3. Ciąg geometryczny

RoLFroKhlRbud

COVID–19 to ostra choroba zakaźna układu oddechowego wywołana zakażeniem wirusem SARS‑CoV-2. Główną droga rozprzestrzeniania się wirusa SARS jest przenoszenie się z człowieka na człowieka w postaci kropelkowej.

Pewna osoba nie wiedziała, że jest zarażona wirusem SARS i rozmawiając z dwoma przyjaciółmi kichnęła (nie zakrywając ust), zaraziła te osoby. Załóżmy, że każda z tych osób nim dowiedziała się, że jest chora i następnego dnia również zaraziła dwie osoby. Zakładając, że ten model będzie się powtarzał i każda chora osoba zarazi dwie inne, możemy przebieg rozprzestrzeniania się wirusa zobrazować na wykresie.

R138vMwucFA3P

Schemat przedstawia drzewko zakażeń. Na szczycie jest jedna postać, od której mamy dwa rozgałęzienia do dwóch kolejnych postaci. Od każdej z nich mamy kolejne dwa i od tych postaci kolejne. Kolejne piętra drzewka są opisane liczbami zakażeń na danym poziomie, czyli: 1, 2, 4, 8

Liczby opisujące ilość zakażanych osób w kolejnych dniach możemy zapisać następująco:

1, 2, 4, 8, 16, . . .

Zauważ, że liczby te tworzą pewien ciąg, w którym kolejne wyrazy powstają z poprzednich poprzez pomnożenie przez $2$ . Jest to przykład ciągu (postępu) zwanego geometrycznym. Na podstawie powyższego schematu powiemy, że wirus SARS rozprzestrzenia się w postępie geometrycznym.

Ciąg geometryczny znany był już Babilonii i starożytnym Egipcie, którzy podobno zaczerpnęli wiedzę o nim z sumeryjskich glinianych tabliczek. Dokładniejsze wiadomości o tym ciągu zawdzięczamy Grekom, którzy rozpropagowali kilka podstawowych własności tego ciągu.

Twoje cele

Rozpoznasz wśród innych ciągów ciąg geometryczny.
Podasz przykład ciągu geometrycznego.
W danym ciągu geometrycznym określisz pierwszy wyraz i iloraz ciągu.
Udowodnisz, że dany ciąg jest geometryczny.
Mając pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego, określisz kilka wyrazów ciągu.
Znając wzór ciągu geometrycznego określisz jego pierwszy wyraz, iloraz ciągu, konkretny wyraz ciągu.

Zapiszmy kilka kolejnych naturalnych potęg liczby $3$ .

3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3}, 3^{4}, 3^{5}, . . .

W tym przypadku kolejne wyrazy utworzonego ciągu (oprócz pierwszego) powstają poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez $3$ . Jest to również przykład ciągu geometrycznego.

Ciągi geometryczne mogą być ciągami nieskończonymi bądź skończonymi. Ale aby stwierdzić czy dany ciąg jest geometryczny, ten ciąg musi mieć co najmniej trzy wyrazy.

Ciąg geometryczny

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu.

Przykład 1

Ciąg $(1, 5, 10)$ nie jest ciągiem geometrycznym, bo drugi wyraz powstaje z pierwszego poprzez pomnożenie przez $5$ , ale trzeci wyraz powstaje z drugiego poprzez pomnożenie przez $2$ .

Ciąg geometrycznyciąg geometrycznyCiąg geometryczny zwykle określany jest poprzez pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu.

Przykład 2

Przykłady ciągów geometrycznych nieskończonych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Iloraz ciągu
$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .$	$1$	$2$
$10, 50, 250, 1250, 6250, . . .$	$10$	$5$
$- 64, - 16, - 4, - 1, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{16}, . . .$	$- 64$	$\frac{1}{4}$
$- 81, - 54, - 36, - 24, - 16, - \frac{32}{3}, . . .$	$- 81$	$\frac{2}{3}$
$\sqrt{2}, 2, 2 \sqrt{2}, 4, 4 \sqrt{2}, 8, 8 \sqrt{2}, . . .$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .$	$0$	Dowolna liczba rzeczywista

W powyższych przykładach ilorazem ciągu była liczba dodatnia (za wyjątkiem ciągu o wyrazach równych $0$ , którego ilorazem może być dowolna liczba rzeczywista). Ale iloraz może być też liczbą ujemną. Wówczas uzyskany ciąg (o wyrazach niezerowych), jest ciągiem naprzemiennym, to znaczy wystepują w nim na przemian wyrazy dodatnie i ujemne.

Przykład 3

Przykłady ciągów naprzemiennych skończonych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Iloraz ciągu
$1, - 1, 1, - 1, 1, - 1$	$1$	$- 1$
$- 5, 25, - 125, 625, - 3125$	$- 5$	$- 5$
$\frac{1}{3}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, - \frac{1}{24}, \frac{1}{48}$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$

Ciekawym rodzajem ciągu geometrycznego jest ciąg stały. To znaczy taki, którego iloraz jest równy $1$ .

Przykład 4

Przykłady ciągów stałych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Iloraz ciągu
$- 1, - 1, - 1, - 1, - 1, - 1, . . .$	$- 1$	$1$
$5, 5, 5, 5, 5, . . .$	$5$	$1$
$\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, . . .$	$\frac{1}{3}$	$1$

Z określenia ciągu geometrycznego wynika, że iloraz uzyskany poprzez podzielenie wyrazu następnego przez poprzedni, jest dla danego ciągu liczbą stałą. Więc jeśli mamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu, to możemy wyznaczyć kilka początkowych wyrazów tego ciągu.

Ważne!

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ , to dla dowolnej liczby naturalnej $n > 0$ prawdziwa jest równość:

a_{n + 1} = a_{n} \cdot q

Przykład 5

Wyznaczymy wyrazy pięcioelementowego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ wiedząc, że jego pierwszy wyraz jest równy $120$ , a iloraz jest równy $0, 5$ .

$a_{1} = 120$

$a_{2} = 120 \cdot 0, 5 = 60$

$a_{3} = 60 \cdot 0, 5 = 30$

$a_{4} = 30 \cdot 0, 5 = 15$

$a_{5} = 15 \cdot 0, 5 = 7, 5$

Odpowiedź:

Szukany ciąg ma postać: $(120; 60; 30; 15; 7, 5)$ .

Znając co najmniej dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (niekoniecznie początkowe), można wyznaczyć łatwo iloraz tego ciągu.

Ważne!

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach niezerowych, to dla dowolnej liczby naturalnej $n > 0$ prawdziwa jest równość:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q

gdzie:
$q$ – jest ilorazem tego ciągu.

Przykład 6

Wyznaczymy iloraz każdego z podanych ciągów geometrycznych.

$7, 21, 63, 189, . . .$ , $q = \frac{63}{21} = 3$

$- 1, - 2, - 4, - 8, - 16, . . .$ , $q = \frac{- 2}{- 1} = 2$

$. . ., 2 \sqrt{3}, 6, 6 \sqrt{3}, 18, . . .$ , $q = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$

Przykład 7

Wiadomo, że trzeci wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równy $90$ , a czwarty $270$ obliczymy pierwszy wyraz tego ciągu.

Mamy dane dwa kolejne wyrazy ciągu, zatem możemy obliczyć iloraz tego ciagu.

$a_{3} = 90$

$a_{4} = 270$

$q = \frac{a_{4}}{a_{3}}$

$q = \frac{270}{90} = 3$

Mając trzeci wyraz i iloraz ciągu, można obliczyć drugi wyraz.

$a_{2} = \frac{a_{3}}{q}$

$a_{2} = \frac{90}{3} = 30$

W podobny sposób obliczamy pierwszy wyraz.

$a_{1} = \frac{a_{2}}{q}$

$a_{1} = \frac{30}{3} = 10$

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $10$ .

Przykład 8

W ciągu geometrycznym $(b_{n})$ suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa $108$ , a różnica wyrazu drugiego i pierwszego jest równa $(- 54)$ . Znajdziemy iloraz tego ciągu.

Oznaczmy:
$b_{1}$ – pierwszy wyraz ciągu,
$b_{2}$ – drugi wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Zapisujemy układ równań wynikający z treści zadania.

$\{\begin{cases} b_{1} + b_{2} = 108 \\ b_{2} - b_{1} = - 54 \end{cases}$

Dodajemy stronami równania układu i wyznaczamy $b_{2}$ .

$2 b_{2} = 54$

$b_{2} = 27$

Wyznaczoną liczbę podstwiamy do pierwszego równania i wyznaczamy $b_{1}$ .

$b_{1} = 108 - 27 = 81$

Mamy dwa kolejne wyrazy ciągu – możemy wyznaczyć iloraz ciągu.

$q = \frac{b_{2}}{b_{1}}$

$q = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Iloraz ciągu jest równy $\frac{1}{3}$ .

Nie zawsze znamy kilka kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Ciąg może być też określony wzorem i wtedy potrzebne wielkości możemy wyznaczyć, korzystając ze wzoru.

Przykład 9

Ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = 4 \cdot 5^{n}$ . Znajdziemy iloraz tego ciągu.

Wyznaczamy dwa pierwsze wyrazy ciągu.

$a_{1} = 4 \cdot 5^{1} = 20$

$a_{2} = 4 \cdot 5^{2} = 100$

Obliczamy iloraz ciągu.

$q = \frac{a_{2}}{a_{1}}$

$q = \frac{100}{20} = 5$

Odpowiedź:

Iloraz ciągu jest równy $5$ .

Nie zawsze łatwo jest ustalić, czy ciąg określony za pomocą wyrazów jest ciągiem geometrycznym, czy nie. Na przykład gdybyśmy wzięli pod uwagę tylko pięć początkowych wyrazów ciągu $1, 2, 4, 8, 16, 17, 18, 19, . . .$ , to wydawałoby się, że jest to ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny o ilorazie $2$ . Dlatego znacznie łatwiej jest o sprawdzenie czy ciąg jest geometryczny, mając dany jego wzór.

Ważne!

Ciąg $(a_{n})$ o wyrazach różnych od zera, jest ciągiem geometrycznym, jeżeli dla dowolnej liczny naturalnej $n > 0$ iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ jest stały.

Przykład 10

Sprawdzimy, czy ciąg określony wzorem $a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ jest geometryczny.

Badamy iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ .

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3 \cdot 2^{n + 1}}{3 \cdot 2^{n}} = \frac{2^{n} \cdot 2}{2^{n}} = 2$

Zauważmy, że wszystkie wyrazy rozpatrywanego ciągu są różne od zera. Stąd i z dowolności liczby $n$ wynika, że ciąg jest geometryczny (wyznaczony iloraz jest stałą liczbą).

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem, który przybliży Ci zagadnienia związane z ciągiem geometrycznym.

R13kl4nc5EHkF

Polecenie 2

Uzasadnij, że ciąg określony wzorem $a_{n} = n^{2}$ nie jest ciągiem geometrycznym.

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu.

$1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .$

Sprawdzamy, czy iloraz dwóch odpowiednich sąsiednich wyrazów, dla dwóch dowolnych par wyrazów jest taki sam.

$\frac{9}{4} = 2, 25$

$4 : 1 = 4$

$2, 25 \neq 4$ – dany ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.

Zastanowimy się teraz nad wzorem ogólnym ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , gdy dany jest pierwszy wyraz $a_{1}$ i iloraz $q$ ciągu.

Z określenia ciągu geometrycznego wynika, że każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ .

a_{1} = a_{1}

a_{2} = a_{1} \cdot q

a_{3} = a_{2} \cdot q = a_{1} \cdot q \cdot q = a_{1} \cdot q^{2}

a_{4} = a_{3} \cdot q = a_{1} \cdot q^{2} \cdot q = a_{1} \cdot q^{3}

. . .

a_{n} = a_{n - 1} \cdot q = a_{1} \cdot q^{n - 2} \cdot q = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Wyraz $n$ –ty ciągu geometrycznego jest równy iloczynowi wyrazu pierwszego $a_{1}$ przez iloraz ciągu podniesiony do potęgi $n - 1$ , czyli $q^{n - 1}$ .

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q \neq 0$ to dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Podamy teraz kilka prostych przykładów na zastosowanie zapisanego wzoru.

Przykład 11

Obliczymy trzeci wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 6$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$a_{3} = 6 \cdot 2^{3 - 1} = 24$ .

Przykład 12

Obliczymy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{4} = 1$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$1 = a_{1} \cdot 2^{4 - 1}$

$1 = a_{1} \cdot 8$

$a_{1} = \frac{1}{8}$ .

Przykład 13

Znajdziemy iloraz $q$ ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{4} = 2$ i $a_{1} = 6 \frac{3}{4}$ . Podamy wzór ogólny ciągu.

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$a_{4} = a_{1} \cdot q^{4 - 1}$

$2 = \frac{27}{4} \cdot q^{3}$

$q^{3} = \frac{8}{27}$

$q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznegowzór ogólny ciągu geometrycznegowzór ogólny ciągu geometrycznego.

$a_{n} = 6 \frac{3}{4} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Wzór można przekształcić i zapisać w postaci

$a_{n} = \frac{27}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n} = \frac{81}{8} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

Przykład 14

Wyznaczymy liczbę $n$ wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 4$ , $q = \frac{3}{2}$ , $a_{n} = \frac{81}{4}$ .

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$\frac{81}{4} = 4 \cdot {(\frac{3}{2})}^{n - 1} | : 4$

$\frac{81}{16} = {(\frac{3}{2})}^{n - 1}$

${(\frac{3}{2})}^{4} = {(\frac{3}{2})}^{n - 1}$

$4 = n - 1$

$n = 5$ .

Przechodzimy do trudniejszych przykładów. Rozwiązanie zapisanych tam problemów będzie wymagało między innymi wykorzystania znajomości rozwiązywania układów równań oraz równań kwadratowych.

Przykład 15

W sześciowyrazowym ciągu geometrycznym $(a_{n})$ iloczyn wyrazów parzystych jest równy $(- 729)$ , a iloczyn wyrazów nieparzystych $19683$ . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu.

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu.

Iloczyn wyrazów parzystych jest równy $(- 729)$ , czyli

$a_{2} \cdot a_{4} \cdot a_{6} = - 729$

Korzystamy ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego (czyli ze wzoru na wyraz ogólny ciągu).

$a_{1} q \cdot a_{1} q^{3} \cdot a_{1} q^{5} = - 729$

$a_{1}^{3} \cdot q^{9} = - 729$

Iloczyn wyrazów nieparzystych jest równy $19683$ , czyli

$a_{1} \cdot a_{3} \cdot a_{5} = 19683$

$a_{1} \cdot a_{1} q^{2} \cdot a_{1} q^{4} = 19683$

$a_{1}^{3} \cdot q^{6} = 19683$

Otrzymaliśmy układ równań.

$\{\begin{cases} a_{1}^{3} \cdot q^{9} = - 729 \\ a_{1}^{3} \cdot q^{6} = 19683 \end{cases}$

Dzielimy stronami oba równania układu i uzyskujemy:

$q^{3} = - \frac{729}{19683} = - \frac{1}{27}$

$q = - \frac{1}{3}$

Podstawiamy wyznaczoną liczbę do drugiego równania układu i obliczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a_{1}^{3} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{6} = 19683$

$a_{1}^{3} \cdot \frac{1}{729} = 19683$

$a_{1}^{3} = 19683 \cdot 729$

Dla ułatwienia obliczeń, każdą z liczb stojących po prawej stronie znaku równości zapiszemy w postaci potęgi liczby $3$ .

$a_{1}^{3} = 3^{9} \cdot 3^{6} = 3^{15}$

$a_{1} = \sqrt[3]{3^{15}} = 3^{5} = 243$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 243 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ , gdy $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ .

Przykład 16

Ciąg $(a_{n})$ jest pięciowyrazowym ciągiem geometrycznym. Suma pierwszych trzech wyrazów tego ciągu jest równa $21$ , a suma trzech ostatnich wyrazów jest równa $336$ . Znajdziemy wyrazy tego ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Zapisujemy układ równań, wynikający z treści zadania.

$\{\begin{cases} a + a q + a q^{2} = 21 \\ a q^{2} + a q^{3} + a q^{4} = 336 \end{cases}$

W obu równaniach wyłączamy wspólne czynniki przed nawias.

$\{\begin{cases} a (1 + q + q^{2}) = 21 \\ a q^{2} (1 + q + q^{2}) = 336 \end{cases}$

Dzielimy stronami oba równania (z treści zadania wynika, że $a \neq 0$ i $q \neq 0$ , a równanie $1 + q + q^{2} = 0$ nie ma pierwiastków).

$q^{2} = 16$

$q = 4$ lub $q = - 4$

Jeśli $q = 4$ to $a = 1$ , $a q = 4$ , $a q^{2} = 16$ , $a q^{3} = 64$ , $a q^{4} = 256$ .

Jeśli $q = - 4$ to $a = \frac{21}{13}$ , $a q = - \frac{84}{13}$ , $a q^{2} = \frac{336}{13}$ , $a q^{3} = - \frac{1344}{13}$ , $a q^{4} = \frac{5376}{13}$ .

Odpowiedź:

Istnieją dwa ciągi spełniające warunki zadania:

$(1, 4, 16, 64, 256)$ i $(\frac{21}{13}, - \frac{84}{13}, \frac{336}{13}, - \frac{1344}{13}, \frac{5376}{13})$ .

Przykład 17

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ iloraz $q = 1 + 2 \sqrt{2}$ i pierwszy wyraz $a_{1} \neq 0$ . Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwa jest równość

$7 a_{n} + 2 a_{n + 1} = a_{n + 2}$

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ i zapisujemy wyrazy dowodzonej równości za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu.

$7 a_{1} \cdot q^{n - 1} + 2 \cdot a_{1} \cdot q^{n} = a_{1} \cdot q^{n + 1}$

Dzielimy obie strony równości przez $a_{1} \cdot q^{n - 1}$ (oba czynniki iloczynu są różne od $0$ ).

$7 + 2 q = q^{2}$

Podstawiamy $q = 1 + 2 \sqrt{2}$ .

$7 + 2 \cdot (1 + 2 \sqrt{2}) = {(1 + 2 \sqrt{2})}^{2}$

$9 + 4 \sqrt{2} = 9 + 4 \sqrt{2}$

Otrzymaliśmy tożsamość, co kończy dowód.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją, spróbuj najpierw samodzielnie wykonać zapisane tam zadania, a następnie porównaj z proponowanymi rozwiązaniami.

RC17InpL3plzI

Polecenie 4

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ , w którym wszystkie wyrazy są dodatnie suma pierwszego i drugiego wyrazu jest równa $5$ , a wyrazu trzeciego i czwartego jest równa $80$ . Znajdź wzór ogólny ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

$\{\begin{cases} a + a q = 5 \\ a q^{2} + a q^{3} = 80 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a (1 + q) = 5 \\ a q^{2} (1 + q) = 80 \end{cases}$

Po podzieleniu stronami równań układu:

$q^{2} = 16$

$q = 4$ , bo $q > 0$

$a = 1$

Wzór ogólny:

$a_{n} = 4^{n - 1}$ .

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego wyrazu, oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego), jest iloczynem dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego

a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1},

gdzie:
$n > 1$ i $n \in ℕ$ .

Zauważmy, że jeśli wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie, to $a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}}$ .

Wniosek:

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich każdy wyraz, oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, jeżeli ciąg jest skończony), jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego.

Przykład 18

Liczby $4$ , $x$ , $9$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznaczymy $x$ .

Liczba $x$ jest środkowym wyrazem ciągu, zatem:

$x^{2} = 4 \cdot 9$

$x^{2} = 36$

$x = 6$ lub $x = - 6$

Odpowiedź:

Szukana liczba jest równa $- 6$ lub $- 6$ .

Przykład 19

Liczby $- 5$ , $x$ , $y$ , $40$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdziemy liczby $x$ , $y$ .

Zapisujemy równania, wynikające ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

$\{\begin{cases} x^{2} = - 5 y \\ 40 x = y^{2} \end{cases}$

Zauważmy, że $x \neq 0$ i $y \neq 0$ . Możemy więc podzielić stronami równania układu.

$\frac{x}{40} = \frac{- 5}{y}$

Wyznaczamy $x$ i wstawiamy do drugiego równania układu.

$x = \frac{- 200}{y}$

$y^{2} = 40 \cdot (\frac{- 200}{y})$

Wyznaczamy $y$ .

$y^{3} = - 8000$

$y = - 20$

Wyznaczamy $x$ .

$x = \frac{- 200}{- 20} = 10$

Odpowiedź:

Szukane liczby to $x = 10$ , $y = - 20$ .

Polecenie 5

Zapoznaj się z animacją. Najpierw samodzielnie spróbuj wyznaczyć związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a następnie porównaj swoje wnioski z prezentowanymi w animacji.

R17JTHWl8CgYA

Polecenie 6

Znajdź taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(- 6, x, - 18)$ jest ciągiem geometrycznym.

$x^{2} = - 6 \cdot (- 18)$

$x^{2} = 108$

$x = 6 \sqrt{3}$ lub $x = - 6 \sqrt{3}$

Warunki zadania spełniają dwie liczby: $x = 6 \sqrt{3}$ , $x = - 6 \sqrt{3}$ .

R10Mkd71a5A7N1

Ćwiczenie 1

RIfWlbpI0mP7y1

Ćwiczenie 2

RsdOMfPrcyCpg2

Ćwiczenie 3

RDRr84FfPrhsx2

Ćwiczenie 4

R15Vk3o1JqYgl2

Ćwiczenie 5

R1V4M8Y1brwN52

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wykaż, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ jest ciągiem geometrycznym.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{2 \cdot 3^{n + 1}}{2 \cdot 3^{n}} = \frac{2 \cdot 3^{n} \cdot 3}{2 \cdot 3^{n}} = 3$

Wyrazy ciągu są różne od zera, w wyniku dzielenia dwóch dowolnych kolejnych wyrazów ciągu otrzymaliśmy liczbę rzeczywistą, zatem ciąg jest ciągiem geometrycznym, a liczba $3$ jest ilorazem tego ciągu.

Ćwiczenie 8

Znajdź liczbę $x$ , dla której ciąg $(\sqrt{2} - 1, x, \sqrt{2} + 1)$ jest ciągiem geometrycznym.

Korzystamy z własności ciągu geometrycznego – iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały. Zauważmy, że $x \neq 0$ (w przeciwnym wypadku trzeci wyraz ciągu też by musiał być równy $0$ ). Zapisujemy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

$\frac{\sqrt{2} + 1}{x} = \frac{x}{\sqrt{2} - 1}$

$x^{2} = (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)$

$x^{2} = 1$

$x = 1$ lub $x = - 1$

$x \in \{- 1, 1\}$ .

Pokaż ćwiczenia:

RYBDXpJvrWWhp1

Ćwiczenie 9

R1Sysn5Pk3le41

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Rsybnht8XBQ7a

REvi8wo6OTYE2

RBhqdJXOMHt8V2

Ćwiczenie 12

Określ, czy ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony podanym wzorem ogólnym jest ciągiem geometrycznym. Przeciągnij wzór każdego z ciągów do odpowiedniego pola. Ciągi geometryczne Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, razy, osiem indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, nawias, dwa, plus, n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, plus, jeden, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 6. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, pierwiastek kwadratowy z n, koniec indeksu górnego, 7. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 8. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, PI Ciągi, które nie są ciągami geometrycznymi Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, razy, osiem indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, nawias, dwa, plus, n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, plus, jeden, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 6. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, pierwiastek kwadratowy z n, koniec indeksu górnego, 7. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 8. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, PI

RYrG7LIPqhVrm2

Ćwiczenie 13

R1XdK0SnzjtCJ2

Ćwiczenie 14

Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest ciągiem geometrycznym. Połącz w pary wyrazy tego ciągu. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa

Ćwiczenie 15

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ , w którym wszystkie wyrazy są dodatnie suma pierwszych trzech wyrazów jest równa $26$ , a suma odwrotności tych wyrazów jest równa $\frac{13}{18}$ . Znajdź wzór ogólny tego ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Na podstawie treści zadania zapisujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a + a q + a q^{2} = 26 \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{a q} + \frac{1}{a q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

W pierwszym równaniu wyłączamy $a$ przed nawias.

W drugim równaniu, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\{\begin{cases} a (1 + q + q^{2}) = 26 \\ \frac{q^{2} + q + 1}{a q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

Z pierwszego równania wyznaczamy $1 + q + q^{2}$ i podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} 1 + q + q^{2} = \frac{26}{a} \\ \frac{26}{a^{2} \cdot q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

Stąd:

${(a q)}^{2} = 36 \Rightarrow a q = 6$ , bo wyrazy ciągu są dodatnie.

Czyli $q = \frac{6}{a}$ .

Wyznaczony iloraz wstawiamy do pierwszego równania układu i otrzymujemy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

$a + a q + a q^{2} = 26$

$a + 6 + \frac{36}{a} = 26$

$a^{2} - 20 a + 36 = 0$

$∆ = 400 - 144 = 256$

$\sqrt{∆} = 16$

$a = 2 \Rightarrow q = 3$ lub $a = 18 \Rightarrow q = \frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Są dwa ciągi spełniające warunki zadania, o wzorach ogólnych odpowiednio:

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ , $a_{n} = 18 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Ćwiczenie 16

Ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = 5^{n} + 5^{n + 1}$ . Oblicz, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $36000$ .

Zapisujemy w prostszej postaci wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 5^{n} + 5^{n + 1} = 5^{n} (1 + 5)$

$a_{n} = 6 \cdot 5^{n}$

Zapisujemy nierówność wynikającą z treści zadania.

$6 \cdot 5^{n} < 36000 | : 6$

$5^{n} < 6000$

Logarytmujemy obie strony nierówności przy podstawie $5$ – znak nierówności nie zmienia się, bo podstawa większa od $1$ .

$n \cdot \log_{5} 5 < \log_{5} 6000$

Z tablic logarytmicznych odczytujemy przybliżoną wartość logarytmu z $6000$ .

$n < 5, 41$

Zatem największy wyraz mniejszy od $6000$ to $a_{5}$ .

Odpowiedź:

Tylko pięć wyrazów ciągu jest mniejszych od $36000$ .

Pokaż ćwiczenia:

R1QJnY0SwO6FE1

Ćwiczenie 17

RmTBTvo6kHNjD1

Ćwiczenie 18

RYRHKmJeSEw9Z2

Ćwiczenie 19

RBP3izG066TnY2

Ćwiczenie 20

R1Z0bb6t6oasc2

Ćwiczenie 21

R1BKuVbdtwy1T2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Liczby $a$ , $b$ , $c$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o wyrazach niezerowych.

Jeżeli do pierwszej z tych liczb dodać $1$ , a ostatnią z tych liczb podzielić przez $2$ , to otrzymane liczby w niezmienionej kolejności utworzą również ciąg geometryczny. Znajdź te liczby, jeżeli wiadomo, że liczba $b$ jest o $3$ większa od liczby $a$ .

$(a, b, c)$ – ciąg geometryczny, czyli $b^{2} = a c$

$(a + 1, b, \frac{c}{2})$ – ciąg geometryczny, stąd $b^{2} = (a + 1) \cdot \frac{c}{2}$

Otrzymujemy równanie:

$a c = (a + 1) \cdot \frac{c}{2}$

Przekształcamy równanie pamiętając, że wyrazy ciągu są różne od zera.

$2 a c = a c + c$

$a c = c | : c$

$a = 1$

Znajdujemy liczbę $b$ .

$b = a + 3 = 1 + 3 = 4$

Wyznaczamy liczbę $c$ .

$b^{2} = a c$

$16 = 1 \cdot c$

$c = 16$

Odpowiedź:

Szukane liczby to: $a = 1$ , $b = 4$ , $c = 16$ .

Ćwiczenie 24

Wykaż, że jeśli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich średnia geometryczna wyrazów $a_{4}$ i $a_{6}$ jest równa wyrazowi $a_{2}$ , to ciąg ten jest ciągiem stałym.

Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że

$\sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{5}$

Z treści zadania wynika, że

$\sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{2}$

Zatem:

$a_{5} = \sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{2}$

Czyli:

$a_{5} = a_{2}$

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu.

Wtedy:

$a_{1} \cdot q^{4} = a_{1} \cdot q$

Dzielimy obie strony równania przez $a_{1} q$ (wyrazy ciągu są dodatnie, zatem $a_{1} q \neq 0$ )

$q^{3} = 1 \Rightarrow q = 1$

Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest równy $1$ , to ciąg jest stały, co należało wykazać.

Słownik

ciąg geometryczny

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu

wzór ogólny ciągu geometrycznego

jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q \neq 0$ to dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

2. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

4. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

3. Ciąg geometryczny

Słownik