3. Pole trójkąta - wzór Herona - M_R_W13_M2 Pole trójkąta

R22ReoQdHIINs

Heron z Aleksandrii, zwany też Heronem Mechanikiem, żył ok. $I$ wieku n.e. Zajmował się geodezją, optyką, hydrostatyką. Opisał urządzenia poruszane siłą powietrza lub pary wodnej. Wynalazł m.in. mechanizm, dzięki któremu automatycznie otwierały się drzwi świątyni, gdy zapalano ogień na ołtarzu. Jego najważniejsze osiągnięciami w zakresie matematyki to: wzór na pole trójkąta, przybliżone obliczenia pierwiastków kwadratowych i sześciennych oraz wzory na objętość i pole wielu figur geometrycznych.

Twoje cele

Udowodnisz wzór Herona.
Zastosujesz wzór Herona do obliczania pola trójkąta.
Określisz pole trójkąta różnymi sposobami.
Znajdziesz wysokość trójkąta o bokach danej długości.

Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta, gdy znane są długości jego boków.

Wzór ten ma duże znaczenie praktyczne, pozwala obliczyć pole trójkąta bez znajomości jego wysokości. Jest to bardzo przydatne przy wyznaczaniu pola powierzchni gruntów.

Wzór Herona:

P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

R1BNIl2aUJQce

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Odcinek AB długość c, odcinek BC długość a, odcinek AC długość b.

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta, $2 p = a + b + c$ , $P$ - pole trójkąta.

Wyprowadzenie wzoru Herona

Dany jest dowolny trójkąt $A B C$ :

R1cOWY1tfStlQ

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC o bokach długości a b c oraz kącie alfa przy wierzchołku A. Z punktu C upuszczono wysokość h tworząc w podstawie punkt D. Odcinek AD ma miarę x.

$|A B| = c$ ,

$|B C| = a$ ,

$|A C| = b$ ,

$|A D| = x$ ,

$|C D| = h$ .

Wykorzystamy wzór na pole trójkąta postaci:

P = \frac{1}{2} c \cdot h

Trójkąt $A D C$ jest prostokątny, zatem:

\frac{x}{b} = \cos α

x = b \cdot \cos α

Z twierdzenia Pitagorasa:

x^{2} + h^{2} = b^{2}

h^{2} = b^{2} - x^{2}

P = \frac{1}{2} c \cdot h

2 P = c \cdot h

4 P^{2} = c^{2} h^{2}

Podstawiając $h^{2} = b^{2} - x^{2}$ do wzoru $4 P^{2} = c^{2} h^{2}$ otrzymujemy:

4 P^{2} = c^{2} (b^{2} - x^{2}) = c^{2} b^{2} - c^{2} x^{2}

Z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów, dla trójkąta $A B C$ :

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α

Ponieważ $x = b \cdot \cos α$ , to:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 c x

2 c x = b^{2} + c^{2} - a^{2}

Podnosimy obie strony tego wyrażenia do kwadratu:

4 c^{2} x^{2} = {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}

4 P^{2} = c^{2} b^{2} - c^{2} x^{2}

Mnożąc stronami przez $4$ otrzymujemy:

16 P^{2} = 4 c^{2} b^{2} - 4 c^{2} x^{2}

Podstawiając:

4 c^{2} x^{2} = {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}

otrzymujemy:

16 P^{2} = 4 c^{2} b^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}

Zapiszmy prawą stronę tej równości w postaci różnicy kwadratów:

4 c^{2} b^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2} = {(2 c b)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy:

{(2 c b)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2} = (2 c b - (b^{2} + c^{2} - a^{2})) (2 c b + (b^{2} + c^{2} - a^{2}))

Po podstawieniu:

16 P^{2} = (2 c b - (b^{2} + c^{2} - a^{2})) (2 c b + (b^{2} + c^{2} - a^{2}))

Pierwsze wyrażenie po prawej stronie zapiszemy jako:

2 c b - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 c b - b^{2} - c^{2} + a^{2} =

= a^{2} - (b^{2} - 2 c b + c^{2}) = a^{2} - {(b - c)}^{2}

Drugie wyrażenie po prawej stronie zapiszemy jako:

2 c b + (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 c b + b^{2} + c^{2} - a^{2} =

= (b^{2} + 2 b c + c^{2}) - a^{2} = {(b + c)}^{2} - a^{2}

Otrzymujemy zatem:

16 P^{2} = (a^{2} - {(b - c)}^{2}) ({(b + c)}^{2} - a^{2})

Przekształcamy do postaci:

a^{2} - {(b - c)}^{2} = (a - (b - c)) (a + (b - c)) = (a - b + c) (a + b - c)

{(b + c)}^{2} - a^{2} = ((b + c) - a) ((b + c) + a) = (b + c - a) (b + c + a)

Otrzymujemy:

16 P^{2} = (a - b + c) (a + b - c) (b + c - a) (b + c + a)

Ponieważ $2 p = a + b + c$ , zapisujemy wyrażenia w nawiasach następująco:

(a - b + c) = a + b + c - 2 b = 2 p - 2 b = 2 (p - b)

(a + b - c) = a + b + c - 2 c = 2 p - 2 c = 2 (p - c)

(b + c - a) = a + b + c - 2 a = 2 p - 2 a = 2 (p - a)

Po podstawieniu otrzymujemy:

16 P^{2} = 2 (p - b) \cdot 2 (p - c) \cdot 2 (p - a) \cdot 2 p

16 P^{2} = 16 p (p - a) (p - b) (p - c)

P^{2} = p (p - a) (p - b) (p - c)

Otrzymujemy ostateczny wzór:

P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Przy wyprowadzeniu wzoru skorzystaliśmy ze wzorów skróconego mnożenia:

v^{2} - z^{2} = (v - z) (v + z)

{(v - z)}^{2} = v^{2} - 2 v z + z^{2}

{(v + z)}^{2} = v^{2} + 2 v z + z^{2}

Przykład 1

Obliczmy pole trójkąta, którego boki mają długości $6$ , $8$ , $12$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

$a = 6$ , $b = 8$ , $c = 12$ .

Otrzymujemy:

$a + b + c = 2 p$ ,

$6 + 8 + 12 = 26$ ,

$2 p = 26$ , stąd $p = 13$ .

Podstawiamy do wzoru: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

$P = \sqrt{13 (13 - 6) (13 - 8) (13 - 12)} = \sqrt{13 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{455}$ .

Odpowiedź:

Pole trójkąta wynosi $\sqrt{455}$ .

Przykład 2

Obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości $a = 15$ , $b = 17$ i $c = 20$ .

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru: $P = p \cdot r$ , gdzie:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ – pole trójkąta,

$p$ – połowa obwodu trójkąta, $r$ – długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Obliczymy najpierw obwód tego trójkąta:

$2 p = 15 + 17 + 20$ ,

$2 p = 52$ ,

$p = 26$ .

Wyznaczamy pole trójkąta:

$P = \sqrt{26 (26 - 15) (26 - 17) (26 - 20)} = \sqrt{26 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 6} = 6 \sqrt{429}$ .

Obliczamy długość promienia okręgu:

$r = \frac{P}{p}$ , zatem: $r = \frac{6 \sqrt{429}}{26} = \frac{3 \sqrt{429}}{13}$ .

Przykład 3

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości $a = 8$ , $b = 12$ i $c = 16$ .

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru: $P = \frac{a b c}{4 R}$ , gdzie: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ – pole trójkąta,

$p$ – połowa obwodu trójkąta,

$R$ – długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Obliczymy najpierw obwód tego trójkąta:

$2 p = 8 + 12 + 16$ ,

$2 p = 36$ ,

$p = 18$ .

Wyznaczamy pole trójkąta:

$P = \sqrt{18 (18 - 8) (18 - 12) (18 - 16)} = \sqrt{18 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 2} = 12 \sqrt{15}$ .

Obliczamy długość promienia:

$R = \frac{a b c}{4 P}$ , zatem: $R = \frac{8 \cdot 12 \cdot 16}{4 \cdot 12 \sqrt{15}} = \frac{32 \sqrt{15}}{15}$ .

Przykład 4

Długości boków trójkąta tworzą $3$ -wyrazowy ciąg arytmetyczny o różnicy $7$ . Suma dwóch skrajnych wyrazów tego ciągu jest o $16$ większa od wyrazu środkowego. Obliczymy pole trójkąta.

Rozwiązanie:

Oznaczymy wyrazy ciągu przez: $a$ , $a + 7$ , $a + 14$ .

Z warunków zadania: $a + a + 14 = a + 7 + 16$ , zatem: $a = 9$ .

Boki trójkąta mają zatem długości: $a = 9$ , $b = 16$ , $c = 23$ .

Skorzystamy ze wzoru Herona: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Obliczymy obwód tego trójkąta:

$2 p = 9 + 16 + 23$ ,

$2 p = 48$ ,

$p = 24$ .

Wyznaczamy pole trójkąta:

$P = \sqrt{24 (24 - 9) (24 - 16) (24 - 23)} = \sqrt{24 \cdot 15 \cdot 8 \cdot 1} = 24 \sqrt{5}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą wzoru Herona. Następnie rozwiąż zadania i sprawdź odpowiedzi.

RBSWsdtS6hrM9

Polecenie 2

Oblicz pole trójkąta, którego boki mają długości $7$ , $8$ , $9$ .

Oznaczmy: $a = 7$ , $b = 8$ , $c = 9$ .

Wówczas: $a + b + c = 2 p$ .

$7 + 8 + 9 = 24$ .

$2 p = 24$ , stąd $p = 12$ .

Podstawiamy do wzoru: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

$P = \sqrt{12 (12 - 7) (12 - 8) (12 - 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = 12 \sqrt{5}$ .

Pole trójkąta wynosi $12 \sqrt{5}$ .

Polecenie 3

Oblicz pole trójkąta, którego boki mają długości $10$ , $4$ , $12$ . Następnie oblicz długość najdłuższej wysokości tego trójkąta.

Oznaczmy: $a = 10$ , $b = 4$ , $c = 12$ .

Otrzymujemy:

$a + b + c = 2 p$ ,

$10 + 4 + 12 = 26$ ,

$2 p = 26$ , stąd $p = 13$ .

Podstawiamy do wzoru: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

$P = \sqrt{13 (13 - 10) (13 - 4) (13 - 12)} = \sqrt{13 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 1} = 3 \sqrt{39}$ .

Najdłuższa jest wysokość poprowadzona na bok o długości $b = 4$ .

Wykorzystujemy wzór na pole $P = \frac{1}{2} b \cdot h$ , $h$ – szukana wysokość.

Oznaczmy:

$b = 4$ , $P = 3 \sqrt{39}$ .

Zatem $3 \sqrt{39} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h$ , stąd $h = \frac{3}{2} \sqrt{39}$ .

Pole trójkąta wynosi $P = 3 \sqrt{39}$ , a najdłuższa wysokość $h = \frac{3}{2} \sqrt{39}$ .

R1eRwpKuVuNun1

Ćwiczenie 1

Rl8QrH4k667Qb1

Ćwiczenie 2

R1AHAlyk4dd0P1

Ćwiczenie 3

R1YHum3ybRd3Y2

Ćwiczenie 4

R1QQWmZTlKBo22

Ćwiczenie 5

RxOBkAc9VBo3G2

Ćwiczenie 6

R15cmXqXUZQer3

Ćwiczenie 7

R1Nf94g9cY7So3

Ćwiczenie 8

Słownik

twierdzenie cosinusów

jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta, natomiast $α$ , $β$ , $γ$ odpowiednio miarami kątów leżących naprzeciw tych boków, to:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β

2. Pole trójkąta

4. Pola trójkątów podobnych

Wyprowadzenie wzoru Herona

Słownik