2. Pole trójkąta

RiQDbNrMsPCdr

W materiale przedstawimy różne sposoby obliczania pola trójkąta. Wskażemy, że dobór właściwego wzoru na pole trójkąta ma ogromy wpływ na trudność rozwiązania. Zasygnalizujemy również związek między polem trójkąta a promieniami okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt.

Twoje cele

Zastosujesz najważniejsze wzory na pole trójkąta.
Dobierzesz wzór do danych zawartych w zadaniu.
Wykorzystasz fakt, że bez względu na wykorzystany wzór, pole trójkąta jest wartością stałą.

Pole trójkąta możemy obliczyć za pomocą szeregu dostępnych wzorów. Wybór wzoru jest uzależniony od danych zawartych w zadaniu.

R19ZnAEv9IMLX

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C z zaznaczonymi kątami alfa, beta oraz gamma, kąt alfa znajduje się przy wierzchołu A, kąt beta przy wierzchołku B, natomiast kąt gamma przy wierzchołku C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość A F o długości h indeks dolny a koniec indeksu. Odcinek F C ma długość a. Z wierzchołka B upuszczono wysokość B D o długości h indeks dolny b koniec indeksu. Odcinek D C ma długość c. Z wierzchołka C upuszczono wysokość C E o długość h indeks dolny c koniec indeksu. Odcinek A E ma długość c.

W przypadku, gdy dysponujemy długością boku trójkąta oraz długością wysokościwysokość trójkątawysokości opuszczonej na ten bok, to możemy wykorzystać bardzo dobrze znany wzór:

P = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}

Oczywiście wzór ten możemy zastosować dla innych boków trójkąta, bowiem:

P = \frac{1}{2} a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} c \cdot h_{c}

Zauważmy, że z definicji funkcji sinus mamy $\sin α = \frac{h_{b}}{c}$ , a stąd po przekształceniu $h_{b} = c \cdot \sin α$ . Zatem wzór na pole trójkąta możemy zapisać jako

P = \frac{1}{2} h_{b} \cdot b = \frac{1}{2} b c \sin α

Naturalnie, możemy to uczynić dla każdego z kątów.

P = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin γ = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin β = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin α

Skorzystajmy ze wzoru $P = \frac{1}{2} a b \sin α$ , gdzie $α$ jest kątem leżącym między bokami $a$ i $b$ , naprzeciw boku $c$ . Z twierdzenia sinusów wynika, że $\sin α = \frac{c}{2 R}$ , zatem

$P = \frac{1}{2} a b \sin α = \frac{1}{2} a b \frac{c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R}$ .

Daje to nam kolejny wzór na pole trójkąta

P = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 R}

Przyjrzyjmy się teraz sytuacji, gdy dany mamy promień okręgu wpisanego w trójkąt i długości jego boków.

R16WKL3lplO9S

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. W trójkąt wpisano okrąg ośrodku O. Bok AB podpisano literą a. Bok BC podpisano literą b. Bok AC podpisano literą c. Z punktu O poprowadzono odcinki łączące środek okręgu z wierzchołkami trójkąta. Ze środka okręgu poprowadzono odcinki na każdy z boków trójkąta, odcinki te podpisano literą r.

Jeżeli w trójkącie $A B C$ poprowadzimy odcinki łączące wierzchołki ze środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, to otrzymamy trzy mniejsze trójkąty: $A B O$ , $B C O$ , $C A O$ . Łatwo zauważyć, że wysokość każdego z nich jest równa długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Sumując pola trzech powstałych trójkątów, otrzymujemy pole trójkąta $A B C$ :

$P_{△ A B C} = P_{△ A B O} + P_{△ B C O} + P_{△ C A O} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = r \cdot \frac{1}{2} \cdot (a + b + c) = r p$ ,

gdzie $p$ oznacza połowę obwodu trójkąta: $p = \frac{a + b + c}{2}$ ,

Tym samym otrzymaliśmy jeszcze jeden wzór na pole trójkąta.

P = \frac{1}{2} r (a + b + c) = p r

Ważne!

Pole trójkąta możemy obliczyć korzystając ze wzoru Herona:

P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

gdzie $p = \frac{a + b + c}{2}$ oraz $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta. Dowód na prawdziwość tego wzoru znajdziesz w kolejnym materiale.

Przykład 1

Rozważmy trójkąt taki, jak na rysunku,

R19V7kyiM3L02

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka B upuszczono wysokość trójkąta B D o długości cztery pierwiastki z trzech. Odcinek A B ma długość osiem, natomiast odcinek C D ma długość jedenaście przecinek pięć.

gdzie kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $60 °$ . Niestety żaden z zaproponowanych wzorów nie pozwala na obliczenie pola trójkąta $A B C$ w bezpośredni sposób. Zauważmy jednak, że pole trójkąta $A B C$ jest równe sumie pól trójkątów $A B D$ oraz $B C D$ .

Obliczmy zatem pole trójkąta $A B D$ .

R18PIBfPGg1CK

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B D. odcinek A B ma długość osiem, natomiast odcinek B D ma odcinek cztery pierwiastki z trzech. Na rysunku zaznaczono również dwa kąty, kąt 60 stopni przy wierzchołku A oraz kąt 30 stopni przy wierzchołku B.

Wiemy, że kąt $A B D$ ma miarę $30 °$ , bowiem suma kątów w trójkącie wynosi $180 °$ . Możemy teraz łatwo obliczyć pole trójkąta $A B D$ korzystając ze wzoru

$P = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin γ$ .

Podstawiamy dostępne wartości i dostajemy

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{3} \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 8 \sqrt{3}$ .

Z kolei do obliczenia pola trójkąta $B D C$ możemy wykorzystać podstawowy, znany ze szkoły podstawowej wzór

$P = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}$

bowiem bok $B D$ jest wysokością opuszczoną na bok $C D$ . Mamy zatem

$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 11, 5 = 23 \sqrt{3}$ .

Ostatecznie pole trójkąta $A B C$ wynosi $P = 23 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} = 31 \sqrt{3}$ .

Uwaga!

Do obliczenia pola trójkąta $A B D$ można było również wykorzystać podstawowy wzór, jednak niezbędne byłoby wyznaczenie długości odcinka $A D$ ze wzoru Pitagorasa.

Przykład 2

Rozważmy sytuację przedstawioną na rysunku.

R1UZGbWJ7MslO

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Wewnątrz odcinka A B zaznaczono punkt E w taki sposób, że odcinek A E ma długość sześć natomiast odcinek E B ma długość dziewięć. Na odcinku A C zaznaczono punkt D w taki sposób, że odcinek A D ma długość sześć, natomiast odcinek D C ma długość cztery. Na odcinku B C zaznaczono punkt F w taki sposób, że odcinek F B ma długość pięć natomiast podcinek C F ma długość dziesięć. Powstał trójkąt D E F, w którym odcinek D E ma długość siedem, odcinek E F ma długość sześć oraz odcinek D F ma długość dziewięć przecinek pięć.

Naszym celem jest obliczenie pól wszystkich widocznych na rysunku trójkątów i wskazanie trójkąta o największym polu (trójkąta $A B C$ nie bierzemy pod uwagę). Zauważmy, że dysponujemy długościami wszystkich boków, nie posiadamy jednak informacji o żadnym z kątów. Możemy co prawda wyznaczyć wartości miar poszczególnych kątów korzystając chociażby z twierdzenia cosinusów, jednak w tym przypadku mniej pracochłonne wydaje się zastosowanie wzoru Herona.

Zanim zastosujemy wzór Herona udowodnimy, że możemy go wyrazić w nieco innej postaci. Oznaczmy:

$a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta,

$p$ – połowa obwodu trójkąta.

Wówczas

$P = \frac{\sqrt{(a + b + c) \cdot (a + b - c) \cdot (a - b + c) \cdot (b + c - a)}}{4}$ .

Rzeczywiście

$P = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} =$

$= \sqrt{\frac{a + b + c}{2} (\frac{a + b + c}{2} - a) (\frac{a + b + c}{2} - b) (\frac{a + b + c}{2} - c)}$

po sprowadzeniu wyrażeń w poszczególnych nawiasach do wspólnego mianownika otrzymujemy

$P = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} (\frac{a + b + c - 2 a}{2}) (\frac{a + b + c - 2 b}{2}) (\frac{a + b + c - 2 c}{2})} =$

$= \sqrt{\frac{a + b + c}{2} (\frac{b + c - a}{2}) (\frac{a + c - b}{2}) (\frac{a + b - c}{2})} =$ $\sqrt{\frac{(a + b + c) \cdot (b + c - a) \cdot (a + c - b) \cdot (a + b - c)}{16}} =$

$= \frac{\sqrt{(a + b + c) \cdot (b + c - a) \cdot (a + c - b) \cdot (a + b - c)}}{4}$ .

W przypadku trójkąta $A D E$ mamy zatem

$P = \frac{\sqrt{(6 + 6 + 7) \cdot (6 + 7 - 6) \cdot (6 + 7 - 6) \cdot (6 + 6 - 7)}}{4} = \frac{\sqrt{19 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 5}}{4} = \frac{\sqrt{4655}}{4}$ .

Dla trójkąta $C D F$ pole wynosi

$P = \frac{\sqrt{23, 5 \cdot 4, 5 \cdot 3, 5 \cdot 15, 5}}{4} = \frac{\sqrt{5736, 9375}}{4}$ .

W trójkącie $B E F$ pole wynosi

$P = \frac{\sqrt{20 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 8}}{4} = \frac{\sqrt{3200}}{4} = \frac{40 \sqrt{2}}{4} = 10 \sqrt{2}$ .

I ostatecznie w trójkącie $D E F$ obliczamy pole z tego samego wzoru

$P = \frac{\sqrt{22, 5 \cdot 3, 5 \cdot 10, 5 \cdot 8, 5}}{4} = \frac{\sqrt{7028, 4375}}{4}$ .

Wynika stąd, że największe pole ma trójkąt $D E F$ . Aby się upewnić możemy skorzystać z kalkulatora.

Przykład 3

R143mwiWxDs26

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, gdzie odcinek A B ma długość c, odcinek B C ma długość a, natomiast odcinek A C ma długość b równą dziesięć. Na rysunku zaznaczono również kąty, przy wierzchołku A kąt 30 stopni oraz przy wierzchołku C kąt 45 stopni.

Dla trójkąta przedstawionego na rysunku wyznaczymy długości promienia okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt.

Na początku wykorzystamy twierdzenie sinusów w celu wyznaczenia długości boku $a$ . Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180 °$ , stąd otrzymujemy, że $∢ A B C = 180 ° - 75 ° = 105 °$ . Mamy zatem

$\frac{a}{\sin 30 °} = \frac{10}{\sin 105 °}$ .

Stąd

$a \cdot \sin 105 ° = 10 \cdot \sin 30 °$ .

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla $\sin 105 °$ , zatem $\sin 105 ° = \sin (180 ° - 75 °) = \sin 75 °$ .

Następnie ze wzoru na sumę kątów funkcji sinus otrzymujemy

$\sin 75 ° = \sin (30 ° + 45 °) = \sin 30 ° \cos 45 ° + \cos 30 ° \sin 45 ° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Po podstawieniu wartości sinusów dla odpowiednich kątów mamy

$a \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 5$

stąd

$a = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

Ostatecznie

$P = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin 45 ° = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{12} - 2}{2} = 25 \cdot \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} =$

$= 25 (\sqrt{3} - 1)$ .

Obliczymy długość boku $c$ korzystając z twierdzenia sinusów:

$\frac{b}{\sin 105 °} = \frac{c}{\sin 45 °}$

$\frac{10}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

$c = 10 \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot (\sqrt{3} - 1)$ .

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącieokrąg opisany na trójkącieokręgu opisanego na tym trójkącie.

W tym celu skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta zawierającego promień okręgu opisanego na danym trójkącie, czyli

$P = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 R}$ .

Po podstawieniu dostępnych danych otrzymujemy równanie

$25 (\sqrt{3} - 1) = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 10 \cdot 10 (\sqrt{3} - 1)}{4 R}$ ,

z którego wyliczamy nieznaną wartość $R$ . Mamy zatem

$4 R \cdot 25 (\sqrt{3} - 1) = 500 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} - 1)$ ,

skąd

$R = 5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

Obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkątokrąg wpisany w trójkątokręgu wpisanego w ten trójkąt.

Podobnie jak poprzednio wykorzystamy odpowiednią wersję wzoru na pole trójkąta zawierającą informacje o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt, czyli

$P = \frac{1}{2} r (a + b + c)$ .

Po podstawieniu dostępnych danych otrzymujemy równanie

$25 (\sqrt{3} - 1) = \frac{1}{2} r (5 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 10 + 10 (\sqrt{3} - 1))$ .

Po uproszczeniu możemy to równanie wyrazić jako

$50 (\sqrt{3} - 1) = r (5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 10 \sqrt{3})$ .

Stąd

$r = \frac{50 (\sqrt{3} - 1)}{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})} = \frac{10 (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{6} - \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}} = \frac{10 (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})} =$

$= \frac{10 (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{6 + \sqrt{12} - 2 \sqrt{18} - \sqrt{12} - 2 + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{18} + 2 \sqrt{6} - 12} = \frac{10 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 6 - \sqrt{6} - \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{4 \sqrt{6} - 8} =$

$= \frac{10 (2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} - 6)}{4 \sqrt{6} - 8} = \frac{20 (\sqrt{2} + \sqrt{3} - 3)}{4 (\sqrt{6} - 2)} = \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{3} - 3)}{\sqrt{6} - 2} \cdot \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} + 2} =$

$= \frac{5 (\sqrt{12} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{18} + 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6} - 6)}{6 - 4} = \frac{5 (\sqrt{4 \cdot 3} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{9 \cdot 2} + 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6} - 6)}{2} =$

$= \frac{5 (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6} - 6)}{2} = \frac{5 (4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6} - 6)}{2}$ .

Przykład 4

Dany jest trójkąt $A B C$ , w którym $|A C| = 17$ i $|B C| = 12$ . Na boku $A B$ leży punkt $D$ taki, że $|A D| : |D B| = 1 : 4$ oraz $|D C| = 12$ . Obliczymy pole trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Stworzymy odpowiedni rysunek.

RF13qzLDCD2cE

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, gdzie odcinek A C ma długość 17, natomiast odcinek C B ma długość dwanaście. Z wierzchołka C na podstawę A B upuszczono wysokość C E o długości h oraz odcinek C D o długości dwanaście. Odcinek A D ma długość x, odcinek D E ma długość dwa x, natomiast odcinek E B ma długość dwa x.

Z podanego stosunku w treści zadania wiemy, że istnieje taka liczba $x$ , że $|A D| = x$ oraz $|D B| = 4 x$ . Zauważmy, że trójkąt $D B C$ jest równoramienny zatem wysokość podzieli odcinek $D B$ równo na połowę. Oznaczymy spodek wysokości literą $E$ . Zatem $|D E| = |E B| = 2 x$ .

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $D E C$ oraz $A E C$ . Otrzymujemy wówczas

$h^{2} + 4 x^{2} = 144$ oraz $h^{2} + 9 x^{2} = 289$ .

Przekształcamy obydwa równania

$h^{2} = 144 - 4 x^{2}$ oraz $h^{2} = 289 - 9 x^{2}$ .

Stąd otrzymujemy, że

$144 - 4 x^{2} = 289 - 9 x^{2}$ ,

$5 x^{2} = 145$ ,

$x^{2} = 29$ ,

$x^{} = \sqrt{29}$ .

Wyznaczymy długość podstawy $|A B| = 5 x = 5 \sqrt{29}$ oraz wysokość $h^{} = \sqrt{144 - 4 \cdot 29} = \sqrt{144 - 116} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ .

Zatem $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{29} \cdot 2 \sqrt{7} = 5 \sqrt{203}$ .

Przykład 5

W trójkąt prostokątny wpisano okrąg. Punkt styczności dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości $x$ oraz $y$ . Wykaż, że pole trójkąta jest równe $x y$ .

Rozwiązanie

Na podstawie treści zadania stworzymy odpowiedni rysunek.

R1M1oyRp78yyU

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Wewnątrz trójkąta wpisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu r, styczny do odcinka A C w punkcie F, do odcinka C B w punkcie D oraz do odcinka A B w punkcie E. Punkt D dzieli odcinek C B na dwie części, pierwsza C D o długości x oraz druga D B o długości y. Wewnątrz trójkąta powstał kwadrat A E O F o długości ścian r.

Z podobieństwa trójkątów $C F O$ oraz $C O D$ wynika, że $|C F| = x$ . Podobnie z podobieństwa trójkątów $E B O$ oraz $B D O$ wynika, że $|E B| = y$ . Zatem $|A C| = x + r$ oraz $|A B| = y + r$ .

Możemy zapisać pole trójkąta jako $P = \frac{1}{2} \cdot (x + r) \cdot (y + r)$ oraz $P = p r = (x + y + r) \cdot r$ .

Przyrównujemy otrzymane wyrażenia i dostajemy w ten sposób równanie $(x + y + r) \cdot r = \frac{1}{2} \cdot (x + r) \cdot (y + r)$ .

Przekształcamy je w następujący sposób

$2 x r + 2 y r + 2 r^{2} = x y + x r + y r + r^{2}$ ,

$x r + y r + r^{2} = x y$ ,

$(x + y + r) \cdot r = x y$ ,

$P = x y$ .

Zatem udowodniliśmy tezę z treści zadania.

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami w galerii zdjęć interaktywnych i na ich podstawie wykonaj polecenia poniżej.

R1OFosYK1ZbQz

RgTG42IxXuVXd

RiJsPN5isL7Ia

RHanJGiASfjvH

R10lNjG2HOjO6

R196Z6eX74IFR

Ilustracja interaktywna numer sześć. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, nawias, dwa x, zamknięcie nawiasu, razy, x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka. Lewa strona P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, r, razy, nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu oraz prawa strona P, równa się, początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R, koniec ułamka. Następnie podstawiamy P, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z piętnaście do wzorów na pole trójkąta zawierających informacje o promieniu okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt. Lewa strona, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, r, razy, dziesięć x, r, równa się, początek ułamka, x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka. Prawa strona, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery R, koniec ułamka, R, równa się, początek ułamka, osiem x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, piętnaście, koniec ułamka. początek ułamka, x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, osiem x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, równa się, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, początek ułamka, x, mianownik, pięć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, osiem x, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, równa się, jeden, x, równa się, początek ułamka, piętnaście, mianownik, jedenaście, koniec ułamka. Zatem podstawa tego trójkąta ma długość dwa x, równa się, początek ułamka, trzydzieści, mianownik, jedenaście, koniec ułamka.

Polecenie 2

Oblicz długość podstawy trójkąta równoramiennego, w którym stosunek długości podstawy do długości ramienia wynosi $2 : 3$ , jeśli pole trójkąta równoramiennego wynosi $\sqrt{20}$ .

Korzystamy ze wzoru otrzymanego w Przykładzie $1$ przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych, czyli:

$x$ – długość podstawy

$P = \frac{x^{2} \sqrt{2}}{2}$ ,

wstawiając znane pole otrzymujemy

$20 = \frac{x^{2} \sqrt{2}}{2}$ ,

stąd

$40 = x^{2} \sqrt{2}$ ,

dzieląc obie strony przez $\sqrt{2}$ i usuwając niewymierność otrzymujemy

$x^{2} = 20 \sqrt{2}$ .

Następnie pierwiastkując obie strony otrzymujemy rozwiązanie:

$x = \sqrt{20 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{5} \sqrt[4]{2}$ .

Polecenie 3

Oblicz pole oraz długość ramienia i podstawy w trójkącie równoramiennym, w którym ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy, jeśli suma długości promienia okręgu opisanego i długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi $\sqrt{30}$ .

Wykorzystamy otrzymane w przykładzie $2$ przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych równania

$r = \frac{x \sqrt{15}}{5}$

oraz

$R = \frac{8 x \sqrt{15}}{15}$ .

Stąd podstawiając dane z polecenia mamy

$\frac{x \sqrt{15}}{5} + \frac{8 x \sqrt{15}}{15} = \sqrt{30}$ .

Mnożąc obie strony przez $15$ i dzieląc przez $\sqrt{15}$ otrzymujemy

$3 x + 8 x = 15 \sqrt{2}$ .

Stąd

$x = \frac{15 \sqrt{2}}{11}$ .

Ostatecznie

$P = x^{2} \sqrt{15} = \frac{450}{121} \sqrt{15}$ ,

natomiast długość podstawy i ramienia wynoszą odpowiednio $2 x$ i $4 x$ , czyli $\frac{30 \sqrt{2}}{11}$ i $\frac{60 \sqrt{2}}{11}$ .

Przykład 6

W trójkącie $A B C$ : $|A C| = 9$ , $|B C| = 12$ , miara kąta przy wierzchołku kąta $C$ wynosi $90 °$ . Obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie

R1XfRuNgnIpDx

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, w którym AB to przeciwprostokątna, a AC i BC to przyprostokątne. W trójkąt wpisano okrąg o środku O.

Użyjemy wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt:

$P = r \cdot p$ , zatem $r = \frac{P}{p}$ .

Znane są długości dwu przyprostokątnych. Możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej oraz pole trójkąta.

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

$|A B| = \sqrt{{|A C|}^{2} + {|B C|}^{2}} = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Wyznaczymy teraz pole trójkąta $A B C$ :

$P = \frac{1}{2} \cdot |A C| \cdot |B C| = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ .

Następnie obliczymy połowę obwodu trójkąta:

$p = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18$ .

W ten sposób długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ jest równa:

$r = \frac{P}{p} = \frac{54}{18} = 3$ .

Przykład 7

W prostokątny trójkąt równoramienny o polu $8$ wpisano koło. Wyznaczymy długość promienia tego koła.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1eO7Fq2Hzzhn

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne podpisano literami x.

Wiemy, że pole w prostokątnym trójkącie równoramiennym jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych. Zatem: $\frac{1}{2} \cdot x \cdot x = 8$ stąd $x^{2} = 16$ .

Zatem $x = 4$ lub $x = - 4$ .

Ponieważ długość boku trójkąta nie może być liczbą ujemną, zatem $x = 4$ .

Długość przeciwprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, albo zauważyć, że nasz trójkąt jest połową kwadratu, a przeciwprostokątna jest przekątną tego kwadratu. Zatem przeciwprostokątna ma długość $4 \sqrt{2}$ .

Możemy zatem obliczyć obwód naszego trójkąta, który wynosi $8 + 4 \sqrt{2}$ .

Wstawiając dostępne dane do wzoru $r = \frac{P}{p}$ mamy $r = \frac{8}{4 + 2 \sqrt{2}} = \frac{4}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{8 - 4 \sqrt{2}}{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$ .

Zatem długość promienia koła wynosi $4 - 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 8

W trójkąt równoramienny o bokach długości $4$ , $4$ , $6$ wpisano okrąg. Wyznacz stosunek pola koła ograniczonego tym okręgiem do pola trójkąta.

Rozwiązanie

Musimy wyznaczyć zarówno pole trójkąta, jak też pole kołapole kołapole koła. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1DGizsfmtvo7

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o wierzchołkach A B C. W trójkąt wpisano okrąg o środku O. Z wierzchołka B opuszczono wysokość na bok AB i podpisano ją literą h. Spodek wysokości podpisano D=6. Boki AB i BC mają długość cztery.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ${(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} = b^{2}$ .

Stąd:
$3^{2} + h^{2} = 4^{2}$
$9 + h^{2} = 16$ ,
czyli:
$h^{2} = 7$
i ostatecznie:
$h = \sqrt{7}$ .

Po zastosowaniu znanego wzoru na pole trójkąta: $P_{t} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ mamy $P_{t} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3 \sqrt{7}$ .

Zauważmy ponadto, że połowa obwodu naszego trójkąta wynosi $p = \frac{4 + 4 + 6}{2} = 7$ .

Stąd, po zastosowaniu wzoru: $r = \frac{P_{t}}{p}$ mamy $r = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

Pole koła o promieniu długości r zadane jest wzorem $P_{k} = π r^{2}$ .

Zatem, w naszym przypadku: $P_{k} = π {(\frac{3 \sqrt{7}}{7})}^{2} = \frac{9}{7} π$ .

Ostatecznie, stosunek pola koła do pola trójkąta wynosi: $\frac{P_{k}}{P_{t}} = \frac{\frac{9}{7} π}{3 \sqrt{7}}$ .

Co po usunięciu niewymierności z mianownika daje: $\frac{P_{k}}{P_{t}} = \frac{9 \sqrt{7} π}{147}$ .

Przykład 9

W trójkącie równoramiennym $A B C$ o obwodzie $120$ , gdzie $|A B| = |B C|$ , stosunek długości boków $A B$ i $A C$ wynosi $3 : 2$ . Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta jak na rysunku poniżej:

Rp2JlmxeFni66

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Podstawa trójkąta AC ma długość 2x. Bok AB i BC mają długość 3x. Z wierzchołka B na podstawę AC opuszczono wysokość.

Wówczas obwód tego trójkąta można wyrazić w następujący sposób: $3 x + 3 x + 2 x = 120$ , czyli $8 x = 120$ , skąd $x = 15$ .

Zatem boki naszego trójkąta mają długości $|A B| = |B C| = 45$ , $|A C| = 30$ .

Wysokość tego trójkąta można łatwo obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, a mianowicie $45^{2} = h^{2} + 15^{2}$ , czyli $h^{2} = 1800$ . Stąd $h = \sqrt{1800} = 30 \sqrt{2}$ .

Możemy teraz obliczyć pole trójkąta, które wynosi $P = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 \sqrt{2} = 450 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie długość promienia okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru $r = \frac{P}{p} = \frac{450 \sqrt{2}}{60} = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji, a następnie wykonaj polecenia.

R11tUEwGrV2fT

Polecenie 5

Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt o bokach $4$ , $6$ , $8$ .

Skorzystamy w tym miejscu z przedstawionego na filmie wzoru na długość promienia, czyli $r = \frac{P}{p}$ , gdzie $P$ oznacza pole trójkąta, zaś $p$ połowę jego obwodu.

Rozpoczniemy od wyznaczenia połowy obwodu, mamy zatem $p = \frac{4 + 6 + 8}{2} = 9$ .

Najprostszym sposobem na wyznaczenie pola tego trójkąta jest zastosowanie wzoru Herona $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , czyli w naszym przypadku mamy $P = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = 3 \sqrt{15}$ .

Możemy teraz obliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt $r = \frac{P}{p} = \frac{3 \sqrt{15}}{9} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

Ostatecznie pole koła wynosi $P = π r^{2} = π {(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{2} = \frac{5}{3} π$ .

Polecenie 6

W trójkąt, którego boki są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi, wpisano okrąg o polu równym $\frac{8}{3} π$ . Wyznacz boki tego trójkąta jeśli wiadomo, że jego pole wynosi $6 \sqrt{6}$ .

Na początku wyznaczmy długość promienia okręgu wpisanego w nasz trójkąt korzystając ze wzoru na pole koła $P = π r^{2}$ .

Mamy zatem $\frac{8}{3} π = π r^{2}$ , stąd $r = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

Możemy teraz wyznaczyć połowę obwodu naszego trójkąta ze wzoru $p = \frac{P}{r}$ , czyli $p = \frac{6 \sqrt{6}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ .

Wiemy jednak, że długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, czyli możemy je oznaczyć jako $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ .

Stąd obwód trójkąta wynosi $3 n + 3$ , z drugiej jednak strony wiemy, że obwód wynosi $18$ . Zatem rozwiązując otrzymane równanie liniowe $3 n + 3 = 18$ otrzymujemy $n = 5$ .

Ostatecznie stwierdzamy, że boki trójkąta mają długości $5$ , $6$ , $7$ .

Przykład 10

Obliczymy pole trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna ma długość $4$ , a promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi $6$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt oraz opisany na nim okrąg i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

REuOMxo1GQGjD

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i 4 oraz przeciwprostokątnej c wpisany w okrąg o promieniu sześć. Przeciwprostokątna to dwa promienie okręgu.

Niech $R$ będzie długością promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zatem

$c = 2 R = 2 \cdot 6 = 12$

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, utworzone na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + 4^{2} = 12^{2}$

$a^{2} + 16 = 144$

$a^{2} = 128$ , czyli $a = 8 \sqrt{2}$

Wobec tego pole trójkąta wynosi:

$P = \frac{8 \sqrt{2} \cdot 4}{2} = 16 \sqrt{2}$

Przykład 11

Obliczymy pole trójkąta równobocznego, w którym promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $4 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Do rozwiązania zadania wykorzystamy wzór na pole trójkąta równobocznego, gdy dana jest długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie:

$P = \frac{3 \sqrt{3} R^{2}}{4}$

Ponieważ $R = 4 \sqrt{3}$ , zatem:

$P = \frac{3 \sqrt{3} \cdot {(4 \sqrt{3})}^{2}}{4} = \frac{3 \sqrt{3} \cdot 48}{4} = 36 \sqrt{3}$

Polecenie 7

Zapoznaj się z animacją, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RHPFdNJE92cFe

Polecenie 8

Wyznacz pole koła opisanego na trójkącie o bokach długości $8$ , $10$ i $12$ .

Niech

$a = 8$

$b = 10$

$c = 12$

Ponieważ pole trójkątach o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ obliczamy ze wzoru

$P = \frac{a b c}{4 R}$ , zatem $R = \frac{a b c}{4 P}$

Do wyznaczenia wartości pola użyjemy wzoru Herona:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p = \frac{a + b + c}{2}$

Zatem $p = \frac{8 + 10 + 12}{2} = 15$ .

Wobec tego $P = \sqrt{15 \cdot (15 - 8) \cdot (15 - 10) \cdot (15 - 12)} = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = 15 \sqrt{7}$ .

Zatem

$R = \frac{8 \cdot 10 \cdot 12}{15 \sqrt{7}} = \frac{64}{\sqrt{7}} = \frac{64 \sqrt{7}}{7}$

Pole koła opisanego na tym trójkącie wynosi:

$P = π \cdot {(\frac{64 \sqrt{7}}{7})}^{2} = \frac{4096}{7} π$

Ćwiczenie 1

R1SztmwCfNWMT

R14vJq9XUi7MZ

Uzupełnij luki odpowiednimi oznaczeniami. W trójkącie A B C zaznaczono nazwy boków, kąty oraz poprowadzono wysokości.
Bok 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a znajduje się na przeciwko wierzchołka A.
Bok 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a znajduje się na przeciwko wierzchołka B.
Bok 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a znajduje się na przeciwko wierzchołka C.
Wysokość upuszczoną na bok a oznaczamy 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Wysokość upuszczoną na bok b oznaczamy 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Wysokość upuszczoną na bok c oznaczamy 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Kąt przy wierzchołku A oznaczamy jako 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Kąt przy wierzchołku B oznaczamy jako 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Kąt przy wierzchołku A oznaczamy jako 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.

RQL8WaFDkR0Be1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary wartości pól trójkątów z danymi w trójkącie, gdzie a, b, c oznaczają długości boków w trójkącie , a alfa, BETA, GAMMA oznaczają miary kątów pomiędzy ramionami w trójkącie. a, równa się, trzy, b, równa się, cztery, GAMMA, równa się, trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy a, równa się, sześć, b, równa się, cztery, c, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy a, równa się, trzy, b, równa się, cztery, alfa, równa się, dziewięćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy a, równa się, trzy, alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni, BETA, równa się, sześćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, a, równa się, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy

R60b08GkkrDb11

Ćwiczenie 3

Dopasuj promień okręgu opisanego na trójkącie do danego trójkąta, gdzie a, b, c oznaczają długości boków w trójkącie , a alfa, BETA, GAMMA oznaczają miary kątów pomiędzy ramionami trójkąta. a, równa się, b, równa się, c, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka alfa, równa się, BETA, równa się, GAMMA, a, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka a, równa się, b, równa się, dziesięć, c, równa się, dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka a, równa się, trzy, BETA, równa się, alfa, równa się, czterdzieści pięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka a, równa się, trzy, b, równa się, cztery, c, równa się, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka

Ćwiczenie 4

Dla danego trójkąta oblicz brakujące wartości, a następnie przenieś je w odpowiednie miejsca.

RBMpFllKkHwQX

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C z zaznaczonymi kątami alfa oraz gamma. Kąt alfa znajduje się przy wierzchołku A natomiast kąt gamma przy wierzchołku C. Odcinek B C ma długość dwanaście, natomiast odcinek A B ma długość pięć.

R4YB5emcaZU8t

Wstaw podane wartości w odpowiednie miejsca.

b, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus alfa, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus GAMMA, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
r, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
R, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
P, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka

Wstaw podane wartości w odpowiednie miejsca.

b, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus alfa, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus GAMMA, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
r, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
R, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
P, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka

RfCYOhWNf87ao2

Ćwiczenie 5

RGGDYOvMCpEj52

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Dany jest równoramienny trójkąt prostokątny o polu $54$ .

RiKEw5gvaqai1

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Obie przyprostokątne wraz z przyprostokątna są średnicami trzech półokręgów.

Podaj pole sumy półkoli.

Oznaczmy przez $x$ długość ramienia, wówczas pole wynosi

$\frac{1}{2} x \cdot x = 54$

czyli

$x = \sqrt{108} = 2 \sqrt{27}$ .

Stąd promienie mniejszych półokręgów wynoszą $r_{1} = r_{2} = \sqrt{27}$ , zaś większego $r_{3} = \sqrt{54}$ .

Ostatecznie obliczamy pola półkoli ze wzoru

$P = \frac{1}{2} π r^{2}$

$P_{1} = P_{2} = \frac{27}{2} π$

$P_{3} = 27 π$

Zatem suma pól półkoli wynosi $54 π$ .

$P = 54 π$ .

Ćwiczenie 8

Jeden z kątów trójkąta prostokątnego o obwodzie $12$ ma miarę $60 °$ . Oblicz pole tego trójkąta, jeżeli stosunek ramion zawartych w podanym kącie wynosi $1 : 2$ .

Zauważmy, że jeśli stosunek ramion przy kącie $60 °$ wynosi $1 : 2$ , to jest to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $2 x$ i przyprostokątnych $x$ oraz $\sqrt{3} x$ .

Po podstawieniu informacji o obwodzie mamy

$3 x + \sqrt{3} x = 12$ ,

stąd

$x (3 + \sqrt{3}) = 12$

$x = \frac{12}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 2 (3 - \sqrt{3})$ .

Zaś pole

$P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{3} x = \frac{1}{2} \sqrt{3} x^{2} = 2 \sqrt{3} \cdot {(3 - \sqrt{3})}^{2} = 24 \sqrt{3} - 36$

$P = 24 \sqrt{3} - 36$ .

RRbMAfyGO0u3F1

Ćwiczenie 9

R16tt9O1EQCZ41

Ćwiczenie 10

R1D4FggGQUQPg1

Ćwiczenie 11

RERtUngIFJX2w2

Ćwiczenie 12

RIwxXhk6iMQUA2

Ćwiczenie 13

Rv9AIknfB5ZKQ2

Ćwiczenie 14

R1B7GZO5vNggx3

Ćwiczenie 15

RsmgLCDn6JyzH3

Ćwiczenie 16

Pokaż ćwiczenia:

R11J9F6JKAdQj1

Ćwiczenie 17

RqFagX9xb9eXR1

Ćwiczenie 18

Ćwiczenie 19

Na podstawie rysunku zaznacz zdania, które są prawdziwe.

RMFI5lhr6gPSf

Zaznaczono trójkąt o podstawie 12 wpisany w okrąg. Promienie okręgu mają długość dziewięć.

R1JkABqAsppni

Ćwiczenie 20

RQWykRygEgPkD

RZ2E6NMm1lwng

Ćwiczenie 21

Oblicz pole trójkąta równobocznego, jeżeli pole koła na nim opisanego wynosi $24 π$ .

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1U3xpx26xwpd

Ilustracja przedstawia trójkąt wpisany w okrąg o promieniu R.

Korzystając ze wzoru na pole koła, do wyznaczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$24 π = π \cdot R^{2}$

$R^{2} = 24$ , czyli $R = 2 \sqrt{6}$

Wobec tego pole rozpatrywanego trójkąta jest równe:

$P = \frac{3 \sqrt{3}}{4} R^{2}$

$P = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot {(2 \sqrt{6})}^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot 24 = 18 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 22

Oblicz pole trójkąta prostokątnego równoramiennego, jeżeli promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $16$ .

Narysujmy okrąg opisany na trójkącie prostokątnym równoramiennym i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1CgzwXSP22hw

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o ramieniu a oraz podstawie c wpisany w okrąg o promieniu R. Podstawa c jest równa dwóm promieniom.

Jeżeli $16$ , to $c = 32$ .

Ponieważ $c = a \sqrt{2}$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$32 = a \sqrt{2}$ , czyli $a = 16 \sqrt{2}$ .

Wobec tego pole rozpatrywanego trójkąta jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 16 \sqrt{2} \cdot 16 \sqrt{2} = 256$

Ćwiczenie 23

Oblicz obwód koła opisanego na trójkącie o bokach długości $3$ , $4$ i $6$ .

Niech

$a = 3$

$b = 4$

$c = 6$

Ponieważ pole trójkątach o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ obliczamy ze wzoru

$P = \frac{a b c}{4 R}$ , zatem $R = \frac{a b c}{4 P}$

Do wyznaczenia wartości pola użyjemy wzoru Herona:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p = \frac{a + b + c}{2}$

Zatem $p = \frac{3 + 4 + 6}{2} = \frac{13}{2}$ .

Wobec tego

$P = \sqrt{\frac{13}{2} \cdot (\frac{13}{2} - 3) \cdot (\frac{13}{2} - 4) \cdot (\frac{13}{2} - 6)} = \sqrt{\frac{13}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{455}}{4}$

Zatem

$R = \frac{3 \cdot 4 \cdot 6}{4 \cdot \frac{\sqrt{455}}{4}} = \frac{72}{\sqrt{455}} = \frac{72 \sqrt{455}}{455}$

Obwód koła opisanego na tym trójkącie wynosi:

$L = 2 π \cdot \frac{72 \sqrt{455}}{455} = \frac{144 \sqrt{455}}{455} π$

Ćwiczenie 24

W trójkącie dane są:

pole $P = 2$ ,

promień okręgu opisanego na tym trójkącie $R = \frac{1}{2}$ ,

długość jednego boku $c = 2$ ,

obwód trójkąta $L = 6$ .

Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta.

W zadaniu wykorzystamy wzór na pole trójkąta, gdy dane są boki oraz promień okręgu na nim opisanego $P = \frac{a b c}{4 R}$ oraz wzór na obwód trójkąta $L = a + b + c$ .

Wobec tego rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 = \frac{a \cdot b \cdot 2}{4 \cdot \frac{1}{2}} \\ a + b + 2 = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 = a \cdot b \\ a + b = 4 \end{cases}$

$a \cdot (4 - a) - 2 = 0$

$- a^{2} + 4 a - 2 = 0$

$a^{2} - 4 a + 2 = 0$

$a_{1} = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$

$a_{2} = \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$

Zatem

$b_{1} = 4 - (2 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}$

$b_{2} = 4 - (2 + \sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2}$

Długości dwóch pozostałych boków trójkąta wynoszą $2 + \sqrt{2}$ oraz $2 - \sqrt{2}$ .

Słownik

wysokość trójkąta

to odcinek poprowadzony z wierzchołka opuszczony pod kątem prostym na prostą zawierającą przeciwległy bok

okrąg wpisany w trójkąt

to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Środek tego okręgu leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta

okrąg opisany na trójkącie

to okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki trójkąta. Jego środek leży w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta

pole koła

pole koła o promieniu $r > 0$ zadane jest wzorem $P = π r^{2}$

1. Pole figury płaskiej

3. Pole trójkąta - wzór Herona

2. Pole trójkąta

Słownik