3. Nierówności wymierne

RqXfIijK3ZB3L

Załóżmy że firma zaczęła produkować rowery, które zamierza sprzedać. Przewidywany zysk ze sprzedaży rowerów można przedstawić za pomocą funkcji:

$f (x) = \frac{x^{2} - 900}{x}$ , gdzie $x$ to liczba sprzedanych rowerów.

Rp4CpLfCAoCGR

Ilustracja przedstawia rower damski z koszykiem pełnym kwiatów. — Źródło: Pixabay.com, www.Pixabay, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Oczywiście właściciel firmy chce wiedzieć ile rowerów musi sprzedać, aby zysk był większy niż zero. Zatem musi rozwiązać nierówność wymierną:

$\frac{x^{2} - 900}{x} > 0$ .

W tym materiale nauczymy się rozwiązywać nierówności wymierne typu: $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} > 0$ , $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0$ , $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0$ , $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \leq 0$ , gdzie $W_{1}$ , $W_{2}$ są wielomianami i $W_{2} (x) \neq 0$ .

Przypomnij sobie, jak rozwiązuje się równania wymierne typu $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} = 0$ , gdzie $W_{1}$ , $W_{2}$ są wielomianami i $W_{2} (x) \neq 0$ oraz nierówności wielomianowe.

Twoje cele

Rozwiążesz proste nierówności wymierne.

Rozwiążesz nierówności wymierne, w których w liczniku i w mianowniku występuje jednomian.

Rozwiążesz nierówności wymierne kilkoma sposobami.

Nierównością wymierną z niewiadomą $x$ nazywamy nierówność, którą można sprowadzić do postaci

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} > 0$ lub $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0$ lub $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0$ lub $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \leq 0$ ,

gdzie $W_{1}$ , $W_{2}$ są wielomianami, przy czym $W_{2}$ jest wielomianem co najmniej pierwszego stopnia i $W_{2} (x) \neq 0$ .

Przykłady nierówności wymiernych:

$\frac{2}{x} > 0$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{0\}$ ,

$\frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25} \leq 0$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{- 5\}$ ,

$\frac{- 3 {(x - 5)}^{5} {(2 - 4 x)}^{3} {(2 x - 6)}^{7}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 5)}^{10}} \geq 0$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{- 5; 1\}$ ,

$\frac{x - 2}{3 x - 6} \geq 2$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{2\}$ ,

$\frac{x + 3}{x + 1} < \frac{x - 13}{x^{2} - 4 x - 5} - \frac{8}{x - 5}$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{- 1; 5\}$ .

Nierówność wymierną rozwiązujemy najczęściej doprowadzając ją do postaci wielomianowej, przy wyznaczonej dziedzinie nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinie nierówności wymiernej.

o równoważności nierówności

Twierdzenie: o równoważności nierówności

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} > 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) > 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ ,

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) < 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ ,

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \geq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ ,

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \leq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \leq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .

Zatem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych, często będziemy korzystać z powyższego twierdzenia.

Ważne!

Czy nierówność

$\frac{x - 1}{x} > 0$

możemy obustronnie pomnożyć przez $x$ ?

Oczywiście, że nie!

Zauważmy, że wyrażenie $x$ występujące w mianowniku nie ma określonego znaku. Wyrażenie nie jest zawsze dodatnie, bądź ujemne.

Natomiast, jeśli zadanie brzmi:

Rozwiąż nierówność $\frac{x - 1}{x} > 0$ dla $x \in (0; + \infty)$ .
Wówczas możemy nierówność pomnożyć obustronie przez $x$ , bo $x > 0$ .
Stąd
$\frac{x - 1}{x} > 0 / \cdot x$
Uwaga nie zmieniamy zwrot nierówności, ponieważ wyrażenie $x$ jest dodatnie, czyli
$x - 1 > 0$ ,
$x > 1$ .
Uwzględnijmy założenie:
$[x \in (1; + \infty) \land x \in (0; + \infty)] \Leftrightarrow x \in (1; + \infty)$ .
Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{x - 1}{x} > 0$ w tym przypaku jest zbiór $(1; + \infty)$ .

Rozwiąż nierówność $\frac{x - 1}{x} > 0$ dla $x \in (- \infty; 0)$ .
Wówczas możemy nierówność pomnożyć obustronnie przez $x$ , bo $x < 0$ .
Stąd
$\frac{x - 1}{x} > 0 | \cdot x$
Uwaga! – zmieniamy zwrot nierówności, ponieważ wyrażenie $x$ jest ujemne, czyli
$x - 1 < 0$ ,
$x < 1$ .
Uwzględnijmy założenie:
$[x \in (- \infty; 1) \land x \in (- \infty; 0)] \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0)$ .
Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{x - 1}{x} > 0$ w tym przypadku jest zbiór $(- \infty; 0)$ .

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $\frac{2}{x} \geq 0$ .

Na początku rozwiązywania nierówności wymiernej musimy podać założenia.

Założenie: $x \neq 0$ (mianownik nie może przyjmować wartości równej zero), czyli $D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Korzystamy z równoważności:

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \geq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .

$\frac{2}{x} \geq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2 x \geq 0$ i $x \neq 0$ .

Wówczas $x \geq 0$ i $x \neq 0$ .

Uwzględniając założenia podajemy rozwiązanie nierówności wymiernej.

RGmqRNIKxdThM

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt zero oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale (-∞;0) oraz wartości dodatnie w przedziale (0;∞).

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{2}{x} \geq 0$ jest zbiór $(0; + \infty)$ .

Kolejną nierówność rozwiążemy na dwa sposoby.

Przykład 2

Rozwiążemy następującą nierówność $\frac{2 x - 4}{5 x + 5} < - 2$ .

Zawsze na początku rozwiązywania zadania musimy podać założenia, czyli $x \neq - 1$ .

$D = ℝ ∖ \{- 1\}$ .

$I$ sposób rozwiązania nierówności wymiernej:
Sprowadzamy nierówność do postaci $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0$ .
$\frac{2 x - 4}{5 x + 5} + 2 < 0$ , skąd
$\frac{2 x - 4}{5 x + 5} + \frac{2 (5 x + 5)}{5 x + 5} < 0$ , zatem
$\frac{12 x + 6}{5 x + 5} < 0$ .
Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej
$(12 x + 6) (5 x + 5) < 0 \land x \neq - 1$ ,
$60 (x + \frac{1}{2}) (x + 1) < 0 \land x \neq - 1$ .
Odczytujemy miejsca zerowe wielomianu $W (x) = 60 (x + \frac{1}{2}) (x + 1)$ oraz uwzględniając dziedzinę, szkicujemy jego wykres.
Rlok9A0mkGvy4
$W (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 1; - \frac{1}{2})$
Uwzględniamy dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 1\}$ , która w tym wypadku nie wpływa na rozwiązanie. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{2 x - 4}{5 x + 5} < - 2$ jest zbiór $(- 1; - \frac{1}{2})$ .

$II$ sposób rozwiązania nierówności wymiernej:
Zauważmy, że wielomian $5 x + 5$ występujący w mianowniku przyjmuje wartości dodatnie, jak i ujemne. Zatem nie możemy nierówności pomnożyć obustronnie przez $5 x + 5$ . Pomnożmy obie strony nierówności przez wyrażenie ${(5 x + 5)}^{2}$ . Wówczas, przy przyjętych założeniach, zwrot nierówności nie ulegnie zmianie, bo ${(5 x + 5)}^{2} > 0$ .
$\frac{2 x - 4}{5 x + 5} < - 2 | \cdot {(5 x + 5)}^{2}$
$\frac{2 x - 4}{5 x + 5} \cdot {(5 x + 5)}^{2} < - 2 \cdot {(5 x + 5)}^{2}$ ,
$(2 x - 4) (5 x + 5) < - 2 \cdot {(5 x + 5)}^{2}$ ,
$(2 x - 4) (5 x + 5) + 2 \cdot {(5 x + 5)}^{2} < 0$ .
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
$(5 x + 5) [2 x - 4 + 2 (5 x + 5)] < 0$ ,
$(5 x + 5) [2 x - 4 + 10 x + 10] < 0$ ,
$(12 x + 6) (5 x + 5) < 0$ ,
$60 (x + \frac{1}{2}) (x + 1) < 0$ .
Następnie postępujemy analogicznie jak powyżej, czyli wielomian $W (x) = 60 (x + \frac{1}{2}) (x + 1)$ ma dwa pierwiastki jednokrotne: $(- 1)$ , $(- \frac{1}{2})$ .
Rlok9A0mkGvy4
$W (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 1; - \frac{1}{2})$
Uwzględniamy dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 1\}$ , która w tym wypadku nie wpływa na rozwiązanie. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{2 x - 4}{5 x + 5} < - 2$ jest zbiór $(- 1; - \frac{1}{2})$ .

Ważne!

Zwróćmy uwagę na to, że przy rozwiązywaniu nierówności wymiernej drugim sposobem, nie możemy mnożyć obustronnie nierówności przez mianownik wyrażenia wymiernego, jeśli nie wiemy jaki on ma znak, czy ujemny czy dodatni. Jeśli znak mianownika byłby ujemny, to po pomnożeniu nierówności przez ten mianownik, musielibyśmy zmienić zwrot nierówności.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $\frac{x^{2} - 81}{x + 9} \leq 0$ .

Podajmy założenie: $x + 9 \neq 0$ , czyli $x \neq - 9$ .

$D = ℝ ∖ \{- 9\}$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ otrzymujemy

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{x + 9} \leq 0$ .

Po skróceniu wyrażenia przez $x + 9$ mamy

$x - 9 \leq 0$ ,

$x \leq 9$ i $x \neq - 9$ .

Uwzględniając dziedzinę szkicujemy wykres.

RWRzL4keWmcNs

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt minus 9 oraz 9 i wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale (-∞;9>oraz wartości dodatnie w przedziale <9;∞)

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{x^{2} - 81}{x + 9} \leq 0$ jest zbiór $(- \infty; - 9) \cup (- 9; 9 ⟩$ .

Ważne!

Rozwiązując nierówność wymierną, pamiętajmy o wyznaczeniu dziedziny.

Algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych

$I$ sposób:

Wyznaczamy dziedzinę nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej.
Sprowadzamy nierówność do postaci ogólnej - przenosimy wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności.
Wykonujemy wskazane działania.
Nierówność wymierną rozwiązujemy doprowadzając ją do równoważnej postaci wielomianowej przy wyznaczonej dziedzinie nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinie nierówności wymiernej (zastępujemy iloraz iloczynem z uwzględnieniem założeń).
Wyznaczamy pierwiastki wielomianupierwiastek wielomianupierwiastki wielomianu oraz szkicujemy wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności wymiernej uwzględniając dziedzinę.

$II$ sposób:

Wyznaczamy dziedzinę nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej.
Mnożymy obustronnie nierówność przez kwadrat mianownika lub przez inne wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony.
Wykonujemy wskazane działania.
Wyznaczamy pierwiastki wielomianu oraz szkicujemy wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności wymiernej uwzględniając dziedzinę.

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładem przedstawionym w infografice, a następnie wykonaj polecenie 2 i 3.

R1YcHZRi90Bd0

Infografika. Rozwiąż nierówność wymierną początek ułamka, trzy x, minus, dwa, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, większy równy, dwa. Założenia. x, nie równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. D, równa się, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego. Zauważmy, że wyrażenie w mianowniku dwa x, minus, trzy musi przyjmować wartości różne od zera. Zatem dziedziną nierówności wymiernej jest liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego. Pierwszy sposób. Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności początek ułamka, trzy x, minus, dwa, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, minus, dwa, większy równy, zero Sprowadźmy ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika początek ułamka, trzy x, minus, dwa, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, większy równy, zero Zapiszmy lewą stronę nierówności za pomocą jednej kreski ułamkowej. początek ułamka, trzy x, minus, dwa, minus, dwa nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, większy równy, zero Opuśćmy nawias początek ułamka, trzy x, minus, dwa, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, większy równy, zero Wykonajmy redukcję wyrazów podobnych początek ułamka, minus, x, plus, cztery, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, większy równy, zero Nierówność wymierną rozwiązujemy doprowadzając do postaci wielomianowej, czyli zastępując iloraz iloczynem nawias, minus, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero Wyłączamy z pierwszego nawiasu nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, a z drugiego nawiasu dwa. minus, dwa nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero Oznaczmy lewą stronę nierówności przez g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu Sporządzamy wykres funkcji g., Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt półtorej i 4 oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale nawias, minus, nieskończoność, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów, mniejszy niż, cztery, średnik, nieskończoność zamknięcie nawiasu oraz wartości dodatnie w przedziale nawias jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, cztery, większy niż Skoro x, nie równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, to zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej jest przedział nawias jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, cztery zamknięcie nawiasu ostrego., x, należy do, nawias jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, cztery, większy niż Drugi sposób. początek ułamka, trzy x, minus, dwa, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, większy równy, dwa \, razy, nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Pomnóżmy obustronnie nierówność wymierną przez kwadrat mianownika. początek ułamka, trzy x, minus, dwa, mianownik, dwa x, minus, trzy, koniec ułamka, razy, nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, dwa, razy, nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Dla x, nie równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero, zatem zwrot nierówności się nie zmieni., nawias, trzy x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, większy równy, dwa nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Po skróceniu wyrażenia przez dwa x, minus, trzy otrzymujemy iloczyn trzy x, minus, dwa oraz dwa x, minus, trzy większy bądź równy podwojonemu kwadratowi wyrażenia dwa x, minus, trzy., nawias, trzy x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, zero Wszystkie wyrażenia przenosimy na jedną stronę nierówności nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias kwadratowy, trzy x, minus, dwa, minus, dwa nawias dwa x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, większy równy, zero Wyłączamy przed nawias dwa x, minus, trzy nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias kwadratowy, trzy x, minus, dwa, minus, cztery x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu kwadratowego, większy równy, zero Doprowadzamy nierówność do najprostszej postaci. Pamiętając o tym, aby wielomian był zapisany w postaci iloczynowej nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, minus, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero Wyłączamy z pierwszego nawiasu dwa, a z drugiego nawiasu nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu., minus, dwa nawias, x, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero Oznaczmy lewą stronę nierówności przez g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu. Sporządzamy wykres funkcji g., Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt półtorej i 4 oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale nawias, minus, nieskończoność, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów, mniejszy niż, cztery, średnik, nieskończoność zamknięcie nawiasu oraz wartości dodatnie w przedziale nawias jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, cztery, większy niż Ponieważ x, nie równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, to zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej jest przedział nawias jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, cztery zamknięcie nawiasu ostrego. x, należy do, nawias jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, cztery, większy niż

Polecenie 2

Rozwiąż nierówność wymierną $\frac{x - 6}{2 x + 6} \leq 1$ dwoma sposobami.

Określ dziedzinę nierówności wymiernej.

$I$ sposób rozwiązania:
Przenieś wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności i skorzystaj z równoważności:
$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \leq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \leq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .
$II$ sposób rozwiązania:
Pomnóż nierówność wymierną obustronnie przez ${(2 x + 6)}^{2}$ .

Założenie: $x \neq - 3$ .

Dziedzina: $D = ℝ ∖ \{- 3\}$ .

$I$ sposób rozwiązania:
$\frac{x - 6}{2 x + 6} - 1 \leq 0$ ,
$\frac{x - 6}{2 x + 6} - \frac{2 x + 6}{2 x + 6} \leq 0$ ,
$\frac{x - 6 - (2 x + 6)}{2 x + 6} \leq 0$ ,
$\frac{x - 6 - 2 x - 6}{2 x + 6} \leq 0$ ,
$\frac{- x - 12}{2 x + 6} \leq 0$ ,
$(- x - 12) (2 x + 6) \leq 0$ ,
$- 2 (x + 12) (x + 3) \leq 0$ .
Wielomian $W (x) = - 2 (x + 12) (x + 3)$ ma dwa jednokrotne pierwiastki: $(- 12)$ , $(- 3)$ .
Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 3\}$ , która wpływa na rozwiązanie, otrzymujemy jako rozwiązanie nierówności zbiór $(- \infty; - 12⟩ \cup (- 3; + \infty)$ .
RlQ4z8woDtt9C

$II$ sposób rozwiązania:
$\frac{x - 6}{2 x + 6} \leq 1 | \cdot {(2 x + 6)}^{2}$ ,
$\frac{x - 6}{2 x + 6} \cdot {(2 x + 6)}^{2} \leq 1 \cdot {(2 x + 6)}^{2}$ ,
$(x - 6) (2 x + 6) \leq {(2 x + 6)}^{2}$ ,
$(x - 6) (2 x + 6) - {(2 x + 6)}^{2} \leq 0$ ,
$(2 x + 6) [x - 6 - (2 x + 6)] \leq 0$ ,
$(2 x + 6) (x - 6 - 2 x - 6) \leq 0$ ,
$(2 x + 6) (- x - 12) \leq 0$ ,
$- 2 (x + 3) (x + 12) \leq 0$ .
Wielomian $W (x) = - 2 (x + 12) (x + 3)$ ma dwa jednokrotne pierwiastki: $(- 12)$ , $(- 3)$ .
Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 3\}$ rozwiązaniem nierówności jest zbiór $(- \infty; - 12⟩ \cup (- 3; + \infty)$ .
R1Pu8savaIucu

Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $(- \infty; - 12⟩ \cup (- 3; + \infty)$ .

Polecenie 3

R1LcxubRDoekk

Ciekawostka

RDeVzmEVYVEkk

Na ilustracji przedstawiono wycinek mapy z czterema miejscowościami nad Morzem Bałtyckim. Hel, Gdynia, Sopot, Gdańsk. Linią przerywaną zaznaczono odległość z Gdyni na Hel.

W $2017$ roku rekordzistą w przepłynięciu Zatoki Płuckiej był Petar Stoychev (Bułgaria). Kilkunastokrotny Mistrz Świata na dystansie $25 km$ pokonał dystans ponad $18 km$ z Helu do Gdyni w ciągu $3 h 51 \min$ .

Wodolot to jednostka pływająca służąca do przewozu pasażerów, np. między miejscowościami Gdynia–Hel.

Załóżmy, że wodolot musi przepłynąć z Gdyni do Helu $(18 km)$ w czasie krótszym niż $20 \min$ .

R18KFqdM7tD66

Na ilustracji przedstawiono statek wodny, nazwany wodolotem. — Wodolot
Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Jaka powinna być średnia prędkość wodolotu?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy posłużyć się nierównością wymierną:

$\frac{18}{v} < \frac{20}{60}$ , gdzie $v$ to prędkość wodolotu.

Przykład 4

Załóżmy, że wodolot musi przepłynąć z Gdyni do Helu $(18 km)$ w czasie krótszym niż $20 \min$ .

Rozwiążmy nierówność $\frac{18}{v} < \frac{20}{60}$ , gdzie $v$ to prędkość wodolotu.

Zauważmy, że $v \in (0; + \infty)$ .

Wówczas

$\frac{18}{v} < \frac{1}{3} | \cdot 3 v$ ,

gdzie $3 v > 0$

$3 \cdot 18 < v$ ,

$54 < v$ .

Wodolot przepłynie z Gdyni do Helu $(18 km)$ w czasie krótszym niż $20 \min$ , gdy średni prędkość wodolotu będzie większa niż $54 \frac{km}{h}$ .

Przykład 5

Rozwiążmy nierówność $\frac{2}{x} < 0$ .

Wyrażenie $\frac{2}{x}$ zapisane w nierówności jest określone, gdy $x \neq 0$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Rozwiążemy nierówność wymierną $I$ sposobem.

Skorzystajmy z poniższej równoważność:

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) < 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .

Wówczas otrzymujemy

$\frac{2}{x} < 0 \Leftrightarrow 2 x < 0 \land x \neq 0$ .

Zatem $x < 0 \land x \neq 0$ .

Rozwiązaniem nierówności $\frac{2}{x} < 0$ jest przedział $(- \infty; 0)$ .

Przykład 6

Rozwiążemy nierówność $\frac{5 x}{x^{2}} \leq 2$ .

Rozwiązując powyższą nierówność nie możemy zapomnieć o założeniach. Zatem ${x^{2}}^{} \neq 0$ , czyli $x \neq 0$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Następnie rozwiązujemy nierówność $\frac{5 x}{x^{2}} \leq 2$ , wykonując działania na potęgach po lewej stronie nierówności.

Stąd $\frac{5}{x} \leq 2$ .

Pomnóżmy obie strony nierówności przez $x^{2}$ . Zauważmy, że $x^{2} > 0$ , więc zwrot nierówności nie ulega zmianie.

Wówczas $5 x \leq 2 x^{2}$ ,

$2 x^{2} - 5 x \geq 0$ .

Wyłączmy $2 x$ przed nawias

$2 x (x - \frac{5}{2}) \geq 0$ .

Wielomian $W (x) = 2 x (x - \frac{5}{2})$ ma dwa pierwiastki jednokrotne: $0$ oraz $2, 5$ .

Uwzględniając dziedzinę nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

R3c1C1CyCDlP0

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami zero, oraz dwa i pół. Wykres biegnie nad osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero. Następnie wykres biegnie pod osią X i ponownie przecina oś X w zamalowanym punkcie dwa i pół, skąd biegnie do plus nieskończoności nad osią X.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $(- \infty; 0) \cup ⟨2, 5; + \infty)$ .

Przykład 7

Funkcja określona jest wzorem $f (x) = \frac{10}{x}$ . Wyznaczmy te argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje niemniejsze wartości niż funkcja $g (x) = - \frac{80}{x^{4}}$ .

Rozwiążemy nierówność $\frac{10}{x} \geq - \frac{80}{x^{4}}$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Pomnóżmy obustronnie nierówność wymierną przez $x^{4}$ , bo $x^{4} > 0$ .

$\frac{10}{x} \geq - \frac{80}{x^{4}} | \cdot x^{4}$

Zwrot nierówności nie ulegnie zmianie

$10 x^{3} \geq - 80 | : 10$ ,

$x^{3} \geq - 8$ ,

$x^{3} + 8 \geq 0$ .

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ .

Wówczas

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) \geq 0$ .

Wielomian $W (x) = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ ma jeden jednokrotny pierwiastek: $(- 2)$ .

Uwzględniając $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

RlVWcjCxwWb6q

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami minus dwa, oraz zero. Wykres biegnie pod osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w zamalowanym punkcie minus dwa. Następnie wykres biegnie nad osią X do plus nieskończoności.

Zbiorem rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ jest zbiór $x \in ⟨- 2; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z przykładem przedstawionym na infografice, a następnie wykonaj polecenie 2 i 3.

R11yBr9sKXd8S

Rozwiąż nierówność wymierną początek ułamka, minus, pięć nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, początek ułamka, minus, dwadzieścia × x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, × x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Przyjmując założenia: x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero, czyli x, nie równa się, zero. Zauważmy, że wyrażenia występujące w mianownikach x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego muszą przyjmować wartości różne od zera. Zatem dziedziną nierówności wymiernej jest liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Przypomnijmy własności potęg. Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz a, większy niż, zero:
1. a indeks górny, r, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, s, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, r, plus, s, koniec indeksu górnego
2. nawias, a indeks górny, r, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, s, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, r, razy, s, koniec indeksu górnego
3. początek ułamka, a indeks górny, r, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, s, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, a indeks górny, r, minus, s, koniec indeksu górnego. Zapiszmy nierówność początek ułamka, minus, pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, początek ułamka, minus, dwadzieścia x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Korzystając z własności potęg, otrzymujemy minus, pięć x większe bądź równe ilorazowi nawias, minus, dwadzieścia, zamknięcie nawiasu oraz x. Zapiszmy x, mniejszy równy, początek ułamka, cztery, mianownik, x, koniec ułamka. Dzielimy obustronnie nierówność przez liczbę ujemną: nawias, minus, pięć zamknięcie nawiasu. Zatem zmieniamy zwrot nierówności. Otrzymujemy x, mniejszy równy, początek ułamka, cztery, mianownik, x, koniec ułamka. Pomnóżmy obustronnie nierówność przez wyrażenie: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Dla x, nie równa się, zero: x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero, zatem zwrot nierówności się nie zmieni. Zapisujemy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mniejszy równy, cztery x. Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności. Otrzymamy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, mniejszy równy, zero. Wyłączamy x przed nawias. Otrzymujemy x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, zero. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, a, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu. Doprowadzamy nierówność do najprostszej postaci. Pamiętając o tym, aby wielomian był zapisany w postaci iloczynowej. Otrzymujemy x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, zero. Uwzględniają dziedzinę liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego szkicujemy wykres W. Wykres dla wielomianu W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu wygląda następująco. Na poziomej osi X zaznaczono liczby -2, 0, oraz dwa. Wykres biegnie od minus nieskończoności pod osią X i przecina wykres w zamalowanym punkcie minus dwa. Następnie biegnie nad osią X i ponownie przecina oś w niezamalowanym punkcie zero. Stąd biegnie pod osią X, a następnie przecina oś X w zamalowanym punkcie dwa. Następnie biegnie nad osią X do plus nieskończoności. Odpowiedź. Skoro x, nie równa się, zero, to rozwiązaniem nierówności wymiernej jest zbiór nawias, minus, nieskończoność, średnik, minus, dwa, większy niż, suma zbiorów nawias zero, średnik, dwa, większy niż.

Polecenie 5

Uzupełnij zdania.

Ruqf3xK0BPhDl

RoESK7ngVsEzB

Polecenie 6

R7voRd4lB0Z9m

R1YJFNqENyBFn1

Ćwiczenie 1

R1NgJ8sx9m2rU1

Ćwiczenie 2

RSrLAbLFd0i2W1

Ćwiczenie 3

RYPOweuoq7g292

Ćwiczenie 4

R1IhNFhHr2Edw2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Rozwiąż nierówność: $\frac{x^{2} - 9}{x - 3} \geq 0$ .

Wyznacz dziedzinę nierówności wymiernej.

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Zapiszemy założenia: $x \neq 3$ .

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Zatem nierówność ma postać

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} \geq 0$ , czyli

$x + 3 \geq 0$ ,

$x \geq - 3$ .

Uwzględniając dziedzinę zbiorem rozwiązań nierówności jest $⟨ - 3; 3) \cup (3; + \infty)$ .

RmBg2WTOlUKOb

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt minus 3 i 3 oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale (-∞;-3> oraz wartości dodatnie w przedziale <-3;∞)

Ćwiczenie 7

Rozwiąż nierówność: $\frac{5}{x - 2} > 2$ .

Zapiszemy założenia: $x \neq 2$ .

$\frac{5}{x - 2} - 2 > 0$ .

$D = ℝ ∖ \{2\}$ .

Sprowadźmy wyrażenia do wspólnego mianownika: $\frac{5}{x - 2} - \frac{2 (x - 2)}{x - 2} > 0$ , czyli

$\frac{5 - 2 x + 4}{x - 2} > 0$ ,

$\frac{- 2 x + 9}{x - 2} > 0$ .

Możemy nierówność pomnożyć obustronnie przez ${(x - 2)}^{2}$ .

Znak nierówności nie ulegnie zmianie, ponieważ wyrażenie ${(x - 2)}^{2}$ jest w wyznaczonej dziedzinie dodatnie.

$(- 2 x + 9) (x - 2) > 0$ .

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{2\}$ naszkicujmy wielomian $S (x) = - 2 (x - 4, 5) (x - 2)$ .

RPBSA0AuLO32L

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt dwa i cztery i pół oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale -∞;2∪4,5;∞ oraz wartości dodatnie w przedziale 2;4,5

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(2; 4, 5)$ .

Ćwiczenie 8

Funkcja $f (x) = \frac{6 x + a}{5 x + 10}$ przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich argumentów ze zbioru $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$ . Wyznacz wartość współczynnika $a$ .

Założenie: $5 x + 10 \neq 0$ ,

$x \neq - 2$

$D = ℝ ∖ \{- 2\}$ .

Skorzystajmy z poniższej równoważności

$\frac{6 x + a}{5 x + 10} > 0 \Leftrightarrow (6 x + a) (5 x + 10) > 0 \land x \neq - 2$

stąd

$30 \underset{x_{1} = - \frac{a}{6}}{\underset{⏟}{(x + \frac{a}{6})}} \underset{x_{2} = - 2}{\underset{⏟}{(x + 2)}} > 0 \land x \neq - 2$ .

Wówczas $- \frac{a}{6} = 3$ , czyli $a = - 18$ .

Wartość współczynnika $a$ wynosi $- 18$ .

Ćwiczenie 9

Wykaż, że jeśli liczby $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie, to $a + b + c + \frac{a b + b c + a c}{a b c} \geq 6$ .

Zapisz ułamek $\frac{a b + b c + a c}{a b c}$ w postaci sumy ułamków $\frac{a b}{a b c} + \frac{b c}{a b c} + \frac{a c}{a b c}$ .

Założenie: $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$

Teza: $a + b + c + \frac{a b + b c + a c}{a b c} \geq 6$

Dowód:

Zapisujemy ułamek $\frac{a b + b c + a c}{a b c}$ w postaci sumy ułamków $\frac{a b}{a b c} + \frac{b c}{a b c} + \frac{a c}{a b c}$ .

Następnie skracamy ułamek, otrzymując $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .

Zatem nierówność ma postać

$a + b + c + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 6$ ,

$a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c} \geq 6$ .

Udowodnijmy, że dla każdej liczby dodatniej $a$ zachodzi nierówność $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

Pomnóżmy obustronnie nierówność przez $a$ , gdzie $a > 0$

$a + \frac{1}{a} \geq 2 / \cdot a$ ,

$a^{2} + 1 \geq 2 a$ ,

$a^{2} - 2 a + 1 \geq 0$ ,

${(a - 1)}^{2} \geq 0$ .

Kwadrat różnicy zawsze jest nieujemny, więc $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

Analogicznie $b + \frac{1}{b} \geq 2$ , $c + \frac{1}{c} \geq 2$ .

Wówczas

$a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c} \geq 2 + 2 + 2 = 6$

Zatem prawdziwa jest nierówność

$a + b + c + \frac{a b + b c + a c}{a b c} \geq 6$ .

c.k.d.

Pokaż ćwiczenia:

Rsk023TEs05aY1

Ćwiczenie 10

R1P6L0BcaGqCJ1

Ćwiczenie 11

Rozwiązaniem nierówności wymiernej jest: x, należy do, nawias zero, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy niż, zero, 2. początek ułamka, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 3. początek ułamka, pięć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 4. początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, większy niż, zero, 5. początek ułamka, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 6. minus, początek ułamka, trzy x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, zero, 7. początek ułamka, minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, zero, 8. początek ułamka, minus, sześć, mianownik, x, koniec ułamka, większy niż, zero x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy niż, zero, 2. początek ułamka, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 3. początek ułamka, pięć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 4. początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, większy niż, zero, 5. początek ułamka, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 6. minus, początek ułamka, trzy x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, zero, 7. początek ułamka, minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, zero, 8. początek ułamka, minus, sześć, mianownik, x, koniec ułamka, większy niż, zero

RE5hsVBXc915f1

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

RpDyXlKobaucI

RZZ0fqOSCcuAm

Uzupełnij luki, wybierając odpowiednie rozwiązanie podanych nierówności.

Rozwiązaniem nierówności początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, większy równy, jeden są liczby z przedziału 1. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Rozwiązaniem nierówności minus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, mniejszy niż, minus, dwa są liczby z przedziału 1. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Rozwiązaniem nierówności początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy niż, początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka są liczby z przedziału 1. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Rozwiązaniem nierówności początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy niż, początek ułamka, jeden, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka są liczby z przedziału 1. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

RqqIHZgvFC3NV2

Ćwiczenie 14

RThFOnlOtJqnL3

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Funkcja określona jest wzorem $f (x) = \frac{2}{x^{3}}$ . Wyznacz te argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje mniejsze wartości niż funkcja $g (x) = \frac{54}{x^{6}}$ .

Rowiąż nierówność $\frac{2}{x^{3}} < \frac{54}{x^{6}}$ .

Nie zapomnij o podaniu dziedziny nierówności wymiernej.

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Pomnóżmy obustronnie nierówność wymierną przez $x^{6}$ , bo $x^{6} > 0$ .

$\frac{2}{x^{3}} < \frac{54}{x^{6}} | \cdot x^{6}$

Zwrot nierówności nie ulegnie zmianie

$2 x^{3} < 54 | : 2$ ,

$x^{3} < 27$ ,

$x^{3} - 27 < 0$ .

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ .

Wówczas

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) < 0$ .

Wielomian $W (x) = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ ma jeden jednokrotny pierwiastek: $3$ .

Uwzględniając $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

RiQk6l314VRnL

Zbiorem rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ jest zbiór $(- \infty; 0) \cup (0; 3)$ .

Ćwiczenie 17

Rozwiąż nierówność $|x| \leq \frac{16}{x^{3}}$ .

Wyznacz dziedzinę, a następnie rozwiąż podaną nierówność w dwóch przedziałach: $(- \infty; 0)$ , $(0; + \infty)$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$

Rozwiążemy nierówność w przedziale $(- \infty; 0)$ :

$- x \leq \frac{16}{x^{3}} | \cdot x^{6}$ , $x^{6} > 0$ ,

$- x^{7} \leq 16 x^{3}$ ,

$- x^{3} (x^{4} + 16) \leq 0$ .

Wielomian $W (x) = - x^{3} (x^{4} + 16)$ ma tylko jeden trzykrotny pierwiastek: $0$ .

Szkicujemy wykres uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{0\}$ .

R2ubUZENFnWHo

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonym punktem zero. Wykres biegnie nad osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero, skąd biegnie do plus nieskończoności pod osią X.

Rozwiązaniem nierówności $- x \leq \frac{16}{x^{3}}$ jest przedział $(0; + \infty)$ .

Wyznaczamy część wspólną przedziałów:

$(- \infty; 0) \cap (0; + \infty) = \emptyset$ .

Następnie rozwiążmy nierówność w przedziale $(0; + \infty)$ :

$x \leq \frac{16}{x^{3}} | \cdot x^{6}$ , $x^{6} > 0$

$x^{7} - 16 x^{3} \leq 0$ ,

$x^{3} (x^{4} - 16) \leq 0$ ,

$x^{3} (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) \leq 0$ ,

$x^{3} (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4) \leq 0$ .

Wielomian $W (x) = x^{3} (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$ ma jeden pierwiastek trzykrotny: $0$ oraz dwa jednokrotne pierwiastki: $(- 2)$ oraz $2$ .

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

Rs9zOjvduXvir

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi trzema punktami minus dwa, zero, oraz dwa. Wykres biegnie pod osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w zamalowanym punkcie minus dwa. Następnie wykres biegnie nad osią X, ponownie przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero i biegnie pod osią X. Następnie w punkcie 2, ponownie przecina oś X i biegnie do plus nieskończoności nad osią x.

Rozwiązaniem nierówności $x \leq \frac{16}{x^{3}}$ jest zbiór $(- \infty; - 2⟩ \cup (0; 2⟩$ .

Wyznaczamy część wspólną przedziałów:

$(0; + \infty) \cap [(- \infty; - 2⟩ \cup (0; 2⟩] = (0; 2⟩$ .

Wyznaczmy sumę przedziałów:

$\emptyset \cup (0; 2⟩ = (0; 2⟩$ .

Rozwiązaniem nierówności jest przedział $(0; 2⟩$ .

Słownik

dziedzina nierówności wymiernej

dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu $W_{2} (x)$ znajdującego się w mianowniku danego wyrażenia $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)}$

$D = ℝ ∖ \{x : W_{2} (x) = 0\}$

pierwiastek wielomianu

pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ nazywamy liczbę rzeczywistą $a$ , dla której $W (a) = 0$

2. Zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych

4. Zadania na dowodzenie z zastosowaniem wyrażeń wymiernych