1. Ciąg arytmetyczny

R1YsQdJ3UEJH3

RW2QMruGYLiMk1

Zdjęcie przedstawia stadion z wypełnioną widownią. Na pierwszym planie stoi sportowiec trzymający pochodnię skierowaną w stronę wielkiego kilkumetrowego płonącego znicza. — Paavo Nurmi zapala znicz olimpijski w 1952 r.
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY 4.0.

Letnie igrzyska olimpijskie uważane są za największe i najbardziej prestiżowe zawody sportowe na świecie. Odbywają się cyklicznie, co $4$ lata, począwszy od pierwszej olimpiady, która odbyła się w $1896$ r. W matematyce odpowiednikiem zdarzeń powtarzających się w stałych odstępach czasu są wyrazy ciągu arytmetycznego.

W tym materiale poznamy właśnie ciąg arytmetyczny i jego podstawowe własności.

Twoje cele

Rozpoznasz wśród innych ciągów ciąg arytmetyczny.
W danym ciągu arytmetycznym określisz pierwszy wyraz i różnicę ciągu.
Mając pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, określisz kilka wyrazów ciągu.
Znając wzór ogólny ciągu arytmetycznego, określisz jego pierwszy wyraz, różnicę, konkretny wyraz ciągu.

Przyjrzyjmy się poniższym ciągom.

Ciąg liczb naturalnych: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $. . .$ , $n$ , $n + 1$ , $. . .$

Ciąg liczb parzystych: $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $. . .$ , $2 n$ , $2 n + 2$ , $. . .$

Ciąg kolejnych wielokrotności liczby $7$ : $0$ , $7$ , $14$ , $21$ , $28$ , $. . .$ , $7 n$ , $7 n + 7$ , $. . .$

Zauważmy, że w każdym z ciągów różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i równa odpowiednio: $1$ , $2$ , $7$ . Zatem kolejne wyrazy ciągów powstają przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby. O ciągach mających taką własność mówimy, że są to ciągi arytmetyczne.

Ciągi arytmetyczne mogą być ciągami nieskończonymi, bądź skończonymi. Ale aby stwierdzić czy dany ciąg jest arytmetyczny, ten ciąg musi mieć co najmniej trzy wyrazy.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg $(a_{n})$ , jest określony dla $n \geq 1$ i $n \in ℕ$ .

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwa jest równość:

a_{n + 1} = a_{n} + r

Przykład 1

Ciąg $(- 1, 3, 7)$ jest ciągiem arytmetycznym, gdyż

$3 - (- 1) = 7 - 3 = 4$

Liczba $4$ jest różnicą tego ciagu.

Przykład 2

Ciąg $(1, 6, 12)$ nie jest ciągiem arytmetycznym, bo drugi wyraz powstaje z pierwszego poprzez dodanie liczby $5$ , ale trzeci wyraz powstaje z drugiego poprzez dodanie liczby $6$ .

Ważne!

Ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny zwykle określany jest poprzez pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu.

Przykład 3

Przykłady ciągów arytmetycznych nieskończonych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Różnica ciągu
$1, 4, 7, 10, 13, . . .$	$1$	$3$
$- 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, . . .$	$- 6$	$2$
$10, 20, 30, 40, 50, . . .$	$10$	$10$
$9, 8, 7, 6, 5, . . .$	$9$	$- 1$
$\sqrt{2}, 0, - \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, . . .$	$\sqrt{2}$	$- \sqrt{2}$

Ciekawym rodzajem ciągu arytmetycznego jest ciąg stały. To znaczy taki, którego różnica jest równa $0$ .

Przykład 4

Przykłady ciągów stałych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Różnica ciągu
$- 1, - 1, - 1, - 1, - 1, - 1, . . .$	$- 1$	$0$
$5, 5, 5, 5, 5, . . .$	$5$	$0$
$\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, . . .$	$\frac{1}{3}$	$0$

Z określenia ciągu arytmetycznego wynika, że różnica między kolejnymi wyrazami jest dla danego ciagu stała, zatem mając pierwszy wyraz i różnicę ciągu, możemy wyznaczyć jego dowolny wyraz. W przypadku ciągu skończonego można wyznaczyć wszystkie wyrazy tego ciągu.

Zatem:

$a_{2} = a_{1} + r$

$a_{3} = a_{2} + r = a_{1} + 2 r$

$a_{4} = a_{3} + r = a_{1} + 3 r$

$a_{5} = a_{4} + r = a_{1} + 4 r$

$. . .$

Wyraz ogólny ciagu arytmetycznego

Twierdzenie: Wyraz ogólny ciagu arytmetycznego

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r

Na podstawie tego twierdzenia dla $m \in ℕ_{+}$ i $k \in ℕ_{+}$ możemy napisać:

a_{m} = a_{1} + (m - 1) \cdot r

a_{k} = a_{1} + (k - 1) \cdot r

Odejmujemy stronami zapisane równości.

a_{m} - a_{k} = (m - k) \cdot r

a_{m} = a_{k} + (m - k) \cdot r

Wyraz

a_{m}

ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Wyraz

a_{m}

ciągu arytmetycznego

Jeżeli $a_{m}$ i $a_{k}$ to dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ o różnicy $r$ to

a_{m} = a_{k} + (m - k) \cdot r

Przykład 5

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym. Zapiszemy piąty wyraz ciągu, za pomocą innego wyrazu ciągu i różnicy ciągu.

$a_{5} = a_{1} + 4 r$

$a_{5} = a_{3} + 2 r$

$a_{5} = a_{4} + r$

Znając co najmniej dwa kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego (niekoniecznie początkowe), można wyznaczyć łatwo różnicę tego ciągu.

Ważne!

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla dowolnej liczby naturalnej $n > 0$ prawdziwa jest równość

a_{n + 1} - a_{n} = r

Przykład 6

Wiadomo, że trzeci wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równy $90$ , a czwarty $270$ obliczymy pierwszy wyraz tego ciągu.

Mamy dane dwa kolejne wyrazy ciągu, zatem możemy obliczyć różnicę tego ciagu.

$a_{3} = 90$

$a_{4} = 270$

$r = 270 - 90 = 180$

Mając trzeci wyraz i różnicę ciągu, można obliczyć pierwszy wyraz.

$a_{3} = a_{1} + (3 - 1) \cdot 180$

$90 = a_{1} + 360$

$a_{1} = 90 - 360 = - 270$

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $(- 270)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją. Spróbuj najpierw samodzielnie wykonać zapisane tam zadania, a następnie porównaj z proponowanymi rozwiązaniami.

RS1Xd23SUgBuS

Polecenie 2

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = - 5 n + 70$ . Określ ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich i oblicz najmniejszy z nich.

$- 5 n + 70 > 0$

$- 5 n > - 70$

$n < 14$

Najmniejszy wyraz dodatni to $a_{13}$ .

$a_{13} = - 5 \cdot 13 + 70$

$a_{13} = - 65 + 70$

$a_{13} = 5$

Odpowiedź:

$13$ wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest dodatnich. Najmniejszy z nich to $5$ .

Ważne!

Aby zbadać, czy ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny, należy określić, czy różnica między każdymi kolejnymi wyrazami ciągu $(a_{n + 1} - a_{n})$ jest stała.

Zauważmy, że każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład 7

Zbadamy, czy ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = 3 n - 1$ jest ciągiem arytmetycznym.

Obliczamy cztery początkowe wyrazy ciągu.

$a_{1} = 2$

$a_{2} = 5$

$a_{3} = 8$

$a_{4} = 11$

Wyznaczamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{2} - a_{1} = 5 - 2 = 3$

$a_{3} - a_{2} = 8 - 5 = 3$

$a_{4} - a_{3} = 11 - 8 = 3$

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest w każdym przypadku taka sama, równa $3$ . Wydaje się zatem, że jest to ciąg arytmetyczny. Jednak jest to ciąg o nieskończenie wielu wyrazach, zatem nie możemy wyznaczyć i porównać wszystkich różnic.

Zatem wyznaczymy $a_{n + 1} - a_{n}$ .

$a_{n + 1} - a_{n} = 3 (n + 1) - 1 - 3 n + 1$

$a_{n + 1} - a_{n} = 3 n + 3 - 1 - 3 n + 1$

$a_{n + 1} - a_{n} = 3$

Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyznaczona różnica jest stała, nie zależy od $n$ . Zatem ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym. Możemy też stwierdzić, że różnica ciągu jest równa $3$ .

Przykład 8

Pokażemy teraz, że ciąg $(c_{n})$ określony wzorem $c_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$ nie jest ciągiem arytmetycznym.

Podobnie, jak w poprzednim przykładzie, zbadamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{n}{n + 2} - \frac{n - 1}{n + 1}$

Sprowadzamy otrzymane wyrażenie do najprostszej postaci, wykonując odejmowanie i redukując wyrazy podobne.

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{n^{2} + n - n^{2} + n - 2 n + 2}{(n + 2) (n + 1)}$

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{2}{(n + 2) (n + 1)}$

Wyznaczona różnica zależy od $n$ , zatem nie jest to ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny.

Przykład 9

Wiadomo, że ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym. Zbadamy, czy ciąg $(c_{n})$ określony wzorem $c_{n} = 7 a_{n} - 4$ jest też ciągiem arytmetycznym.

$c_{n + 1} - c_{n} = 7 a_{n + 1} - 4 - 7 a_{n} + 4$

$c_{n + 1} - c_{n} = 7 (a_{n + 1} - a_{n})$

Ponieważ ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym, zatem $a_{n + 1} - a_{n} = r$ , gdzie $r$ jest pewną liczbą rzeczywistą (jest to różnica ciągu).

Zatem

$c_{n + 1} - c_{n} = 7 \cdot r$

Wykazaliśmy, że różnica $c_{n + 1} - c_{n}$ jest stała, nie zależy od $n$ . Dowodzi to, że ciąg $(c_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją. Spróbuj najpierw samodzielnie wykonać zapisane tam zadania, a następnie porównaj z proponowanymi rozwiązaniami.

R1VZm2Pitvhni

Polecenie 4

Zbadaj, czy ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = {(n - 1)}^{2} - n^{2}$ jest ciągiem arytmetycznym.

Zapisujemy wzór ciągu w najprostszej postaci.

$a_{n} = {(n - 1)}^{2} - n^{2}$

$a_{n} = n^{2} - 2 n + 1 - n^{2} = - 2 n + 1$

Wyznaczamy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = - 2 (n + 1) + 1 + 2 n - 1$

$a_{n + 1} - a_{n} = - 2 n - 2 + 1 + 2 n - 1$

$a_{n + 1} - a_{n} = - 2$

Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest stała, równa $(- 2)$ .

Zatem ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym.

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym rosnącym różnica ciągu jest dodatnia.

Ciąg arytmetyczny rosnący

Twierdzenie: Ciąg arytmetyczny rosnący

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest ciągiem rosnącym, gdy $r > 0$ .

Przykład 10

Wykażemy, że ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = 2 n + 7$ , gdzie $n \in ℕ_{+}$ , jest rosnący.

Aby wykazać, że ciąg jest rosnący, należy zbadać różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ (dla dowolnego $n \geq 1$ ).

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) + 7 - (2 n + 7)$

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2 + 7 - 2 n - 7$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 > 0$

Pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ spełniony jest warunek $a_{n + 1} > a_{n}$ , co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym malejącym różnica ciągu jest ujemna.

Ciąg arytmetyczny malejący

Twierdzenie: Ciąg arytmetyczny malejący

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest ciągiem malejącym, gdy $r < 0$ .

Polecenie 5

Przeanalizuj przykłady podane w animacji i wykonaj Polecenie 2.

R2RJMTOUFGNys

Polecenie 6

Zbadaj, czy ciąg arytmetyczny określony wzorem $a_{n} = 2 n - 11$ jest rosnący, malejący czy stały.

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) - 11 - 2 n + 11$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2 - 11 - 2 n + 11$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 > 0$

Ciąg jest rosnący.

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego:

a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}

gdzie $n > 1$ i $n \in ℕ$ .

Przykład 11

Sprawdzimy, czy ciąg $(\frac{1}{- 1 + \sqrt{2}}, 1, \frac{- 2}{\sqrt{2}})$ jest arytmetyczny,

Środkowy wyraz ciągu to $1$ , zatem musimy sprawdzić, czy prawdziwa jest równość

$1 = \frac{\frac{1}{- 1 + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

$2 = \frac{1}{- 1 + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}}$

$2 = \frac{1}{- 1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$2 = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{2}$

$2 \neq 1$

Odpowiedź:

Dany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład 12

Liczby $4$ , $x$ , $10$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznaczymy $x$ .

Liczba $x$ jest środkowym wyrazem ciągu, zatem:

$x = \frac{4 + 10}{2}$

$x = 7$

Odpowiedź:

Szukana liczba jest równa $7$ .

Przykład 13

Liczby $(- 5)$ , $x$ , $y$ , $4$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdziemy liczby $x$ , $y$ .

Zapisujemy równania, wynikające ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

$\{\begin{cases} x = \frac{- 5 + y}{2} \\ y = \frac{x + 4}{2} \end{cases}$

Mnożymy przez $2$ obie strony każdego z równań.

$\{\begin{cases} 2 x = - 5 + y \\ 2 y = x + 4 \end{cases}$

Wyznaczamy $y$ z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego równania układu.

$\{\begin{cases} y = 2 x + 5 \\ 2 (2 x + 5) = x + 4 \end{cases}$

Wyznaczamy $x$ .

$\{\begin{cases} y = 2 x + 5 \\ 4 x + 10 = x + 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 x + 5 \\ x = - 2 \end{cases}$

Obliczamy $y$ .

$\{\begin{cases} y = 2 \cdot (- 2) + 5 \\ x = - 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 \end{cases}$

Odpowiedź:

Szukane liczby to $x = - 2$ , $y = 1$ .

RMdQDSgnu4xhW1

Ćwiczenie 1

RPb78xWDiquW11

Ćwiczenie 2

R1ZUVWcUdP9qf2

Ćwiczenie 3

RjNdU2Eib3BBE2

Ćwiczenie 4

R6dvZWdmfoOiE2

Ćwiczenie 5

RZds53RgMBOuW21

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Znajdź liczbę $x$ , dla której ciąg $(5 x - 1, x^{2}, 3 x + 1)$ jest ciągiem arytmetycznym o wyrazach dodatnich.

Korzystamy z definicji ciągu arytmetycznego.

$x^{2} - 5 x + 1 = 3 x + 1 - x^{2}$

$2 x^{2} - 8 x = 0$

$x (x - 4) = 0$

$x = 0$ lub $x = 4$

$x = 0$ – nie spełnia warunków zadania, bo dla $x = 0$ pierwszy wyraz jest równy $(- 1)$ , a wyrazy ciągu mają być dodatnie

Dla $x = 4$ otrzymujemy ciąg $(19, 16, 13)$ .

Ćwiczenie 8

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ suma wyrazów drugiego i szóstego jest równa $36$ , a suma wyrazów trzeciego i siódmego jest równa $46$ . Znajdź wzór ogólny ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$r$ – różnica ciągu.

Na podstawie treści zadania układamy i rozwiązujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a + r + a + 5 r = 36 \\ a + 2 r + a + 6 r = 46 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a + 3 r = 18 \\ a + 4 r = 23 \end{cases}$

Odejmujemy równania układu stronami.

$r = 5$

Podstawiamy wyznaczoną różnicę do pierwszego równania.

$a + 15 = 18$

$a = 3$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 5$

$a_{n} = 3 + 5 n - 5 = 5 n - 2$

Wzór ogólny ciągu to $a_{n} = 5 n - 2$ .

RDzMjcj01NY9g1

Ćwiczenie 9

RgQ988YI7nlTv1

Ćwiczenie 10

R1e0Uk9yiS2LJ1

Ćwiczenie 11

RDu2XUBmAP1BH2

Ćwiczenie 12

RgNsZtNuwp6VL2

Ćwiczenie 13

R18zElaKOvuTl2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiono kilka początkowych wyrazów pewnego ciągu. Wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny.

R1J0RF8rwMGQj

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, głównie pierwszą i czwartą ćwiatkę. Pozioma oś opisana jest jako n i poprowadzona jest od minus jeden do dziewięciu. Pionowa oś opisana jest jako <mathan i przedstawiona od minus trzech do pięciu. Na ilustracji zaznaczono punkty o następujących współrzędnych: 1;-3, 2;-2, 3;-1, 4;0, 5;1, 6;2, 7;3, 8;4, 9;5.

Na podstawie wykresu określamy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = n - 4$

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 - 4 - n + 4 = 1$

Różnica jest stała, zatem ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym.

Ćwiczenie 16

Kolejne figury tworzone są według pewnej reguły. Odkryj tę regułę i narysuj jeszcze kilka takich figur.

Kolejne figury tworzone są według pewnej reguły. Odkryj tę regułę.

R1Hx9PEouhWs8

Ilustracja przedstawia tło w kratkę, a na nim narysowane obok siebie trzy różne figury składające się z małych kwadratów. Każda kolejna figura jest zwielokronioną poprzednią. Figura pierwsza przypomina odwróconą literę U i składa się łącznie z siedmiu kwadratów. Figura druga przypomina przewróconą w prawo literę E. Składa się ona z jedenastu kwadracików. Figura trzecia jest zwielokrotnieniem poprzedniej i składa się z piętnastu kwadracików.

Liczby kwadratów, z których zbudowane są kolejne figury są wyrazami pewnego ciągu. Określ wzór ogólny tego ciągu, udowodnij, że jest to ciąg arytmetyczny i znajdź różnicę tego ciągu.

Ustalamy wzór ogólny ciągu.

$a_{1} = 7 = 4 \cdot 1 + 3$

$a_{2} = 11 = 4 \cdot 2 + 3$

$a_{3} = 15 = 4 \cdot 3 + 3$

$a_{n} = 4 n + 3$

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = 4 (n + 1) + 3 - 4 n - 3 = 4$

Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ różnica jest stała, zatem ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $4$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 17

RuwVUyJkdBlPS

R1MbXVkUwPI4p

Ćwiczenie 18

R1bkecsR1x0WC

Ćwiczenie 19

RsZv7nx4AJJMg

Ćwiczenie 20

RrDsAHlRQM5qk

Ćwiczenie 21

RDaEK2MfGG6Cu

Ćwiczenie 22

RxIv49oORWowh

Ćwiczenie 23

Ciąg $(x, y, z)$ jest ciągiem arytmetycznym rosnącym. Suma wyrazów ciągu jest równa $6$ , a ich iloczyn jest równy $(- 24)$ . Znajdź liczby $x$ , $y$ , $z$ .

Oznaczmy:
$r$ – różnica ciągu.

Wtedy:

$y = x + r$

$z = x + 2 r$

Suma liczb $x$ , $y$ , $z$ jest równa $6$ .

$x + y + z = 6$

$x + x + r + x + 2 r = 6$

$3 x + 3 r = 6$

$x + r = 2 \Rightarrow y = 2$

Iloczyn liczb $x$ , $y$ , $z$ jest równy $(- 24)$ .

$x y z = - 24$

$x \cdot 2 \cdot z = - 24 | : 2$

$x z = - 12$

$x (x + 2 r) = - 12$

$(2 - r) (2 + r) = - 12$

$4 - r^{2} = - 12$

$r = - 4$ – nie spełnia warunków zadania, bo ciąg rosnący

$r = 4$

Czyli:

$x = 2 - 4 = - 2$

$z = 2 + 4 = 6$

Odpowiedź:

$x = - 2$ , $y = 2$ , $z = 6$ .

Ćwiczenie 24

Wykaż, że ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{{(n - 2)}^{2}}{8} - \frac{{(6 - n)}^{2}}{8}$ jest rosnący.

Zapisujemy wzór ciągu w prostszej postaci.

$a_{n} = \frac{n^{2} - 4 n + 4 - 36 + 12 n - n^{2}}{8}$

$a_{n} = n - 4$

Badamy znak różnicy między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 - 4 - n + 4 = 1 > 0$

Różnica ciągu jest dodatnia, zatem ciąg jest rosnący.

Pokaż ćwiczenia:

R1P2I4RXWLw5s1

Ćwiczenie 25

Ri4Vm5leS7tsB1

Ćwiczenie 26

RyvlWmSMgE6zH2

Ćwiczenie 27

R4lCA0JR2sN9o2

Ćwiczenie 28

RvmIHhAngaCIS2

Ćwiczenie 29

RjCjeZj4NcMFs2

Ćwiczenie 30

Ćwiczenie 31

Liczby $a$ , $b$ , $c$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Jeżeli drugą z tych liczb podzielimy przez dwa, a trzecią przez trzy, to również otrzymamy ciąg arytmetyczny.

Jeżeli natomiast pierwszą z tych liczb podzielimy przez trzy, a do trzeciej dodamy dwa, to też otrzymamy ciąg arytmetyczny. Znajdź liczby $a$ , $b$ , $c$ .

$(a, b, c)$ – ciąg arytmetyczny, czyli $2 b = a + c$

$(a, \frac{b}{2}, \frac{c}{3})$ – ciąg arytmetyczny, czyli $b = a + \frac{c}{3}$

$(\frac{a}{3}, b, c + 2)$ – ciąg arytmetyczny, czyli $2 b = \frac{a}{3} + c + 2$

Otrzymujemy układ równań.

$\{\begin{cases} 2 b = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ 2 b = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

Przekształcamy układ równań, wyznaczając $a$ .

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ 2 (a + \frac{c}{3}) = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a + c = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

Znajdujemy liczbę $c$ .

$\{\begin{cases} 2 (3 + \frac{c}{3}) = 3 + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} c = 9 \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

Wyznaczamy liczbę $b$ .

$\{\begin{cases} c = 9 \\ b = 3 + \frac{9}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 9 \end{cases}$

Odpowiedź:

Szukane liczby to: $a = 3$ , $b = 6$ , $c = 9$ .

Ćwiczenie 32

Wykaż, że jeśli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ średnia arytmetyczna wyrazów $a_{4}$ i $a_{6}$ jest równa wyrazowi $a_{2}$ , to ciąg ten jest ciągiem stałym.

Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że

$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{5}$

Z treści zadania wynika, że

$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$

Zatem:

$a_{5} = \frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$

$a_{5} = a_{2}$

Czyli:

$a_{5} = a_{2}$

Oznaczmy:
$r$ – różnica ciągu

Wtedy:

$a_{1} + 4 r = a_{1} + 2 r$

$r = 0$

Jeśli różnica ciągu arytmetycznego jest równa $0$ , to ciąg jest stały, co należało wykazać.

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

2. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

M_R_W16_M2 Ciąg arytmetyczny i geometryczny

1. Ciąg arytmetyczny

Słownik