie jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Wykres funkcji posiada asymptoty pionowe o równaniach: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens

Twierdzenie: o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens

Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji $y = tg x$ .

Środkiem symetrii wykresu funkcjiśrodek symetrii wykresu funkcjiŚrodkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych $(\frac{k π}{2}, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetriioś symetrii wykresu funkcjiosi symetrii.

Dowód

Ad. 1. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującego warunku dotyczącego środka symetrii wykresu funkcji:

Punkt $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $2 b - f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy pokazać, że zachodzi równość:

$2 \cdot 0 - tg x = tg (2 \cdot (\frac{k π}{2}) - x)$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , czyli że

$- tg x = tg (k π - x)$ .

Najpierw skorzystamy z okresowości funkcji tangens: $tg (k π - x) = tg (- x)$ , a następnie z nieparzystości funkcji tangens: $tg (- x) = - tg (x)$ , co kończy dowód.

Ad. 2. Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetrii, gdyż funkcja jest przedziałami rosnąca. Gdyby posiadała oś symetrii, to dla każdego przedziału, w którym funkcja jest rosnąca, istniałby przedział, w którym funkcja jest malejąca.

o okresie zasadniczym funkcji

y = c tg (a x + b)

Twierdzenie: o okresie zasadniczym funkcji

y = c tg (a x + b)

Jeżeli $a, b, c \in ℝ$ i $a > 0$ oraz $c \neq 0$ , to okresem zasadniczym funkcji $y = c tg (a x + b)$ jest $\frac{π}{a}$ .

Dowód

Najpierw wykażemy, że $\frac{π}{a}$ jest okresem funkcji $y = c tg (a x + b)$ .

$c tg (a (x + \frac{π}{a}) + b) = c tg (a x + π + b) = c tg (a x + b)$

Sprawdzimy teraz, że $\frac{π}{a}$ jest okresem zasadniczym.

Przypuśćmy, że istnieje liczba $0 < t < \frac{π}{a}$ , która jest okresem funkcji $y = c tg (a x + b)$ .

Wówczas

$c tg (a (x + t) + b) = c tg (a x + a t + b) \neq c tg (a x + b)$ ,

gdyż $a t < π$ . Sprzeczność.

Przykład 9

Podamy okres zasadniczy funkcji:

$y = 2 tg x$
$y = 2 tg (\frac{1}{2} x + 3)$
$y = |tg (3 - 2 x)|$

Rozwiązanie:

Wykorzystamy twierdzenie o okresie zasadniczym funkcji $y = c tg (a x + b)$ .

Okresem zasadniczym funkcji $y = 2 tg x$ jest $T = π$ .
Okresem zasadniczym funkcji $y = 2 tg (\frac{1}{2} x + 3)$ jest $T = 2 π$ .
Okresem zasadniczym funkcji $y = |tg (3 - 2 x)|$ jest $T = \frac{π}{2}$ .

Przykład 10

Podamy miejsca zerowe funkcji: $y = 2 tg (3 x - 2)$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $y = tg x$ ma miejsca zerowe postaci $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem funkcja $y = 2 tg (3 x - 2)$ ma miejsca zerowe postaci $3 x - 2 = k π$ , czyli $x = \frac{k π}{3} + \frac{2}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 11

Która wartość jest większa: $tg \frac{11 π}{24}$ czy $tg \frac{13 π}{27}$ ?

Rozwiązanie:

Ponieważ $\frac{11 π}{24} \in (0, \frac{π}{2})$ i $\frac{13 π}{27} \in (0, \frac{π}{2})$ , to z faktu, że $\frac{11 π}{24} < \frac{13 π}{27}$ i tego, że funkcja tangens w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ jest rosnąca wynika, że $tg \frac{11 π}{24} < tg \frac{13 π}{27}$ .

Przykład 12

Dla jakich wartości liczb ujemnych $a, b, c$ funkcja $y = a tg (b x + c)$ ma okres zasadniczy równy $4 π$ .

Rozwiązanie:

Zapiszmy funkcję w postaci $y = - a tg (- b x - c)$ . Skorzystamy z twierdzenia o okresie zasadniczym funkcji tangens. Na podstawie twierdzenia stwierdzamy, że okresem zasadniczm naszej funkcji jest $\frac{π}{- b}$ .

Z warunków zadania otrzymujemy: $\frac{π}{- b} = 4 π$ , czyli $b = - \frac{1}{4}$ , a $a$ i $c$ są dowolnymi liczbami ujemnymi.

Polecenie 8

Spróbujemy narysować teraz wykres funkcji $y = ctg x$ (czytamy: kotangens), którą możemy opisać jako: $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ . Zatem $ctg x = \frac{1}{tg x}$ , dla $x \neq \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ . Z tej własności będziemy korzystać w toku dalszej pracy.

Wykres funkcji cotangens w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

Symulacja interaktywna przedstawia sposób powstawania wykresu funkcji $y = ctg x$ w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

Zaznaczmy w układzie współrzędnych okrąg o promieniu $1$ . Niech będzie to okrąg o równaniu ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ . Jego środkiem jest punkt $C = (- 3, 0)$ .
Przez leżący na danym okręgu punkt $A$ oraz punkt $C$ prowadzimy prostą, która przecina prostą o równaniu $y = 1$ w punkcie $D$ . Niech $a$ oznacza miarę kąta ostrego $E C D$ mierzoną w radianach.

Punkt $B$ ma współrzędne $(a, ctg a)$ . Prosta przechodząca przez punkt $B$ i prostopadła do osi $X$ przecina ją w punkcie $F = (a, 0)$ .

Ponieważ odcinek $D E$ ma długość $1$ , zatem odcinek $C E$ ma długość $ctg a$ , za pomocą podanej konstrukcji otrzymujemy wykres funkcji $y = ctg a$ przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

RD5TqIiLYPC8K

Polecenie 9

Narysuj wykres funkcji cotangens w przedziale $(\frac{π}{2}, π)$ .

Opisz, jak będzie wyglądał wykres funkcji cotangens w przedziale $(\frac{π}{2}, π)$ .

W powyższej konstrukcji zastosowaliśmy miarę kąta z przedziału $(0, \frac{π}{2})$ . Zatem w tym przedziale otrzymaliśmy wykres funkcji $y = ctg a$ .

Teraz skonstruujemy wykres $y = ctg a$ dla $a \in (\frac{π}{2}, π)$ .

Wykorzystamy wzór redukcyjny dla funkcji tangens: $tg (π - a) = - tg a$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Stąd wynika, że $ctg (π - a) = - ctg a$ . Zależność ta opisuje własność: środkiem symetrii wykresu funkcji $y = ctg a$ jest punkt $(\frac{π}{2}, 0)$ .

Efekty tej symetrii obserwujemy na rysunku.

R1OWFGlbxDM6v

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale 0;π oraz z pionową osią Y w przedziale -1,6;2, przy czym współrzędne zaznaczone są co dwie dziesiąte. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji cotangens oraz asymptota pionowa zaznaczona linią przerywaną o równaniu x=π. Wykres ten ma wartości dodatnie na przedziale 0;π2 i ujemne dla argumentów w przedziale π2;π.

Pozostaje jeszcze zauważyć, że dla argumenu $\frac{k π}{2}$ funkcja cotangens przyjmuje wartość $0$ .

Polecenie 10

Narysuj wykres funkcji cotangens w dziedzinie.

Opisz, jak będzie wyglądał wykres funkcji cotangens w dziedzinie.

Zauważmy, że funkcja $y = ctg x$ dla argumentu $\frac{π}{2}$ przyjmuje wartość 0.

Gdy mamy wykres funkcji $y = ctg a$ w przedziale $(0, π)$ , będziemy teraz konstruować wykres funkcji $y = ctg a$ dla $a \neq k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . W tym celu skorzystamy z kolejnej własności funkcji tangens: $tg (a + π) = tg a$ , czyli $\frac{1}{tg (a + π)} = \frac{1}{tg a}$ . Własność ta oznacza, że wykres funkcji cotangens powtarza się co $π$ . Zatem funkcja cotangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ . Poniżej został przedstawiony wykres funkcji $y = ctg x$ .

R1J4QJuw66Yen

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale -3π;4π oraz z pionową osią w przedziale -5;5. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji cotangens oraz asymptoty pionowe zaznaczone linią przerywaną.

Polecenie 11

Na podstawie wykresu opisz własności funkcji $y = ctg x$ , gdy $x \neq k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja cotangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ .
Funkcja cotangens jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja cotangens nie ma wartości największej. Funkcja cotangens nie ma wartości najmniejszej.
Miejscami zerowymi są argumenty: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja jest malejącą w każdym z przedziałów: $(k π, π + k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja cotangens nie jest malejąca w swojej dziedzinie.

Polecenie 12

Wskaż środki symetrii i osie symetrii wykresu funkcji $y = ctg x$ .

Środkiem symetrii wykresu jest każdy punkt o współrzędnych $(\frac{k π}{2}, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Wykres funkcji cotangens nie posiada osi symetrii.

R1V6nXIF7TSf21

Ćwiczenie 1

RPzjQ6uNxr8sS1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary funkcję i jej miejsca zerowe y, równa się, sinus trzy x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, dwa sinus x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, trzy sinus dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite

R14nhTXE0LyQK2

Ćwiczenie 3

R1W3ZPaboQYyN2

Ćwiczenie 4

RyuMjD5eoU1tJ2

Ćwiczenie 5

RDyywgJcLtUNE2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, że osią symetrii wykresu $y = 4 \sin (1 - 3 x) + 1$ jest prosta o równaniu $x = \frac{1}{3} - \frac{π}{2}$ .

Prosta $x = a$ jest osią symetrii wykres funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy sprawdzić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość: $4 \sin (1 - 3 x) + 1 = 4 \sin (1 - 3 (2 (\frac{1}{3} - \frac{π}{2}) - x)) + 1$ .

$4 \sin (1 - 3 (2 (\frac{1}{3} - \frac{π}{2}) - x)) =$
$= 4 \sin (1 - 3 (\frac{2}{3} - π - x)) =$
$= 4 \sin (- 1 + 3 π + 3 x) =$
$= - 4 \sin (- 1 + 3 x) = 4 \sin (1 - 3 x)$

Ćwiczenie 8

Uzasadnij, że środkiem symetrii wykresu $y = \sin (2 x - 1)$ jest punkt $(\frac{2 π + 1}{2}, 0)$ .

Punkt $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $2 b - f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy sprawdzić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość: $2 \cdot 0 - \sin (2 x - 1) = \sin (2 (2 \cdot \frac{2 π + 1}{2} - x) - 1)$ .

$\sin (2 (2 \cdot \frac{2 π + 1}{2} - x) - 1) =$
$= \sin (2 (2 π + 1 - x) - 1) =$
$= \sin (4 π + 2 - 2 x - 1) =$
$= \sin (4 π + 1 - 2 x) = \sin (1 - 2 x) =$
$= - \sin (2 x - 1)$ .

RuqoVPbyqZN9v1

Ćwiczenie 9

RmswTjxxEpyde1

Ćwiczenie 10

Połącz w pary funkcję i zbiór jej miejsc zerowych. y, równa się, kosinus dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, trzy, wartość bezwzględna z, kosinus x, koniec wartości bezwzględnej Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, minus, dwa kosinus trzy x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, cztery x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite

R1TdgRO8JQHdN2

Ćwiczenie 11

RJs4DnjOo9SIR2

Ćwiczenie 12

R1cXNv99eT7VR2

Ćwiczenie 13

Połącz w pary funkcję i jej zbiór wartości. y, równa się, kosinus nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry jeden, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego y, równa się, wartość bezwzględna z, kosinus trzy x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry jeden, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, kosinus nawias trzy x zamknięcie nawiasu, minus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry jeden, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego y, równa się, dwa kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry jeden, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego

R15aLnXo16L0y2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Uzasadnij, że prosta o równaniu $x = \frac{3}{2} + π$ jest osią symetrii wykresu $y = 5 \cos (3 - x) - 2$ .

Prosta $x = a$ jest osią symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy sprawdzić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość: $5 \cos (3 - x) - 2 = 5 \cos (2 (\frac{3}{2} + π) - x) - 2$ .

$5 \cos (2 (\frac{3}{2} + π) - x) - 2 = 5 \cos (3 + 2 π - x) - 2 = 5 \cos (3 - x) - 2$ .

Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że punkt o współrzędnych $(\frac{5 π}{18}, 1)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = \cos (3 x - \frac{π}{3}) + 1$ .

Punkt o współrzędnych $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $2 b - f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy sprawdzić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość: $2 \cdot 1 - \cos (3 x - \frac{π}{3}) - 1 = \cos (3 (2 \cdot \frac{5 π}{18} - x) - \frac{π}{3}) + 1$ .

$\cos (3 (2 \cdot \frac{5 π}{18} - x) - \frac{π}{3}) + 1 = \cos (\frac{5 π}{3} - 3 x - \frac{π}{3}) + 1$

$\cos (\frac{4 π}{3} - 3 x) + 1 = \cos (π - (3 x - \frac{π}{3})) + 1$

$- \cos (3 x - \frac{π}{3}) + 1 = 2 - \cos (3 x - \frac{π}{3}) - 1$

co należało wykazać.

RwVIALNgAyL8K1

Ćwiczenie 17

Rtpfp2Vt0uNTf1

Ćwiczenie 18

Połącz w pary funkcję i zbiór jej miejsc zerowych. y, równa się, tangens dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, trzy tangens nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, minus, dwa tangens nawias, trzy x, minus, PI, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite y, równa się, tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, cztery x Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. początek ułamka, k PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite

R1OcNwqtOzQRY2

Ćwiczenie 19

Rif7D2X1OWTUD2

Ćwiczenie 20

R1Q0pjhA9BDUq2

Ćwiczenie 21

RKRuh2SjnUUcm2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Uzasadnij, że punkt $(- \frac{2 π}{5}, 1)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = 2 tg (2 x - \frac{π}{5}) + 1$ .

Punkt $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $2 b - f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy sprawdzić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ z dziedziny zachodzi równość:

$2 \cdot 1 - 2 tg (2 x - \frac{π}{5}) - 1 = 2 tg (2 (- \frac{4 π}{5} - x) - \frac{π}{5}) + 1$ ,

$1 - 2 tg (2 x - \frac{π}{5}) = 2 tg (- \frac{8 π}{5} - 2 x - \frac{π}{5}) + 1$

$- 2 tg (2 x - \frac{π}{5}) = 2 tg (2 π - \frac{9 π}{5} - 2 x)$ ,

$- 2 tg (2 x - \frac{π}{5}) = 2 tg (\frac{π}{5} - 2 x)$ ,

co należało wykazać.

Ćwiczenie 24

Podaj przedziały monotoniczności funkcji $y = - ctg 2 x + 1$ .

Funkcja jest rosnąca w każdym przedziale $(\frac{k π}{2}, \frac{(k + 1) π}{2})$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Słownik

oś symetrii wykresu

prosta $k$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$ wtedy, gdy obrazem wykresu funkcji $f$ w symetrii osiowej względm prostej $k$ jest ten sam wykres

radian

jednostka miary łukowej kąta środkowego $α$ wyrażająca stosunek długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu, dla którego kąt $α$ jest kątem środkowym; związek pomiędzy miarą stopniową a łukową wyraża się wzorem

α [°] = \frac{α \cdot π}{180} = [radian]

środek symetrii wykresu

punkt $A$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $f$ wtedy, gdy obrazem wykresu funkcji $f$ w symetrii środkowej względm punktu $A$ jest ten sam wykres

oś symetrii wykresu funkcji

prosta $x = a$ jest osią symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $f (x) = f (2 a - x)$

środek symetrii wykresu funkcji

punkt o współrzędnych $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $2 b - f (x) = f (2 a - x)$

1. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

3. Przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych