• Określisz własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$.

• Udowodnisz monotoniczność funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$.

Opiszemy własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{3}{x}$ na podstawie jej wykresu.

Rozwiązanie

Rw9liugKHATam

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczonym wykresem funkcji $y=f\left(x\right)$, w postaci hiperboli która posiada dwie asymptoty. Prostą y równą 0 która jest asymptotą poziomą oraz prostą x równą zero która jest asymptotą pionową. Hiperbole zaznaczono na ćwiartce pierwszej oraz trzeciej.

• Dziedzina funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Funkcja nie ma miejsc zerowych.

• Wykres funkcji nie przecina osi $Y$.

• Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ;0\right)$, $\left(0;\infty \right)$.

• $f\left(x\right)>0\iff x\in \left(0;\infty \right)$.

• $f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-\infty ;0\right)$.

• Funkcja jest różnowartościowa.

• Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.

• Wykres funkcji ma asymptotęasymptotaasymptotę poziomą o równaniu: $y=0$, która pokrywa się z osią $X$.

• Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: $x=0$, która pokrywa się z osią $Y$.

Zauważmy, że:

• Wykresem funkcji $f\left(x\right)=\frac{3}{x}$ jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu $\left(0;0\right)$.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej $y=x$ oraz $y=-x$.

Funkcja jest malejąca w zbiorze $A\subset D_f$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$,$x_2$ należących do zbioru $A$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, $x\ne 0$, jest malejąca w zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}$.

Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, $x_1, x_2 \in {\mathrm{ℝ}}_{+}$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1, x_2 \in {\mathrm{ℝ}}_{+}$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_1}-\frac{5}{x_2}=\frac{5x_2-5x_1}{x_1{x}_2}=\frac{-5\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}>0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$

• $-5\left(x_1-x_2\right)>0$ ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią

• $x_1{x}_2>0$ z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią

• $\frac{-5\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}>0$, ponieważ iloraz dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$, zatem $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, $x\ne 0$, jest malejąca w zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{-}$.

Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, $x_1, x_2 \in {\mathrm{ℝ}}_{-}$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1, x_2 \in {\mathrm{ℝ}}_{-}$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_1}-\frac{5}{x_2}=\frac{5x_2-5x_1}{x_1{x}_2}=\frac{-5\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}>0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$

• $-5\left(x_1-x_2\right)>0$ ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią

• $x_1{x}_2>0$ z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią

• $\frac{-5\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}>0$, ponieważ iloraz dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$, zatem $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.

Pokażemy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$ nie jest malejąca w zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}\cup {\mathrm{ℝ}}_{-}$.

Dowód:

Wystarczy podać kontrprzykładkontrprzykładkontrprzykład, czyli przykład dwóch takich argumentów $x_1, x_2 \in {\mathrm{ℝ}}_{+}\cup {\mathrm{ℝ}}_{-}$, że $x_1<x_2$, ale $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Niech $x_1=-5$, a $x_2=5$, obie liczby należą do zbioru ${\mathrm{ℝ}}_{+}\cup {\mathrm{ℝ}}_{-}$ oraz $x_1<x_2$. Obliczamy wartości funkcji dla tych argumentów: $f\left(-5\right)=-1$, $f\left(5\right)=1$. Zauważmy, że $f\left(-5\right)<f\left(5\right)$.

Zatem z nierówności $x_1<x_2$ nie wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, więc o funkcji nie możmy powiedzieć, że jest malejąca.

Okazuje się, że funkcja, która jest malejąca w każdym ze zbiorów ${\mathrm{ℝ}}_{+}$, ${\mathrm{ℝ}}_{-}$ traci tę własność w sumie zbiorów ${\mathrm{ℝ}}_{+}\cup {\mathrm{ℝ}}_{-}$

Funkcja $f$ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, to znaczy:

Dla każdego $x_1,x_2\in D_f$, jeśli $x_1\ne x_2$, to $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$, gdzie $D_f$ oznacza dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę funkcji $f$.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{6}{x}$, $x\ne 0$, jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{6}{x}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$

$x_1,x_2\in D_f$, $x_1,\ne x_2$, czyli $x_1-x_2\ne 0$

Teza:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\ne 0$

Dowód:

Badamy różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$, $x_2$.

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{6}{x_1}-\frac{6}{x_2}=\frac{6x_2-6x_1}{x_1{x}_2}=\frac{-6\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}\ne 0$

Uzasdnienie:

• $x_1-x_2\ne 0$ z założenia

• $-6\left(x_1-x_2\right)\ne 0$, ponieważ iloczyn dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera

• $\frac{-6\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}\ne 0$, ponieważ iloraz dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera

Wobec tego, że $x_1$, $x_2$ oznaczały dowolne liczby rzeczywiste różne od zera, wykazaliśmy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{6}{x}$ jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Funkcja $f$ jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości, to znaczy:

Dla każdej liczby $x$ należącej do $D_f$, liczba $-x$ również należy do $D_f$ oraz $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$, $x\ne 0$, jest nieparzysta.

Dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$ jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, czyli zbiór symetryczny względem punktu $0$ na osi $X$.

Zbadamy wartość funkcji dla liczby $-x$:

$f\left(-x\right)=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}=-f\left(x\right)$

Udowodniliśmy, że dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości, czyli jest nieparzysta.

Opiszemy własności funkcji $f\left(x\right)=-\frac{4}{x}$ na podstawie jej wykresu i określimy własności wykresu.

Rozwiązanie

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{4}{x}$

R1DawmEo8I6eg

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. Wykresem przedstawionej funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Własności funkcji:

• Dziedzina funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Funkcja nie ma miejsc zerowych.

• Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ;0\right)$, $\left(0;\infty \right)$.

• $f\left(x\right)<0\iff x\in \left(0;\infty \right)$.

• $f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ;0\right)$.

• Funkcja jest różnowartościowa.

• Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.

Własności wykresu funkcji:

• Wykresem funkcji $f\left(x\right)=-\frac{4}{x}$ jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

• Wykres funkcji nie przecina osi $Y$.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu $\left(0;0\right)$.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej $y=-x$ oraz $y=x$.

• Wykres funkcji ma asymptotęasymptotaasymptotę poziomą o równaniu: $y=0$, która pokrywa się z osią $X$.

• Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: $x=0$, która pokrywa się z osią $Y$.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=-\frac{7}{x}$, $x\ne 0$ jest rosnąca w zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}$.

Rozwiązanie

Założenie:

$f\left(x\right)=-\frac{7}{x}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, $x_1,x_2\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1,x_2\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{7}{x_1}-\left(-\frac{7}{x_2}\right)=-\frac{7}{x_1}+\frac{7}{x_2}=\frac{-7x_2+7x_1}{x_1{x}_2}=\frac{7\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}<0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$;

• $7\left(x_1-x_2\right)<0$ ponieważ iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną;

• $x_1{x}_2>0$ z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią;

• $\frac{7\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}<0$, ponieważ iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną.

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$, zatem $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=-\frac{7}{x}$, $x\ne 0$ jest rosnąca w zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{-}$.

Rozwiązanie

Założenie:

$f\left(x\right)=-\frac{7}{x}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, $x_1,x_2\in {\mathrm{ℝ}}_{-}$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1,x_2\in {\mathrm{ℝ}}_{-}$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{7}{x_1}-\left(-\frac{7}{x_2}\right)=-\frac{7}{x_1}+\frac{7}{x_2}=\frac{-7x_2+7x_1}{x_1{x}_2}=\frac{7\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}<0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$;

• $7\left(x_1-x_2\right)<0$ ponieważ iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną;

• $x_1{x}_2>0$ z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią;

• $\frac{7\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}<0$, ponieważ iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną.

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$, zatem $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.

Pokażemy, że funkcja $f\left(x\right)=-\frac{7}{x}$ nie jest rosnąca w zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}\cup {\mathrm{ℝ}}_{-}$.

Rozwiązanie

Dowód:

Wystarczy podać kontrprzykładkontrprzykładkontrprzykład, czyli przykład dwóch takich argumentów $x_1,x_2\in {\mathrm{ℝ}}_{+}\cup {\mathrm{ℝ}}_{-}$, że $x_1<x_2$, ale $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Niech $x_1=-7$, a $x_2=7$, obie liczby należą do zbioru ${\mathrm{ℝ}}_{+}\cup {\mathrm{ℝ}}_{-}$ oraz $x_1<x_2$. Obliczamy wartości funkcji dla tych argumentów: $f\left(-7\right)=1$, $f\left(7\right)=-1$. Zauważmy, że $f\left(-7\right)>f\left(7\right)$.

Zatem z nierówności $x_1<x_2$ nie wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, zatem o funkcji nie możemy powiedzieć, że jest rosnąca.

Okazuje się, że funkcja, która jest rosnąca w każdym ze zbiorów ${\mathrm{ℝ}}_{+}$, ${\mathrm{ℝ}}_{-}$ traci tę własność w sumie zbiorów ${\mathrm{ℝ}}_{+}\cup {\mathrm{ℝ}}_{-}$.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=-\frac{9}{x}$, $x\ne 0$ jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Rozwiązanie

Założenie:

$f\left(x\right)=-\frac{9}{x}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$

$x_1,x_2\in D_f$, $x_1,\ne x_2$, czyli $x_1-x_2\ne 0$

Teza:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\ne 0$

Dowód:

Badamy różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$,$x_2$.

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{9}{x_1}-\left(-\frac{9}{x_2}\right)=-\frac{9}{x_1}+\frac{9}{x_2}=\frac{-9x_2+9x_1}{x_1{x}_2}=\frac{9\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}\ne 0$

Uzasdnienie:

• $x_1-x_2\ne 0$ z założenia;

• $9\left(x_1-x_2\right)\ne 0$, ponieważ iloczyn dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera;

• $\frac{9\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}\ne 0$, ponieważ iloraz dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera.

Wobec tego, że $x_1$,$x_2$ oznaczały dowolne liczby rzeczywiste różne od zera, wykazaliśmy, że funkcja $f\left(x\right)=-\frac{9}{x}$ jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=-\frac{5}{x}$, $x\ne 0$ jest nieparzysta.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f\left(x\right)=-\frac{5}{x}$ jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, czyli zbiór symetryczny względem punktu $0$ na osi $X$.

Zbadamy wartość funkcji dla liczby $-x$:

$f\left(-x\right)=-\frac{5}{-x}=\frac{5}{x}=-f\left(x\right)$

Udowodniliśmy, że dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości, czyli jest nieparzysta.

zbiór argumentów, dla których wzór funkcji ma sens

takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat (definicja) jest fałszywy, używa się go najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających określenie „dla każdego”

prosta, do której coraz bardziej „zbliża się” wykres pewnej funkcji. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą