• Wyznaczysz wartość współczynnika $a$ znając współrzędne punktu, przez który przechodzi wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$.

• Wyznaczysz współczynnik $a$ znając pewne własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$.

• Wyznaczysz wzór funkcji homograficznej na podstawie znanych jej własności.

Funkcja $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ określona dla $a\ne 0$ i $x\ne 0$ jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$, gdzie $ad-bc\ne 0$ i $c\ne 0$. Jej wykresem jest hiperbola, czyli krzywa składająca się z dwóch gałęzi zbliżających się do osi układu współrzędnych.

Wyznaczymy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ wiedząc, że do jej wykresu należy punkt o współrzędnych $A=\left(-2;5\right)$.

Rozwiązanie

Do wzoru funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ wstawiamy współrzędne punktu $A=\left(-2;5\right)$.

$5=\frac{a}{-2}$
$a=-10$

czyli wzór funkcji to $f\left(x\right)=\frac{-10}{x}$.

Wyznaczymy wszystkie punkty kratowepunkt kratowypunkty kratowe należące do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ przechodzącego przez punkt $B=\left(3\sqrt{2};3\sqrt{2}\right)$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ można zapisać również w postaci $y=\frac{a}{x}$.

Mnożąc obustronnie przez $x$:

$y=\frac{a}{x}$
$xy=a$

czyli w naszym przypadku:

$a=3\sqrt{2}·3\sqrt{2}=18$

Aby wyznaczyć wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji należy wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych, dla których $x·y=18$.

Odpowiedź: Są to punkty: $\left(1;18\right)$, $\left(2;9\right)$, $\left(3;6\right)$, $\left(6;3\right)$, $\left(9;2\right)$, $\left(18;1\right)$ oraz $\left(-1;-18\right)$, $\left(-2;-9\right)$, $\left(-3;-6\right)$, $\left(-6;-3\right)$, $\left(-9;-2\right)$, $\left(-18;-1\right)$.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ wiedząc, że do jej wykresu należy punkt $C=\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)$.

Rozwiązanie

Podobnie jak w przykładzie 2 zauważamy, że wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ można zapisać również w postaci $y=\frac{a}{x}$.

Mnożąc obustronnie przez $x$:

$y=\frac{a}{x}$
$xy=a$

czyli w naszym przypadku:

$\left(-\sqrt{3}\right)·\sqrt{3}=\left(-3\right)$

Aby wyznaczyć inne punkty kratowe należące do wykresu funkcji, należy wyznaczyć pary liczb całkowitych, dla których $x·y=\left(-3\right)$. Są to punkty $\left(1;-3\right)$, $\left(-1;3\right)$, $\left(-3;1\right)$, $\left(3;-1\right)$. Teraz sporządzamy wykres funkcji.

R1ZDeIjvR0mBJ

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią $Y$ od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Gałęzie hiperboli leżą w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Czerwonymi kropkami zaznaczono należące do wykresu punkty $A=\left(-1;3\right)$, $B=\left(-3;1\right)$, $C=\left(3;-1\right)$ oraz $D=\left(1;-3\right)$.

Wyznaczymy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, $a\ne 0$, jeśli wiadomo, że $f\left(\sqrt{7}\right)-f\left(\sqrt{7}+1\right)=f\left(\sqrt{7}\right)·f\left(\sqrt{7}+1\right)$.

Rozwiązanie

$f\left(\sqrt{7}\right)-f\left(\sqrt{7}+1\right)=f\left(\sqrt{7}\right)·f\left(\sqrt{7}+1\right)$

$\frac{a}{\sqrt{7}}-\frac{a}{\sqrt{7}+1}=\frac{a}{\sqrt{7}}·\frac{a}{\sqrt{7}+1}$

$\frac{a\left(\sqrt{7}+1\right)}{\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)}-\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)}=\frac{a^2}{\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)}$

$\frac{a\sqrt{7}+a-a\sqrt{7}}{\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)}=\frac{a^2}{\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)}$

$a=a^2$

$a-a^2=0$
$a\left(1-a\right)=0$
$a=0\vee a=1$

ponieważ $a\ne 0$, czyli równość zachodzi dla $a=1$.

Odpowiedź: $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Prosta o równaniu $y=x$ przecina hiperbolę o równaniu $y=\frac{a}{x}$, $x\ne 0$, w dwóch punktach oddalonych od siebie o $4$. Wyznaczymy równanie hiperboli.

Rozwiązanie

Ponieważ środkiem symetrii hiperboli o równaniu $y=\frac{a}{x}$, $x\ne 0$, jest punkt $\left(0,0\right)$, to punkty przecięcia tej hiperboli z prostą o równaniu $y=x$ mają współrzędne: $A=\left(x,x\right)$ oraz $A\text{'}=\left(-x,-x\right)$. Zatem odległość tych punktów jest równa: $\left|AA\text{'}\right|=\sqrt{{\left(x+x\right)}^2+{\left(x+x\right)}^2}$.

Stąd mamy: $\sqrt{8x^2}=4$, co daje: $2\sqrt{2}\left|x\right|=4$. Zatem $x=\sqrt{2}$ lub $x=-\sqrt{2}$.

Wyznaczamy $a$:

$\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, czyli: $a=2$.

Zatem równanie hiperboli ma postać: $y=\frac{2}{x}$.

Funkcję wymiernąfunkcja wymiernaFunkcję wymierną postaci $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$, gdzie $c\ne 0$ i $ad-cb\ne 0$ nazywamy funkcją homograficzną.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$.

Wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$ można przekształcić do postaci $f\left(x\right)=\frac{k}{x-p}+q$ - jest to postać kanoniczna funkcji homograficznej.

Niektóre własności funkcji łatwiej wyznacza się z postaci kanonicznej funkcji, a niektóre łatwiej ze wzoru funkcji zapisanej jako iloraz dwóch wielomianów.

Analogicznie - na podstawie znanych własności funkcji, możemy wyznaczyć wzór funkcji w postaci kanonicznej lub funkcji zapisanej w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

Wyznaczymy wartość parametru $m$ we wzorze funkcji $f\left(x\right)=\frac{-4x-2m}{x-4}$ wiedząc, że miejscem zerowym funkcji jest liczba $\left(-3\right)$.

Rozwiązanie

Liczba $\left(-3\right)$ jest miejscem zerowym funkcji, jeśli $f\left(-3\right)=0$.

Zatem:

$0=\frac{-4·\left(-3\right)-2m}{-3-4}$

$m=6$

Wyznaczymy wartości parametrów $b$ i $d$ we wzorze funkcji homograficznej $f\left(x\right)=\frac{x+b}{x+d}$ wiedząc, że miejscem zerowym funkcji jest liczba $\left(-4\right)$ oraz funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ;2\right)$; $\left(2;\infty \right)$.

Rozwiązanie

Liczba $\left(-4\right)$ jest miejscem zerowym funkcji, jeśli $f\left(-4\right)=0$.

Zatem:

$0=\frac{-4+b}{-4+d}$

Ze względu na mianownik musimy założyć, że $d\ne 4$.

Patrząc na licznik otrzymujemy, że $b=4$.

Aby wyznaczyć parametr $d$ należy wykorzystać informację dotyczącą monotoniczności. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów $\left(-\infty ;2\right)$; $\left(2;\infty \right)$, czyli funkcja nie jest określona dla $x=2$. Oznacza to, że $x=2$ jest miejscem zerowym mianownika ułamka opisującego funkcję $f\left(x\right)$.

$0=2+d$

$d=-2$

Odpowiedź:

$b=4$; $d=-2$

Wyznaczymy współczynniki $a$, $b$ oraz $d$ funkcji homograficznej $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+d}$ na podstawie jej wykresu:

RNkplYxPGB5Fu

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Wykres funkcji przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(-2;1\right)$, $\left(0;-1\right)$ oraz $\left(4;3\right)$ i $\left(2;5\right)$ oznaczony jako punkt A. Asymptotę poziomą opisuje równanie $y=2$, natomiast pionową $x=1$.

Rozwiązanie

Najpierw przekształcimy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+d}=\frac{a\left(x+d\right)+b-ad}{x+d}=a+\frac{b-ad}{x+d}$

Wynika z tego, że wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+d}$ powstał w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{b-ad}{x}$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[-d;a\right]$.

Z wykresu odczytujemy wektor przesunięcia $\overrightarrow{v}=\left[1;2\right]$

czyli $d=-1$, $a=2$

Wzór funkcji ma postać $f\left(x\right)=\frac{2x+b}{x-1}$ dla  $x\ne 1$.

Następnie z rysunku odczytujemy punkt należący do wykresu funkcji: $A=\left(2;5\right)$. Podstawiamy wspórzędne punktu do wzoru funkcji:

$5=\frac{2·2+b}{2-1}$

zatem $b=1$

Odpowiedź:

$a=2$, $b=1$, $d=-1$

Wyznaczymy współczynniki $a$, $b$ oraz $d$ funkcji homograficznej $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+d}$ wiedząc, że asymptotamiasymptotaasymptotami wykresu są proste o równaniach: $y=-3$, $x=-2$ oraz wykres funkcji przechodzi przez punkt $A=\left(0;2\right)$.

Rozwiązanie

Najpierw przekształcimy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+d}=\frac{a\left(x+d\right)+b-ad}{x+d}=a+\frac{b-ad}{x+d}$

Wynika z tego, że wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+d}$ powstał w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{b-ad}{x}$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[-d;a\right]$.

Na podstawie równań asymptot wyznaczamy wektor przesunięcia $\overrightarrow{v}=\left[-2;-3\right]$

czyli $d=2$, $a=-3$

Wzór funkcji ma postać: $f\left(x\right)=\frac{-3x+b}{x+2}$dla  $x\ne -2$.

Następnie podstawiamy wspólrzędne punktu $A=\left(0;2\right)$ do wzoru funkcji:

$2=\frac{-3·0+b}{0+2}$

zatem $b=4$

Odpowiedź:

$a=-3$, $b=4$, $d=2$

Wyznaczymy współczynniki $a$ oraz $d$ funkcji homograficznej $f\left(x\right)=\frac{ax+7}{x+d}$ wiedząc, że środkiem symetriiśrodek symetrii figuryśrodkiem symetrii wykresu funkcji jest punkt $S=\left(-4;2\right)$.

Rozwiązanie

Najpierw przekształcimy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{ax+7}{x+d}=\frac{a\left(x+d\right)+7-ad}{x+d}=a+\frac{7-ad}{x+d}$

Wynika z tego, że wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{ax+7}{x+d}$ powstał w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{7-ad}{x}$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[-d;a\right]$.

Jeśli środkiem symetrii wykresu funkcji jest punkt $S=\left(-4;2\right)$, to w tym punkcie przecinają się asymptoty wykresu funkcji.

Zatem równania asymptot to: $x=-4$, $y=2$.

Na podstawie rówanań asymptot wyznaczamy wektor przesunięcia $\overrightarrow{v}=\left[-4;2\right]$

czyli $d=4$, $a=2$.

Rozwiążemy graficznie równanie $\frac{2}{x}=-x+3$, gdzie $x\ne 0$.

Rozwiązanie

Narysujemy wykresy funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$ i $g\left(x\right)=-x+3$ i odczytamy  punkty przecięcia tych wykresów.

RsHtKtiiK8lAN

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano hiperbolę, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres funkcji przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(-2;1\right)$, $\left(-1;-2\right)$ oraz $\left(1;2\right)$ i $\left(2;1\right)$. Narysowano prostą ukośną, przecinającą wykres funkcji w punktach $\left(1;2\right)$ oraz $\left(2;1\right)$.

Rozwiązaniem równania są liczby $x=1$ i $x=2$.

Sprawdzimy, który z punktów $A\left(1,3\right)$, $B\left(-5,0\right)$ i $C\left(-1,-1\right)$ należy do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x-1}{x+5}$

Rozwiązanie

A) Ponieważ $f\left(1\right)=\frac{3-1}{1+5}=\frac{1}{3}\ne 3$, więc punkt $A$ nie należy do wykresu funkcji $f$.

B) Punkt $B$ nie należy do wykresu funkcji $f$, gdyż $x=-5$ nie należy do dziedziny funkcji $f$.

C) Ponieważ $f\left(-1\right)=\frac{-3-1}{-1+5}=-1$, więc punkt $C$ należy do wykresu funkcji $f$.

Rozwiążemy graficznie nierówność $\frac{2x+1}{x+3}\ge x-1$, gdzie $x\ne -3$.

Rozwiązanie

Narysujemy wykresy funkcji $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x+3}$ i $g\left(x\right)=x-1$ i odczytamy zbiór rozwiązań.

Aby narysować wykres funkcji $f$ przekształcimy wzór funkcji z postaci ogólnej do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x+3}=\frac{2x+6-5}{x+3}=\frac{-5}{x+3}+2$

R1AsnYDJYSewM

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do trzech oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji $f\left(x\right)$ oraz $g\left(x\right)$. Żółtym kolorem narysowano wykres funkcji $f\left(x\right)$, który stanowi hiperbola. Liniami przerywanymi zaznaczono asymptoty wykresu funkcji. Asymptotę pionową opisuje równanie $x=-3$, natomiast poziomą $y=2$. Kolorem czerwonym narysowano wykres funkcji $g\left(x\right)$, który stanowi prosta ukośna, przecinająca jedną z gałęzi hiperboli w punktach o współrzędnych $\left(-2;-3\right)$ oraz $\left(2;1\right)$. Część wykresu funkcji $f\left(x\right)$, która została odcięta przez wykres $g\left(x\right)$ oznaczono kolorem niebieskim.

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $\left(-\infty ,-3\right)\cup ⟨-2,2⟩$

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{3x-2}{x-2}$, $x\ne 2$ jest malejąca w zbiorze $\left(2,\infty \right)$.

Rozwiązanie

Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{3x-2}{x-2}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$, $x_1$, $x_2\in \left(2,\infty \right)$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$, $x_2\in \left(2,\infty \right)$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{3x_1-2}{x_1-2}-\frac{3x_2-2}{x_2-2}=\frac{\left(3x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}-\frac{\left(3x_2-2\right)\left(x_1-2\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}=$

$=\frac{3x_1{x}_2-6x_1-2x_2+4-3x_1{x}_2+2x_1+6x_2-4}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}=\frac{-4\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}>0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$;

• $-4\left(x_1-x_2\right)>0$, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią;

• $x_1-2>0$ z założenia, ponieważ $x_1>2$;

• $x_2-2>0$ z założenia, ponieważ $x_2>2$;

• $\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)>0$, ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią;

• $\frac{-4\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}>0$, ponieważ iloraz dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią.

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$, zatem $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.

wielkości $x$ oraz $y$ są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest wielkością stałą i różną od zera

punkt, którego współrzędne w układzie kartezjańskim (prostokątnym) są liczbami całkowitymi

prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera; asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji

funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów

jest to punkt względem którego figura jest do siebie środkowosymetryczna; figura taka, gdy zostanie obrócona o 180 stopni wokół swojego środka symetrii, nałoży się na siebie