• Wyznaczysz dziedzinę równania wymiernego.

• Rozwiążesz równanie wymierne, w którym zarówno licznik jak i mianownik zapisane są za pomocą jednomianu.

• Rozwiążesz równanie wymierne, w którym licznik jest zapisany w postaci iloczynowej, a mianownik jest jednomianem.

• Rozwiążesz równanie wymierne, w którym licznik jest wielomianem stopnia drugiego.

Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ to wielomiany, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$ to równanie

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Jednomianem nazywamy takie wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.

Rozwiążemy równanie $\frac{2}{x}=0$.

Dziedzina równania:  $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Ułamek algebraiczny jest równy zero, jeżeli licznik tego ułamka jest równy zero.

$2=0$ – sprzeczność

Równanie nie posiada rozwiązania.

Rozwiążemy równanie $\frac{-4}{5x}=1$.

Dziedzina równania: $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Skorzystamy z własności proporcji:

$5x=-4$

$x=-\frac{4}{5}$

Rozwiązanie równania: $x=-\frac{4}{5}$.

Rozwiążemy równanie $\frac{1}{x}=\frac{x}{2}$.

Dziedzina równania:   $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Z własności proporcji otrzymujemy:

$x^2=2$

$x^2-2=0$

$\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$

$x=\sqrt{2}$ lub $x=-\sqrt{2}$

Rozwiązanie równania to $x=-\sqrt{2}$, $x=\sqrt{2}$.

Rozwiążemy równanie $\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=1+\frac{1}{x}$.

Dziedzina równania:  $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Sprowadzimy lewą i prawą stronę równania do wspólnego mianownika.

$\frac{5}{x}=\frac{x+1}{x}$

$5x=x\left(x+1\right)$

$5x-x\left(x+1\right)=0$

Wyłączamy $x$ przed nawias.

$x\left[5-\left(x+1\right)\right]=0$

$x\left(4-x\right)=0$

$x=0$ lub $x=4$

$0\notin D$, $4\in D$

Rozwiązanie równania: $x=4$.

Rozwiążemy równanie $\frac{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}{x^2}=0$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Ułamek jest równy zero, jeżeli licznik ułamka jest równy zero.

$\left(x+1\right)\left(3-x\right)=0$

$x+1=0$ lub $3-x=0$

$x=-1$ lub $x=3$

$-1\in D$, $3\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $-1$, $3$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x^2-2x}{4x^2}=0$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

$x^2-2x=0$

$x\left(x-2\right)=0$

$x=0$ lub $x=2$

$0\notin D$, $2\in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $2$.

Rozwiążemy równanie $\frac{4x^2-2x}{-4x}=\frac{1}{2}$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

W liczniku ułamka algebraicznego wyłączymy przed nawias jednomianjednomianjednomian $2x$.

$\frac{2x(2x-1)}{-4x}=\frac{1}{2}$

Wyrażenie z lewej strony równania skracamy przez $2x$ ($x\ne 0$).

$\frac{2x-1}{-2}=\frac{1}{2}$

Mnożymy „na krzyż”.

$2·\left(2x-1\right)=-2$

$2x-1=-1$

$2x=0$

$x=0$

$0\notin D$

Równanie nie posiada rozwiązania. Jest sprzeczne.

Rozwiążemy równanie $\frac{2x{\left(x-1\right)}^2}{2x^2}=\frac{x+1}{x}$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej.

$\frac{{(x-1)}^2}{x}=\frac{x+1}{x}$

Korzystamy z własności proporcji (mnożymy „na krzyż”).

${\left(x-1\right)}^2·x=x\left(x+1\right)$

Dzielimy obie strony równania przez $x$ ($x\ne 0$).

${\left(x-1\right)}^2=x+1$

$x^2-2x+1=x+1$

$x^2-3x=0$

$x\left(x-3\right)=0$

$x=0$ lub $x=3$

$0\notin D$, $3\in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $3$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x+1}{x}+\frac{x^2-1}{x^2}=1$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Sprowadzimy lewą stronę równania do wspólnego mianownika.

$\frac{x\left(x+1\right)+x^2-1}{x^2}=1$

$\frac{x^2+x+x^2-1}{x^2}=1$

$\frac{2x^2+x-1}{x^2}=1|\cdot x^2$, $x\ne 0$

$2x^2+x-1=x^2$

$x^2+x-1=0$

$∆=1+4=5$

$\sqrt{∆}=\sqrt{5}$

$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Równanie ma dwa rozwiązania $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Rozwiążemy równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne $\frac{3x^2-9x-30}{2x+1}=0$.

$2x+1\ne 0$

$x\ne -\frac{1}{2}$

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Zapiszemy teraz licznik ułamka algebraicznego w postaci iloczynowej.

$\frac{3·\left(x+2\right)\left(x-5\right)}{2x+1}=0$

Ułamek równa się zero jeżeli licznik ułamka jest równy zero.

$3·\left(x+2\right)\left(x-5\right)=0$

$x=-2$ lub $x=5$

$-2\in D$, $5\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $\left(-2\right)$, $5$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x^2-4}{x+4}=x$.

Określimy dziedzinę równania.

$x+4\ne 0$

$x\ne -4$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4\right\}$

$\frac{x^2-4}{x+4}=\frac{x}{1}$

Korzystając z własności proporcji otrzymujemy:

$x^2-4=x^2+4x$

$x=-1\in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $\left(-1\right)$.

Rozwiążemy równanie, którego licznik i mianownik są wielomianami stopnia drugiegowielomian stopnia drugiegowielomianami stopnia drugiego.

$\frac{x^2+5x+4}{2x^2+8x+6}=\frac{1}{x}$

Wyznaczymy najpierw dziedzinę równania.

$2x^2+8x+6\ne 0$ i $x\ne 0$

$2·\left(x+3\right)\left(x+1\right)\ne 0$

$x\ne -3$ i $x\ne -1$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3, -1, 0\right\}$

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej:

$\frac{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}{2·\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}$

Skracamy ułamek z lewej strony równania, dzieląc licznik i mianownik przez $x+1$, $\left(x\ne -1\right)$.

$\frac{x+4}{2·\left(x+3\right)}=\frac{1}{x}$

Mnożymy „na krzyż”.

$x\left(x+4\right)=2·\left(x+3\right)$

$x^2+4x=2x+6$

$x^2+2x-6=0$

$\Delta =4+24=28$

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{7}$

$x_1=\frac{-2-2\sqrt{7}}{2}=-1-\sqrt{7}\in D$

$x_2=\frac{-2+2\sqrt{7}}{2}=-1+\sqrt{7}\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $-1-\sqrt{7}$, $-1+\sqrt{7}$.

Wykażemy, że równanie $\frac{9x^2+6x+1}{3x+1}=0$ jest sprzeczne.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

Przyrównujemy licznik ułamka do zero.

$9x^2+6x+1=0$

${\left(3x+1\right)}^2=0$

$3x+1=0$

$3x=1$

$x=-\frac{1}{3}\notin D$

Równanie nie posiada rozwiązania.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$

takie wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter

wielomian postaci $a{x}^2+bx+c$, $a\ne 0$, zwany inaczej trójmianem kwadratowym