• Nauczysz się przekształcać wykresy funkcji trygonometrycznych.

• Nauczysz się, jak z wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ otrzymać wykresy funkcji: $y=af\left(x\right)$ oraz $y=f\left(ax\right)$.

Wykres funkcji $y=-f\left(x\right)$ otrzymujemy przez przekształcenie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ w symetrii względem osi $X$.

Narysujemy wykres funkcji $y=-\cos x$.

Przekształcamy wykres funkcji $y=\cos x$ w symetrii względem osi $X$ i otrzymujemy wykres funkcji $y=-\cos x$.

Rm9EPCbPCBp35

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ w przedziale $\left(-2\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right)$ z pionową osią $Y$ w przedziale $\left(-2;2\right)$ . Na płaszczyźnie narysowana jest kosinusoida oraz funkcja $y=-\cos x$, która jest kosinusoidą przekręconą względem osi $X$ o $180$ stopni. Funkcja ta ma zachowane te same miejsca zerowe, jednak wszystkie wartości obu funkcji są liczbami przeciwnymi (przypomnijmy, że zero jest liczbą przeciwną same dla siebie). Na przykład dla argumentu $0$ funkcja kosinus przyjmuje wartość $1$, a funkcja minus kosinus wartość $-1$ i tak dalej.

Wykres funkcji $y=f\left(-x\right)$ otrzymujemy przez przekształcenie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ w symetrii względem osi $Y$.

Narysujemy wykres funkcji $y=\sin \left(-x\right)$.

Przekształcamy wykres funkcji $y=\sin x$ w symetrii względem osi $Y$ i otrzymujemy wykres funkcji $y=\sin \left(-x\right)$.

Ro5mxNaSv1d50

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

Wykres funkcji $y=f\left(x-p\right)+q$ otrzymujemy przez przekształcenie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ w translacji o wektor $\left[p,q\right]$.

Narysujemy wykres funkcji $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{2}$.

Przekształcamy wykres funkcji $y=\sin x$ w translacji o wektor $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{1}{2}\right]$ i otrzymujemy wykres funkcji $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{2}$.

R14PsPVgLwzet

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ w przedziale $\left(-\frac{3\mathrm{\pi }}{2};\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)$ oraz z  pionową osią $Y$ w przedziale $\left(-1;2\right)$. Na płaszczyźnie narysowana jest sinusoida oraz funkcja $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{2}$, która przesunięta jest o wektor $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{3};\frac{1}{2}\right]$. Wektor ten przedstawiono na rysunku, zaczepiając go w początku układu współrzędnych.

Aby narysować wykres funkcji $y=\left|f\left(x\right)\right|$, wykonujemy następujące czynności:

1. rysujemy wykres funkcji $y=f\left(x\right)$,

2. punkty wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$, znajdujące się pod osią $X$, odbijamy symetryczne względem osi $X$,

3. punkty wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$, znajdujące się nad osią $X$ i na osi $X$ pozostawiamy bez zmian.

Narysujemy wykres funkcji $y=\left|\mathrm{tg}x\right|$.

Przekształcamy wykres funkcji $y=\mathrm{tg}x$ w symetrii częściowej względem osi $X$symetria częściowa względem osi Xsymetrii częściowej względem osi $X$ i otrzymujemy wykres funkcji $y=\left|\mathrm{tg}x\right|$.

R1B0eDRsaKUSJ

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ w przedziale $\left(-2\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right)$ oraz z  pionową osią $Y$ w przedziale $\left(-3;3\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens $x$.

ROSvKyzOeqFry

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ > w przedziale $\left(-2\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right)$ oraz z  pionową osią $Y$ w przedziale $\left(-3;3\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji $y=\left|\mathrm{tg}x\right|$. Oznacza to, że wykres został odbity względem osi $X$ i funkcja posiada tylko wartości nieujemne.

Aby narysować wykres funkcji $y=f\left(\left|x\right|\right)$, wykonujemy następujące czynności:

1. rysujemy wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, ograniczając się tylko do tych części wykresu, dla których $x\ge 0$ (części wykresu leżące w $\text{I}$ i $\text{IV}$ ćwiartce układu współrzędnych i na osi $Y$),

2. odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ dla $x\ge 0$ i otrzymujemy część wykresu dla $x<0$.

3. Wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ jest sumą dwóch, powyżej skonstruowanych wykresów funkcji.

Narysujemy wykres funkcji $y=\mathrm{tg}\left|x\right|$.

Przekształcamy wykres funkcji $y=\mathrm{tg}x$ w symetrii częściowej względem osi $Y$symetria częściowa względem osi Ysymetrii częściowej względem osi $Y$ i otrzymujemy wykres funkcji $y=\mathrm{tg}\left|x\right|$.

R1B0eDRsaKUSJ

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ w przedziale $\left(-2\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right)$ oraz z  pionową osią $Y$ w przedziale $\left(-3;3\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens $x$.

R1TDQJIP9iaxy

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ w przedziale $\left(-2\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right)$ oraz z  pionową osią $Y$ w przedziale $\left(-3;3\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji $y=\mathrm{tg}\left|x\right|$. Oznacza to, że wykres został odbity względem osi $Y$.

Opiszemy przekształcenia, jakie należy wykonać, aby z wykresu funkcji $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ otrzymać wykres funkcji $y=\left|\cos \left(\left|x+\frac{3\pi }{4}\right|\right)-\frac{1}{2}\right|$.

Rozwiązanie

Najpierw zmienimy we wzorze funkcji $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ funkcję sinus na cosinus za pomocą wzorów redukcyjnych:

$\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)=\cos \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)$

Następnie wykonamy przesunięcie wykresu funkcji $y=\cos \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)$ o wektor $\left[-\frac{2\pi }{3},0\right]$ i otrzymamy wykres $y=\cos \left(x\right)$.

Kolejnym przekształceniem będzie symetria częściowa względem osi $Y$, której efektem będzie wykres funkcji : $y=\cos \left(\left|x\right|\right)$.

Przekształcamy wykres $y=\cos \left(\left|x\right|\right)$ w translacji wektor $\left[-\frac{3\pi }{4},-\frac{1}{2}\right]$ i otrzymujemy wykres funkcji $y=\cos \left(\left|x+\frac{3\pi }{4}\right|\right)-\frac{1}{2}$.

Ostatnim przekształceniem będzie symetria częściowa względem osi $X$, dzięki czemu otrzymamy szukany wykres $y=\left|\cos \left(\left|x+\frac{3\pi }{4}\right|\right)-\frac{1}{2}\right|$.

przekształcenie, za pomocą którego z wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ otrzymujemy wykres funkcji $y=\left|f\left(x\right)\right|$

przekształcenie, za pomocą którego z wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ otrzymujemy wykres funkcji $y=f\left(\left|x\right|\right)$