2. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

RWZKfRHulK1gn

Czy wiesz, że kolejne liczby trójkątne można utworzyć jako sumy kolejnych liczb naturalnych dodatnich?

Ra1KbrkNTIO3I

Zdjęcie przedstawia niebieskie kuleczki układane w piramidę w taki sposób, że na początku jest tylko jedna kuleczka, potem jedna u góry, dwie na dole, potem jedna u góry, dwie w środku i trzy na dole i tak dalej.

W tym materiale zajmiemy się wyznaczaniem sumy kolejnych liczb naturalnych, jak również innych liczb, będących wyrazami danego ciągu arytmetycznego.

Poznamy wzór na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego i niektóre jego zastosowania.

Twoje cele

Wyprowadzisz wzór na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Obliczysz sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wyznaczysz wielkości związane z ciągiem arytmetycznym o znanej sumie częściowej.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ . Chcemy znaleźć wzór na sumę $S_{n}$ kolejnych $n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

W tym celu najpierw przypomnimy sobie wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ o wyrazie pierwszym $a_{1}$ i różnicy $r$ ma postać

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r

Aby znaleźć wzór na sumę $n$ kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , zapisujemy tę sumę dwukrotnie i otrzymane równości dodajemy stronami.

$\begin{array}{l}\underline{+\left\{\begin{array}{l}S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}\\S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\dots +a_{3}+a_{2}+a_{1}\end{array}\right.}\\2S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}+a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\dots +a_{3}+a_{2}+a_{1}\end{array}$

Grupujemy wyrazy uzyskanej sumy.

2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + . . . + (a_{n - 1} + a_{2}) + (a_{n} + a_{1})

Zauważmy, że prawa strona uzyskanej równości jest sumą $n$ składników, z których każdy jest równy $a_{1} + a_{n}$ .

Zatem

2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \cdot n | : 2

Otrzymujemy szukany wzór.

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożonej przez liczbę wyrazów.

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznegosuma wyrazów ciągu arytmetycznegosumę wyrazów ciągu arytmetycznego można też zapisać, korzystając ze wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{1} + (n - 1) \cdot r}{2} \cdot n

Przykład 1

Obliczymy sumę dziesięciu kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = - 9$ i $r = 2$ .

Stosujemy wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{1} + (n - 1) \cdot r}{2} \cdot n$

$S_{10} = \frac{- 9 - 9 + (10 - 1) \cdot 2}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{- 18 + 18}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 0$ .

Nie zawsze ciąg arytmetyczny jest bezpośrednio opisany za pomocą pierwszego wyrazu i różnicy. W niektórych przypadkach, trzeba te wielkości najpierw określić, aby następnie obliczyć sumę jego początkowych wyrazów.

Przykład 2

Obliczymy sumę stu kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(b_{n})$ określonego wzorem $b_{n} = 2 n - 3$ .

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$b_{1} = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$

Wyznaczamy setny wyraz ciągu.

$b_{100} = 2 \cdot 100 - 3 = 197$

Obliczamy sumę.

$S_{n} = \frac{- 1 + 197}{2} \cdot 100 = 9800$ .

Przykład 3

Obliczymy sumę $12$ początkowych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego $1$ , $9$ , $17$ , $25$ , $. . .$

Tym razem ciąg określony jest za pomocą jego wyrazów.

Ustalamy pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

$a_{1} = 1$

$r = 8$

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{12} = \frac{1 + 1 + (12 - 1) \cdot 8}{2} \cdot 12$

$S_{12} = 45 \cdot 12 = 540$ .

W następnym przykładach pokażemy, jak znając sumę kolejnych wyrazów ciągu wyznaczyć niektóre z wielkości związanych z danym ciągiem.

Przykład 4

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy $5$ , a różnica ciągu $2$ . Ustalimy, ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać $320$ .

Oznaczmy przez $n$ szukaną liczbę wyrazów.

Liczba $320$ to suma $n$ kolejnych wyrazów ciągu, zatem

$\frac{5 + 5 + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n = 320 | \cdot 2$

$(10 + 2 n - 2) \cdot n = 640$

$2 n^{2} + 8 n - 640 = 0 | : 2$

$n^{2} + 4 n - 320 = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆ = 16 + 1280 = 1296 \Rightarrow \sqrt{∆} = 36$

$n_{1} = \frac{- 4 - 36}{2} = - 20 < 0$ – nie spełnia warunków zadania (liczba wyrazów musi być liczbą dodatnią)

$n_{2} = \frac{- 4 + 36}{2} = 16$

Odpowiedź:

Należy dodać $16$ wyrazów tego ciągu.

Przykład 5

Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa $22, 5$ . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu, jeżeli różnica ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ .

Podstawiamy dane do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$\frac{a_{1} + a_{1} + 5 \cdot 0, 5}{2} \cdot 6 = 22, 5$

Wykonujemy wskazane działania i wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$(2 a_{1} + 2, 5) \cdot 6 = 45$

$12 a_{1} = 45 - 15$

$a_{1} = 2, 5$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 2, 5 + (n - 1) \cdot 0, 5$ .

Przykład 6

Suma $n$ początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego $(b_{n})$ wyraża się wzorem $S_{n} = - 3 n^{2} + 7 n$ . Obliczymy $b_{3} - b_{1}$ .

Pierwszy wyraz ciągu jest równy $S_{1}$ . Zatem:

$b_{1} = S_{1} = - 3 + 7 = 4$

Zauważmy, że

$S_{3} = b_{1} + b_{2} + b_{3} = S_{2} + b_{3}$

Wynika z tego, że

$b_{3} = S_{3} - S_{2}$

$b_{3} = - 3 \cdot 9 + 21 - (- 3 \cdot 4 + 14) = - 6 - 2 = - 8$

Wyznaczamy szukaną różnicę.

$b_{3} - b_{1} = - 8 - 4 = - 12$

Odpowiedź:

Różnica $b_{3} - b_{1}$ jest równa $(- 12)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładem wyznaczania sumy ciągu arytmetycznego podanym w infografice. Wypisz kolejne wyrazy ciągu podanego w infografice, dodaj je i sprawdź, czy uzyskany wynik jest taki sam jak podany. Który sposób obliczania sumy wyrazów ciągu arytmetycznego jest łatwiejszy?

R1DnZCjt3qTqr

Belki ułożone są w ten sposób, że na dole jest $30$ belek, a górna warstwa zawiera $9$ belek. Każda kolejna warstwa zawiera o $3$ belki mniej niż warstwa niższa.

Obliczymy ile łącznie ułożono belek.
Pierwszy krok: Liczby belek w kolejnych warstwach to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, który oznaczymy aIndeks dolny n
Drugi krok: Pierwszy wyraz ciągu, czyli aIndeks dolny 1 Indeks dolny koniecjest równy $30$
Trzeci krok: Oznaczamy różnice ciągu równą $-3$
Czwarty krok: Ustalamy wzór na n‑ty wyraz ciągu $a_{n} = 30 + (n - 1) \cdot (- 3)$
Piąty krok: Górna warstwa zawiera 9 belek, zapisujemy $a_{n} = 9$
Szósty krok: Wyznaczamy n warstw $- 3 n + 33 = 9 \Rightarrow n = 8$
Siódmy krok: Obliczamy sumę $S_{8} = \frac{30 + 9}{2} \cdot 8 \Rightarrow S_{8} = 156$

Odpowiedź: ułożono łącznie $156$ belek.

Polecenie 2

Puszki ustawiano w piramidkę w ten sposób, że na podłodze stało $40$ puszek, a każda następna warstwa zawierała o $2$ puszki mniej. Najwyższa warstwa składała się z $4$ puszek. Oblicz, ile puszek łącznie ustawiono.

$40$ , $38$ , $36$ , $34$ , $. . .$ , $4$ – kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego w którym pierwszy wyraz to $40$ , a ostatni $4$ .

Różnica ciągu: $r = 38 - 40 = - 2$ .

Zapisujemy wzór na $n$ –ty wyraz ciągu.

$a_{n} = 40 + (n - 1) \cdot (- 2)$

$a_{n} = 40 - 2 n + 2 = 42 - 2 n$

Wyznaczamy liczbę warstw.

$4 = 42 - 2 n$

$n = 19$

Obliczamy ile puszek ustawiono.

$S_{19} = \frac{40 + 4}{2} \cdot 19 = 418$

Odpowiedź:

Ustawiono $418$ puszek.

Zbierzmy nasze widomości w tabeli.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$	$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$	$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

W pierwszym przykładzie pokażemy, że znając sumę kilku wyrazów ciągu arytmetycznego można znaleźć wzór ogólny tego ciągu.

Przykład 7

W dziesięciowyrazowym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ suma wyrazów parzystych jest równa $15$ , a suma wyrazów nieparzystych $12, 5$ . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$r$ – różnica ciągu.

Pięć wyrazów nieparzystych ciągu tworzy również ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a$ i różnicy $2 r$ .

Korzystając ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisujemy:

$\frac{a + a + 8 r}{2} \cdot 5 = 12, 5$

$\frac{2 a + 8 r}{2} \cdot 5 = 12, 5$

$a + 4 r = 2, 5$

Podobnie, wyrazy parzyste ciągu tworzą również ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a + r$ i różnicy $2 r$ .

Korzystając ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisujemy:

$\frac{a + a + r + 9 r}{2} \cdot 5 = 15$

$\frac{2 a + 10 r}{2} \cdot 5 = 15$

$a + 5 r = 3$

Otrzymaliśmy układ równań, który rozwiązujemy, odejmując stronami równania układu.

$- \{\begin{cases} a + 5 r = 3 \\ a + 4 r = 2, 5 \end{cases} r = 0, 5$

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a + 5 r = 3$

$a + 5 \cdot 0, 5 = 3$

$a = 0, 5$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 0, 5 + (n - 1) \cdot 0, 5$

$a_{n} = 0, 5 n$

W następnym przykładzie pokażemy, że znając wzór określający sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, można określić niektóre jego własności.

Przykład 8

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ określona jest wzorem $S_{n} = 3 n^{2} - 16 n$ . Wykażemy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Aby ustalić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy zbadać różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ .

Wyznaczymy najpierw $a_{n + 1}$ .

$a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_{n}$

$a_{n + 1} = 3 {(n + 1)}^{2} - 16 (n + 1) - 3 n^{2} + 16 n$

$a_{n + 1} = 3 (n^{2} + 2 n + 1) - 16 (n + 1) - 3 n^{2} + 16 n$

$a_{n + 1} = 3 n^{2} + 6 n + 3 - 16 n - 16 - 3 n^{2} + 16 n$

$a_{n + 1} = 6 n - 13$

Teraz wyznaczamy $a_{n}$ .

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$

$a_{n} = 3 n^{2} - 16 n - 3 {(n - 1)}^{2} + 16 (n - 1)$

$a_{n} = 3 n^{2} - 16 n - 3 (n^{2} - 2 n + 1) + 16 (n - 1)$

$a_{n} = 3 n^{2} - 16 n - 3 n^{2} + 6 n - 3 + 16 n - 16$

$a_{n} = 6 n - 19$

Określamy różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ .

$a_{n + 1} - a_{n} = 6 n - 13 - (6 n - 19) = 6 n - 13 - 6 n + 19$

$a_{n + 1} - a_{n} = 6$

Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, zatem jest to ciąg arytmetyczny.

Na podstawie wzoru ciągu arytmetycznego określimy własności sumy ciągu arytmetycznego.

Przykład 9

Dla pewnych liczb $x$ , $y$ wartości wyrażeń $x + y$ , $4 x - y$ , $3 x + 4 y + 1$ , $9 x - 4 y + 1$ są w tej kolejności czterema początkowymi kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obliczymy, ile co najmniej początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma była większa od $100$ .

Korzystamy z własności kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zapisujemy i przekształcamy odpowiedni układ równań.

$\{\begin{cases} 2 (4 x - y) = x + y + 3 x + 4 y + 1 \\ 2 (3 x + 4 y + 1) = 4 x - y + 9 x - 4 y + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 8 x - 2 y = 4 x + 5 y + 1 \\ 6 x + 8 y + 2 = 13 x - 5 y + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x - 7 y = 1 \\ - 7 x + 13 y = - 1 \end{cases}$

Pierwsze równanie mnożymy przez $7$ , a drugie przez $4$ i równania układu dodajemy stronami.

$+ \{\begin{cases} 28 x - 49 y = 7 \\ - 28 x + 52 y = - 4 \end{cases} 3 y = 3$

$y = 1$

Wyznaczoną liczbę podstawiamy do pierwszego równania układu i wyznaczamy $x$ .

$4 x - 7 \cdot 1 = 1$

$4 x = 8$

$x = 2$

Teraz możemy wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu i różnicę.

$x + y = 2 + 1 = 3$ – pierwszy wyraz ciągu

$4 x - y = 8 - 1 = 7$ – drugi wyraz ciągu

$7 - 3 = 4$ – różnica ciągu

Aby obliczyć ile początkowych wyrazów ciągu należy dodać, aby otrzymana suma była większa od $100$ , rozwiązujemy nierówność:

$\frac{3 + 3 + (n - 1) \cdot 4}{2} \cdot n > 100$

$[3 + (n - 1) \cdot 2] \cdot n > 100$

$2 n^{2} + n - 100 > 0$

$∆ = 1 + 800 = 801$

$n_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{801}}{4}$

$n_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{801}}{4} \approx 6, 8$

$n \in (- \infty, \frac{- 1 - \sqrt{801}}{4}) \cup (\frac{- 1 + \sqrt{801}}{4}, \infty)$ i $n \in ℕ_{+}$

Wynika stąd, że $n = 7, 8, 9, . . .$

Odpowiedź:

Należy dodać co najmniej $7$ kolejnych wyrazów ciągu, aby otrzymana suma była większa od $100$ .

Pokażemy teraz zastosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w zadaniach pozornie niezwiązanych z ciągiem arytmetycznym.

Przykład 10

Obliczymy sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez $4$ jest równa $1$ .

Najmniejsza z liczb dwucyfrowych, która przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $1$ to $13$ , a następne to $13$ , $17$ , $21$ , $. . .$ , $97$

Kolejne liczby różnią się o $4$ .

Można więc przyjąć, że są wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , w którym pierwszy wyraz to $13$ , a różnica to $4$ .

Zapisujemy wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu.

$a_{n} = 13 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n + 9$

Korzystając z tego wzoru obliczamy, ile wyrazów liczy ten ciąg.

$4 n + 9 = 97$

$4 n = 88$

$n = 22$

Obliczamy sumę $22$ wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

$S_{22} = \frac{13 + 97}{2} \cdot 22 = 1210$

Odpowiedź:

Suma wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez $4$ jest równa $1$ wynosi $1210$ .

Przykład 11

Rozwiążemy równanie $1 + 7 + 13 + 19 + . . . + x = 481$ .

Zauważmy, że składniki lewej strony równania to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego $(b_{n})$ , którego pierwszy wyraz jest równy $1$ , a różnica $7 - 1 = 6$ .

Zapisujemy wzór ogólny ciągu:

$b_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 6 = 6 n - 5$

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa $481$ , czyli

$\frac{1 + 6 n - 5}{2} \cdot n = 481$

Z uzyskanego równania wyznaczamy $n$ .

$6 n^{2} - 4 n - 962 = 0 | : 2$

$3 n^{2} - 2 n - 481 = 0$

$∆ = 5776$

$\sqrt{∆} = 76$

$n_{1} = - \frac{74}{6} < 0$ – liczba nie spełnia warunków zadania

$n_{2} = 13$

Dodano $13$ wyrazów ciągu, zatem $x = b_{13}$ .

$x = 6 \cdot 13 - 5$

$x = 73$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $73$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. Najpierw samodzielnie przeanalizuj zapisane tam przykłady i dopiero porównaj z rozwiązaniami.

R11a7ipZ5AyZy

Polecenie 4

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ wyraża się wzorem $S_{n} = 4 n^{2} - 14 n$ . Wyznaczymy wzór ogólny ciągu.

$a_{1} = 4 - 14 = - 10$ – pierwszy wyraz

$a_{2} = S_{2} - a_{1} = - 12 + 10 = - 2$ – drugi wyraz ciągu

$r = a_{2} - a_{1} = - 2 + 10 = 8$ – różnica ciągu

Wyznaczamy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = - 10 + (n - 1) \cdot 8 = - 10 + 8 n - 8 = 8 n - 18$

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu to $a_{n} = - 8 n - 18$ .

Przykład 12

W zegarze wahadłowym, przy każdym uderzeniu zegara, „waga” obniża się o $3 mm$ . Obliczymy o ile centymetrów obniży się „waga” w ciągu dwunastu godzin, jeżeli zegar wybija tylko godziny.

Po wybiciu godziny $1$ „waga” obniży się o $3 mm$ ,

po wybiciu godziny $2$ „waga” obniży się o $6 mm$ ,

po wybiciu godziny $3$ „waga” obniży się o $9 mm$ ,

$. . .$

Zauważmy, że liczby określające długość odcinka, o który obniża się „waga” są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $3$ i różnicy $3$ .

Oznaczmy $(a_{n})$ ten ciąg i obliczmy jego kolejne wyrazy, korzystając ze wzoru rekurencyjnego.

$\{\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 3 \end{cases}$

$a_{1} = 3$

$a_{2} = 3 + 3 = 6$

$a_{3} = 6 + 3 = 9$

$a_{4} = 9 + 3 = 12$

$a_{5} = 12 + 3 = 15$

$a_{6} = 15 + 3 = 18$

$a_{7} = 18 + 3 = 21$

$a_{8} = 21 + 3 = 24$

$a_{9} = 24 + 3 = 27$

$a_{10} = 27 + 3 = 30$

$a_{11} = 30 + 3 = 33$

$a_{12} = 33 + 3 = 36$

Dodajemy otrzymane liczby.

$3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 + 33 + 36 = 234$

„Waga” obniży się o $234 mm$ , czyli o $23, 4 cm$ .

Przykład 13

W pewnym zakładzie pracy każdy pracownik dostaje raz w roku podwyżkę – za każdym razem taką samą. Pani Eliza pracowała w tym zakładzie przez $7$ lat. Obliczymy, ile łącznie zarobiła pani Eliza przez siedem lat pracy w tym zakładzie, jeżeli w czwartym roku pracy zarobiła $40000 zł$ .

Pani Eliza co roku dostawała taką samą kwotę podwyżki – oznaczmy ją $p zł$ .

Oznaczmy kwotę, jaką zarobiła pani Eliza w pierwszym roku przez $k zł$ .

W kolejnych latach zarobiła więc pani Eliza następujące kwoty (w $zł$ ):

$k$

$k + p$

$k + 2 p$

$k + 3 p$

$k + 4 p$

$k + 5 p$

$k + 6 p$

Zatem w sumie zarobiła (w $zł$ ): $7 k + 21 p = 7 (k + 3 p)$ .

Zauważmy, że $k + 3 p = 40000$ .

Czyli:

$7 (k + 3 p) = 7 \cdot 40000 = 280000$

Odpowiedź:

Pani Eliza zarobiła łącznie $280000 zł$ .

Teraz zastosowanie wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę kolejnych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego.

Przykład 14

Z prostopadłościennego zbiornika o wymiarach $6 dm \times 4 dm \times 5 dm$ napełnionego w całości wodą wypływa woda. W ciągu pierwszej minuty wypłynęło $4 {dm}^{3}$ wody, a w każdej następnej minucie o $2 {dm}^{3}$ więcej niż w poprzedniej. Obliczymy, ile litrów wody zostanie w pojemniku po $5$ minutach.

Liczby określające objętość wypływającej wody tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $4$ i różnicy $2$ .

Zapiszmy wzór ogólny tego ciągu.

$a_{n} = 4 + (n - 1) \cdot 2$

$a_{n} = 2 n + 2$ dla $n = 1, 2, 3, . . .$

Obliczymy, ile litrów wody wyciekło ze zbiornika po $5$ minutach. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{n} = \frac{4 + 2 n + 2}{2} \cdot n$

$S_{n} = (3 + n) n$

Do uzyskanego wzoru w miejsce zmiennej podstawiamy $5$ .

$S_{10} = (3 + 5) \cdot 5 = 40$

Po $5$ minutach wyciekło $40 {dm}^{3} = 40 l$ wody.

W pojemniku było $6 dm \cdot 4 dm \cdot 5 dm = 120 {dm}^{3}$ , czyli $120 l$ wody.

Obliczamy, ile wody zostało.

$120 - 40 = 80$

Odpowiedź:

W pojemniku zostało $80 l$ wody.

Przykład 15

Rafał miał do rozwiązania $440$ zadań z matematyki. Pierwszego dnia rozwiązał $20$ zadań i postanowił zwiększyć tempo rozwiązywania zadań – każdego dnia rozwiązywać $10$ więcej zadań niż w dniu poprzednim. W ciągu ilu dni Rafał rozwiązał wszystkie zadania?

Liczby rozwiązanych zadań w poszczególnych dniach tworzą $n$ –wyrazowy ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny, w którym

$a_{1} = 20$

$r = 10$

Zapisujemy wzór ogólny tego ciągu.

$a_{n} = 20 + (n - 1) \cdot 10 = 10 n + 10$

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ –kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

Do zapisanego wzoru podstawiamy znalezione wielkości.

$S_{n} = \frac{20 + 10 n + 10}{2} \cdot n$

Z treści zadania wynika, że suma ta jest równa $440$ .

Otrzymujemy równanie:

$\frac{20 + 10 n + 10}{2} \cdot n = 440$

$\frac{10 n^{2} + 30 n}{2} = 440$

$10 n^{2} + 30 n - 880 = 0 | : 10$

$n^{2} + 3 n - 88 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$Δ = 9 + 352 = 361$

$\sqrt{Δ} = 19$

$n_{1} = \frac{- 3 - 19}{2} < 0$ – nie spełnia warunków zadania

$n_{2} = \frac{- 3 + 19}{2} = 8$

Odpowiedź:

Rafał wszystkie zadania rozwiązał w ciągu $8$ dni.

Polecenie 5

Zapoznaj się z infografiką, starając się najpierw samodzielnie rozwiązać zapisane tam zadanie.

R1c03ZxnYlrZr

Ilustracja interaktywna. Zadanie. Wartość samochodu maleje z roku na rok, co roku o tę samą kwotę. Wiadomo, że po dziesięciu latach użytkowania wartość samochodu była dwa razy większa, niż po piętnastu latach. Obliczymy, po ilu latach wartość samochodu zmaleje do zera. Oznaczymy: n to liczba lat, po których wartość samochodu zmaleje do zera, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego to wartość samochodu w entym roku w złotówkach, r to kwota, o którą maleje wartość samochodu w kolejnych latach w złotówkach. Kwoty, określające wartość samochodu w poszczególnych latach stanowią kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego., a indeks dolny, dziesięć, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, nawias, dziesięć, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, r. Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego. Wartość samochodu po dziesięć latach., a indeks dolny, dziesięć, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dziewięć, razy, r. Wartość samochodu po piętnaście latach., a indeks dolny, piętnaście, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, nawias, piętnaście, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, r, a indeks dolny, piętnaście, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, czternaście, razy, r. Po dziesięciu latach użytkowania wartość samochodu była dwa razy większa niż po piętnastu latach. a indeks dolny, dziesięć, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa a indeks dolny, piętnaście, koniec indeksu dolnego. Przekształcamy zapisaną równość. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dziewięć, razy, r, równa się, dwa nawias, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, czternaście, razy, r, zamknięcie nawiasu, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dziewięć, razy, r, równa się, dwa, razy, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dwadzieścia osiem, razy, r, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dziewiętnaście, razy, r, równa się, zero, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dziewiętnaście, razy, r, równa się, a indeks dolny, dwadzieścia, koniec indeksu dolnego. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dziewiętnaście r - to dwudziesty wyraz ciągu, który tworzą kwoty określające wartość samochodu w poszczególnych latach. a indeks dolny, dwadzieścia, koniec indeksu dolnego, równa się, zero. Odpowiedź: Wartość samochodu zmaleje do zera po dwudziestu latach.

Polecenie 6

Wartość koparki maleje co roku o tę samą kwotę. Proces ten skończy się, gdy wartość koparki zamortyzuje się, czyli jej wartość będzie równa $0$ . Oblicz, po ilu latach zamortyzuje się koparka, jeżeli jej wartość po $25$ latach była trzy razy mniejsza niż po $15$ latach.

Oznaczmy:
$n$ – szukana liczba lat,
$a_{n}$ – wartość koparki w roku $n$ (w $zł$ ),
$r$ – kwota, o którą maleje wartość koparki w kolejnych latach (w $zł$ ).

$a_{15} = a_{1} + (15 - 1) \cdot r$

$a_{15} = a_{1} + 14 \cdot r$ – wartość koparki po $15$ latach

$a_{25} = a_{1} + 24 \cdot r$ – wartość koparki po $25$ latach

$3 (a_{1} + 24 \cdot r) = a_{1} + 14 \cdot r$ – wartość koparki po $25$ latach jest trzy razy mniejsza niż po $15$ latach

$3 a_{1} + 72 r = a_{1} + 14 \cdot r$

$a_{1} + 29 r = 0$

Ponieważ $a_{1} + 29 r = a_{30}$ , więc koparka zamortyzuje się po $30$ latach.

RYrQzKLkg8G7M1

Ćwiczenie 1

RmI6A3smb8rZa1

Ćwiczenie 2

R139K5yPkxo7Z1

Ćwiczenie 3

R1SGmsHNN7Aag2

Ćwiczenie 4

R1SJaJGxWWyRb21

Ćwiczenie 5

RXdokp2RyL2c72

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wykaż, że suma $n$ kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest równa $n^{2}$ .

Kolejne liczby naturalne nieparzyste to $1$ , $3$ , $5$ , ..., $2 n - 1$ .

$a_{1} = 1$ , $a_{n} = 2 n - 1$

$S_{n} = \frac{1 + 2 n - 1}{2} \cdot n = \frac{2 n^{2}}{2} = n^{2}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz, ile wyrazów ma suma $7 + 12 + 17 + 22 + 27 + . . . + 117$ .

Wyrazy sumy to kolejne wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 7$ , $a_{k} = 117$ .

Należy obliczyć $k$ .

Wyznaczamy różnicę ciągu.

$r = 12 - 7 = 5$

Wyznaczamy $k$ , korzystając ze wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

$a_{k} = 7 + (k - 1) \cdot 5$

$117 = 7 + 5 k - 5$

$5 k = 115$

$k = 23$

Odpowiedź:

Suma ma $23$ wyrazy.

Pokaż ćwiczenia:

RgEBfVD2mpIFC1

Ćwiczenie 9

R17vYgaxLlElx1

Ćwiczenie 10

R1Ct4CTfm0XLm2

Ćwiczenie 11

Rf5yqBcDht2t52

Ćwiczenie 12

R1TpLfiaOQv8q2

Ćwiczenie 13

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest równa S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, gdy n, większy równy, jeden i n, należy do, liczby naturalne. Połącz w pary sumę i odpowiadający jej wzór ciągu. S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem n, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć n, minus, trzy, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n, minus, cztery, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa pięć n, plus, zero przecinek pięć, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, osiem n, plus, dwa S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć n Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć n, minus, trzy, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n, minus, cztery, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa pięć n, plus, zero przecinek pięć, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, osiem n, plus, dwa S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć n, minus, trzy, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n, minus, cztery, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa pięć n, plus, zero przecinek pięć, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, osiem n, plus, dwa S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek jeden dwa pięć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek sześć dwa pięć n Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć n, minus, trzy, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n, minus, cztery, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa pięć n, plus, zero przecinek pięć, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, osiem n, plus, dwa

RTE8AmuaU58DO2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ sześciowyrazowym suma wyrazów nieparzystych jest o $24$ mniejsza od sumy wyrazów parzystych. Suma wyrazów parzystych jest równa $96$ . Znajdź wzór na $n$ –ty wyraz ciągu.

Oznaczmy:
$r$ – iloraz ciągu,
$S_{p}$ – suma wyrazów parzystych,
$S_{n p}$ – suma wyrazów nieparzystych.

Wyrazy parzyste: $a_{2}$ , $a_{4}$ , $a_{6}$ tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny o różnicy $2 r$ i pierwszym wyrazie $a_{2} = a_{1} + r$ .

Zatem:

$S_{p} = \frac{a_{1} + r + a_{1} + 5 r}{2} \cdot 3$

$3 a_{1} + 9 r = 96$

Wyrazy nieparzyste: $a_{1}$ , $a_{3}$ , $a_{5}$ tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny o różnicy $2 r$ i pierwszym wyrazie $a_{1}$ .

Zatem:

$S_{n p} = \frac{a_{1} + a_{1} + 4 r}{2} \cdot 3$

$3 a_{1} + 6 r = 96 - 24$

$3 a_{1} + 6 r = 72$

Odejmujemy stronami drugie z uzyskanych równań od pierwszego równania.

$- \{\begin{cases} 3 a_{1} + 9 r = 96 \\ 3 a_{1} + 6 r = 72 \end{cases} 3 r = 24$

$r = 8$

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$3 a_{1} + 9 \cdot 8 = 96$

$a_{1} = 8$

Wzór na $n$ –ty wyraz ciągu: $a_{n} = 8 n$ .

Ćwiczenie 16

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = 3 n - 28$ . Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów ciągu.

$a_{1} = 3 - 28 = - 25$ – pierwszy wyraz ciągu

$a_{2} = 6 - 28 = - 22$ – drugi wyraz ciągu

$r = - 22 - (- 25) = 3$ – różnica ciągu

Obliczamy ile wyrazów ciągu jest ujemnych.

$3 n - 28 < 0$

$3 n < 28$

$n < 9 \frac{1}{3}$

Obliczamy sumę $9$ wyrazów.

$S_{9} = \frac{- 25 - 1}{2} \cdot 9 = - 117$ .

Pokaż ćwiczenia:

RZ42axXuJtUxK1

Ćwiczenie 17

R1Nk4wz518IYY1

Ćwiczenie 18

R2M8REmLJ9CRP2

Ćwiczenie 19

Rud4gFaTgE7zo2

Ćwiczenie 20

RWB9T3BufUrtn2

Ćwiczenie 21

R1TJpsVg9OywO2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

W pewnej fabryce produkcja śrub wzrasta z roku na rok w postępie arytmetycznym. W pierwszym roku wyprodukowano $20$ tysięcy śrub, a w następnym $24$ tysiące śrub. Oblicz, ile łącznie śrub wyprodukowano w ciągu $5$ lat.

$a_{1} = 20000$

$r = 24000 - 20000 = 4000$

$S = \frac{20000 + 20000 + 4 \cdot 4000}{2} \cdot 5 = 140000$ .

Ćwiczenie 24

Pan Jarek kupił na raty dom za $450000 zł$ . Przy zawieraniu umowy wpłacił $50000 zł$ . Pozostała kwotę ma spłacić w ratach. Pierwsza rata wynosi $16000 zł$ , a każda następna, wpłacona pod koniec roku wynosi $24000 zł$ . Po ilu latach pan Jarek przestanie spłacać raty?

$450000 - 50000 = 400000$

$400000 = 16000 + 24000 n$

$n = 16$

Pan Jarek przestanie spłacać raty po $17$ latach.

Słownik

suma wyrazów ciągu arytmetycznego

suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożonej przez liczbę wyrazów

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

ciąg arytmetyczny

1. Ciąg arytmetyczny

3. Ciąg geometryczny

2. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Słownik