2. Zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych

ROZV1yH7wmwnG

W tym materiale wykorzystamy równania wymierne do rozwiązywania zadań tekstowych. Poruszymy problemy związane z czasem wykonywania pracy, prędkością, drogą, również geometrią itp.

Twoje cele

Opiszesz równaniami wymiernymi zagadnienia związane z wykonywaniem pracy.
Zinterpretujesz wynik otrzymanego równania.
Zapiszesz i rozwiążesz równania wymierne do zadań tekstowych dotyczących drogi, prędkości i czasu.
Przedstawisz rozwiązanie zadania geometrycznego za pomocą równania wymiernego.

Praca – potocznie to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego dobra. Efektem pracy jest wykonany towar lub usługa (np. przepisany tekst, wytworzenie części samochodowych, umycie okien, itp).

Przez wydajność pracy będziemy rozumieli wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).

W rozpatrywanych poniżej przykładach i zadaniach musimy założyć, że wydajność wykonywanej pracy przez opisanych w zadaniu robotników, firmy, automaty itp. nie zmienia się wraz z upływem czasu.

Przykład 1

Pierwsza sekretarka „przybija” pieczątki na określonej partii dokumentów w ciągu $30$ minut, drugiej sekretarce wykonanie tej samej pracy zajmuje godzinę. Ile czasu zajmie wykonanie tej pracy, jeśli obie panie będą wykonywały ją wspólnie?

Rozwiązanie:

$x$ – oznacza czas potrzebny na wykonanie pracy wspólnie przez dwie sekretarki, wyrazimy go w godzinach;

$x \in ℝ_{+}$ ;

$W$ – cała praca do wykonania, wartość ta jest dodatnia.

W treści zadania pojawiają się różne jednostki czasu, w rozwiązaniu musimy zadbać o taką samą jednostkę!

$\frac{W}{\frac{1}{2}}$ to część pracy wykonana przez pierwszą sekretarkę;

$\frac{W}{1}$ to część pracy wykonana przez drugą sekretarkę, czas wyrażamy w godzinach;

$\frac{W}{x}$ to praca wykonana wspólnie przez dwie sekretarki w szukanym czasie.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną przez każdą z sekretarek:

$\frac{W}{\frac{1}{2}} + \frac{W}{1} = \frac{W}{x}$

$2 W + W = \frac{W}{x}$

$3 W = \frac{W}{x}$ ,

następnie dzielimy obustronnie przez $W$ , otrzymujemy:

$3 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{3} [h]$

Odpowiedź: Dwie sekretarki pracując razem „przybiją pieczątki” w $20$ minut.

Przykład 2

Kasia i jej młodszy brat Adam, pracując razem, są w stanie wyprasować stertę wypranych koszul w ciągu $2$ godzin. Kasia sama potrzebuje $2, 5$ godziny na wykonanie tej pracy. Ile czasu zajmie Adamowi to prasowanie, gdy będzie pracował sam?

Rozwiązanie:

$x$ – oznacza czas potrzebny na wykonanie pracy przez Adama, wyrazimy go w godzinach;

$x \in ℝ_{+}$ ;

$W$ – cała praca do wykonania, wartość ta jest dodatnia;

$\frac{W}{2, 5}$ to część pracy wykonana przez Kasię, czas wyrażamy w godzinach;

$\frac{W}{x}$ to część pracy wykonana przez Adama, czas wyrażamy w godzinach;

$\frac{W}{2}$ to praca wykonana wspólnie przez rodzeństwo w danym czasie.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną przez rodzeństwo:

$\frac{W}{2, 5} + \frac{W}{x} = \frac{W}{2}$

następnie dzielimy obustronnie przez $W$ , otrzymujemy:

$\frac{1}{2, 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2, 5} = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$

$x = 10$

Odpowiedź: Adam potrzebuje $10$ godzin na wyprasowanie sterty koszul.

Przykład 3

Robotnik z dłuższym stażem pracy wykonuje pewną pracę w czasie o $32$ dni krótszym od początkującego pracownika. Aby wykonać zlecenie szybciej, postanowili pracować razem. Skończyli pracę w ciągu $12$ dni. W ciągu ilu dni wykonałby to zlecenie każdy z nich pracując osobno?

Rozwiązanie:

$x$ oznacza liczbę dni potrzebnych na wykonanie pracy samodzielnie przez robotnika z dłuższym stażem pracy;

$x + 32$ oznacza liczbę dni potrzebnych na wykonanie pracy samodzielnie przez drugiego robotnika;

$x \in ℕ_{+}$ ;

$W$ – cała praca (zlecenie) do wykonania, wartość ta jest dodatnia;

$\frac{W}{x}$ to część pracy wykonana przez robotnika z dłuższym stażem pracy w ciągu jednego dnia;

$\frac{W}{x + 32}$ to część pracy wykonana przez robotnika z krótszym stażem pracy w ciągu jednego dnia;

$\frac{W}{12}$ to część pracy wykonana wspólnie przez dwóch robotników w ciągu jednego dnia.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną jednego dnia:

$\frac{W}{x} + \frac{W}{x + 32} = \frac{W}{12}$

następnie dzielimy obustronnie przez $W$ , otrzymujemy:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 32} = \frac{1}{12}$

Otrzymane równanie wymierne przekształcamy do równania wielomianowego:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 32} = \frac{1}{12} | \cdot 12 x (x + 32)$

$12 (x + 32) + 12 x = x (x + 32)$

$12 x + 384 + 12 x = x^{2} + 32 x$

$x^{2} + 8 x - 384 = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:

$Δ = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 384) = 1600$ ,
$\sqrt{Δ} = 40$

$x_{1} = \frac{- 8 - 40}{2} = - 24 < 0$

$x_{2} = \frac{- 8 + 40}{2} = 16 \in ℕ_{+}$

Drugie rozwiązanie równania spełnia warunki zadania, tę wartość uwzględniamy przy formułowaniu odpowiedzi.

Odpowiedź: Robotnik z dłuższym stażem pracy wykonuje pewną pracę w czasie $16$ dni, początkujący pracownik potrzebuje na wykonanie tej samej pracy $48$ dni.

Przykład 4

Robotnik z dłuższym stażem pracy wykonuje pewną pracę w czasie o $15$ dni krótszym niż początkujący pracownik.

Aby wykonać zlecenie szybciej, postanowili pracować razem. Skończyli pracę w ciągu $4$ dni. W ciągu ilu dni wykonałby to oddzielnie każdy z nich?

Rozwiązanie:

$x$ oznacza liczbę dni potrzebnych na wykonanie pracy samodzielnie przez robotnika z dłuższym stażem pracy;

$x + 15$ oznacza liczbę dni potrzebnych na wykonanie pracy samodzielnie przez drugiego pracownika;

$x \in ℕ_{+}$ ;

$W$ – cała praca (zlecenie) do wykonania, wartość ta jest dodatnia;

$\frac{W}{x}$ to część pracy wykonana przez robotnika z dłuższym stażem pracy w ciągu jednego dnia;

$\frac{W}{x + 15}$ to część pracy wykonana przez robotnika z krótszym stażem pracy w ciągu jednego dnia;

$\frac{W}{4}$ to część pracy wykonana wspólnie przez dwóch robotników w ciągu jednego dnia.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną w ciągu jednego dnia:

$\frac{W}{x} + \frac{W}{x + 15} = \frac{W}{4}$

następnie dzielimy obustronnie przez $W$ , otrzymujemy:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 15} = \frac{1}{4}$

Otrzymane równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne przekształcamy do równania wielomianowego:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 15} = \frac{1}{4} | \cdot 4 x (x + 15)$

$4 (x + 15) + 4 x = x (x + 15)$

$4 x + 60 + 4 x = x^{2} + 15 x$

$x^{2} + 7 x - 60 = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:

$Δ = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60) = 289$
$\sqrt{Δ} = 17$

$x_{1} = \frac{- 7 - 17}{2} = - 12 < 0$
lub
$x_{2} = \frac{- 7 + 17}{2} = 5 \in ℕ_{+}$

Drugie rozwiązanie równania spełnia warunki zadania, tę wartość uwzględniamy przy formułowaniu odpowiedzi.

Odpowiedź: Robotnik z dłuższym stażem pracy wykonuje pewną pracę w czasie $5$ dni, początkujący pracownik potrzebuje na wykonanie tej samej pracy $20$ dni.

Polecenie 1

Zapoznaj się animacją i rozwiąż zadania.

RfsPmVFSxXygD

Polecenie 2

Maciek i Krzysiek raz w miesiącu myją okna w pewnym warsztacie samochodowym, praca ta zajmuje im dwie godziny. Krzysiek samodzielnie wykona to zadanie w trzy godziny. Ile czasu potrzebuje Maciek na samodzielne umycie okien?

Zapisz przy pomocy ułamka część pracy, którą w ciągu jednej godziny wykonuje Maciek, Krzysiek oraz gdy pracują razem.

Dla Maćka to będzie $\frac{W}{x}$ , dla Krzyśka $\frac{W}{3}$ ; razem w ciagu godziny wykonają $\frac{W}{2}$ pracy.

Ułóż równanie $\frac{W}{x}$ .

Po wykonaniu dzielenia przez $W$ otrzymasz równanie $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie równania to $x = 6$ .

Polecenie 3

Trzy różne automaty wyprodukują określoną liczbę elementów w ciągu $6$ minut. Pierwszy automat jest cztery razy wolniejszy od automatu trzeciego, a drugi jest o $3$ minuty szybszy od automatu trzeciego. W jakim czasie powstaną te elementy, gdy wytwarzane będą tylko przez automat pierwszy? Jaki czas potrzebny jest na wyprodukowanie tej liczby elementów przez każdy z automatów oddzielnie?

Zapisz przy pomocy ułamka część pracy, którą wykona każda z maszyn. Nie musisz czasu wyrażać w godzinach (ale możesz), choć musi on jednak być określony w tych samych jednostkach. Czas pracy trzeciego automatu oznacz niewiadomą $x$ .

Wtedy:

$4 x$ to czas pracy pierwszego automatu (w minutach);

$x - 3$ to czas pracy drugiego automatu (w minutach), $x > 3$ ;

$x$ to czas pracy trzeciego automatu (w minutach).

Zapisz przy pomocy ułamka część produkcji, którą w określonym czasie wykonana każdy z automatów oddzielnie oraz jaką wykonają wspólnie.

Ułóż równanie $\frac{W}{4 x} + \frac{W}{x - 3} + \frac{W}{x} = \frac{W}{6}$ .

Po wykonaniu dzielenia przez $W$ otrzymasz równanie $\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$ .

Otrzymane równanie wymierne przekształć do równania kwadratowego $2 x^{2} - 33 x + 45 = 0$ .

Rozwiązania tego równania to liczby: $x_{1} = 1, 5 < 3$ , $x_{2} = 15$ . Drugie z rozwiązań tego równania spełnia warunki zadania.

Pierwszy automat potrzebuje $60$ minut, drugi $12$ minut, a trzeci $15$ minut na wykonanie określonej liczby elementów.

Analizując zależności występujące między różnymi wielkościami, spotykamy się również z takimi, w których występują wyrażenia wymierne, np. wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta.

Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia:

$v$ – prędkość wyrażona np. w $\frac{k m}{h}, \frac{m}{s}, \frac{k m}{s}, \frac{m}{h}$ ,

$s$ – droga, wyrażona np. w $m m, c m, m, k m$ ,

$t$ – czas, wyrażony np. w $s, m i n, h$ ,

to korzystając z poniższych trójkątów otrzymujemy zależności między tymi wielkościami.

RmWZj411keNY3

Na ilustracji narysowano trójkąty pomocniczne. Są to trójkąty równoboczne, które podzielono na trzy części. Poziomą, zieloną linią połączono środki ramion, wychodzących z jednego wierzchołka. Ze środka zielonej linii poprowadzono niebieską pionową linię do podstawy trójkąta. Nad zieloną linią znajduje się wielkość s. Po lewej stronie linii niebieskiej, znajduje się wielkość v. Po prawej stronie linii niebieskiej, znajduje się wielkość t. Pozioma zielona linia wewnątrz trójkąta odpowiada dzieleniu, a pionowa niebieska linia mnożeniu. Na trójkącie pierwszym, podkreślono wielkość v. Poniżej zapisano wzór v=st. Na trójkącie drugim podkreślono wielkość s. Poniżej zapisano wzór s=v×t. Na trójkącie trzecim, podkreślono wielkość t. Poniżej zapisano wzór t=sv.

Wymienione zależności pomiędzy drogą, prędkością i czasem wykorzystamy w rozwiązywaniu zadań tekstowych, które sprowadzają się do rozwiązywania równania wymiernegorównanie wymiernerównania wymiernego.

Przykład 5

Samochód jadący z pewną prędkością pokonał odległość $300 km$ . Samochód jadący z prędkością o $15 \frac{km}{h}$ mniejszą pokonał w tym samym czasie $240 km$ . Obliczymy średnie prędkości, z jakimi poruszały się samochody.

Rozwiązanie

Niech $v$ $[\frac{k m}{h}]$ będzie prędkością pierwszego samochodu.

Ponieważ czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem w celu wyznaczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{300}{v} = \frac{240}{v - 15}$ , gdzie $v \in (15, \infty)$

$300 \cdot (v - 15) = 240 v$

$300 v - 4500 = 240 v$

$60 v = 4500$

$v = 75 \frac{km}{h}$

$75 \frac{k m}{h} - 15 \frac{k m}{h} = 60 \frac{k m}{h}$

Zatem prędkości samochodów wynosiły odpowiednio $75 \frac{km}{h}$ oraz $60 \frac{km}{h}$ .

Przykład 6

Kierowca samochodu zaplanował w jakim czasie, jadąc z określoną prędkością pokona trasę długości $60 km$ . W trakcie jazdy zatrzymał się na $9 \min$ . Aby zmieścić się w zaplanowanym czasie, kierowca samochodu musi zwiększyć prędkość jazdy o $20 \frac{km}{h}$ . Obliczymy, jaką prędkość zaplanował kierowca.

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$v$ – zaplanowana prędkość $[\frac{km}{h}]$

$t$ – zaplanowany czas $[h]$

Wiadomo, że $v$ , $t > 0$ oraz

$9 \min = \frac{9}{60} h = \frac{3}{20} h$

W celu obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{60}{v + 20} + \frac{3}{20} = \frac{60}{v}$

$60 \cdot 20 \cdot v + 3 \cdot v \cdot (v + 20) = 60 \cdot 20 \cdot (v + 20)$

$1200 v + 3 v^{2} + 60 v = 1200 v + 24000$

$3 v^{2} + 60 v - 24000 = 0$

$v^{2} + 20 v - 8000 = 0$

$v_{1} = \frac{- 20 - 180}{2} = - 100 < 0$

$v_{2} = \frac{- 20 + 180}{2} = 80 > 0$

Zatem zaplanowana prędkość wynosiła $80 \frac{km}{h}$ .

Ważne!

Jeżeli na drodze długości $s$ samochód przebył pierwszy odcinek długości $s_{1}$ z prędkością samochodu $v_{1}$ w czasie $t_{1}$ i drugi odcinek długości $s_{2}$ z prędkością samochodu $v_{2}$ w czasie $t_{2}$ , to wartość średniej prędkości na tej drodze obliczamy ze wzoru:

v_{ś r} = \frac{s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}}

Przykład 7

Samochód przebył pierwszą połowę drogi ze średnią prędkością samochodu $60 \frac{km}{h}$ , a średnia prędkość samochodu na całej trasie wyniosła $75 \frac{km}{h}$ . Obliczymy średnią prędkość samochodu na drugiej połowie trasy.

Rozwiązanie

Niech $s [k m]$ będzie długością trasy, jaką przebył samochód.

Przedstawmy sytuację z zadania w poniższej tabeli.

	Droga	Prędkość
I część trasy	$\frac{1}{2} s [k m]$	$60 [\frac{k m}{h}]$
II część trasy	$\frac{1}{2} s [k m]$	$v [\frac{k m}{h}]$

Ponieważ średnia prędkość na całej trasie wynosiła $75 \frac{km}{h}$ , zatem do obliczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$75 = \frac{s}{\frac{\frac{1}{2} s}{60} + \frac{\frac{1}{2} s}{v}}$

$75 = \frac{s}{\frac{s}{120} + \frac{s}{2 v}}$

$75 = \frac{1}{\frac{1}{120} + \frac{1}{2 v}}$

$75 = \frac{1}{\frac{v}{120 v} + \frac{60}{120 v}}$

$75 = \frac{120 v}{v + 60}$

$75 \cdot (v + 60) = 120 v$

$75 v + 4500 = 120 v$

$45 v = 4500$

$v = 100$

Zatem średnia prędkość samochodu na drugim odcinku trasy wynosiła $100 \frac{km}{h}$ .

Przykład 8

Motorówka, płynąc z prądem rzeki przepływa drogę długości $20 km$ w ciągu $40 \min$ . Obliczymy prędkość prądu rzeki, jeżeli motorówka płynie z prędkością własną $36 \frac{km}{h}$ .

Rozwiązanie

Niech $v [\frac{k m}{h}]$ będzie prędkością prądu rzeki.

$20 \min = \frac{20}{60} h = \frac{1}{3} h$

Zatem do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{3} = \frac{20}{v + 36}$

$v + 36 = 3 \cdot 20$ , czyli $v = 24$

Wobec tego prędkość prądu rzeki wynosi $24 \frac{km}{h}$ .

Przykład 9

Dwaj rowerzyści wyjechali równocześnie na trasę długości $40 km$ . Prędkość, z jaką poruszał się drugi rowerzysta była o $4 \frac{km}{h}$ większa niż prędkość, z jaką poruszał się pierwszy rowerzysta, więc pokonał on trasę w czasie o $20 \min$ krótszym niż pierwszy. Obliczymy średnie prędkości jazdy obu rowerzystów.

Rozwiązanie

Wiadomo, że $20 \min = \frac{1}{3} h$ .

Przedstawmy za pomocą tabeli sytuację opisaną w zadaniu.

	Prędkość	Czas
I rowerzysta	$v [\frac{k m}{h}]$	$t [h]$
II rowerzysta	$(v + 4) [\frac{k m}{h}]$	$(t - \frac{1}{3}) [h]$

Zauważmy, że $v > 0$ oraz $t > \frac{1}{3}$ .

W celu obliczenia wielkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{40}{v + 4} + \frac{1}{3} = \frac{40}{v}$

$40 \cdot 3 \cdot v + 1 \cdot (v + 4) \cdot v = 40 \cdot 3 \cdot (v + 4)$

$120 v + v^{2} + 4 v = 120 v + 480$

$v^{2} + 4 v - 480 = 0$

$∆ = 16 + 4 \cdot 480 = 1936$

$\sqrt{∆} = \sqrt{1936} = 44$

$v_{1} = \frac{- 4 - 44}{2} = - 24 < 0$

$v_{2} = \frac{- 4 + 44}{2} = 20 > 0$

Wobec tego prędkości jazdy rowerów wynoszą odpowiednio:

$v = 20 \frac{km}{h}$

$v \frac{k m}{h} + 4 \frac{km}{h} = 24 \frac{km}{h}$

Polecenie 4

Obejrzyj animację dotyczącą rozwiązywania zadań tekstowych prowadzących do równania wymiernego, związanych z drogą, prędkością i czasem.

R13fXCKkf1Ayl

Polecenie 5

Samochód jadący ze stałą prędkością pokonał odległość $225 km$ . Samochód jadący ze stałą prędkością o $20 \frac{km}{h}$ większą pokonał w tym samym czasie drogę długości $300 km$ .

a) Oblicz prędkości, z jakimi poruszały się oba samochody.

b) Oblicz czas, w jakim każdy z samochodów przebył podaną drogę.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$v [\frac{k m}{h}]$ – prędkość z jaką poruszał się samochód, który pokonał odległość $225 km$ , gdzie $v > 0$

$v \frac{k m}{h} + 20 \frac{km}{h}$ – prędkość z jaką poruszał się samochód, który pokonał odległość $300 km$

Niech $t [h]$ , gdzie $t > 0$ będzie czasem potrzebnym do pokonania podanych odległości.

Wobec tego:

$t = \frac{225}{v}$ oraz $t = \frac{300}{v + 20}$

a) Ponieważ czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{225}{v} = \frac{300}{v + 20}$

$225 \cdot (v + 20) = 300 v$

$225 v + 4500 = 300 v$

$75 v = 4500$

$v = 60 \frac{km}{h}$

$v \frac{k m}{h} + 20 \frac{km}{h} = 80 \frac{km}{h}$

Zatem prędkości jazdy samochodów wynosiły odpowiednio $60 \frac{km}{h}$ oraz $80 \frac{km}{h}$ .

b) Do wyznaczenia wartości $t$ użyjemy wzoru $t = \frac{225}{v}$ .

Zatem

$t = \frac{225}{60} h = 3, 75 h = 3 h 45 \min$

Przykład 10

Wiadomo, że proste $k$ i $l$ są równoległe. Wyznaczymy $x$ .

R1E0KzSqZrBXI

Ilustracja przedstawia dwie półproste zaczynające się w jednym punkcie, pierwsza z nich jest pozioma natomiast druga jest poprowadzona pod kątem ostrym względem pierwszej. Przez obie półproste poprowadzono dwie równoległe proste, prosta k oraz prostą l dzielące obie półproste na dwa kawałki. W półprostej poziomej, pomiędzy początkiem a prostą k odcinek x dodać dwa, pomiędzy prostą k a prostą l odcinek x odjąć dwa. W półprostej poprowadzonej pod katem, pomiędzy początkiem a prostą k, odcinek x odjąć trzy oraz pomiędzy prostą k a prostą l odcinek x odjąć pięć.

Rozwiązanie:

Ponieważ proste $k$ i $l$ są równolegle, zatem korzystając z twierdzenia Talesa rozwiązujemy równanie:

$\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x - 3}{x - 5}$

Ponieważ rozpatrujemy długości odcinków, zatem do ustalenia dziedziny równania rozwiązujemy nierówności:

$x - 2 > 0$ , czyli $x > 2$

$x - 3 > 0$ , czyli $x > 3$

$x - 5 > 0$ , czyli $x > 5$

$x + 2 > 0$ , czyli $x > - 2$

Zatem $x \in (5, \infty)$ .

Równanie $\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x - 3}{x - 5}$ przekształcamy do postaci:

$(x - 5) \cdot (x + 2) = (x - 3) \cdot (x - 2)$

$- 3 x - 10 = - 5 x + 6$

$2 x = 16$

$x = 8$

Przykład 11

Obwód kwadratu jest równy $64 cm$ . Jeden bok tego kwadratu skrócono o $x cm$ , a drugi wydłużono o $x cm$ i otrzymano prostokąt, w którym stosunek długości boków jest równy $\frac{3}{5}$ . Obliczymy pole tego prostokąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy kwadrat i prostokąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.

R4D5qJRxqvhda

Ilustracja przedstawia dwa rysunki prostokątów. Pierwszy z nich jest kwadratem o boku a, natomiast figurą druga jest prostokąt o bokach a odjąć x oraz a dodać x.

Ponieważ obwód kwadratu jest równy $64 cm$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie: $4 \cdot a = 64$ .

$a = 16$

Jeżeli boki prostokąta pozostają w stosunku $3 : 5$ , to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{16 - x}{16 + x} = \frac{3}{5}$

$5 \cdot (16 - x) = 3 \cdot (16 + x)$

$80 - 5 x = 48 + 3 x$

$- 8 x = - 32$

$x = 4$

Zauważmy, że $x > 0$ , $16 - x > 0$ oraz $16 + x > 0$ .

Wobec tego $x \in (0, 16)$ .

Po uwzględnieniu dziedziny równania otrzymujemy, że $x = 4$ .

Zatem boki prostokąta mają długości $12 cm$ i $20 cm$ .

Pole tego prostokąta jest równe $240 {cm}^{2}$ .

Przykład 12

W trójkącie równobocznym każdy bok skrócono o $2 cm$ i otrzymano nowy trójkąt równoboczny. Stosunek długości boku otrzymanego trójkąta do długości boku wyjściowego trójkąta jest równy $3 : 4$ . Obliczymy, o ile zmniejszyło się pole tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy dwa trójkąty równoboczne i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższych rysunkach.

RG3xdq0KAYB20

Ilustracja przedstawia rysunki dwóch trójkątów równobocznych. Pierwszy z nich o boku x, oraz drugi trójkąt o boku x odjąć dwa.

Z treści zadania wynika następujące równanie, za pomocą którego wyznaczymy wartość $x$ :

$\frac{x - 2}{x} = \frac{3}{4}$

$4 \cdot (x - 2) = 3 x$

$4 x - 8 = 3 x$

$x = 8$

Jeżeli $x = 8$ , to pole większego trójkąta równobocznego wynosi:

$P = \frac{8^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} ({cm}^{2})$

$P = \frac{6^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} ({cm}^{2})$

Zatem pole trójkąta zmniejszyło się o $7 \sqrt{3} {cm}^{2}$ .

Przykład 13

W trapezie $A B C D$ przedstawionym na poniższym rysunku, dolna podstawa jest o $4$ dłuższa od górnej podstawy, a wysokość trójkąta $A B S$ jest o $6$ krótsza od górnej podstawy trapezu. Wysokość trapezu DSC jest równa 4,5. Obliczymy pole tego trapezu.

ReI9gGfWEBooe

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Na rysunku zaznaczono również obie przekątne figury, przekątną A C oraz B D przecinające się w punkcie S. Powstał trójkąt S C D, z wierzchołka S upuszczono wysokość trójkąta o długości cztery przecinek pięć.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia, zgodnie z danymi podanymi w treści zadania.

Rf1RG83RcSqNf

Zauważmy, że trójkąty $A B S$ i $C D S$ są podobne, zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{x + 4}{x} = \frac{x - 6}{4, 5}$

Zauważmy, że $x \in (6, \infty)$ .

Wobec tego

$4, 5 \cdot (x + 4) = x \cdot (x - 6)$

$4, 5 x + 18 = x^{2} - 6 x$

$x^{2} - 10, 5 x - 18 = 0$

$2 x^{2} - 21 x - 36 = 0$

$Δ = {(- 21)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36) = 729$

$\sqrt{Δ} = 27$

$x_{1} = \frac{21 - 27}{4} = - \frac{3}{2} < 0$

$x_{2} = \frac{21 + 27}{4} = 12 > 6$

Niech $a$ , $b$ , $h$ będą odpowiednio długościami dłuższej i krótszej podstawy oraz wysokości trapezu.

Wówczas:

$a = 16$

$b = 12$

$h = 10, 5$

Zatem pole omawianego trapezu jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

$P = \frac{1}{2} \cdot (16 + 12) \cdot 10, 5 = 147$

Przykład 14

Wyznaczymy współrzędne punktu $P$ leżącego na prostej o równaniu $y = 2 x$ , jeżeli punkt ten należy do odcinka o końcach $A = (8, 0)$ oraz $B = (0, 6)$ .

Rozwiązanie:

Niech $P = (x, y)$ .

Jeżeli punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y = 2 x$ , to $P = (x, 2 x)$ .

Przedstawmy na rysunku sytuację opisaną w zadaniu.

R6Q2PVVmt2uXd

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do dziewięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do ośmiu. Na rysunku zaznaczono prostą A B gdzie punkt A ma współrzędne nawias osiem średnik zero koniec nawiasu, a punkt B nawias zero średnik sześć koniec nawiasu. Na odcinku zaznaczono punkt P o współrzędnych nawias x średnik dwa x koniec nawiasu. Współrzędne tego punktu zostały zrzutowane, na oś X w punkcie D o współrzędnych nawias x średnik zero koniec nawiasu. Powstał odciek P D o długości dwa x. Punkt P został także zrzutowany na pionową oś Y w punkcie C o współrzędnych nawias zero średnik dwa x koniec nawiasu i utworzył odcinek P C o długości x. Odcinek B C ma długość sześć minus dwa x natomiast odległość punktu B od początku układu współrzędnych wynosi sześc. Odcinek A D ma długość osiem odjąć x natomiast odległość punktu A od początku układu współrzędnych wynosi osiem.

Zauważmy, że trójkąty $D A P$ i $C P B$ są podobne oraz $x \in (0, 3)$ . Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{6 - 2 x}{2 x} = \frac{x}{8 - x}$

$(6 - 2 x) \cdot (8 - x) = 2 x^{2}$

$48 - 6 x - 16 x + 2 x^{2} = 2 x^{2}$

$22 x = 48$

$x = \frac{48}{22} = \frac{24}{11}$

Wobec tego punkt $P$ ma współrzędne:

$P = (\frac{24}{11}, \frac{48}{11})$ .

Polecenie 6

Zapoznaj się z poniższą animacją, która dotyczy problemów geometrycznych prowadzących do rozwiązania równania wymiernego. Następnie wykonaj dalsze polecenie.

RhFL1uLFQWggq

Polecenie 7

Wyznacz współrzędne punktu $P = (- a, a)$ leżącego na odcinku $A B$ , gdzie $A = (- 6, 0)$ oraz $B = (0, 5)$ .

Narysujmy odcinek $A B$ o podanych końcach w prostokątnym układzie współrzędnych.

R4dRpTm2mm5hh

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do dwóch oraz pionową oś Y od minus jednego do pięciu. Na układzie zaznaczono również punkt A o współrzędnych nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu oraz punkt B o współrzędnych nawias zero średnik pięć koniec nawiasu. Powstał odcinek A B oraz punkt P, znajdujący się na odcinku, o współrzędnych nawias minus a średnik a koniec nawiasu.

Poprowadźmy od punktu $P$ odcinek równoległy do osi $X$ oraz odcinek równoległy do osi $Y$ . Końce tego odcinka oznaczmy odpowiednio $E$ i $D$ . Otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne z długościami boków tak, jak na poniższym rysunku.

R1ETMmwHuMgtr

Ponieważ trójkąty $A D P$ i $P E B$ są podobne, zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{5 - a}{a} = \frac{a}{6 - a}$

Zauważmy, że $a \in (0, 5)$ .

Wobec tego:

$(5 - a) \cdot (6 - a) = a^{2}$

$30 - 5 a - 6 a + a^{2} = a^{2}$

Zatem $a = \frac{30}{11}$ .

Czyli punkt $P$ ma współrzędne $P = (- \frac{30}{11}, \frac{30}{11})$ .

R1NIxJOTfDPgY1

Ćwiczenie 1

RBNKxtIaEzZTO1

Ćwiczenie 2

R1IqMJ3gtBnAV2

Ćwiczenie 3

R1DomRHA6N0fc2

Ćwiczenie 4

RncQHt9HlTGYD2

Ćwiczenie 5

Bartek samodzielnie wykona pewną pracę w czasie o piętnaście godzin krótszym, niż wykonałby to zadanie Jacek. Pracując razem, wykonają to zadanie w ciągu dziesięciu godzin. W ciągu ilu godzin wykonałby tę pracę każdy z nich pracując samodzielnie? Uzupełnij luki podanymi propozycjami. Oznaczmy czas pracy Jacka niewiadomą x.
Wtedy czas pracy Bartka należy oznaczyć 1. x, większy niż, zero, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, piętnaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. x, plus, piętnaście, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero, 5. x, większy niż, piętnaście, 6. x, równa się, trzydzieści, 7. trzydzieści h, 8. piętnaście h, 9. x, minus, piętnaście, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, piętnaście, koniec ułamka, 11. czterdzieści pięć h, 12. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero.
Konieczne jest założenie 1. x, większy niż, zero, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, piętnaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. x, plus, piętnaście, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero, 5. x, większy niż, piętnaście, 6. x, równa się, trzydzieści, 7. trzydzieści h, 8. piętnaście h, 9. x, minus, piętnaście, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, piętnaście, koniec ułamka, 11. czterdzieści pięć h, 12. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero.
Układamy równanie 1. x, większy niż, zero, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, piętnaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. x, plus, piętnaście, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero, 5. x, większy niż, piętnaście, 6. x, równa się, trzydzieści, 7. trzydzieści h, 8. piętnaście h, 9. x, minus, piętnaście, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, piętnaście, koniec ułamka, 11. czterdzieści pięć h, 12. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero.
Po przekształceniu do równania kwadratowego otrzymujemy 1. x, większy niż, zero, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, piętnaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. x, plus, piętnaście, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero, 5. x, większy niż, piętnaście, 6. x, równa się, trzydzieści, 7. trzydzieści h, 8. piętnaście h, 9. x, minus, piętnaście, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, piętnaście, koniec ułamka, 11. czterdzieści pięć h, 12. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero.
Równanie kwadratowe posiada dwa rozwiązania, jednak warunki zadania spełnia 1. x, większy niż, zero, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, piętnaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. x, plus, piętnaście, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero, 5. x, większy niż, piętnaście, 6. x, równa się, trzydzieści, 7. trzydzieści h, 8. piętnaście h, 9. x, minus, piętnaście, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, piętnaście, koniec ułamka, 11. czterdzieści pięć h, 12. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero.
Czyli Jacek wykona samodzielnie pracę w 1. x, większy niż, zero, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, piętnaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. x, plus, piętnaście, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero, 5. x, większy niż, piętnaście, 6. x, równa się, trzydzieści, 7. trzydzieści h, 8. piętnaście h, 9. x, minus, piętnaście, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, piętnaście, koniec ułamka, 11. czterdzieści pięć h, 12. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero, Bartek potrzebuje 1. x, większy niż, zero, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, piętnaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. x, plus, piętnaście, 4. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero, 5. x, większy niż, piętnaście, 6. x, równa się, trzydzieści, 7. trzydzieści h, 8. piętnaście h, 9. x, minus, piętnaście, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, plus, piętnaście, koniec ułamka, 11. czterdzieści pięć h, 12. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści pięć x, plus, sto pięćdziesiąt, równa się, zero.

Rl98BdkwfRszB2

Ćwiczenie 6

R1CzH8tuJ0e3g3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Rlpajnb8tAwX83

RQiBDa0XxJdqH1

Ćwiczenie 9

R104vvonn1pvZ1

Ćwiczenie 10

RntAHIU0tvup71

Ćwiczenie 11

Rv3RkNqPc4nhm2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Samochód przebył trzecią część trasy ze średnią prędkością $60 \frac{km}{h}$ , a średnia prędkość samochodu na całej trasie wyniosła $72 \frac{km}{h}$ . Oblicz średnią prędkość samochodu na drugiej części trasy.

Niech $s$ będzie długością trasy, jaką przebył samochód.

Przedstawmy sytuację z zadania w poniższej tabeli.

	Droga	Prędkość
I część trasy	$\frac{1}{3} s$	$60 \frac{km}{h}$
II część trasy	$\frac{2}{3} s$	$v \frac{km}{h}$

Ponieważ średnia prędkość na całej trasie wynosiła $72 \frac{km}{h}$ , zatem do wyznaczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$72 = \frac{s}{\frac{\frac{1}{3} s}{60} + \frac{\frac{2}{3} s}{v}}$

$72 = \frac{s}{\frac{s}{180} + \frac{2 s}{3 v}}$

$72 = \frac{1}{\frac{1}{180} + \frac{2}{3 v}}$

$72 = \frac{1}{\frac{v}{180 v} + \frac{120}{180 v}}$

$72 = \frac{180 v}{v + 120}$

$72 \cdot (v + 120) = 180 v$

$72 v + 8640 = 180 v$

$108 v = 8640$

$v = 80$

Zatem średnia prędkość samochodu na drugim odcinku trasy wynosiła $80 \frac{km}{h}$ .

Ćwiczenie 14

Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z tego samego miasta. Po pewnym czasie pierwszy samochód znajdował się w odległości $320 km$ , a drugi w odległości $260 km$ . Średnia prędkość drugiego samochodu była o $15 \frac{km}{h}$ mniejsza od prędkości pierwszego. Oblicz średnie prędkości z jakimi poruszały się te samochody.

Niech $v [\frac{k m}{h}]$ będzie prędkością pierwszego samochodu.

Ponieważ czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{320}{v} = \frac{260}{v - 15}$ , gdzie $v \in (15, \infty)$

$320 \cdot (v - 15) = 260 v$

$320 v - 4800 = 260 v$

$60 v = 4800$

$v = 80 \frac{km}{h}$

$80 \frac{k m}{h} - 15 \frac{k m}{h} = 65 \frac{k m}{h}$

Zatem prędkości samochodów wynosiły odpowiednio $80 \frac{km}{h}$ oraz $65 \frac{km}{h}$ .

Ćwiczenie 15

Dwaj turyści wyruszyli równocześnie na trasę długości $12 km$ . Prędkość, z jaką poruszał się pierwszy turysta była o $1 \frac{km}{h}$ większa niż prędkość, z jaką poruszał się drugi turysta, więc pokonał on trasę w czasie o $36 \min$ krótszym niż drugi. Oblicz prędkości, z jakimi poruszali się obaj turyści.

Zauważmy, że $36 \min = \frac{3}{5} h$ .

Przedstawmy za pomocą tabeli sytuację opisaną w zadaniu $(v > 0, t > \frac{3}{5})$ .

	Prędkość	Czas
I turysta	$v [\frac{k m}{h}]$	$t [h]$
II turysta	$(v + 1) [\frac{k m}{h}]$	$(t - \frac{3}{5}) [h]$

Wobec tego do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{12}{v} = \frac{12}{v + 1} + \frac{3}{5}$

$12 \cdot 5 \cdot (v + 1) = 12 \cdot 5 \cdot v + 3 \cdot v \cdot (v + 1)$

$60 v + 60 = 60 v + 3 v^{2} + 3 v$

$3 v^{2} + 3 v - 60 = 0$

$v^{2} + v - 20 = 0$

$∆ = 1 + 80 = 81$

$\sqrt{∆} = 9$

$v_{1} = \frac{- 1 - 9}{2} = - 5 < 0$

$v_{2} = \frac{- 1 + 9}{2} = 4 > 0$

Wobec tego prędkości, z jakimi poruszali się turyści wynoszą odpowiednio:

$v = 4 \frac{km}{h}$

$4 \frac{k m}{h} + 1 \frac{k m}{h} = 5 \frac{k m}{h}$

Ćwiczenie 16

Motocyklista miał przebyć drogę długości $30 km$ w pewnym czasie ze stałą prędkością. W trakcie jazdy postanowił zatrzymać się na $15 \min$ . Aby zmieścić się w zaplanowanym czasie, kierowca samochodu musiał zwiększyć prędkość o $20 \frac{km}{h}$ . Oblicz, z jaką zaplanowaną prędkością miał jechać motocyklista.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$v$ – zaplanowana prędkość $[\frac{km}{h}]$

$t$ – zaplanowany czas $[h]$

Wiadomo, że $v$ , $t > 0$ oraz

$15 \min = \frac{15}{60} h = \frac{1}{4} h$

Zatem do wyznaczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{30}{v + 20} + \frac{1}{4} = \frac{30}{v}$

$30 \cdot 4 \cdot v + v \cdot (v + 20) = 30 \cdot 4 \cdot (v + 20)$

$120 v + v^{2} + 20 v = 120 v + 2400$

$v^{2} + 20 v - 2400 = 0$

$v_{1} = \frac{- 20 - 100}{2} = - 60 < 0$

$v_{2} = \frac{- 20 + 100}{2} = 40 > 0$

Motocyklista miał jechać z prędkością $40 \frac{km}{h}$ .

Ćwiczenie 17

Proste $k$ i $l$ z rysunku są równoległe. Wówczas wartość $x$ wynosi:

R4r3CYreAo5bm

Ilustracja przedstawia dwie proste, pierwsza pozioma druga pod katem ostrym względem pierwszej przecinające się w jednym punkcie S. Na rysunku zaznaczono także dwie równoległe do siebie proste k oraz l, przecinające obie proste, dzieląc je na cztery odcinki. W pierwszym przypadku prostej poziomej odcinek pomiędzy punktem przecięcia prostej k a punktem S ma długość dwa, natomiast odcinek pomiędzy puntem S a puntem przecięcia prostej l ma długość x dodać pięć. W przypadku drugiej prostej odcinek pomiędzy punktem przecięcia prostej k a punktem s ma długość osiem odjąć x, natomiast odcinek pomiędzy punktem S a punktem przecięcia prostej l ma długość trzynaście minus x.

R18J7air9W9cc

Ćwiczenie 18

Wiadomo, że trójkąty przedstawione na rysunkach są podobne.

R1Dz8dkv3vNC7

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy o przyprostokątnych równych x dodać dwa oraz sześć i kącie alfa przy przyprostokątnej o długości sześć. Drugi o przyprostokątnych szesnaście i x odjąć dwa oraz kącie alfa przy przyprostokątnej o długości x odjąć dwa.

RllCzJzWxjpRG

Ćwiczenie 19

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $6$ i $8$ wpisano kwadrat o boku $x$ tak, jak na poniższym rysunku.

RUa2olZXfCWKV

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C o długości przyprostokątnych A B równej osiem oraz A C równej sześć. Na odcinku B C utworzono punkt E i zrzutowano go na odcinek A C w punkcie D oraz na odcinek A B w punkcie F. Wewnątrz trójkąta powstał kwadrat A F E D o długości boków x.

RQ7SrMxPwu8KH

Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny $A B C$ . Długość odcinka $x$ możemy obliczyć z równania:

ROruw1fmeBU2o

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A B C. Odcinek A B ma długość pięć natomiast ramię trójkąta ma długość x. Z punktu B poprowadzono odcinek B D o długości pięć, dzielący odcinek A C na dwie części, pierwsza z nich A D o długości x odjąć pięć oraz druga D Co długości pięć.

R21Rl8kNn6YlR

Ćwiczenie 21

W trapezie równoramiennym punkt przecięcia przekątnych podzielił wysokość w taki sposób, że jedna z części tego odcinka jest o $6$ dłuższa od drugiej. Ponadto krótsza podstawa tego trapezu jest równa jego wysokości, a podstawy różnią się o $24$ . Oblicz pole tego trapezu.

Narysujmy trapez równoramienny i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1EQ4S7Z1fhJN

Zauważmy, że $x > 0$ oraz trójkąty $A B S$ i $S C D$ są podobne z cechy podobieństwa trójkątów $k k k$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{2 x + 6}{x} = \frac{2 x + 30}{x + 6}$

$(2 x + 6) \cdot (x + 6) = x \cdot (2 x + 30)$

$2 x^{2} + 12 x + 6 x + 36 = 2 x^{2} + 30 x$

$12 x = 36$

$x = 3$

Niech $a$ , $b$ , $h$ będą odpowiednio długościami dłuższej i krótszej podstawy oraz wysokości trapezu.

Wówczas:

$a = 36$

$b = 12$

$h = 12$

Zatem pole omawianego trapezu jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

$P = \frac{1}{2} \cdot (36 + 12) \cdot 12 = 288$

Ćwiczenie 22

Skala podobieństwa dwóch trójkątów podobnych wynosi $4$ . Oblicz pole każdego z tych trójkątów wiedząc, że pola tych figur różnią się o $75$ .

Niech $P_{1}$ i $P_{2}$ będą polami omawianych trójkątów, przy czym $P_{1} > P_{2}$ .

Ponadto wiadomo, że $P_{1} = P_{2} + 75$ .

Jeżeli skala podobieństwa dwóch trójkątów podobnych wynosi $4$ , to stosunek ich pól jest równy $16$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $P_{2}$ rozwiązujemy równanie:

$16 = \frac{P_{2} + 75}{P_{2}}$

$16 P_{2} = P_{2} + 75$

$15 P_{2} = 75$

$P_{2} = 5$

Wobec tego

$P_{1} = 5 + 75 = 80$

Ćwiczenie 23

W trójkąt równoramienny o wierzchołkach $A = (- 10, 0)$ , $B = (10, 0)$ , $C = (0, 5)$ wpisano prostokąt $K L M N$ , którego dwa wierzchołki leżą na osi $X$ , a pozostałe dwa należą do ramion tego trójkąta tak, że $M = (x, x)$ oraz $x \in (0, 5)$ . Oblicz pole tego prostokąta.

Narysujmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RmkXc75Mai146

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do dziesięciu oraz pionową oś Y od minus jedynki do sześciu. Na rysunku zaznaczono także punkt A o współrzędnych nawias minus dziesięć średnik zero, punkt B o współrzędnych nawias dziesięć średnik zero oraz punkt C o współrzędnych nawias zero średnik pięć koniec nawiasu. Powstał trójkąt równoramienny A B C. Na odcinku B C zaznaczono także punkt M o współrzędnych nawias x średnik x koniec nawiasu oraz na odcinku A C punkt N o współrzędnych nawias minus x średnik x. Oba te punkty zostały zrzutowane na oś X w punktach L i K. Wewnątrz trójkąta powstał prostokąt K L M N.

Zauważmy, że trójkąty $A B C$ oraz $N M C$ są podobne.

Z przyjętych oznaczeń wynika, że:

$|M N| = 2 x$

$|A B| = 20$

$|O C| = 5$

$|S C| = 5 - x$ ,

gdzie $S C$ jest wysokością trójkąta $N M C$ . Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{20}{5} = \frac{2 x}{5 - x}$

$20 \cdot (5 - x) = 5 \cdot 2 x$

$100 - 20 x = 10 x$

$x = \frac{10}{3}$

Wobec tego:

$|N M| = \frac{20}{3}$

$|L M| = \frac{10}{3}$

Zatem pole prostokąta $K L M N$ jest równe:

$P = \frac{10}{3} \cdot \frac{20}{3} = \frac{200}{9} = 22 \frac{2}{9}$

R2YAbJIPh2eNZ3

Ćwiczenie 24

Słownik

równanie wymierne

równanie, które można sprowadzić do postaci $\frac{V (x)}{W (x)} = 0$ , gdzie $V (x)$ , $W (x)$ , są wielomianami, przy czym $W (x)$ jest wielomianem co najmniej pierwszego stopnia oraz $W (x) \neq 0$

1. Równania wymierne

3. Nierówności wymierne